7.6 Bentuk makroskopik dari hubungan konservasi untuk larutan encer

Setelah kita mengembangkan neraca makroskopik untuk hukum kekekalan massa dalam suatu komponen sistem tunggal dan hukum kekekalan momentum linear (bagian 4.3), bentuk makroskopik hukum kekekalan massa untuk larutan multikomponen encer diperoleh dengan mengintegrasikan persamaan (7.2.8) melalui suatu kontrol volume :

∫V

. ∂Ci

∂tdV=−∫

V

.

∇ ∙N idV +∫V

.

R idV .

Perhatikan bahwa transformasi tersebut memungkinkan karena kontrol volume tertentu di dalam ruang dan tidak berubah.

Untuk menyederhanakan persamaan (7.6.1), kita mendefenisikan konsentrasi rata-rata volume dan laju reaksi :

⟨Ci ⟩=1V∫V

.

C idV ⟨Ri ⟩=1V∫V

.

RidV .

Dengan definisi ini, persamaan (7.6.1) menjadi

V∂ ⟨C i ⟩∂ t

=−∫V

.

∇ ∙N idV +V ⟨Ri ⟩ .

Integral dari fluks dapat dihitung dengan menerapkan teorema divergensi (Appendix, A.3.C.4). Kita memperoleh

∫V

.

∇ ∙N idV=¿∫S

.

N i ∙ nd S .¿

Sebagai hasil transformasi ini, bentuk makroskopik hubungan konservasi untuk larutan multikomponen encer adalah

∂ ⟨C i ⟩∂ t

=−1V

∫S

.

N i ∙ nd S+ ⟨Ri ⟩ ,

Dengan n adalah satuan vektor normal yang mengarah dari permukaan kontrol volume. Cara alternatif untuk mengekspresikan hubungan ini adalah dengan membagi permukaan menjadi j bagian dan merata-ratakan fluks melalui setiap permukaan. Dalam kasus ini, rata-rata didasarkan pada luas permukaan. Maka, persamaan (7.6.5) dapat dituliskan sebagai berikut :

d ⟨C i ⟩dt

=−1V

∑j=1

n

( ⟨N i ∙ n ⟩ S )+⟨ Ri ⟩ .

Penerapan umum persamaan (7.6.6) adalah transfer massa dalam tabung dan saluran silinder. Kondisi ini dapat diterapkan pada berbagai peralatan yang terlibat di dalam aplikasi transfer

(7.6.1)

(7.6.2a,b)

(7.6.3)

(7.6.4)

(7.6.5)

(7.6.6)

massa biomedis ( misalnya oksigenator darah dan hemodialyzers), maupun filtrasi melalui kapilaritas. Dinding saluran dapat ditembus oleh zat terlarut dan pelarut. Ada aliran melalui saluran dan transport melewati dinding permeable (gambar 7.12). Sistem dapat dibagi menjadi 3 bagian : masukan (1), keluaran (2) dan dinding permeable (3).Untuk aliran melalui masukan dan keluaran, difusi diabaikan sehingga untuk masing-masing daerah, N i , z=C i (r , z ) v z (r ) .Konsentrasi rata-rata dapat didefenisikan sebagai :

C i=∫0

2π

∫0

R

C i vz rdrdθ

∫0

2π

∫0

R

vz rdrdθ

Dengan mengabaikan difusi pada arah aksial, kita memperoleh fluk rata-rata pada masukan dan keluaran :

⟨ N iz ⟩=∫0

2 π

∫0

R

N iz rdrdθ

π R2=∫0

2π

∫0

R

C i vz rdrdθ

π R2=C i ⟨vz ⟩ .

Fluks rata-rata melewati dinding pada r =R dapat disebabkan difusi atau konveksi, berdasarkan pada mode transport melewati permukaan yang dapat ditembus. Fluks ini dinyatakan sebagai

⟨ N iz ⟩¿3 . Persamaan (7.6.6) maka dapat dituliskan sebagai

d ⟨C i ⟩dt

= SVC i ⟨vz ⟩ ¿1−

SVC i ⟨vz ⟩¿2−

SV

⟨N i . n ⟩¿3+ ⟨Ri ⟩ .

Gambar 7.12 Aplikasi neraca makroskopik yang mengalir melalui tabung melalui dinding yang permeable.

Salah satu kesulitan dalam menerapkan persamaan (7.6.9a) pada kondisi tidak tunak (unsteady) dan adanya kehadiran reaksi kimia adalah bahwa kedua rata-rata untuk konsentrasi

(7.6.8)

(7.6.9a)

zat terlarut (persamaan 7.6.2a dan 7.6.7) tidak identik. Akibatnya, persamaan (7.6.9a) secara

umum digunakan hanya untuk kondisi tunak (steady state) tanpa reaksi homogen (⟨ Ri ⟩=0¿ . Pada kondisi ini, persamaan (7.6.9a) direduksi menjadi

C i ⟨v z ⟩ ¿1−C i ⟨v z ⟩ ¿2=⟨ N i ∙ n ⟩¿3 .

Fluks ini dapat ditentukan dengan menggunakan koefisien transfer massa, seperti yang dijelaskan dalam bagian berikutnya.

7.7 Koefisien transfer massa

Dalam berbagai permasalahan transfer massa, kita tertarik pada fluks dari komponen tertentu dalam suatu campuran atau dalam laju reaksi kimia. Beberapa masalah transfer massa, bagaimana pun juga, terlalu sulit untuk diselesaikan secara analitik. Pendekatan alternatif adalah dengan mengembangkan hubungan data eksperimen berdasarkan koefisien transfer massa. Koefisien transfer massa kemudian dapat digunakan untuk menghitung fluks zat terlarut.

Koefisien transfer massa dapat didefenisikan dengan mengingat contoh pada gambar 7.13. Pada gambar tersebut, material yang dapat larut akan larut dari permukaan padatan ke dalam cairan yang bergerak. Konsentrasi zat terlarut dalam larutan yang berdekatan dengan padatan diasumsikan konstan dan sama dengan C s. Fluks rata-rata zat terlarut dalam cairan adalah

⟨ N ry ( y=0)⟩=1S∫A

.

Dij ( ∂Ci

∂ y )¿ y=0dS ,

Dengan S adalah total luas permukaan padatan yang kontak dengan cairan. Koefisien transfer massa k f didefinisikan sebagai

⟨ N iy( y=0)⟩=k f (C s−Co ) .

Gambar 7.13 Transfer massa dari permukaan padatan ke cairan yang bergerak.

(7.6.9b)

(7.7.1)

(7.7.2)

Koefisien transfer massa adalah perbandingan antara fluks dan perbedaan konsentrasi. Samakan persamaan (7.7.1) dan (7.7.2) sehingga memberikan hubungan antara koefisien transfer massa dan gradien konsentrasi :

k f=−1

S (C s−Co )∫S

.

Dij ( ∂Ci

∂ y )¿ y=0dS ,

Koefisien transfer massa adalah fungsi dari gradien konsentrasi yang bergantung pada medan aliran dan sifat transport. Analisis dimensi penting untuk menunjukkan kelompok yang tidak berdimensi mana yang mempengaruhi koefisien transfer massa. Dengan mendefinisikan

C ¿=Ci

C s−Co

dan y¿= y

L.

Kita dapat menuliskan kembali persamaan (7.7.3) dalam bentuk persamaan tidak berdimensi sebagai

k f L

Dij

=−1S∫S

.

( ∂C¿

∂ y¿ )y¿=0

dS .

Kelompok tidak berdimensi pada bagian sebelah kiri persamaan (7.7.4) dikenal sebagai Sherwood number (Sh=k f L/Dij¿ , sebuah koefisien transfer massa tidak berdimensi . Kelompok ini juga disebut sebagai transfer massa Nusselt number. Pada basis analisis dimensi bagian 7.3, gradienk konsentrasi tidak berdimensi –yakni bilangan Sherwood-bergantung pada bilangan Reynolds dan bilangan Schmidt menurut hubungan berikut

Sh=f (R¿¿e ,Sc) .¿

Koefisien transfer massa yang didefinisikan pada persamaan (7.7.2) adalah koefisien transfer massa rata-rata. Selain itu,koefisien transfer massa lokal dapat juga didefinisikan sebagai

k loc=−Dij

(C s−C0 ) ( ∂C∂ y )y=0

.

Koefisien transfer massa lokal k loc dan koefisien transfer massa rata-rata k fdihubungkan dengan persamaan

k f=1S∫S

.

k locdS ,

Dengan S adalah area dimana transfer massa terjadi.

(7.7.3)

(7.7.4)

(7.7.5)

(7.7.6a)

(7.7.6b)

Bilangan Sherwood telah ditetapkan untuk sejumlah sistem eksperimen. Korelasi nya dinyatakan dalm tabel 7.5. Bentuk umum dari korelasi ini adalah

Sh=a RebSc

c .

TABEL 7.5

Nilai dari eksponen dalam persamaan (7.7.7) dapat disimpulkan dari solusi analitik untuk kasus ideal, seperti yang didiskusikan dalam bagian 7.5. Contohnya, besarnya orde dari solusi untuk aliran batas memprediksikan bilangan Sherwood yang sebanding dengan akar kuadrat dari

(7.7.7)

bilangan Reynolds dan akar sepertiga dari bilangan Schmidt (persamaan (7.5.38)]. Pada kenyataannya, hal ini ditemukan secara eksperimen.

Contoh 7.5 Untuk suatu aliran laminar tunak melalui pembuluh darah silinder dengan jari-jari 1 cm, tentukanlah bagaimana konveksi fluida mempengaruhi transport solute ke dinding

pembuluh untuk ⟨ v ⟩=10cm s−1 dan Dij=1×10−6cm2 s−1. Gunakan v=0.03cm2 s−1.

Solusi Bilangan Sherwood menyatakan perbandingan antara transport konvektif terhadap difusif. Dari korelasi yang diberikan pada tabel 7.5, untuk aliran laminar tunak melalui tabung silinder, Sh = 1055. Jelas bahwa, kondisi aliran ini sangat mempengaruhi transport solute.

7.8 Transfer massa melalui membran : Aplikasi hemodialisis

Aplikasi penting dari rekayasa biomedik terhadap pengobatan penyakit kronik merupakan pengembangan dari berbagai perawatan untuk menggantikan beberapa fungsi ginjal. Penyakit ginjal tahap akhir didiagnosa ketika ginjal telah kehilangan lebih dari 90% fungsinya untuk menyaring darah dan memproduksi urin. Sekitar ¾ kasus kegagalan ginjal kronis disebabkan komplikasi oleh diabetes, hipertensi dan glomerulonephritis. Pada tahun 1997, terdapat sekitar 361.000 orang di Amerika Serikat yang mengalami penyakit ginjal tahap akhir dan membutuhkan bantuan pengobatan. Kasus baru ada sekitar 79.000. Kematian yang diakibatkan oleh komplikasi karena penyakit ginjal tahap akhir mencapai 58.000 di tahun 1997. Naiknya pengaruh penyakit ini juga akibat populasi usia tua dan meningkatkan penyakit diabetes tipe II. Pada 1997, biaya total untuk segala bentuk perawatan dialisis di Amerika Serikat mencapai $ 15, 6 milyar.

Sekarang ini, ada dua jenis perawatan untuk penyakit ginjal tahap akhir : transplantasi dan dialisis. Dialisis dapat dilakukan dengan menghubungkan sebuah mesin dialisis, atau disebut dialyzer ke aliran darah (hemodialisis dan hemofiltrasi) atau dengan mengalirkan cairan dari rongga peritoneum (peritoneal dialysis). Walaupun transplantasi ginjal sangat berhasil (laju ketahanan hidup lima-tahun bagi orang yang hidup dari donor transplant adalah 90,1%), hanya 12.399 transplant yang dilakukan tahun 1997. Kebanyakan pasien lebih memilih hemodialisis. Masalahnya adalah walaupun dialisis mengarah ke peningkatan kualitas hidup, laju ketahanan hidup lima-tahun ini hanya 28%. Selai itu, untuk mengobati penyakit ginjal tahap akhir, hemodialisis hanya digunakan pada individu yang menderita gagal ginjal akut. Pengobatan tersebut dapat menyelamatkan kehidupan individu sementara penyebab atau gagal organ dicadangkan.

Tujuan utama dari hemodialisis adalah untuk membantu fungsi ginjal yang terbatas dengan memindahkan zat terlarut racun yang terakumulasi di dalam darah. Walaupun racun tertentu yang bertanggung jawab terhadap kematian karena kegagalan jantung belum dapat dikenali secara sempurna, diperkirakan semua zat terlarut memiliki berat molekul kurang dari 500 dan dapat dipindah dengan dialisis. Zat-zat terlarut ini meliputi natrium, kalium, ion hidrogen, urea, keratin, dan posfat. Dialisat, yakni cairan yang berasal dari sisi sebelah dialisis harus dijaga secara tepat. Beberapa zat terlarut yang terdapat dalam dialisat dinyatakan di dalam tabel 7.6

TABEL 7.6

Ada beberapa metode berbeda yang sekarang ini telah digunakan dan semua mengarah kepada pada “hemodialisis”. Dalam pendekatan yang paling lama, dialisis melibatkan transfer massa melalui membran akibat adanya perbedaan konsentrasi.Metode ini pertama sekali diuji pada hewan di tahun 1913. Uji dialisis yang berhasil dilakukan pertama sekali pada manusia oleh Wilhem Kolff dari Netherlands pada tahun 1944. Faktor-faktor yang menghalangi keberhasilan dialisis telah dieliminasi di tahun 1960 an sehingga cara ini lebih banyak dilakukan.

Unit hemodialisis berupa lempengan rata (plat flate) atau serat berongga (hollow fiber). Desain plat flate tersusun atas tumpukan lembaran membran yang dipisahkan oleh celah tipis sebagai jalur lewatnya cairan. Aliran darah dan dialisat mengalir melalui lapisan bolak balik sehingga menyediakan luas permukan yang lebih besar untuk pertukaran dan jarak difusi yang lebih dekat. Desain flat plate mampu menyediakan luas area yang lebih besar, namun volume darah yang dibutuhkan juga lebih besar. Unit serat berongga tersusun atas sebanyak 11.000 serat dengan diameter dalam 200 μm. Darah mengalir di dalam serat berongga, dan dialisat mengalir melalui serat (sering disebut sebagai sisi shell dari dialyzer). Dialyzer serat berongga sering digunakan dalam hemofiltrasi.

Metode utama kedua untuk memindahkan zat terlarut melibatkan peningkatan perbedaan konsentrasi melalui membran dengan perbedaan tekanan. Prosedur ini dikenal

sebagai hemofiltrasi [17], menghasilkan aliran konvektif air dari darah ke dialisat. Oleh karena membran memungkinkan transport zat terlarut dengan berat molekul yang rendah, zat terlarut ini juga dapat ditransport melalui konveksi, sehingga meningkatkan fluks total. Zat terlarut dengan berat molekul yang tinggi ditahan dan diakumulasi dekat permukan membran dalam. (Hemofiltrasi adalah bentuk ultrafiltrasi, yang mana gradien tekanan meningkatkan aliran pelarut dan menghalangi agar makromolekul transport tidak melewati membran).

Tujuan utama desain transfer massa adalah untuk memaksimalkan pemindahan zat terlarut dari darah melalui dialyzer. Variabel yang dapat dikontrol adalah laju alir darah dan dialisat, total area pertukaran membran (umumnya 0.8-2.1 m2 ), panjang unit pertukaran, perbedaan konsentrasi melewati membran, arah relatif aliran darah dan dialisat, dan untuk hemofiltrasi, perbedaan tekanan transmembran. Diskusi berikut ini mengarah pada bagaimana neraca massa diaplikasikan untuk memprediksi kinerja berbagai alat yang digunakan dalam dialisis. Kinetika perpindahan zat terlarut juga bergantung pada distribusi zat terlarut (misalnya urea) melalui tubuh. Deskripsi lengkap mmengenai dinamika perpindahan zat terlarut membutuhkan pemodelan farmakokinetik (bab 16).

Ada 2 tipe membran yang banyak digunakan yaitu selulosa dan serat berongga. Turunan selulosa banyak digunakan dalam hemodialyzer. Semua membran selulosa mengandung gugus gula cellobiosa dalam bentuk polimer. Membran ini tipis (sekitar 8 μmsaat kering , 20 -30 μm saat terhidrasi) dan sangat dapat ditembus zat terlarut dengan berat molekul kurang dari 500. Kemajuan utama yang dicapai sekitar 30 tahun yang lalu adalah mengurangi ketebalan membran, dengan meningkatkan fluks yang melewatinya. Sekarang ini, ukuran pori dan permeabilitas membran selulosa terhadap air (sering disebut sebagai permeabilitas hidrolik) telah meningkat oleh sebab penggantian gugus hidroksil. Pada umumnya, hemofiltrasi menggunakan serat berongga. Membran-membran ini asimetrik dan mempunyai kulit tipis ( sekitar 1 μm ) di permukaan dalam dan relatif tebal, namun berpori, struktur berbusa memberikan dukungan mekanik. Membran hemofiltrasi tersusun atas turunan selulosa, polysulfone, atau poliamida.

7.8.1 Pertukaran Co-current

Dalam hemodialisi, terdapat 4 mode di mana aliran darah dan dialisat dapat beroperasi : (a) Kedua aliran bergerak pada arah yang sama ( co-current flow- lihat gambar 7.14a); (b) Kedua aliran bergerak dalam arah yang berlawanan (countercurrent flow – lihat gambar 7.14b); (c) Aliran dialisat yang tercampur denga baik mengalir pada konsentrasi yang seragam; dan (d) untuk sistem serat berongga, aliran mengalir normal satu sama lain. Pada bagian ini, kita akan menganalisis pertukaran secara co-current. Dengan melakukan penurunan pada neraca massa fluida dan zat terlarut yang masuk dan keluar dari alat, dihasilkan persamaan berikut untuk laju

alir molar M i(moles s−1) komponen i :

Darah ˙dM i=¿¿ QBd C iB .

Dialisat ˙dM i=¿¿ QDdC iD .

Disini, QB dan QD merupakan laju alir darah dan dialisat. Persamaan (7.8.1) dan (7.8.2) menyatakan bahwa zat terlarut yang terhilang dari darah diseimbangkan oleh perolehan zat

(7.8.1)

(7.8.2)

(7.8.3)

terlarut di dalam dialisat. Selain itu, perubahan di sekitar membran dapat dideksripsikan dengan koefisien transfer massa. Kita memiliki

˙dM i=¿¿ k o (C iB−C iD )d Am

Dengan k oadalah koefisien transfer massa keseluruhan, termasuk konduktivitas fasa fluida di

dalam darah (k B ¿ dan sisi dialisat (kD¿ dan permeabilitas melalui membran (Pm¿ . Untuk sebuah dialyzer lempengan rata,

1ko

= 1kD

+ 1Pm

+ 1kB

.

Istilah- istilah di dalam persamaan (7.8.4a) terkadang mengarah pada resistansi transfer massa, karena seperti resistansi elektrik, resistansinya merupakan penjumlahan secara seri :

Ro=RD+Rm+RB

Persamaan (7.8.1) melalui (7.8.3) digunakan untuk mengembangkan suatu ekspresi global untuk laju alir molar dalam konsentrasi yang masuk dan keluar dari darah dan sisi dialisat. Hal ini dilakukan dengan pertama menyusun kembali istilah-istilah di dalam persamaan (7.8.1) dan

Gambar 7.14 Skema aliran masuk dan keluar pada unit hemodialisi untuk (a) co-current dan (b) counter-current.

(7.8.2) sehingga d CiD dikurangi dari C iB :

d CiB−dC iD=−d M i( 1QD

+1QB

) .Persamaan (7.8.3) kemudian digunakan untuk menggantikan d M i pada persamaan (7.8.5), sehingga menghasilkan

d CiB−dC iD=−kod Am( 1QD

+1QB

) (C iB−C iD ).

(7.8.4a)

(7.8.4b)

(7.8.5)

(7.8.6)

Diintegrasikan dari dalam ke luar akan memberikan hasil dalam persamaan berikut ini :

ln ( C iB (0 )−CiD (0 )C iB (L )−CiD (L ) )=ko Am( 1QD

+ 1QB

).

Laju alir dapat digantikan dengan mengintegrasikan persamaan ( 7.8.1) dan (7.8.2) dari dalam ke luar. Maka diperoleh

˙M i=¿QB (C iB (0 )−C iB (L ) )=−QD (CiD (0 )−CiD (L ) ) ,¿

Atau

QB=M i

(CiB (0 )−CiB (L ) )QD=

M i

(C iD (L )−CiD (0 ) )

Substitusi persamaan (7.8.9a, b) ke persamaan (7.8.7) dan diperoleh yield laju alir molar

˙M i=¿k o Am(C¿¿iB (0 )−C iD (0 ))−

(C ¿¿ iB (L )−C iD (L ))

ln( C iB (0 )−CiD (0 )CiB (L )−CiD (L ) )

.¿¿¿

Persamaan (7.8.10) menunjukkan bahwa laju alir molar bergantung pada perbedaan konsentrasi mean-log. Persamaan tersebut juga memberikan definisi yang cukup untuk koefisien transfer massa rata-rata dan dapat diaplikasikan pada aliran co-current.

7.8.2 Pertukaran Counter-current

Untuk aliran counter-current (gambar 7.14b), laju alir dialisat adalah pada arah z negatif. Sebagai akibatnya, persamaan (7.8.2) menjadi

dM i=−QDd CiD .

Sebagai akibatnya, persamaan (7.8.5)-(7.8.7) menjadi

d CiB−dC iD=−d M i( 1QB

−1QD

) .

(7.8.7)

(7.8.8)

(7.8.9a, b)

(7.8.10)

(7.8.11)

(7.8.12)

Persamaan (7.8.3) kemudian digunakan untuk menggantikan d M i pada persamaan (7.8.5), sehingga diperoleh

d CiB−dC iD=−kod Am( 1QD

+1QB

) (C iB−C iD ).

Dengan mengintegrasikan dari dalam ke luar, maka diperoleh persamaan berikut ini :

ln ( C iB (0 )−C iD (0 )C iD (L )−CiD (L ) )=ko Am( 1QD

+ 1QB

) .

Karena tujuan yang didesain adalah untuk memindahkan sejumlah besar zat terlarut pada masing-masing bagian, pertukaran countercurrent lebih superior dibandingkan pertukaran co-current. Alasan untuk ini adalah, dengan pertukaran co-current, konsentrasi yang keluar dari sisi dialisat (C iD (L ) ¿ adalah lebih kecil dari konsentrasi keluaran pada sisi darah (C iB (L ) dan lebih

kecil dibandingkan konsentrasi masukan pada sisi darah C iB (0 ) .Sebaliknya, dengan pertukaran counter-current, dialisat memasuki z = L dan keluar pada z = 0. Konsentrasi keluaran pada sisi dialisat C iD (O ) dapat melebihi konsentrasi keluaran pada sisi darah (C iB (L ) dan mendekati

konsentrasi masukan pada sisi darah (C iB (L ) .(gambar 7.15).

Hasil-hasil sebelumnya dapat digunakan untuk menunjukkan efisiensi unit dialisis tersebut. Hal ini dilakukan dengan mendefinisikan clearance K sebagai laju transfer massa dibagi perbedaan konsentrasi pada masukan ke unit [19] :

K=M i

(C iB (inlet )−C iB (inlet ) )

Lokasi masukan dari dialisat bergantung kepada apakah alirannya co-current (C iD (inlet )=C iD (0 )¿atau counter-current ((C iD (inlet )=C iD (L ) ¿. Dengan menggunakan persamaan (7.8.9a, b) untuk mensubtitusi aliran laju massa, kita memperoleh clearance untuk pertukaran co-current :

K=QB

C iB (0 )−C iD (L )C iB (0 )−CiD (0 )

=QD

C iD (L )−CiD (0 )C iB (0 )−C iD (0 )

(7.8.13)

(7.8.14)

(7.8.15)

(7.8.16)

Gambar 7.15 Skema pertukaran (a) co-current dan (b) counter-current zat terlarut dari darah ke dialisat.

Fraksi ekstraksi E=K /QB menyatakan fraksi zat terlarut yang dipindahkan dari darah. Dari persamaan (7.8.16), fraksi untuk pertukaran co-current diberikan dengan hubungan

E= KQB

=C iB (0 )−C iB (L )CiB (0 )−C iD (0 )

=QD

QB

C iD (L )−CiD (0 )CiB (0 )−C iD (0 )

.

Dengan bantuan persamaan (7.8.9a,b) dan (7.8.10a,b)., perbandingan ekstraksi untuk pertukaran co-current dan counter-current dituliskan sebagai fungsi dari dua variabel FR dan Z [19], yang merepresentasikan perbandingan resistansi transfer massa terhadap laju aliran darah dan perbandingan laju aliran darah terhadap dialisat, masing-masing dinyatakan sebagai berikut

E= 11+Z

{1−exp[−FR(1+Z)¿]},¿¿co-current exchange),

E=1−exp[FR(1−Z )¿]

Z−exp[FR(1−Z)¿] ,¿¿¿counter-current exchange).

Dari dua persamaan sebelumnya,

Z=QB

QD

danFR=k0 Am

QB

.

Persamaan (7.8.18a) dan (7.8.18b) merupakan hasil utama yang digunakan dalam desain optimasi pertukaran dialisis. Untuk menerapkan persamaan-persamaan tersebut, maka perlu dicari nilai koefisien transfer massa. Resistansi transfer massa keseluruhan melewati membran tersebut merupakan jumlah resistansi di sisi darah, di sepanjang membran, dan pada sisi dialisat. Pada sisi darah, aproksimasi Lèvêque dalam waktu kontak yang singkat tidak dapat

(7.8.17)

(7.8.18a)

(7.8.18b)

(7.8.19a, b)

diterapkan. Secara umum, bilangan Sherwood pada sisi darah ShB untuk transfer massa melalui membran dalam sebuah saluran persegi dengan ketebalan H dan panjang L merupakan

fungsi dari dua variable : x=zD eff / ⟨ v ⟩ H 2 , dimana z merupakan dimensi aksial dan Deff

merupakan koefisien difusi darah efektif, dan bilangan Sherwood transmembran Shm=kmH /D eff=¿ PmH /Deff [20]. ( Ingat bahwa x =z /PeH . )

Untuk hemodialiser lempengan rata, nilai x cukup besar sehingga bilangan Sherwood pada sisi darah ShB mendekati nilai asimptotnya yaitu sekitar 4,30 [17]. Hasil yang sama juga digunakan untuk serat berongga, diameter serat menggantikan ketebalan saluran.

Koefisien difusi zat terlarut di dalam darah dipengaruhi oleh volume sel darah dan meningkatnya mixing akibat tumbukan diantara sel darah merah. Koefisien difusi efektif terdiri atas 2 istilah. Istilah pertama menyatakan bahwa reduksi koefisien difusi diakibatkan oleh kehadiran sel darah merah. Istilah kedua menyatakan bahwa mixing sebanding dengan shear rate. Koefisien difusi efektif dapat dituliskan sebagai

Deff=0,53Dij+5.292×10−9 ˙γw .

Persamaan tersebut perlu dimodifikasi bila zat terlarut berikatan dengan serum protein.

Koefisien transfer massa membran sederhananya sama dengan permeabilitas membran. Nilai koefisien difusi zat terlarut di dalam membran lebih kecil daripada nilainya di dalam larutan. Reduksi merupakan fungsi kuat dari jari-jari zat terlarut [17]. Koefisien transfer massa di sisi dialisat merupakan fungsi kuat dari geometri spesifik yang digunakan, dan beberapa persamaan umum yang digunakan.

Contoh 7.6 Resitansi Transfer massa untuk Hemodialisis

Untuk urea ( berat molekul MW= 60), vitamin B12 (MW = 1355), dan albumin (MW= 66000), tentukanlah resitansi oleh darah, membran, dan dialisat pada kondisi berikut untuk membran serat berongga :

Koefisien difusi urea pada 37oC 1.81 ×10−5 cm2 s−1

Dm/Dif untuk urea 0,16

Koefisien difusi vitamin B12 pada 37oC 4,5 ×10−6 cm2 s−1

Dm/Dif untuk vitamin B12 0,05

Koefisien difusi albumin pada 37oC 6,34 ×10−7 cm2 s−1

Dm/Dif untuk albumin 2 ×10−5

Koefisien transfer massa dialisat, cm min−1 kD=¿ 126,103 (Dij)2/3

Luas area exchanger 1,5 m2

Shear rate 250 s−1

(7.8.20)

Ketebalan membran 20 μm

Diameter dalam serat berongga d 180 μm

Solusi untuk setiap istilah dalam persamaan (7.8.4b), resistansi sama dengan koefisien transfer massa. Untuk fasa darah, resistansinya adalah

RB=1k B

= d4,30¿¿

Diperoleh resistansi membran

Rm=Lm

Dm

.

Maka, resitansi dialisat [17] adalah

RD=1

126,103(Dij )2/3

.

Hasil dicantumkan pada tabel 7.7.

Seperti yang diduga bahwa resitansi absolut meningkat seiring dengan meningkatkatnya ukuran molekul. Membran paling sensitif terhadap ukuran molekul dan menjadi suatu fraksi yang lebih besar dari resistansi transport massa total saat ukuran mulai meningkat. Untuk albumin, membran mempengaruhi hampir semua resistnsi transport massa. Nilai resitansi yang dicantumkan pada tabel 7.7 untuk urea dan vitamin B12 sama dengan nilai yang dicantumkan pada sejumlah alat komersial [21].

TABEL 7.7

(7.8.21a)

(7.8.21b)

(7.8.21c)

Contoh 7.7 Dengan menggunakan hasil dari contoh 7.6 untuk urea dan vitamin B12 , tentukanlah perbandingan ekstraksi untuk pertukaran co-current dan counter-current. Gunakan laju alir berikut untuk QB dan QD : 50,100,150,200,250,300 dan 500 ml min-1.

Solusi Rentang laju alir diberikan dan nilai k 0dan Amdari contoh 7.6 berhubungan dengan perbandingan laju alir Z dari rentang 0,1 hingga 10 dan FR dari rentang 0,153 hngga 10,2. Ekstraksi paling besar pada saat nilai rasio aliran lebih kecil dan nilai FR lebih besar (gambar 7.16). Jadi, membran optimum memiliki laju transport yang cepat melalui permukaannya dan relatif terhadap laju di dalam darah dan laju aliran yang lebih lambat di dalam darah dibandingkan dialisat. Walaupun pertukaran counter current mengarah ke meningkatnya nilai rasio ekstraksi untuk suatu nilai Z dan FR yang diberikan, efeknya paling signifikan untuk nilai FR yang lebih besar dan untuk nilai Z di antara 0,5 dan 3. Kondisi operasi (tabel 7.8) menyatakan bahwa Z sekitar 0,5. Dari data yang diberikan dan untuk QB 200 ml min-1, FR adalah 2,55 untuk urea dan 0,384 untuk vitamin B12. Clearance K (lihat persamaan 7.8.17) merepresentasikan laju pemindahan zat terlarut tertentu. Nilai clearance untuk urea dan vitamin B12 dicantumkan dalam tabel 7.9 untuk pertukaran co-current dan counter-current.

Akibat laju pertukaran transmembran urea yang lebih besar,maka clearance urea lebih besar dibandingkan vitamin B12. Catat bahwa perhitungan ini konsisten dengan nilai yang tercantum pada alat-alat komersial (tabel 7.8).

TABEL 7.8

Gambar 7.16 rasio ekstraksi sebagai fungsi rasio aliran (Z) dan rasio aliran permeabilitas (FR) untuk pertukaran co-current dan counter-current.

Ketika nilai clearance didapatkan, maka waktu yang diperlukan untuk mereduksi konsentrasi zat terlarut di dalam tubuh ke level yang diinginkan dapat ditentukan. Zat terlarut ada di dalam darah, begitu juga dengan fluida ada di berbagai jaringan tubuh. Pendekatan yang paling sederhana adalah dengan mengasumsikan bahwa zat terlarut di dalam jaringan fluida berada dalam keseimbangan dengan darah. Hal ini berlaku untuk sejumlah kecil zat terlarut yang dimetabolisme dengan lambat, namun tidak untuk zat terlarut yang lebih besar atau zat terlarut yang dimetabolisme secara cepat. Walaupun demikian, sebagai aproksimasi orde pertama, kita mengasumsikan bahwa zat terlarut didistribusikan secara seragam melalui volume V sama dengan semua fluida yang dapat masuk untuk zat terlarut tersebut. Volume distribusi untuk urea adalah 40 liter dan bervariasi tergantung pada umur, jenis kelamin, berat, tinggi dan umur seseorang [18]. Pertukaran antara pasien dan alat hemodialiser direpresentasikan pada skema dalam gambar 7.17.

Neraca massa pada sistem mengindikasikan bahwa laju hilangnya zat terlarut dari tubuh dama dengan laju pertukaran melewati membran :

−VdCiB

dt=M i .

(7.8.22)

TABEL 7.10

Beberapa ekspresi dapat digunakan untuk laju alir massa. Dalam analisis yang dinyatakan berikut ini, defenisi dari clearance yang diberikan dalam persamaan (7.8.15) merupakan yang paling berguna.

Oleh sebab itu, persamaan (7.8.22) menjadi

−VdCiB

dt=K (C iB (0 )−CiD ( inlet ) ) .

Untuk zat terlarut yang menjadi perhatian ( urea dan vitamin B12 ), konsentrasi dialisat mula-mula adalah nol. Konsentrasi masukan ke dialyzer sama dengan konsentrasi zat terlarut dalam seluruh tubuh. Sebagai hasilnya, integrasi persamaan (7.8.23) menghasilkan

C iB ( t )=C iBexp¿¿

Dengan C iB adalah konsentrasi awal zat terlarut di dalam darah.

Gambar 7.17 Skema pertukaran zat terlarut antara pasien dan hemodialiser

(7.8.23)

(7.8.24)

Untuk suatu waktu dialisis selama 4 jam, fraksi reduksi C iB (t ) /CiB untuk urea dan vitamin B12 dapat dilihat tabel 7.10. Karena volume pertukaran yang lebih besar, sejumlah waktu tertentu dibutuhkan untuk menyebabkan reduksi konsentrasi zat terlarut yang cukup di dalam darah. Untuk zat terlarut yang lebih besar daripada urea dan vitamin B12, perubahan konsentrasi selama interval tersebut cukup kecil .

7.9 PERTANYAAN

7.1 Apakah kelompok bilangan tak berdimensi yang mendeskripsikan pentingnya konveksi versus difusi? Jelaskan sifat fisika kelompok bilangan tersebut.

7.2 Untuk sebuah molekul bermuatan, jelaskanlah apakah fluks bisa terjadi dari konsentrasi rendah ke tinggi.

7.3 Proses transport aktif membutuhkan energi untuk memindahkan sebuah molekul melewati sebuah membran. Tentukanlah kriteria yang dapat diterapkan untuk menentukan apakah transport aktif terjadi pada kondisi berikut :

(a) transport molekul tak bermuatan melalui sebuah membran

(b) transport ion melalui sebuah membran

7.4 Jelaskan mengapa asumsi untuk suatu waktu kontak yang singkat mengizinkan adanya penyederhanaan persamaan untuk transport zat terlarut melalui dinding tabung ke dalam fluida.

7.5 Untuk transfer massa dari fluida yang mengalir ke permukaan yang reaktif, jelaskanlah bagaimana konveksi meningkatkan fluks zat terlarut ke suatu permukaan.

7.6 Berikanlah suatu penjelasan singkat dari persamaan berikut : “transport konvektif tidak mempengaruhi fluks molekul kecil melalui membran dialisis, tetapi secara signifikan meningkatkan fluks molekul-molekul yang lebih besar.”

7.10 PROBLEMS

7.1 Untuk elektrolit berikut, hitunglah koefisien difusi efektif dan potensial difusi ketika larutan dengan konsentrasi 1 mM dan 0,1 mM dipisahkan oleh membran tidak bermuatan pada suhu 25oC :

(a) CuSO4

(b) MgCl2

7.2 Permeabilitas melewati sebuah daerah jaringan tipis berbentuk persegi didefenisikan dengan

Pi=N iz

Co−CL

,(7.10.1)

Dimana Co merupakan konsentrasi zat terlarut di dalam darah, CL merupakan konsentrasi limfa, dan L adalah ketebalan membran. Asumsikan bahwa CL = 0.

(a) Gunakanlah defenisi ini dan fluks melewati membran ( ketika fluida mengalir melewati membran) (ϕ=1¿ untuk menemukan ekspresi permeabilitas dengan adanya transport konveksi melewati membran.

(b) Tunjukkan bahwa untuk trasnpoert yang dibatasi oleh difusi (Pe→0¿ , Pi=Dij /L. Perhatikan bahwa exp (x) ≈ 1+ x untuk x < 0,01.

(c) Untuk kondisi berikut ini, temukanlah error yang mungkin di dalam perhitungan permeabilitas bila konveksi diabaikan sebagai suatu mekanime transport :Dij=¿ 1×10−10 cm2 s−1 v=1×10−6 cm s−1

L = 0,001 cm,CL=0 C0=1×10

−7M

7.3 Turunkanlah persamaan (7.4.30a) dan (7.4.30 b) untuk transport ion melewati sebuah membran bermuatan.

7.4 Gunakan persamaan (7.4.30b) untuk menemukan arus ionik ketika potensial transmembran adalah nol. Jelaskan bagaimana hasil tersebut dapat digunakan untuk menemukan permeabilitas ion.

7.5 Untuk kondisi berikut, temukanlah potensial istirahat melewati suatu sel saraf :

CK 0+¿=4mM ¿ CK L

+¿=140mM ¿

CNa0+¿=150mM ¿ CNaL

+¿=12mM ¿

CCl0−¿=120mM¿ CClL

−¿=4mM ¿

PCl−¿/PK +¿=0 ,1¿ ¿PNa+¿/PK +¿=0 ,1¿ ¿

7.6 Untuk kondisi yang dinyatakan dalam problem 7.5, berapakah konsentrasi protein bermuatan negatif yang diperlukan untuk mempertahankan kenetralan elektron di dalam sel dan di fluida ekstraseluler?

7.7 Tentukanlah apakah analisis waktu kontak yang singkat untuk transport massa berlaku untuk oksigen (1,10×10−5cm2 s−1 ¿ di dalam kapiler dan venula.

7.8 Asumsikan bahwa error yang dapat diterima dalam aproksimasi linear suatu profil kecepatan 10%, temukan rentang keabsahan persamaan (7.5.6). Gunakanlah hasil ini

bersamaan kriteria bahwa z D ij/ vmaxR2<0,01 untuk menentukan konsentrasi relatif terkecil yang

mungkin berada di keluaran tabung dengan panjang L agar asumsi valid.

7.9 Anggap dalam waktu kontak singkat, dilepaskan suatu molekul yang dapat larut dari dinding saluran berbentuk persegi dengan panjang L dan ketinggian H. Dengan membuat asumsi yang sama seperti pada analisis waktu kontak singkat dalam tabung silinder, tunjukkanlah bahwa bentuk hubungan konservasi steady state dapat diaproksimasikan sebagai berikut

(7.10.2)

6 ⟨v ⟩ y'

H∂Ci

∂ z=Dij

∂2Ci

∂ y ' 2

7.10 untuk aliran fluida melewati membran flat dengan panjang 10 cm, tentukanlah panjang-koefisien transfer massa rata-rata. Sifat-sifat dalam sistem adalah v=0,01cm2 s−1, Dij=¿

5×10−6 cm2 s−1 dan ⟨ v ⟩=5cm s−1.

7.11 Hitunglah efek mixing sel darah merah pada koefisien difusi urea dan albumin pada shear rates 1,10, dan 1000 s-1

7.12 Untuk aliran fluida melewati membran flat denga permeabilitas P i , tentukanlah ekspresi fluks dalam konsentrasi fluida bulk pada sisi lain membran.

7.13 Turunkan persamaan (7.8.10) dan (7.8.14) untuk aliran counter-current di dalam unit hemodialysis. Catat bahwa, untuk aliran counter current, persamaan beriktu diterapkan :

C iD(L)<C iD(0)

M i=QB (CiB (0 )−C iB (L ) )=QD(C iD (0 )−CiD (L ))