Misalkan diberikan dan menganggap bahwa untuk setiap terdapat fungsi , dapat dikatakan bahwa adalah urutan fungsi pada A ke R. Jelas, untuk setiap , akan berbentuk urutan bilangan real, yaitu urutan

diperoleh dengan mengevaluasi masing-masing fungsi di titik x. Untuk nilai-nilai tertentu dari untuk urutan (1) mungkin saling konvergen , dan untuk nilai-nilai lain dari urutan ini mungkin berbeda.Untuk setiap x EA yang urutan (1) konvergen, terdapat bilangan riil . Secara umum, nilai batas ini, jika ada, akan tergantung pada pilihan titik . terdapat fungsi yang domainx terdiri dari semua bilangan yang berurutan (1) konvergen

8.1.1 Definisi : Misalkan merupakan urutan fungsi pada ke , misalkan , dan misalkan . Dapat dikatakan bahwa urutan konvergen pada pada jika, untuk setiap , Urutan konvergen ke di Dalam hal ini kita sebut batas dari dari urutan .ketika tedapat fungsi , dapat dikatakan bahwa urutan adalah konvergenn pada atau bahwa konvergen pointwise di .

Tinjau Teorema 3. 1 .4 itu, kecuali untuk modifikasi kemungkinan domain Fungsi limitnya ditentukan secara determinan. Biasanya kita memilih yang terbesaruntuk semua kemungkinan, yaitu, kita mengambil menjadi himpunan semua yang urutan adalah konvergen di R

Untuk menuliskan bahwa urutan konvergen pada , dapat dituliskan

Dapat juga dituliskan , ketika dan dita dapat menuliskan rumus :

8.1.2 Examples (a) lim dimana Untuk , fungsi (x) := x/n dan untuk f (x) := 0 untuk sebagai contoh 3.1 .6(a), yang memiliki lim (1/n) = 0. Lihat teorema 3.2.3 berikut

untuk semua (Lihat Gambar 8 1.. 1.)

(b) lim diberikan untuk , (Lihat Gambar 8.1 .2.) , jika x = 1, makaurutan ( (1)) = (1) konvergen ke 1. Ini mengikuti dari Contoh 3. 1. 1 1 (b) bahwa lim = 0untuk 0 x 0 ada bilangan asli K ()(tergantung pada tetapi tidak pada ) sehingga jika n K (e), maka

Dalam hal ini kita mengatakan bahwa urutan konvergen seragam pada Kadang-kadang kita menulis :

Ini merupakan konsekuensi langsung dari definisi bahwa jika urutan adalah konvergen seragampada ke , maka urutan ini juga konvergen pointwise di ke .

8.1.5 Lemma sebuah Urutan dari fungsi pada ke R tidak konvergen seragampada ke fungsi jika dan hanya jika untuk beberapa > 0 ada suatu subsequence dan urutan di sedemikian rupa sehingga

8.1.6 Contoh (a) Pertimbangkan Contoh 8.1 .2 (a). Jika kita memberikan : = k dan : = k, maka Dalam = 1 sehingga . Oleh karena itu urutan tidakkonvergen seragam pada R ke

(b) perhatikan contoh 8.1 .2 (b). Jika nk: = k dan xk: = "2) l / k, maka

XXXXXXXX

Oleh karena itu urutan (gn) tidak konvergen seragam pada (- 1, 1] untuk g.(c) Perhatikan Contoh 8.1 .2 (c). Jika nk: = k dan xk: =-k, maka HNK (xk) = 0 dan h (xk) =-k sehingga Ihnk (xk) - h (xk) = 1 k. Oleh karena itu urutan (hn) tidak konvergen seragampada untuk h.

Norma Seragam

Dalam membahas konvergensi seragam, sering nyaman untuk menggunakan gagasan seragamnorma pada set fungsi dibatasi.

8.1.7 Definisi Jika AS, dan ({l: A --- + adalah fungsi, kita mengatakan bahwa ({l dibatasi pada Ajika set ({l (A) adalah bagian dari R dibatasi Jika ({l dibatasi kita mendefinisikan norma seragam({l pada A dengan

XXXXXXXX

Perhatikan bahwa Maka, bila e> 0, maka

XXXXXXXX

8.1.8 Lemma Urutan Un) fungsi dibatasi di AS, konvergen seragam padaA ke I jika dan hanya iEII Dalam -! II A --- + O.

Bukti. (= Jika Un) konvergen seragam pada A ke f, maka dengan Definisi 8.1 .4, diberie> 0 terdapat K (e) sehingga jika n ::: K (e) dan x EA kemudian

XXXXXXXXXX

Dari definisi supremum, maka bahwa II fn - f ILA :::: e jika n ::: K (e). sejake> 0 adalah sewenang-wenang ini menyiratkan bahwa fn II - f II A - + o.({=) Jika II fn - f II A - + 0, e kemudian diberi> 0 ada nomor alam H (e) sehingga jikan ::: H (e) kemudian II fn - f il A :::: e. 1t berikut dari (7) bahwa saya fn (x) - f (x) I :::: dor semua n ::: H (e)dan x E A. Oleh karena itu Un) konvergen seragam pada A ke f.

Kita sekarang menggambarkan penggunaan Lemma 8.1.8 sebagai alat dalam memeriksa urutan dibatasifungsi untuk konvergensi seragam.8.1.9 Contoh (a) Kita tidak dapat menerapkan Lemma 8. 1 .8 ke urutan dalam Contoh 8.1 .2 (a)karena fungsi fn (x) - f (x) = x I n tidak dibatasi pada R

Demi ilustrasi, misalkan A: = [0, 1]. Meskipun urutan (xln) tidakkonvergen seragam pada JR ke fungsi nol, kita akan menunjukkan bahwa konvergensiseragam pada A. Untuk melihat ini, kita amati bahwa

XXXXXXXXXX

sehingga Il fn - f il A - + O. Oleh karena Un) konvergen seragam pada A ke f

(b) Misalkan gn (x): = xn untuk x EA: = [0, 1] dan n EN, dan membiarkan g (x): = 0 untuk 0: sx 0 terdapat nomor H (e) di N sehingga untuk semua m, n ::: H (e),maka im ll - Dalam II A e.Bukti. (=}) Jika Dalam I pada A e, kemudian diberi> 0 terdapat K nomor alam (! E) sepertibahwa jika n ::: K (e!) maka II In - Fila e.! Oleh karena itu, jika kedua m, n ::: K (e!), Maka kita simpulkanbahwaXXXXXXXXXuntuk semua x E A. Oleh karena itu 11 1m - InliA e, untuk m, n ::: K (e!) =: H (e)( 0 terdapat H (e) sehingga jika m, n ::: H (e), maka11 1m - Dalam II A e. Oleh karena itu, untuk setiap x A E kita miliki

XXXXXXXXOleh karena itu, Un (x)) adalah urutan Cauchy di R, karena itu, oleh Teorema 3.5.5, itu adalahkonvergen urutan. Kami mendefinisikan I: A - + R oleh

XXXXXXXJika kita membiarkan n - + 00 di (8), maka menurut Teorema 3.2.6 bahwa untuk setiap EA x kita milikiXXXXXOleh karena itu urutan Un) konvergen seragam pada A sampai I.