PEMBUKTIAN Sifat logaritma Penyusun: Pembuktian sifat logaritma Om Wendi Page1 Jangan Takut Jatuh Cinta dengan Matematika | www.wendiferdintania.wordpress.com Sifat-sifat Logaritma:1.Untuk a bilangan real positif dan a 1, berlaku log 1aa =

2. Untuk a bilangan real positif dan a 1, berlaku log1 0a=

3. Untuk a dan n bilangan real positif dan a 1, berlaku loga na n =

4. Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a 1, dan b > 0, berlaku ( )log log loga a ab c b c = +

5. Untuka,b,danc bilanganrealdengana>0,a1,danb> 0, berlaku log log loga a abb cc| | = |\ .

6. Untuk a, b bilangan real dan n bilangan asli, a > 0, b > 0, a 1, berlaku log loga n ab n b =

Pembuktian sifat logaritma Om Wendi Page2 Jangan Takut Jatuh Cinta dengan Matematika | www.wendiferdintania.wordpress.com 7. Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a 1, b 1, dan c 1, berlaku log 1loglog logcac bbba a= =

8. Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a 1, b 1, berlaku log log loga b ab c c =

9. Untuk a dan b bilangan real positif dengan a 1, berlaku ( )log logma n anb bm=

dengan m, n bilangan rasional dan m 0. 10.Untuk a bilangan real positif, a 1, berlaku logaba b =

Pembuktian sifat logaritma Om Wendi Page3 Jangan Takut Jatuh Cinta dengan Matematika | www.wendiferdintania.wordpress.com Pembuktian Sifat Logaritma: 1.Untuk a bilangan real positif dan a 1, berlaku log 1aa =

Bukti: Misalkan: logaa x = xa a =

1 xa a = 1 x = Sehingga: log 1aa = Jadi terbukti bahwa: log 1aa = 2. Untuk a bilangan real positif dan a 1, berlaku log1 0a=

Bukti: Misalkan: log1ay = 1ya =

0 ya a = 0 y = Sehingga: log1 0a= Jadi terbukti bahwa: log1 0a= Pembuktian sifat logaritma Om Wendi Page4 Jangan Takut Jatuh Cinta dengan Matematika | www.wendiferdintania.wordpress.com 3. Untuk a dan n bilangan real positif dan a 1, berlaku loga na n =

Bukti: Misalkan: loga na z = z na a =

z n = Sehingga: loga na n = Jadi terbukti bahwa: loga na n = 4. Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a 1, dan b > 0, berlaku ( )log log loga a ab c b c = +

Bukti: Berdasarkan definisi logaritma, maka diperoleh: loga xb x b a = =

loga yc y c a = = Dengan mengalikan b dengan c, maka: x y x yb c a a b c a + = =

( )logab c x y = +

Subtitusi x dan y: ( )log log loga a ab c b c = +

Jadi terbukti bahwa: ( )log log loga a ab c b c = + Pembuktian sifat logaritma Om Wendi Page5 Jangan Takut Jatuh Cinta dengan Matematika | www.wendiferdintania.wordpress.com 5. Untuk a, b, dan c bilangan real dengan a > 0, a 1, dan b > 0, berlaku log log loga a abb cc| | = |\ . Bukti: Berdasarkan definisi logaritma, diperoleh: loga xb x b a = =

loga yc y c a = = Dengan membagi b dengan c, maka: xx yyb a bac a c= =

log loga a x ybac| | = |\ .

logabx yc| | = |\ . subtitusi nilai x dan y log log loga a abb cc| | = |\ .

Jadi terbukti bahwa: log log loga a abb cc| | = |\ . Pembuktian sifat logaritma Om Wendi Page6 Jangan Takut Jatuh Cinta dengan Matematika | www.wendiferdintania.wordpress.com 6. Untuk a, b bilangan real dan n bilangan asli, a > 0, b > 0, a 1, berlaku log loga n ab n b =

Bukti: Ingat bahwa, ( )...ma a a a a =

m faktor ( )log log ...a n ab b b b b =

n faktor ( )log log log ... loga n a a ab b b b = + + +

n faktor log loga n ab n b =

Jadi terbukti bahwa: log loga n ab n b = Pembuktian sifat logaritma Om Wendi Page7 Jangan Takut Jatuh Cinta dengan Matematika | www.wendiferdintania.wordpress.com 7. Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a 1, b 1, dan c 1, berlaku log 1loglog logcac bbba a= =

Bukti: Berdasarkan definisi logaritma, diperoleh: loga xb x b a = =

Ambilsebarangcbilanganreal,c>0,danc1sedemikian sehingga: log log logc c x cb a x a =

loglogccbxa=

logloglogcacbba =

Karenacbilanganrealdanc1sebarang,dapatdipenuhi c = b sehingga diperoleh logloglogbabbba =

1loglogabba =

Jadi terbukti bahwa: 1loglogabba= Pembuktian sifat logaritma Om Wendi Page8 Jangan Takut Jatuh Cinta dengan Matematika | www.wendiferdintania.wordpress.com 8. Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a 1, b 1, berlaku log log loga b ab c c =

Bukti: Berdasarkan definisi diperoleh: loga xb x b a = =

logb yc y c b = =

maka: log log log loga b a x b yb c a b =

log log log loga b a b yb c b b = log log log loga b a bb c y b b = log log loga b ab c y b = log log loga b a yb c b = log log loga b ab c c = Jadi terbukti bahwa: log log loga b ab c c = Pembuktian sifat logaritma Om Wendi Page9 Jangan Takut Jatuh Cinta dengan Matematika | www.wendiferdintania.wordpress.com 9. Untuk a dan b bilangan real positif dengan a 1, berlaku ( )log logma n anb bm=

dengan m, n bilangan rasional dan m 0. Bukti: logloglogmna nmbba= logloglogma nn bbm a = logloglogma nn bbm a| | = |\ . ( )log logma n anb bm = Jadi terbukti bahwa: ( )log logma n anb bm= Pembuktian sifat logaritma Om Wendi Page10 Jangan Takut Jatuh Cinta dengan Matematika | www.wendiferdintania.wordpress.com 10.Untuk a bilangan real positif, a 1, berlaku logaba b =

Bukti: Misalkan: a, b bilangan real dengan a > 0, a 1, dan b > 0. logaba x = loglog logab a aa x x b = = x b = logaba b = Jadi terbukti bahwa: logaba b =