METODE GRAFIS DAN SIMPLEX

Kelompok 2

Ketut Ardha Candra1208605036 Made Aprian Sudarma Putra1208605037Sugawa Aris Munandar1208605038I GM Surya A. Darmana1208605039Wayan Safira Sri Artha1208605040

PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKAJURUSAN ILMU KOMPUTERFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS UDAYANA2013

Soal metode grafis (Max- Min)1. Doni Furniture memproduksi 2 jenis produk yaitu meja dan kursi yang harus diproses melalui perakitan dan finishing. Proses perakitan memiliki 60 jam kerja sedangkan proses finishing memiliki 48 jam kerja. Untuk menghasilkan satu meja dibutuhkan 4 jam perakitan dan 2 jam finishing. Sedangkan satu kursi membutuhkan 2 jam perakitan dan 4 jam finishing. Laba untuk tiap meja $8 dan kursi $6. Tentukan kombinasi terbaik dari jumlah meja dan kursi yang harus diproduksi, agar mengahasilkan laba maksimal.Penyelesaiannya :Kita Asumsikan : Jumlah meja = xJumlah kursi = y Fungsi tujuan: Memaksimalkan f(x,y) = 8x +6yFungsi batasan:Kendala 1: 4x +2y 60 (perakitan)Kendala 2: 2x +4y 48 (finishing)Kendala 3: x 0Kendala 4: y 0# Persamaan garisnya : 4x + 2y 60 menjadi 4x+ 2y = 60Titik potong sumbu x: 4x +2y = 60 4x + 2(0) = 60 4x = 60 x = 60/4 x = 15, Jadi memotong sumbu x di titik (15,0).

Titik potong sumbu y : 4x + 2y = 60 4(0)+2y= 60 2y = 60 y = 60/2 y = 30, Jadi memotong sumbu y di titik (0,30).pengujian dengan titik (0,0): 0+0 60 atau 0 60 (benar), Hp menuju titik (0,0). #Persamaan garisnya: 2x + 4y 48 menjadi 2x + 4y = 48 Titik potong sumbu x : 2x + 4y = 482x + 4(0) = 482x = 48x = 48/2x = 24, Jadi memotong sumbu x di titik (24,0).Titik potong sumbu y : 2x + 4y = 482(0) + 4y = 48 4y = 48y = 48/4y = 12, Jadi memotong sumbu y di titik (0,12)Pengujian dengan titik (0,0) : 0+0 48 atau 0 48 (benar), Hp menuju titik (0,0).Uji x 0 dengan titik (1,1) = 1 0 (benar) sehingga Hp menuju titik (1,1)Uji y 0 dengan titik (1,1) = 1 0 (benar) sehingga Hp menuju titik (1,1)

Gambar grafiknya :

ACB

Mencari koordinat titik B: 4x+2y = 60x 1/22x+ 4y = 48x 12x+y =302x+4y =48- -3 y = -18 y = -18/-3 = 6 substitusi x ke dalam persamaaan 4x + 2y = 60 4x + 2(6) = 604x = 60 12x = 48/4 = 12Sehingga koordinat titik B adalah (12,6).

f(x,y) = 8x + 6y A(0,12) = 8(0) + 6(12) = 72 B(12,6) = 8(12) + 6(6) = 96 + 36 = 132 C(15,0) = 8(15) + 6(0) = 120

Jadi , laba maksimal yang dapat diperoleh adalah $132, yaitu dengan memproduksi 12 meja dan 6 kursi.

2. Seorang pengusaha menghadapi fungsi tujuan dan kendala seperti di bawah ini :Maksimumkan fungsi tujuan : z = 4000x + 5000yTerhadap fungsi kendala : 5x + 3y 150 2x + 3y 120x, y 0maka yang kita buat grafiknya adalah grafik-grafik kendalanya.5x + 3y 150 5x + 3y = 150 bila x = 0 : 0 + 3y = 150 y = 50 (0,50) bila y = 0 : 5x + 0 =150 x = 30 (30,0)Uji di (0,0) : 0 150, benar maka HP menuju (0,0)2x + 3y 120 2x + 3y = 120 bila x = 0 0 + 3y = 120 y = 40 (0,40) bila y = 0 2x + 0 = 120 X = 60 (60,0)Uji di (0,0) : 0 120, maka HP menuju (0,0)

Bila kita namakan titik-titik di daerah pembatas dengan a, b, c, dan d, kita dapat menentukan koordinat masing-masing titik tersebut :a. berada di puncak garis kendala 2, sehingga koordinatnya (0,40)b. berada pada perpotongan kendala 1 dan 2, sehingga koordinatnya merupakan persamaan dari kedua kendala tersebut : kendala 1, 5x + 3y 150 5x + 3y = 150 kendala 2, 2x + 3y 120 2x + 3y = 120Kita dapat mencari titik perpotongan dengan menggunakan metode eliminasi,

Bila x = 105(10) + 3y = 150 50 + 3y = 150 3y = 100 Y = 33,3Berarti b berada pada titik (10, 33,3)c. berada di dasar grafik kendala I, sehingga koordinatnya (30,0)d. kita letakkan disembarang tempat di dalam daerah pembatas, misalnya (10,10)Kita kembali ke fungsi tujuan kita yaitu : z = 4000x + 5000ySekarang kita sudah memiliki titik a, b, c, dan d lalu kita masukkan ke empat titik tersebut ke dalam fungsi tujuan kita.a (0,40) z = 4000(0) + 5000(40) z = 0 + 200000 z = 200000b (10, 33,3) z = 4000(10) + 5000(33,3) z = 40000 + 166500 z = 206500c (30,0) z = 4000(30) + 5000(0) z = 120000 + 0z = 120000d (10,10) z = 4000(10) + 5000(10) z = 40000 +50000 z = 90000karena tujuan kita adalah memaksimumkan fungsi tujuan, maka titik yang kita ambil adalah titik yang memiliki nilai tujuan paling besar yaitu b.Maka fungsi z = 4000x + 5000yDengan kendala 5x + 3y 150 2x + 3y 120,Akan maksimum pada titik (10, 33,3).Sehingga pengusaha tersebut akan memperoleh hasil maksimum bila memproduksi x sebanyak 10 unit dan y sebanyak 33,3 unit.3. Dua jenis logam campuran X dan Y tertdiri atas logam A,B, dan C. Satu kg logam campuran X terdiri atas 5 ons logam A, 3 ons logam B, dan 2 ons logam C . Satu kg logam campuran Y terdiri atas 2 ons logam A, 3 ons logam B, dan 5 ons logam C. Logam M dibuat semurah-murahnya dari logam X dan Y , sedemikian sehingga sekurang-kurangnya terdiri atas 6 kg logam A, 7,2 kg logam B, dan 6 kg logam C. jika harga logam X Rp. 4000,00 /kg dan harga logam Y Rp.2000,00/kg, maka berapakah harga minimum logam campuran M itu ? Penyelesaiannya :Kita asumsikan : x = jenis logam campuran X y = jenis logam campuran Y

Fungsi tujuan : Meminimumkan f(x,y) = 4000 x + 2000 y Fungsi batasan :Kendala 1: 5x + 2y 6Kendala 2: 3x +3y 7,2Kendala 3: 2x +5y 6Kendala 4: x0Kendala 5: y0 # Persamaan garisnya : Titik potong sumbu X : 5x + 2y 6 / 5x + 2y = 6 5x + 2(0)=6 5x = 6 X=6/5x=6/5 ( 6/5,0)Titik potong sumbu Y : 5x +2y6 / 5x + 2y =65(0) + 2y= 6 2y =6Y= 6/2Y= 3 ( 0, 3)

Pengujian denganm titik (0,0) = 0+0 6 salah, HP menjauhi (0,0)2x + 5y 6 , ubah ke persamaan garis menjadi 2x + 5y=6Titik potong sumbu X : 2x + 5y =6 2x + 5(0)2x = 6X=6/2X= 3 ( 3,0)Titik potong sumbu Y : 2(0) +5y =65y= 6Y = 6/5Y= 6/5 (6/5,0) Pengujian dengan titik (0,0): 0+06 / 06, ( salah) hp menjahui( 0,0)

Gambar grafiknya :

BA

Titik pojok ketiga merupakan titik potong antara grafik persamaan 5x+2y=6 dan 3x +3y=7,2, kita dpat menggunakan cara substitusi untuk menentukan titik potongnya. 5x +2y =6 y = -x + 3 Substitusi ke salah satu persamaan 3x +3(- x + 3) = 7,2 3x - x= 7,2-9 - x = - x=

Sehingga , y= - + 3 =2 diperoleh , titik A adalah . Selanjutnya kita tentukan titik B , yaitu potong antara grafik persamaan 3x + 3y =7,2 dan 2x +5y= 6

Lalu masukkan ke salah satu persamaan sehingga , 3x +3=7,2 3x - x = 7,2 -

x = x =2 Diperoleh y = - .2 + =

sehingga , titik B adalah . Selanjutnya kita uji semua titik kritis tersebut ke dalam fungsi objektif

f(0,3) = 4.000 .0+ 2.000.3 = 6.000f= 4.000 . + 2.000.2 = 1.6000 + 4.000=5.600f(2,) = 4.000 .2 + 2.000. = 8.000+800=8.800 f(3,0) =4.000.3+2.000 .0 = 12.000 Jadi , harga minimum dari logam campur M adalah Rp. 5.600,00

Soal Metode Simplex (2 Variabel)Seorang produsen komputer ingin memproduksi produknya yang terdiri dari 2 jenis yaitu komputer jenis I dan komputer jenis II. Waktu yang diperlukan untuk merakit 1 unit komputer jenis I adalah 2 Jam dan diperlukan 4 pekerja untuk merakitnya. Sedangkan waktu yang diperlukan untuk merakit 1 unit komputer jenis II adalah 4 Jam dan diperlukan 1 pekerja untuk merakitnya. Apabila harga komputer jenis I adalah 6 juta dan harga komputer jenis II adalah 8 juta. Berapa unit komputer I dan komputer II yang harus diproduksi agar memperoleh keuuntungan maksimal apabila total pekerja yang ada sebanyak 240 dimana kapasitas komputer jenis I tidak boleh lebih dari 120 unit dan kapasitas komputer jenis II tidak boleh lebih dari 160 unit serta waktu perakitan komputer tersebut maksimal 1800 jam/75 Hari.JawabanMisalkan: X1 = Jumlah Komputer Jenis I, X2 = Jumlah Komputer Jenis II Fungsi Tujuan : Memaksimalkan Z = 6X1 + 8X2Fungsi Kendala : 2X1 + 4X2 1800: 4X1 + X2 240: X1 120: X2 160Mengubah format fungsi tujuan dan kendala Fungsi Tujuan: Z - 6X1 - 8X2 = 0Fungsi Kendala: 1. 2X1 + 4X2 + X3 = 18002. 4X1 + X2 + X4 = 2403. X1 + X5 = 1204. X2 + X6 = 160ZX1X2X3X4X5X6NKIndex

Z1-6-800000-

X302310001800600

X40410100240240

X50100010120-

X60010001160160

Nilai baris perbaikan kunci :X20010001160

Iterasi-1 :ZX1X2X3X4X5X6NKIndex

Z1-600008128-

X302010041160580

X404001018020

X50100010120120

X20010001160160

Nilai baris perbaikan kunci :X101001/401/420

Perubahan selain baris kunci :ZX1X2X3X4X5X6NKIndex

Z10003/2019/21400

X300011/207/21120

X101001/401/420

X50000-1/40-1/4100

X20000001160

Diperoleh hasil X1 = 20, X2 = 160, Zmax = 1400

Soal Metode Simplex (3 Variabel)Fungsi Tujuan: Memaksimalkan Z = 40X1 + 60X2 + 32X3Fungsi Kendala: 2X1 + 4X2 + 6X3 540 * 2 = 1080: 8X1 + 4X2 160 * 2 = 320: 3X2 + 9X3 63 * 2 = 126: X1 54: X3 72

Mengubah format fungsi tujuan dan kendala Fungsi Tujuan: Z - 40X1 - 60X2 - 32X3 = 0Fungsi Kendala: 1. 2X1 + 4X2 + 6X3 + X4 = 18002. 8X1 + 4X2 + X5 = 3203. 3X2 + 9X3 + X6 = 1264. X1 + X7 = 545. X3 + X8 = 72ZX1X2X3X4X5X6X7X8NKIndex

Z1-40-60-32000000-

X40246100001800450

X508400100032080

X600390010012642

X701000001054-

X800010000172-

Nilai Perbaikan baris kunci :X20013001/30014

Iterasi-1 :ZX1X2X3X4X5X6X7X8NKIndex

Z1-400148002000840-21

X4020-3010-4001296648

X5080-3601-400-184-23

X20013001/30014#

X70100000105454

X800010000172#

Iterasi -2ZX1X2X3X4X5X6X7X8NKIndex

Z10014800204003000

X4000-3010-4-201188

X5000-3601-4-80-616

X20013001/30014

X101000001054

X800010000172

Soal Metode Simplex (4 variabel)Maka diperoleh : X1=54, X2=14, dan Zmax = 3000Sebuah perusahaan minuman memproduksi 4 macam bahan minuman (A,B,C,D) Untuk memproduksi keempat bahan tersebut. Memerlukan paling banyak larutan jenis I sebanyak 32 liter, larutan jenis II paling banyak 40 liter dan larutan jenis III yang tersedia sebanyak 38 liter. Kebutuhan larutan I untuk setiap bahan minuman A diperlukan 8 liter, bahan minuman B 6 liter, bahan minuman C 7 liter, bahan minuman D 9 liter . Kebutuhan larutan II untuk setiap bahan minuman A sebanyak 10 liter,bahan minuman B sebanyak 4 liter, bahan minuman C sebanyak 3 liter, dan bahan minuman D 6 liter. dan kebutuhan larutan III untuk bahan minuman A sebanyak 6 liter, bahan minuman B sebanyak 12 liter , bahan minuman C sebanyak 10 liter dan bahan minuman D sebanyak 8 liter. Jika bahan minuman A,B,C,D masing-masing Rp.80 , Rp. 100 , Rp. 120 , Rp. 60, Berapa bahan minuman A,B,C, dan D harus diproduksi agar memperoleh keuntungan.Jawaban :Misalkan : bahan minuman jenis A = x1bahan minuman jenis B = x2bahan minuman jenis C = x3bahan minuman jenis D = x4Fungsi Tujuan : Memaksimalkan Z = 80 X1 + 100 X2 + 120 X3 + 60 X4Fungsi Kendala : 1. 8X1 + 6X2 + 7X3 + 9X4 322. 10X1 + 4X2 + 3X3 + 6X4 403. 6X1 + 12X2 + 10X3 + 8 X4 384. X1, X2 0Mengubah format fungsi tujuan dan kendala :Fungsi tujuan : Z - 80X1 100X2 120 X3 6X4 = 0Fungsi Kendala : 1. 8X1 + 6X2 + 7X3 + 9X4 +X5 = 322. 10X1 + 4X2 + 3X3 + 6X4 + X6 = 403. 6X1 + 12X2 + 10X3 + 8 X4 + X7 = 38ZX1X2X3X4X5X6X7NKIndex

Z1-80-100-120-600000-

X5086791003232/7

X60104360104040/3

X706121080013838/10

Nilai Perbaikan baris kunci :X706/1012/1018/10001/1038/10

Baris Z :Baris Lama: [-80-100-120-6000 0 0]N B B K:[6/1012/10 18/10001/1038/10] -120Baris Baru: -8 44 0 39 0 0 12 456

Baris X5Baris Lama: [ 8 6 7 910 0 32]N B B K:[6/1012/10 18/10001/1038/10] 7Baris Baru: 19/5-12/5 017/5 1 0 -7/10 27/5

Baris X6Baris Lama: [ 10 4 3 601 0 40]N B B K:[6/1012/10 18/10001/1038/10] 3Baris Baru: 41/5 2/5 018/5 0 1 -3/10143/10

ZX1X2X3X4X5X6X7NKIndex

Z1-8440390012456-

X5019/5-12/5017/510-7/1027/527/19

X6041/52/5018/501-3/10143/10143/82

X306/1012/1018/10001/1038/1019/3

Nilai Perbaikan baris kunci :X50112/190-17/195/1907/3827/19

Baris Z :Baris Lama: [ -8 44 0390 0 12 456]N B B K:[ 1 12/19 0 -17/19 5/19 0 7/38 27/9] -8Baris Baru: 0932/19 0 605/19 40/19 0 256/19 8880/19Baris X6 :Baris Lama: [ 41/5 2/5 0 18/50 1-3/10 143/10]N B B K:[ 1 12/19 0 -17/19 5/19 0 7/38 27/9] 41/5Baris Baru: 0 -158/19 0 -71/19 41/19 1 -172/95 503/190

Baris X3 :Baris Lama: [ 6/10 12/10 0 -18/100 1 1/10 38/10]N B B K:[ 1 12/19 0 -17/19 5/19 0 7/38 27/9] 6/10Baris Baru: 0 2/5 0 -24/19 3/19 1 -1/95 55/19ZX1X2X3X4X5X6X7NKIndex

Z10932/190605/19 40/19 0256/19 8880/19-

X600-158/190-71/1941/191-172/95503/190

X10112/190-17/195/1907/3827/9

X3002/50-24/193/191-1/9555/19

Maka diperoleh hasil X1 = 27/9, X3=55/19, dan Zmaks = 8880/19Flowchart Metode Grafis

Flowchart Metode Grafis

Y-Axis

X-Axis

Drag the side handles to change the width of the text block.

Y-Axis

X-Axis

Drag the side handles to change the width of the text block.