tugas aljabar linear - novika 2012110028.ppsx

100%COMPLETE

WAITLOADING...

Fakultas Ilmu komputerUNIVERSITAS INDO GLOBAL

MANDIRI2013

Home

Materi

Latihan

Referensi

Selesai

Matriks

Sistem Persamaan Linier

Determinan

Vektor

Exit Home

Exit Home

* Matriks * Aljabar Linear

[email protected]

Exit Home


[email protected]

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan - bilangan. Bilangan - bilangan tersebut dinamakan Entri.

Exit Home


[email protected]

Contoh :

• Selanjutnya ukuran suatu matriks dinyatakan sebagai banyaknya baris dan kolom, contoh 1. matriks A di atas berukuran 3 × 3

2. matriks B berukuran 2 x 3

3. matriks C berukuran 2 x 2.

a11 a12 a13

A = a21 a22 a23 = [aij]3x3

a31 a32 a33b11 b12

B = b21 b22 = [aij]2x3

b31 b32c11 c12

C = c21 c22 = [aij]2x2

Exit Home


[email protected]

Suatu matriks yang memiliki kolom dan baris yang banyaknya sama dinamakan matriks persegi.Contoh :

7 4 9 2

D = 5 9 3 7 3 8 1 6 4 2 5 3

Matriks Persegi 4 x 4

15 36 12K = 57 62 31

82 10 41



Exit Home


[email protected]

Matriks D dikatakan matriks diagonal jika matriks tersebut merupakan matriks persegi dengan entri-entri dij = 0 untuk setiap i ≠ j.Contoh :

3 0 0D = 0 6 0

0 0 9

2 0 0D = 0 3 0

0 0 8

10 0 0D = 0 15 0

0 0 60

Exit Home


[email protected]

Matriks I dikatakan matriks satuan jika matriks I merupakan matriks diagonal dengan entri-entri Iii = 1 untuk setiap i (entri diagonalnya = 1).

Contoh : 1 0 0D = 0 1 0

0 0 1

7 0 0D = 0 7 0

0 0 7

3 0 0D = 0 3 0

0 0 3

= 7 untuk setiap I (entri diagonalnya = 7) = 3 untuk setiap I (entri diagonalnya = 3)

Exit Home


[email protected]

1.Penjumlahan2.Perkalian3.Perkalian Scalar4.Transpose

Exit Home


[email protected]

1. Diketahui Matriks E dan K

E

=

E+K = +

K

=

Exit Home


[email protected]

2. Diketahui Matriks J dan M

J

=

J+M = +

M

=

Exit Home


[email protected]

3. Diketahui Matriks C dan V

C

=

C+V = +

V

=

Exit Home


[email protected]

1. Diketahui Matriks A dan K

A

=

A x K = x

=

Exit Home


[email protected]

2. Diketahui Matriks R dan S

R

=

R x S = x

=

Exit Home


[email protected]

3. Diketahui Matriks L dan Q

=

L x Q = x

L Q

=

Exit Home


[email protected]

1. Diketahui Matriks R dan K = 3

R

=

K x R = 3

Exit Home


[email protected]

2. Diketahui Matriks Z dan K = 2

Z

=

K x Z = 2

Exit Home


[email protected]

3. Diketahui Matriks N dan K =4

N

=

K x N = 4

Exit Home


[email protected]

Diketahui Matriks D, F dan G

D F G

Exit Home


[email protected]

Berikut beberapa sifat yang berlaku pada operasi matriks :1. A+ B = B + A ( komutatif terhadap penjumlahan)2. A + (B + C) = (A+B) + C ( assosiatif terhadap

penjumlahan)3. A(BC) = (AB) C ( assosiatif terhadap perkalian)4. A(B+C) = AB + AC ( distributif)

Exit Home

* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear

Exit Home


Persamaan Linear Satu Variabel adalah Kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan dan hanya memiliki satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah

ax + b = c, dengan a,b,c R dan a 0Persamaan Linear Dua Variabel adalah

Persamaan yang mengandung dua variabel dengan pangkat masing-masing variabel sama dengan satu. Bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah

ax + by = c, dengan a,b,c R dan a 0, b 0

Exit Home


Suatu persamaan linear yang mengandung n peubah x1, x2 ,…,xn dinyatakan dalam bentuk a1x1 + a2x2 + … + anxn = b dengan a1, a2, …, a n , b adalah konstanta riil.

Contoh• a. x + y = 4 persamaan linear dengan 2

peubah• b. 2x – 3y = 2z +1 persamaan linear

dengan 3 peubah• c. 2 log x + log y = 2 bukan persamaan

linear• d. 2ex = 2x + 3 bukan persamaan linear

Exit Home


Prosedur untuk mendapatkan matriks eselon baris tereduksi biasa disebut sebagai eliminasi Gauss– Jordan . Pada proses eliminasi tersebut operasi – operasi yang digunakan disebut operasi baris elementer (OBE), caranya;• Mengalikan suatu baris dengan konstanta

tak nol• Mempertukarkan dua buah baris• Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris

lainnya.

Operasi Baris Elementer

Exit Home


Eliminasi Gauss adalah suatu metode

untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam

matriks sehingga menjadi matriks yang

lebih sederhana lagi. Dengan melakukan

operasi baris sehingga matriks tersebut

menjadi matriks yang baris.

Exit Home


Contoh Soal :Diketahui persamaan linear

x + 2y + z = 6x + 3y + 2z = 92x + y + 2z = 12Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

1 2 1 | 61 3 2 | 92 1 2 | 12

Exit Home


Operasikan Matriks nya:1 2 1 | 60 1 1 | 32 1 2 | 1 Baris ke-2 dikurangi baris ke-1

1 2 1 | 60 1 1 | 30 -3 0 | 0 Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-1

1 1 1 | 60 1 1 | 30 0 3 | 9 Baris ke-3 ditambah 3 kali baris ke-2

1 2 1 | 60 1 1 | 30 0 1 | 3 Baris ke-3 dibagi dengan 3

Exit Home


Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitux + 2y + z = 6y + z = 3z = 3

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:y + z = 3y + 3 = 3y = 0

x + 2y + z = 6x + 0 + 3 = 6x = 3Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3

Exit Home


Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhanalagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.

Exit Home


Contoh soal:1. Diketahui persamaan linear

x + 2y + 3z = 32x + 3y + 2z = 32x + y + 2z = 5Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1

1 2 3 | 30 -1 -4 | -30 -3 -4 | -1 Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris

ke-1

1 2 3∨¿2 3 2∨¿2 1 ¿

Exit Home


1 2 3 | 30 -1 -4 | -40 0 8 | 8 Baris ke-3 dikurangi 3 kali baris ke-2

1 2 3 | 30 1 4 | 30 0 1 | 1 Baris ke-3 dibagi 8 dan baris ke-2

dibagi -1

1 2 3 | 30 1 0 | -10 0 1 | 1 Baris ke-2 dikurangi 4 kali baris ke-3

Exit Home


1 2 0 | 00 1 0 | -10 0 1 | 1 Baris ke-1 dikurangi 3 kali baris

ke-3

1 0 0 20 1 0 -10 0 1 1 Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris

ke2

Maka didapatkan nilai dari x =2 , y = −1 ,dan z= 1

Exit Home



x + y + 2z = 10 2x + 3y + 3z = 4 2x + 4y + 6z = 4Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1

1 1 2 | 100 1 -1 | -160 2 2 | -16 Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris

ke-1

1 1 2∨¿2 3 3∨¿2 4 ¿

Exit Home


1 1 2 | 100 -1 -1 | -160 0 4 | 16 Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-2

1 1 2 | 100 1 1 | 160 0 1 | 4 Baris ke-3 dibagi 4 dan baris ke-2

dibagi -1

1 1 2 | 100 1 0 | 120 0 1 | 4 Baris ke-2 dikurangi 1 kali baris ke-3

Exit Home


1 1 0 | 20 1 0 | 120 0 1 | 1 Baris ke-1 dikurangi 2 kali baris

ke-3

1 0 0 | 30 1 0 |120 0 1 | 1 Baris ke 1 dikurangi 1 kali baris

ke 2

Maka didapatkan nilai dari x =3 , y = 12 ,dan z= 1

Exit Home



x + y + z = 2x + 3y + 2z = 42x + 2y + z = 4Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:Baris ke 2 dikurangi baris ke 1

1 1 1 | 20 2 1 | 20 -4 -3 | -8 Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris

ke-1

1 1 1∨¿1 3 2∨¿2 2 ¿

Exit Home


1 1 1 | 20 2 1 | 20 4 3 | 8 Baris ke-3 dibagi -1

1 1 1 | 20 2 1 | 20 0 1 | 4 Baris ke-3 kurangi 2 kali baris ke-2

1 1 1 | 20 2 0 | -20 0 1 | 4 Baris ke-2 dikurangi 1 kali baris ke-3

Exit Home


1 1 0 | -20 1 0 | -10 0 1 | 4 Baris ke-1 dikurangi 1 kali baris

ke-3 dan Baris ke-2 dibagi 2

1 0 0 | -10 1 0 | -10 0 1 | 4 Baris ke 1 dikurangi 1 kali baris

ke 2

Maka didapatkan nilai dari x =-1 , y = −1 ,dan z= 4

Exit Home


Subtitusi

Eliminasi

Gabunga

n Subtitusi

& Elimnasi

Grafik

Exit Home


Adalah metode penyelesaian SPLDV

dengan cara menggantikan satu variabel

dengan variabel dari persamaan yang lain

Langkah-langkah

1. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana kemudian

nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x

2. Substitusikan x atau y pada langkah 1 ke persamaan yang

lainnya

Exit Home


1). Tentukan HP dari persamaan linear berikut dg metode substitusi !3x + 4y = 11 … pers.(1)x + 7y = 15 … pers.(2)Jawab :Dari pers.(2) didapat : x = 15 – 7y … pers.(3)Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(1) :3x + 4y = 11 Harga y = 2 kmd

⇔ 3(15 – 7y) + 4y = 11 substitusikan ke pers(3) :

⇔ 45 – 21y + 4y = 11 x = 15 – 7y⇔ - 21y + 4y = 11 – 45 x = 15 – 7(2)⇔ - 17y = - 34 ⇔ x = 15 – 14

x = 1

Jd, HP = { 1, 2 }

217

34

y

Exit Home


2). Selesaikan sistem persamaan linier berikut:

3x – 2y =7 (1)2x + 4y =10 (2)

Misalkan variabel x yang dipilih pada persamaan (2), maka akan menjadi

2x + 4y = 10 2x = 10 – 4y x = 5 – 2y

Kemudian substitusikan x ke dalam persamaan yang lain yaitu (1)

Exit Home


x = 5 – 2y3(5 – 2y) – 2y =7 15 – 6y – 2y = 7– 8y = – 8y = 1

Substitusikan y = 1 ke dalam salah satu persamaan awal misal persamaan (2)

x = 5 – 2(1) = 3Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan adalah (3,1)

Exit Home


3. Tentukan HP dari SPL berikut ini dg menggunakan metode substitusi

2x – y = 2 … pers.(1)

3x – 2y = 1 … pers.(2)

Dari pers.(1) didapat : Harga x = 3 kmd disubstitusikan

- y = 2 – 2x ⇔ y = - 2 + 2x … pers.(3) ke pers.(1) :

Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(2) : 2x – y = 2

⇔ 3x – 2y = 1 ⇔ 2(3) – y = 2

⇔ 3x – 2(-2 + 2x) = 1 ⇔ 6 – y = 2

⇔ 3x + 4 – 4x = 1 ⇔ - y = 2 – 6

⇔ 3x – 4x = 1 – 4 ⇔ - y = - 4

⇔ - x = - 3 ⇔ y = 4

⇔ x = 3

Jd, HP = { 3, 4}

Exit Home


Adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menghilangkan salah satu variabel atau pada kedua persamaan untuk mendapatkan suatu penyelesaian.

Langkah-langkah1. Perhatikan koefisien ( x atau y )

a) Jika koefisiennya sama:i. Lakukan operasi pengurangan untuk tanda yang sama

ii. Lakukan operasi penjumlahan untuk tanda yang berbeda

b) Jika koefisiennya berbeda, samakan koefisiennya dengan cara mengalikan persamaan-persamaan dengan konstanta yang sesuai, lalu lakukan seperti langkah a)

2. Lakukan kembali langkah 1 untuk mengeliminasi variabel lainnya.

x y

Exit Home


1) Carilah nilai – nilai dari variabel X dan Y yang dapat memenuhi kedua persamaan berikut:

3x – 2y = 7 (3)2x + 4y = 10 (4)PenyelesaianMisal variabel yang akan dieliminasi adalah y,

maka pers (3) dikalikan 2 dan pers (4) dikalikan 1.3x – 2y = 7 dikalikan 2 6x – 4y = 142x + 4y = 10 dikalikan 1 2x + 4y = 10 +

8x + 0 = 24

x = 3

Exit Home


Substitusikan variabel x = 3 ke dalam salah satu persamaan awal, misal pers (3)

3x – 2y = 73(3) – 2y = 7 – 2y = 7 – 9 = – 2y = 1

Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah (3,1)

Exit Home


2)Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan dan dengan menggunakan metode eliminasi.Penyelesaian :

Jika kita ingin mencari nilai terlebih dahulu, maka hilangkanlah nilai pada kedua persamaanBagaimana caranya menghilangkan nilai pada kedua persamaan?

623 yx632 yx

xy

y

Exit Home


Samakan koefisien pada kedua persamaan dengan cara mengalikannya dengan suatu konstanta

Cara menghilangkan nilai pada kedua persamaan

y

y

632 yx623 yx

X ...X ...

.......... = ...

.......... = ...-

.... = ... = ...x

23

6

Exit Home


Dengan cara yang sama, kita hilangkan nilai pada kedua persamaan untuk mendapatkan nilai

x

y

632 yx

623 yx

X ...X ...

.......... = ...

.......... = ...- .... = ...

= ...y

3

2

6

Exit Home


Dari perhitungan tadi, diperoleh dan

Jadi himpunan penyelesaian persamaan dan adalah

{( , )}

6x 6y

632 yx 623 yx

6 6

Exit Home


3) Tentukan HP dari SPL berikut dg menggunakan metode eliminasi !1) 2x – y = 2

3x – 2y = 1

* Mengeliminasi variabel y

2x – y = 2 x 2 4x – 2y = 4

3x – 2y = 1 x 1 3x – 2y = 1 -

x = 3

* Mengeliminasi variabel x

2x – y = 2 x 3 6x – 3y = 6

3x – 2y = 1 x 2 6x – 4y = 2 -

y = 4

Jd, HP = { 3, 4}

Exit Home


Pada metode ini, merupakan gabungan dari cara eliminasi dan substitusi.Contoh :1). Tentukan HP dari persamaan linear berikut dg metode campuran !

3x + 4y = 11 … pers.(1)x + 7y = 15 … pers.(2)

Jawab :3x + 4y = 11 x 1 3x + 4y = 11x + 7y = 15 x 3 3x + 21y = 45 -

- 17y = - 34 ⇔ y = 2

Harga y = 2 kmd substitusikan ke pers(2) :

x + 7y = 15⇔ x + 7(2) = 15⇔ x + 14 = 15⇔ x = 15 – 14 ⇔ x = 1 Jd, HP = { 1, 2 }

Exit Home


2).Tentukan HP Dari Persamaan Linear Berikut Dg Metode Campuran!

2x + 3y = 1 … pers.(1)4x – 3y = 11 … pers.(2)

Jawab :2x + 3y = 14x – 3y = 11 +⇔ 6x = 12⇔ x = 2

Harga x = 2 kmd substitusikan ke pers.(1) :2x + 3y = 1⇔ 2(2) + 3y = 1⇔ 4 + 3y = 1⇔ 3y = 1 – 4⇔ 3y = - 3⇔ y = - 1 Jd, HP = { 2, -1 }

Exit Home


3). Dari SPL Berikut Ini dg Metode Campuran2p – 3q = 4 … pers.(1)7p + 2q = 39 … pers(2)

2p – 3q = 4 x 7 14p – 21q = 287p + 2q = 39 x 2 14p + 4q = 78 -

- 25q = - 50

2p – 3q = 4⇔ 2p – 3(2) = 4⇔ 2p – 6 = 4⇔ 2p = 4 + 6⇔ 2p = 10⇔ p = 5

Jd, HP = { 5, 2 }

225

50

q

Exit Home


• Adalah metode penyelesaian SPLDV yang dilakukan dengan cara menggambar grafik dari kedua persamaan tersebut yang kemudian menentukan titik potongnya.

Exit Home


Perhatikan dua sistem persamaan dua variabel

Solusi dari sistem ini adalah himpunan pasangan terurut yang merupakan solusi dari kedua persamaan.

Grafik garis menunjukkan himpunan penyelesaian dari masing-masing persamaan dalam sistem. Oleh karena itu, perpotongan kedua garis adalah gambar dari penyelesaian sistem.

Solusi dari sistem adalah

Exit Home


Grafik mungkin sejajar atau mungkin berimpit.

Exit Home


Hubungan yang mungkin diantara sebuah sistem, kemiringan dari masing masing grafik, dan penyelesaian persamaan ditunjukkan pada table berikut.

Sistem Kemiringan

Grafik Penyelesaian

Konsisten dan bebas Berbeda Garis berpotongan di

satu titik

Satu

Inkonsistent dan bebas atau berlawanan

Sama Garis sejajar Tidak ada

Konsisten dan bergantungan

Sama Garis berimpit Tak terhingga

Dengan a,b,c,d,p,q, R dan a,b,c,d ≠0

Exit Home


Tim MGMP Matematika SMA/SMKBontang-Kalimantan Timuremail: [email protected]

Langkah – langkah untuk menetukan himpunan penyelesaian sistem persamaan dua peubah dengan memakai metode grafik adalah sebagai berikut

Langkah IGambarkan grafik masing – masing persamaan pada bidang Cartesius.

Langkah 2a. Jika kedua garis berpotongan pada satu titik maka

himpunan penyelesaiannya tepat memiliki satu anggotab. Jika kedua garis sejajar, maka himpunan

penyelesaiaannya tidak memilki anggota. Dikatakan himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong

c. Jika kedua garis berimpit maka himpunan penyelesaiaannya memiliki anggota yang tak hingga banyaknya

Exit Home


Tim MGMP Matematika SMA/SMKBontang-Kalimantan Timuremail: [email protected]

Contoh

x + y = 1x – y = 3

1

0 1 3

– 1

– 3

P (2, -1)

x – y = 3

x + y = 1

x + y = 1x 0

y 1

x – y = 3

x 0

y 3

y 0

x 1

y 0

x 3

Exit Home

* Determinan * Aljabar Linear

Determinan

Exit Home


3 1

4 2

1 2

2 4

2 1 3

3 1 2

3 2 2

1 2 3

4 4 5

1 5 0

2 4 1

20 40 10

Det(A) = (3 . (-2) – (1.4) ( =-10

Det(B) = (1.4) – (2.2) = 0

Det(C) = tidak didefinisikan

Det(D) = (3.2.5)+(2.3.4)+(2.1.4)-(2.2.4)-(2.1.5)-(3.3.4)

= 0

Det(E) = (1.4.-10)+(5.-1.20)+(0.2.40)- (0.4.20)-(5.2.-10)-(1.-1.40)

= 0

A =

B =

C =

D =

E =

Hitunglah determinan matriks berikut ini:

Exit Home


A1 =

Det(A1) = (a11.a22) – (a12.a21)

• A2 =

Det(A2) = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 –

(a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33)

2221

1211

aa

aa

Aturan Sarrus

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

2221

1211

aa

aa

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

a11 a12

a21 a22

a31 a32

+-

+++- - -

Exit Home


1. B =

2. S =

3. L

- - - + ++

3 12 35 6

3 1 72 3 45 6 2

Contoh Aturan Sarrus (lanjt)Det(B) = 3.8 – (5.4) = 4

Det(S) = (3.3.2+1.4.5+7.2.6)-(1.2.2+ 3.4.6 + 7.3.5) = 18 + 20 +84 – (4+72+105)

= 122 – 181 = -59

Det(L) = (1.1.3 + 4.4.1 + 9.3.2)-(4.3.3 + 1.4.2 + 9.1.1) = (3 + 16 + 54) – (36 + 8 + 9)

= 73 – 53 = 20

3 54 8

- - - + ++

1 43 11 2

1 4 93 1 41 2 3

Exit Home


Exit Home


Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i

kolom ke j. Kofaktor C13 adalah (-1)i+j Mij

A =

a11 a12…….a1j ……a1n

a21 a22 ……a2j…….a2n : : : :ai1 ai2 ……aij…….. ain

: : : :an1 an2……anj……. ann

Mij= det

a11 a12…….a1j ……a1n

a21 a22 ……a2j…….a2n : : : :ai1 ai2 ……aij…….. ain

: : : :an1 an2……anj……. ann

Cij =(-1)i+j Mij

Exit Home


Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j. Kofaktor C13 adalah (-1)i+j Mij

A = M13 = det

C13 = (-1)1+3M13

a21 a22

a31 a32

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

B = M11 = det

C11 = (-1)1+1M11

a22 a23

a32 a33

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

C = M33 = det

C33 = (-1)3+3M33

a11 a12

a21 a22

Exit Home


Exit Home


• Permutasi n bilangan 1, 2, 3, …, n adalah susunan terdiri dari n bilangan tersebut tanpa pengulangan

Contoh:

Permutasi dari 1, 2, 3 adalah

1, 2, 3

1, 3, 2

2, 1, 3

2, 3, 1

3, 1, 2

3, 2, 1

Permutasi dari 1,2 adalah

1, 2

2, 1

Ada 2 permutasi

Ada 6 (= 3 x 2 x 1) permutasi

Exit Home


PermutasiContoh:Permutasi dari 1, 2, 3, 4 adalah

Ada 24 (= 4x3 x 2 x 1) permutasi

1, 2, 3, 4

1, 3, 2, 4

2, 1, 3, 4

2, 3, 1, 4

3, 1, 2, 4

3, 2, 1, 4

1, 2, 4, 3

1, 3, 4, 2

2, 1, 4, 3

2, 3, 4, 1

3, 1, 4, 2

3, 2, 4, 1

1, 4, 2, 3

1, 4, 3, 2

2, 4, 1, 3

2, 4, 3, 1

3, 4, 1, 2

3, 4, 2, 1

4, 1, 2, 3

4, 1, 3, 2

4, 2, 1, 3

4, 2, 3, 1

4, 3, 1, 2

4, 3, 2, 1

Exit Home


Contoh lainnya:

2). Permutasi dari 5, 6, 7 adalah5, 6, 7

5, 7, 6

6, 5, 7

6, 7, 5

7, 5, 6

7, 6, 5

1). Permutasi dari 5,8 adalah5, 8

8, 5

Ada 2 permutasi

Ada 6 (= 3 x 2 x 1) permutasi

Exit Home


3). Permutasi dari 4, 5, 6, 7 adalah

Ada 24 (= 4x3 x 2 x 1) permutasi

4, 5, 6, 7

4, 6, 5, 7

5, 4, 6, 7

5, 6, 4, 7

6, 4, 5, 7

6, 5, 4, 7

4, 5, 7, 6

4, 6, 7, 5

5, 4, 7, 6

5, 6, 7, 4

6, 4, 7, 5

6, 5, 7, 4

4, 7, 5, 6

4, 7, 6, 5

5, 7, 4, 6

5, 7, 6, 4

6, 7, 4, 5

6, 7, 5, 4

7, 4, 5, 6

7, 4, 6, 5

7, 5, 4, 6

7, 5, 6, 4

7, 6, 4, 5

7, 6, 5, 4

Exit Home


Genap atau ganjilnya permutasi didefinisikan dengan genap atau ganjilnya jumlah inversi

2 3 1

1 inversi(2 mendahului 1)

1 inversi(3 mendahului 1)

0 inversi

Jumlah inversi: 1 + 1+0 = 2

Jenis permutasi: genap

Permutasi

Inversi terjadi jika bilangan lebih besar mendahului lebih kecil

Exit Home


Pemutasi 4 3 1

Pemutasi 8 4 5 1

Pemutasi 2 5 3 6 1

Jumlah inversi: 1 + 1+ 1 +0 = 3 Jenis permutasi: ganjil

Jumlah inversi: 1 + 1+0 = 2


Jumlah inversi: 1 + 1+ 1+ 1+ 0 = 4


Exit Home


• Matriks Diagonal

• Matriks Segitiga

• Matriks Dengan Baris Nol

• Matriks Dengan Kolom Nol

• Matriks Dengan Dua Baris Sama

500

420

321

S

000

279

761

B

190

410

320

K

4 1 4

4 1 4

0 9 1

M

9 0 0

0 7 0

0 0 8

D

det(D) = -518

det(S) = 10

det(B) = 0

det(K) = 0

det(M) = 0

Exit Home


Exit Home


1 3A'

2 4

Pengaruh tukar baris pada nilai determinan

3 3 6

B' 2 0 1

1 4 2

1 4 2

B 2 0 1

3 3 6

1 3A

2 4

Det(B) = 45

Det(A) = -2

R1 R2

Det(A’) = 2

Det(B’) = -45

R1 R3

menukar dua baris tanda dari setiap hasil kali elementer

bertanda berubah determinannya (-1) kali determinan

semula.

det(X’) = -det(X)X X’ dengan tukar baris

Exit Home


Contoh Lain

Det(S) = 13

R1 R2

Det(S’) = -13

Det(D) = -1 Det(D’) = 1

R1 R3

Det(D) = -14 Det(D’) = 14

R1 R3

Exit Home


1 3A'

20 40

Pengaruh perkalian baris dengan skalar pada nilai determinan

1 4 2

B' 2 0 1

1 1 2

1 4 2

B 2 0 1

3 3 6

1 3A

2 4

Det(B) = 45

Det(A) = -2

R2 10 R2

Det(A’) = -20

Det(B’) = 15 = 1/3 det(B)

R3 1/3 R3

satu baris dikalikan dengan konstanta k setiap hasil kali

elementer bertandanya dikalikan k determinannya adalah k

kali determinan matriks semula.

det(X’) = kdet(X)X X’ dengan mengalikan baris dengan k

Exit Home


Det(G) = -2048 Det(G’) = -38 = ¼ Det (G)

R3 1/4 R3

Contoh Lain

Det(A) = 10

R1 20 R1

Det(A’) = 4000

𝐴=3 21 4

𝐴 ′ =60 4020 80

Det(P) = 42

R2 2 R2

Det(P’) = 168

𝑃=6 34 9

𝑃 ′=12 68 18

Exit Home


1 3A'

4 10

Pengaruh jumlahan baris dengan kelipatan baris lain pada nilai determinan

1 4 2

B' 3 1 3

3 3 6

1 4 2

B 2 0 1

3 3 6

1 3A

2 4

Det(B) = 45

Det(A) = -2

R2 R2 + 2R1

Det(A’) = -2

Det(B’) = 45 = det(B)

R2 R2 +1/3 R3

Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain tidak

mengubah hasil kali elementer bertanda, jadi nilai

determinannya tidak berubah.det(X’) =

det(X)X X’ dengan menjumlahkan brs dengan kelipatan baris lain:

Exit Home


Kesimpulan:

– menukar dua baris tanda dari setiap hasil kali

elementer bertanda berubah determinannya (-1)

kali determinan semula.

– satu baris dikalikan dengan konstanta k setiap hasil

kali elementer bertandanya dikalikan k

determinannya adlah k kali determinan matriks

semula.

– Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain

tidak mengubah hasil kali elementer bertanda, jadi

nilai determinannya tidak berubah.

Exit Home

* Vektor * Aljabar Linear

Exit Home


Apa beda vektor dengan skalar ?

Vektor :besaran yang dinyatakan dalam dua bilangan tunggal, yang pertama menyatakan nilai dan yang kedua menyatakan arahex: gaya=10N ke arah kanan, kecepatan=5 m/s arah barat

Skalar : besaran yang dinyatakan dengan bilangan tunggal dan hanya memiliki nilaiex: panjang meja=20cm , luas, volume dsb

Exit Home


Simbol vektor:- huruf kecil- huruf kecil,tebal,ada tanda diatasnya

Gambar vektor:vektor digambarkan sebagai garis dengan anak panah sebagai arah.

Vektor a; simbol:a atau a atau a

Exit Home


Komponen vektor :vektor 2 dimensi : a (3,2)

3 ‘n 2 merupakan komponen vektora merupakan nama vektor3 merepresentasikan nilai pada sumbu

x(horisontal)2 merepresentasikan nilai pada sumbu y

(vertikal)vektor 3 dimensi : a (2,3,4)

Panjang vektor :suatu vektor memiliki panjang vektor yang disimbolkan dengan |a|

Exit Home


2 vektor dikatakan sama,jika panjang dan arahnya sama

Vektor a dan b dikatakan sama, sebab1. Arah kedua vektor sama

2. |a| = |b|

Vektor a dan b dikatakan tidak sama, Sebab1. Arah kedua vektor tidak sama

2. Meskipun, |a| = |b|

Vektor a dan b dikatakan tidak sama, Sebab1. Meskipun, Arah kedua vektor sama

2. |a| != |b|

Exit Home


Vektor dalam sistem koordinat kartesian diantaranya:

1. Koordinat kartesian dua dimensia=(a1, a2)dalam vektor a terdapat dua komponen vektor,

2. Koordinat kartesian tiga dimensib=(b1,b2,b3)dalam vektor b terdapat tiga komponen vektor

Exit Home


1. Gambar vektor k (6,3) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (0,0) !!

y

x6

3

k (6,3)

Exit Home


2. Gambar vektor s (4,-3) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (0,0) !!

y

x4

-3

s (4,-3)

Exit Home


3. Gambar vektor m (-4,2) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (0,0) !!

y

x-4

2

m (-4,2)

Exit Home


1. Gambar vektor r (-4,2) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (3,-4) !

y

x3

-4

r (-4,2)

2

-4

pangkal

Langkah:1. Cari titik pangkal

2. Cari titik ujung

3. Tarik garis vektor antara

pangkal dan ujung

Exit Home


2. Gambar vektor d (2,3) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (1,-4) !

y

x1

-4

d (2,3)

3

2

pangkal

Exit Home


3. Gambar vektor t (1,3) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (-2,-2) !

y

x-2

-2

s (3,-2)

3

1

pangkal

Exit Home


- mx adalah panjang vektor terhadap sumbu x = 3

- my adalah panjang vektor terhadap sumbu y = 2

Dari contoh diperoleh :

y

x3

-2

m (3,-2)

mx = 3

my = 2

1323||

||

22

22

m

mymxm

Sehingga untuk mencari panjang vektor m, digunakan rumus pytagoras

Exit Home


• Panjang vektor a yang berpangkal pada (0,0) didefinisikan sebagai

• Disebut sebagai vektor nol, jika |a|=0 yang berarti a1=a2=0

• Contoh : 1. Cari panjang vektor a (6,2) !

1024043626|| 22 a

Exit Home


2. Cari panjang vektor b (12,-9) !

3. Cari panjang vektor c (10,1) !

1522581144)9(12|| 22 b

522041624|| 22 c

Exit Home


• Panjang vektor a (x1,y1,z1) yang berpangkal pada (x2,y2,z2) didefinisikan sebagai

• Contoh : 1. Cari panjang vektor a (5,3,6) dengan titik pangkal (1,1,1) !

534525416)16()13()15(|| 222 a

Exit Home


2. Cari panjang vektor k (8,3,4) dengan titik pangkal (2,1,3) !

3. Cari panjang vektor m (6,8,9) dengan titik pangkal (4,2,5) !

411436)34()13()28(|| 222 k

5616364)59()28()46(|| 222 m

Exit Home


ALJABAR VEKTOR :

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Exit Home


1. Cara SegitigaJumlahan 2 vektor a dan b adalah suatu vektor c yang berawal dari titik pangkal vektor a menuju ujung vektor b, setelah ujung vektor a ditempelkan dengan pangkal vektor b

Exit Home


a = 5

b = 2c = ?

C= a + bMaka besar vektor c|c| =

= = =

a = 8

b =5c = ?

a = 4

b = 2c = ?

C= (-a )+ bMaka besar vektor c|c| =

= = =

C= a - bMaka besar vektor c |c| =

= = =

Exit Home


2. Cara Jajaran Genjang

Untuk memperoleh hasil vektor penjumlahan dari vektor a dan b, maka vektor a dan b harus diposisikan pada 1 titik dan masing-masing vektor diproyeksikan sehingga menghasilkan 1 titik potong antar kedua vektor. Vektor hasil dihubungkan dari titik awal dan titik potong akhir.

Exit Home


Jajaran Genjang

R = A + B+ =A

B

B

-B

R = A+B

S = A

-B

A

Besarnya vektor R = | R | = cos222 ABBA

Besarnya vektor A+B = R = |R| = θcos22 ABBA ++Besarnya vektor A-B = S = |S| = θcos2 ABBA -+

2

22

Exit Home


Hasil dari aljabar tersebut dengan menggunakan 2 metode hasilnya sama, yaitu :

Exit Home


22 )()(|| dbcavu

db

ca

d

c

b

avu

d

cvdan

b

auJika

nPenjumlaha

Beda Penjumlahan & Pengurangan Vektor

22 )()(|| dbcavu

db

ca

d

c

b

avu

d

cvdan

b

auJika

nPenguranga

Exit Home


a). a+ b = b + a Komutatif

b). ( u + v ) + w = u + ( v + w ) Asosiatif

c). a + 0 = 0 + a = a Elemen Netral

d). a + (-a) = 0 Elemen Invers

Exit Home


Arah vektor dilihat dari tanda negatif didepan nama vektor, sehingga:

v + (-v) = 0 Elemen-elemen vektor merupakan

panjang vektor untuk basis koordinat tertentu

Metode yang digunakan untuk penjumlahan dan pengurangan vektor adalah sama

Pangkal vektor tidak selalu diawali dari pusat koordinat (0,0,0)

Exit Home

tugas aljabar linear - novika 2012110028.ppsx

Documents