Kelompok 5

Nur F. Novitasari(103174225)

Alvita Wulansari(103174221)

Kemudian pada masa vedic, ditemukan Sulbasutra

dimana di dalamnya terdapat banyak ide matematika,

Sulbasutra merupakan sumber pengetahuan kita dari

matematika India kuno.

Matematika pertama kali muncul di India pada masa“Arode Harappan”, tepatnya di abad mileniumketiga SM, bukti ini didasarkan pada tradisipembuatan altar pada masa ini, meskipun tidak adabukti langsung matematikanya. Sebenarnya, buktimatematika pertama kali ditemukan di sepanjangsungai Gangga, yang dibuat oleh suku arya yangsedang bermigrasi dari stepa Asia pada akhir abadmillennium kedua SM.

Seorang matematikawan awal India adalah Aryabhata, yang menulis karya utamanya, yaitu Aryabhatiya. Dia tinggal di dekat ibukota Gupta Pataliura dekat sungai gangga di Bihar India Utara. Meskipun pembahasan utama dalam karya ini adalah astronomi, namun di ayat 123 nya membahas berbagai topik matematika.

Dua matematikawan terkemuka yang berkembang selanjutnya ialah Bhaskara dan Brahmagupta.

Bhaskara datang dari Maharashtra atau Gujurat, sementara Brahmagupta tinggal di Bhinmal, Rajasthan,

ibukota GuyarasPotongan-potongan sastra ini tidak diatur atau ditujukan untuk mengajar matematika, jadi tidak ada bentuk asal

usulnya, hanya bentuk pernyataan saja

•PERHITUNGAN

Simbol untuk sembilan angka pertama dari sistem

angka berasal dari sejarah dalam sistem

penulisan Brahmi di India, saat kepemimpinan

raja Asoka (abad pertengahan ketiga SM)

Dalam sebuah potongan karya Severus Sebokht,

pada abad ke-662 hanya ditulis tentang sembilan

tanda, tidak menyebutkan tanda nol.

Munculnya angka dan nilai tempat

Namun, dalam naskah Bakhshali, dimana angka

ditulis menggunakan sistem nilai tempat dan dengan sebuah titik mewakili nol

Dalam karya mahavira, kata-kata tertentu mewakili angka: bulan untuk 1, mata untuk 2, api untuk 3, dan

langit untuk 0. Contoh: kata-api-langit-bulan-mata akan menunjukkan arti untuk 2103

Titik sebagai simbol untuk 0 bagian dari sistem nilai desimal juga muncul dalam Chiu-Chih Li, yaitu

sebuah karya astronomi China pada abad 718 disusun oleh tokoh agama India

Aritmatika Logaritma

Stanza II, 5 ,

Digit-digit awal suatu bilangan pangkat 3 [x] dikurangi dengan pangkat 3 dari suatu bilangan yang mendekati [y],hasil bagi dikurangi dengan y kuadrat dikalikan dengan tiga dan sisa [kuantitas] harus dikurangkan dengan bentuk pertukaran kuadrat dan pangkat 3 sebelumnya.

Carilah akar pangkat 3 dari 12. 977. 875

JAWAB

• Perhitungan:• 1 2 . 9 7 7. 8 7 5 )2 digit pertama 2 • 8 23

12 4 9 )3 12 = 3 x 22 3 mendekati 49:12 (4 terlalu besar)

• 3 6 36 = 3 x 22 x 3• 1 3 7• 5 4 54 = 3 x 2 x 32

• 8 3 7• 2 7 33

• 1587 8 1 0 8 )5 1587 = 3 x 232 5 mendekati 288:1587

• 7 9 3 5 7935 = 3 x 232 x 5• 1 7 3 7

1 7 2 5 1725 = 3 x 23 x 52

• 1 2 5 52

1 2 5• 0

• Jadi akar pangkat 3 dai 12.977. 875 adalah 235

3 12

• Jumlah dari dua bilangan positif adalah positif,

• jumlah dari dua bilangan negatif adalah negatif,

• jumlah dari bilangan positif dan negatif adalah selisih antara 2 bilangan itu, jika besar keduanya sama, maka hasilnya nol.

• Jumlah dari nol dan bilangan positif adalah positif

• jumlah dari bilangan negatif dan nol adalah negatif,

• jumlah nol dan nol adalah nol.BACK

• bilangan positif besar dikurangi bilangan positif kecil, hasilnya adalah positif,

• bilangan negatif besar dikurangi bilangan negatif kecil, hasilnya negatif,

• Tanda awal pengurang akan berubah, negatif menjadi positif dan positif menjadi negatif.

• Bilangan negatif dikurangi nol adalah negatif,

• bilangan positif dikurangi nol adalah positif,

• nol dikurangi nol adalah nol.

• Ketika bilangan positif dikurangi bilangan negatif atau bilangan negatif dikurangi bilangan positif, maka kedua angka tersebut dijumlahkan.

BACK

• Perkalian dari bilangan negatif dan positif adalah negatif,

• perkalian dua bilangan negatif adalah positif,

• perkalian dua bilangan positif adalah positif.

• perkalian dengan nol, baik itu bilangan negatif atau positif adalah nol.

• Sebuah bilangan positif dibagi dengan bilangan negatif adalah negatif,

• bilangan negatif dibagi dengan bilangan positif juga negatif.

• Sebuah bilangan negatif atau positif dibagi dengan nol, menunjukkan bahwa nol sebagai pembagi, lalu nol dibagi dengan pembagi positif atau negatif memiliki tanda negatif atau positif sebagai pembaginya saja.

GEOMETRI

hasil dari Sulbasutra baudhayana, yang mungkin dibuat sekitar 600 SM. Yang pertama adalah teorema Pythagoras.

Luas bujur sangkar pada kakisebuah segitiga siku-siku sama denganluas bujur sangkar di hipotenusa

jumlah luas bujur sangkar biru dan pink sama dengan

luas bujur sangkar ungu.

Teorema pythagoras kemudian digunakan secara tidak langsung untuk

membenarkan setiap konstruksi berikut:

Untuk membuat sebuah persegi kecil dari persegi yang

lebih besar, dapat dilakukan dengan membuat sebuah persegi

panjang pada persegi yang besar lalu dipotong, persegi

panjang ini detempatkan pada sisi berdekatan persegi yang

dipotong tadi, sisi yang bertumpuk ini kemudian dipotong

kembali, dan sisi persegi kecil telah terpotong. Dengan bagian–

bagian yang dipotong ini, diperoleh perbedaan luas dari dua

persegi tersebut.

Persegi besarPersegi kecil

Untuk mengubah persegi panjang menjadi persegi, lebar persegi panjang diambil sebagai sisi persegi dan lebar persegi panjang ini kemudian dipotong. Hasil potongan dari persegi panjang dibagi menjadi dua bagian yang sama dan ditempatkan pada dua sisi (satu bagian pada masing-masing). Ruang kosong di sudut terisi dengan sebuah persegi.

Persegi

Untuk mengubah persegi menjadilingkaran, sebuah tali panjang setengahdiagonal dari persegi ditarik dari pusat keperlawanan arah jarum jam, bagian ituterletak di luar persegi diteruskan ke sisasetengah diagonal

M

Bagilah diameter dalam lima belasbagian dan kurangi dua bagian dari15 bagian ini. Maka 13 bagiansisanya memberikan perkiraanpanjang sisi persegi yangdiinginkan.

Untuk membuat segiempat dari Lingkaran

maka:

Gambarkan!!

Proyeksi adalah jarak antara ujung dari dua bayangan dikalikan dengan panjang bayangan pertama dibagi dengan selisih panjang bayangan.Tinggi titik sorot adalah Sisi tegak dikalikan dengan proyeksi, dibagi dengan panjang bayangannya.

Stanza di atas memberikan sebuah metode untuk mencari

ketinggian sorotan cahaya dari atas dengan mengukur panjang

bayangan yang dibentuknya.

h

g g

10 16

d

CONTOH

Contoh Soal.....

• Bayangan dua tiang yang tingginya sama (12 meter) diamati, dan diperoleh data panjang masing-masing bayangan adalah 10 dan 16 meter, sedangkn jarak antara kedua ujung bayngan adalah 30. berapakah tinggi sorot cahaya?

JAWAB

JAWABAN

h

12

30

16

12

10

Berdasarkan definisi, di dapat suatu rumusan proyeksi U = dan Tinggi Tinggi Titik Sorot h =

Dengan demikian dapat dicari ProyeksiU = dan h =

Jadi, tinggi sorotan cahaya adalah 60 meter

1

.

S

gU12

1

SS

dS

1016

10.3050

6

300 6010

12.50

h

h

s1

s2

Di sini, dua bagian diameter adalah dua segmen s1, s2 diameter lingkaran yang berpotongan dengan tali busur 2h, membentuk sudut siku-siku, sehingga membagi busur menjadi 2 bagian yang sama.

Dengan demikian, berdasarakan teorema di atas,

h2 = s1s2 CONTOH!!

• Seekor elang yang sedang beristirahat di atas ketinggian dinding yang tingginya 12 hasta. Melihat seekor tikus yang sedang melintas, terlihat oleh elang pada jarak 24 hastas dari kaki dinding; dan elang terlihat oleh tikus. Karena takut, akhirnya tikus itu berlari dengan cepat menuju rumahnya, yang berada belakang dinding. Sayangnya, dalam perjalanan pulang itu, tikus dibunuh oleh elang yang bergerak sepanjang sisi miring. Dalam kasus ini, akan ditemukan berapa jarak yang tidak dicapai oleh tikus, dan berapa jarak yang dilintasi elang.

JAWAB

JAWABAN

Dengan teorema dapat dicari S1.

h2 = s1s2

122 = S1.24S1 = 144 : 24

= 6Jadi diameter Lingkaran = 24 + 6 = 30Tikus diasumsikan terbunuh tepat di titik pusat, yakni di jarak 30:2= 15 meter dari posisi semula. Dengan demikian, jarak yang tidak dicapai oleh tikus Y = 15 - s1 = 15-6= 9

Dan dengan rumus Phytagoras, panjang lintasan elang adalah X= 22 912 1522581144

12

s1

24

Elang

Tikus

Rumah Tikus

Tikus terbunuh

X

Y

• Dua hasil luar biasa dari Brahmagupta yang membahas segi empat siklik (segiempat di dalam lingkaran), diberikan dalam bab 12 dari brahmasphutasiddhanta.

Luas daerah selidik [segiempat siklik] adalah akar kuadrat dari hasil kali setengah jumlah seluruh panjang sisi dikurangi panjang masing-masing sisi segiempat.

Hasil ini dapat ditulis dalam matematika s = , di mana a, b, c, d, adalah panjang sisi segiempat, maka luas segiempat dapat dinyatakan dengan

L =

2

)( dcba

Masing-masing sisi dikalikan dengan sisi di depannya, lalu dijumlahkan. Kemudian kalikan dengan hasil jumlah dari perkalian sisi yang berdekatan dengan diagonal-diagonal, setelah itu dibagi dengan jumlah dari perkalian sisi-sisi yang saling berdekatan pada diagonal satunya dalam siklik suatu segiempat yang tidak beraturan, akar kuadratnya adalah panjang diagonal.

B

C

D

A

a

b

c

d

•

Pernyataan ini diterjemahkanke dalam rumus untukmenentukan panjang diagonal ACdan BD dari segiempat. Karenajumlah dari hasil kali sisi yangberdekatan (untuk diagonal AC)adalah ad + bc, dan dikalikandengan "jumlah dari hasil kali duasisi yang berhadapan,yaitu ac +bd, dan dibagi hasil penjumlahansisi-sisi yang berdekatan padadiagonal selanjutnya, dapatditulis:

AC= BD =

B

C

D

A

a

b

c

d

• Pemecahan Persamaan

Dalam dua teorema Aryabhata yang membahasmasalah progresi aritmatika, diberikan suaturumus untuk menghitung jumlah suatu suku banyakdalam persamaan kuadrat

Banyak suku dikurangi 1, dibagi dua ,laludikalikan dengan beda antara dua suku berurutditambah suku pertama, adalah cara untuk menentukansuku tengah. Lalu dikalikan dengan jumlah suku akandidapat Jumlah suatu suku banyak.atau jumlah suku pertama dan terakhir (suku pertamaditambah dengan banyak suku yang dikurangi satu dandikali beda sebelumnya).. Dikalikan dengan setengahbanyak suku.

d)]. 1)-(n (a [a 2

n a] d }

2

1)-(n [{n Sn

Kalikan jumlah suatu suku banyak dengandelapan kali beda, tambahkan kuadrat dari selisihantara dua suku pertama dan beda, lalu mengakarkuadrat hasilnya, kemudian kurangi dengan dua kalisuku pertama, dibagi dengan beda, tambahkan satu ,bagi dengan dua. Hasilnya akan menunjukkan banyaksuku dalam situasi yang sama seperti di atas, dimanaSn diberikan dan n dapat ditemukan.

Rumus yang diberikan adalah

n =

Jika persamaan untuk Sn di atas ditulis ulang dalam persamaan kuadrat dengan variabel n, maka

diperoleh dn2 + (2a-d) n-2sn = 0

Kemudian nilai untuk n dalam persamaan ini dapat dicari dengan rumus kuadrat. Meskipun tidak

secara langsung Aryabhata memberikan bentuk umum rumusan untuk memecahkan persamaan

kuadrat, Brahmagupta, setelah satu seperempat abad kemudian, mendapatkan suatu bentuk

persamaan yang ditulis dengan

ax2 + bx = c.

ax2 + bx = c.

• Di sini 'angka tengah' adalah koefisien b (dan juga x yang tidak diketahui nilainya itu sendiri), sedangkan rupas adalah istilah c konstan dan

'square' adalah koefisien a.

Angka tengah (b) dikurangkan pada akar kuadrat dari jumlah rupas (c) dikalikan dengan empat kali

square (a) dan angka tengah yang dikuadratkan ; lalu membagi hasilnya dengan dua kali square

(a). Hasilnya adalah angka tengah.

Kata Brahmagupta dengan mudah dapat diterjemahkan ke dalam rumus

X =

CONTOH

• Brahmagupta memberikan penyelesaian dari persamaan

x2 -10x = -9.

JAWAB

JAWABAN

• Diketahui:

• a=1 b=-10 c= -9

• Dengan menggunakan rumus Brahmagupta:

a

bbcax

2

.4 2

1.2

10)10()9.(1.4 2

x2

10)100()36(9

2

18

• Penyelesaian Brahmagupta tidak termasuk bilangan negatif, dan beberapa ratus tahun kemudian, Bhaskara II membuat suatu aturan tentang akar banyak, yaitu dengan memecahkan persamaan dengan menyelesaikan square, yakni, ia menambahkan jumlah yang tepat untuk kedua sisi ax2 + bx=c, sehingga sisi kiri menjadi kuadrat sempurna. Dan merumuskan kembali

(rx-s)2 = d.

• Dia kemudian memecahkan persamaan rx-s = √ d utuk mencari nilai x.

• Tapi ia mencatat, jika √ d <s, maka ada dua nilai untuk x, yaitu, dan

• Namun Bhaskara tetap membatasi nilainya. Beliau mengatakan, "rumus ini hanya [digunakan] dalam beberapa kasus."

CONTOH

r

)d(s•

r

)d(s•

Contoh...

• Ada sekumpulan monyet di hutan yang luas, 1/8 bagian dari mereka sedang berayun-ayun di ranting (square), dua belas monyet yang tersisa terlihat di atas bukit, sedang mengobrol satu sama lain. Berapa banyak mereka?

JAWAB

JAWABAN

• Dari masalah, dapat dimatematikakan menjadi

• Karena 16 < 32, maka ada 2 nilai untuk x, yaitu:

• Jadi, kemungkinan jumlah monyet keseluruhan adlah 48 atau 16.

xx 12)8

1( 2 xx 12

64

1 2

xx 647682

768642 xx222 327683264xx

256)32( 2x1632x

481

16321x 16

1

16322x

– Para matematikawan India juga menangani persamaan dalam beberapa variabel. Misalnya mahavira yang menyajikan sebuah versi dari masalah seratus unggas dalam pembahasan utamanya, ganitasarasangraha menyebutkan:

" 5 merpati dijual seharga 3 koin, 7 bangau dijual seharga 5 koin, 9 angsa dijual seharga 7 koin, dan 3 merak dijual seharga 9 koin. Seorang laki-laki diperintahkan untuk membawa 100 burung dengan diberikan 100 koin untuk hiburan seorang putra raja. Berapa jumlah masing- masing burung yang ia beli?

JAWAB

JAWABAN

• Dengan memisalkan:

Merpati = m

Bangau = b

Angsa = a

Merak = k

Maka didapat 2 persamaan matematika:

• 3 m + 5 b + 7 a + 9 k = 100 (banyak koin)

• 5 m + 7 b + 9 a + 3 k = 100 (banyak burung)

• Persamaan 1 dikali 5 dan persamaan 2 dikali 3, menghasilkan:

15 m + 25 b + 35 a + 45 k = 500

15 m + 21 b + 27 a + 9 k = 300

• Mengurangi persamaan pertama dan kedua menghasilkan

4 b +8 a + 36 k = 200

b + 2a + 9k = 50

mengambil sembarang nilai untuk k = 4, maka

b = 50-2a-9k

Lalu mengambil sembarang nilai untuk a =3, maka b= 8

a=3, b=8, k=4 disubstitusikan ke pers. 1, maka:

15 m+25(8)+35(3)+45(4) = 500 15 m = 500-25(8)-35(3)-45(4)

15 m = 15

m = 1

Jadi jumlah masing – masing burung yang dibeli adalah merpati adalah 5 ekor, bangau 56 ekor, angsa 27 ekor, dan 12 ekor burung merak, dengan harga masing - masing 3 koin, 40 koin, 21 koin, dan 36 koin

• . Jadi, "dengan cara pengandaian, banyak jawaban yang dapat

diperoleh."

ANALISIS TAK TENTU

Sistem Persamaan Linear

Meskipun tidak diketahui darimana orang India belajar

persamaan kuadrat entah dari Bangsa Babilonia atau dari

Diophantus, diyakini bahwa sebuah metode untuk

menyelesaikan sistem persamaan linear berasal dari

matematikawan India, karena tidak ada penjelasan dari metode

lainnya yang sebanding.

Dalam notasi modern, persamaan untuk menemukan N

memenuhi N ≡ a (mod r) dan N ≡ b (mod s), atau untuk

memperoleh x dan y dengan

N = a + rx = b + sy

a + rx = b + sy

tetapkan c = a – b, sehingga

rx + c = sy

Metode untuk menyelesaikan masalah ini ditemukan

dalam buku karya Aryabhata, tetapi Brahmagupta memberikan

uraian yang lebih jelas. Akan tetapi, entah karena kesalahan

dalam penyalinan selama beberapa tahun atau karena tradisi

yang tidak megharuskan setiap langkah ditulis, dalam beberapa

tempat ditemukan penjelasan tentang metode Brahmagupta

yang tidak sesuai dengan contoh-contohnya.

Contoh yang digunakan oleh Brahmagupta dalam

metode Kuṭṭaka atau pulverizer yang diambil dari bab 18dalam bukunya adalah

N ≡ 10 (mod 137) dan N ≡ 0 (mod 60)

Permasalahan ini dapat dituliskan dalam persamaan tunggal

137x + 10 = 60y

Bagi pembagi yang memiliki sisa pembagian terbesar (agra)

dengan pembagi yang memiliki sisa pembagian terkecil;

berapapun sisanya saling membagi; hasilnya ditempatkan secara

terpisah satu dibawah yang lainnya.

Gunakan algoritma Euclid sampai pada akhirnya

mempunyai sisa mendekati nol:

137 = 2 . 60 + 17

60 = 3 . 17 + 9

17 = 1 . 9 + 8

9 = 1 . 8 + 1

Kemudian susun hasilnya ke bawah satu persatu:

2

3

1

1

Brahmagupta menyusun 0 untuk hasil pertama,

nampaknya mengambil pembagian pertama sebagai 60 = 0 . 137

+ 60

Kalikan sisanya dengan sebuah angka sembarang i, bila

ditambahkan dengan selisih dari 2 sisa (agras), itu

dihapuskan. Pengali ditulis ke bawah sebagai hasilnya

juga.

Sisa terakhir adalah 1. Kalikan 1 dengan sebarang v

sehingga 1 . v ±10 tepat habis dibagi dengan pembagi akhir, dalam

kasus ini 8.

Tanda + digunakan untuk hasil bilangan genap.

Tanda – digunakan untuk hasil bilangan ganjil.

Di sini, karena 0 merupakan salah satu dari hasil,

persamaan akhirnya menjadi 1v – 10 = 8w. Ambil v = 18 dan w =1.

Kemudian kolom angka yang baru adalah

0

2

3

1

1

18

1

Dimulai dari yang terakhir, kalikan bilangan kedua dari akhir

dengan satu bilangan yang tepat berada di atasnya; hasilnya,

jumlahkan dengan bilangan yang terakhir, itulah akhir dari

sisanya (agrānta). [Lanjutkan sampai kolom paling atas.]

Kalikan 18 dengan 1 dan tambahkan 1 untuk mendapatkan

19. Kemudian gantikan posisi angka di atasnya, sebut 1, dengan 19,

dan hapus angka terakhir. Lanjutkan cara ini (seperti tabel di bawah

ini) sampai hanya terdapat dua baris angka.

0 0 0 0 0 130

2 2 2 2 297 297

3 3 3 130 130

1 1 37 37

1 19 19

18 18

1

Angka di baris paling atas, agrānta, adalah 130. Jadi,

x = 130, y = 297, merupakan pemecahan dari persamaan awal.

Bagaimanapun, Brahmagupta menginginkan sebuah

pemecahan yang lebih kecil, sehingga pertama ia menetapkan

N :

Bagilah bilangan itu (agranta) dengan pembagi yang memiliki sisa

paling sedikit; kalikan sisanya dengan pembagi yang memiliki sisa

terbesar. Jumlahkan hasilnya dengan sisa terbesar; hasilnya

merupakan sisa dari hasil pembagian.

Oleh karena itu,

130 = 2 . 60 + 10

10 . 137 + 10 = 1380

N ≡ 1380 (mod 8220)

Brahmagupta kemudian menyelesaikan

y dengan membagi 1380 dengan 60 (karena N

= 60y) dan menghitung nilai baru dari x.

Sehingga, y = 23, x = 10, merupakan

penyelesaian dari persamaan 137x + 10 = 60y.

Meskipun tidak diketahui bagaimana Brahmagupta

membenarkan langkah-langkahnya kepada murid-muridnya,

akan dipaparkan penjelasan modern. Dimulai dengan

persamaan 60y = 137x + 10, dan membuat langkah demi

langkah substitusi serta mencocokkannya dengan hasil yang

muncul secara berurutan pada algoritma Euclid:

60y = 137x + 10

17x = 60z – 10

9z = 17u + 10

8u = 9v – 10

v = 8w + 10

zxx

y 260

10137

uzz

x 317

1060

vuu

z 19

1017

wvv

u 18

109

137x + 10 = 60(2x + z)

17(3z + u) = 60z – 10

9(1u + v) = 17u + 10

8(1v + w) = 9v – 10

Brahmagupta kemudian menyelesaikan

persamaan terakhir dengan memeriksa: w = 1, v = 18.

Nilai dari variabel lainnya diperoleh dengan cara

subtitusi, dengan menjalankan kolom variabelnya.

u = 1v + w = 1 . 18 + 1 = 19

z = 1u + v = 1 . 19 + 18 = 37

x = 3z + u = 3 . 37 + 19 = 130

y = 2x + z = 2 . 130 + 37 = 297

PERSAMAAN PELL

Untuk dapat menyelesaikan suatu sistem dari persamaan linear

dalam bentuk lain dari persamaan tak tentu, penting untuk

mengetahui persamaan kuadrat dalam bentuk

.

22 ybDx

Kali ini, permasalahan khusus dimana b = 1 yang

sering kali disebut persamaan Pell (dengan nama yang salah

setelah abad ke-17, Englishman John Pell).

Brahmagupta memberikan penjelasan pertama dari

metode penyelesaian masalah ini. Dan, sama seperti masalah

dari kuṭṭaka, dia memperkenalkan beberapa aturan perjanjian

dengan persamaan dalam bentuk ini, dengan disertai contoh.

Kuadrat dari [ sebuah angka]....dikalikan dengan 92....dan

dijumlahkan dengan 1 itulah hasil kuadrat yang lain.

22 192 yxContoh yang diberikan Brahmagupta:

Aturan penyelesaian Brahmagupta:

Turunkan kedua akar kuadrat dari kuadrat yang diberikan

kalikan dengan pengali dan jumlahkan atau kurangi dengan

sembarang bilangan.

Jadi ambil beberapa nilai, sebut saja, 1, dan catat jika 92

dikalikan dengan 12 dan hasilnya dijumlahkan dengan 8 (angka

sembarang), kemudian hasil penjumlahannya adalah bilangan

kuadrat, sebut saja, 100.

Dengan demikian, tiga angka x0 , b0 , y0 dapat ditemukan dengan

memenuhi persamaan 2

0

2

00ybDx

Untuk lebih mudahnya, kita tulis bahwa (x0 , y0 ) merupakan

penyelesaian dari b0 .

Dalam masalah ini, (1,10) adalah penyelesaian dari

penjumlahan 8. Kemudian Brahmagupta menulis penyelesaian ini

ke dalam 2 baris yaitu

Atau

Nilai baru dari akar y adalah y1 . Nilai ini diperoleh dari bentuk

umum:

Dalam contoh ini,

000

000

byx

byx

8 10 1

8 10 1

2

0

2

01 yDxy

19210)1(92 22

1y

Nilai baru dari akar x adalah x1 . Nilai ini diperoleh dari

persamaan

atau

dengan penjumlahan baru adalah

Dengan kata lain, = ( 20, 192) merupakan penyelesaian

dari penjumlah atau

Brahmagupta mengasumsikan bentuk umum untuk

menyelesaikan permasalahan tersebut:

Diberikan dan . Brahmagupta

menyebut ini sebagai penyelesaian baru dari penyelesaian

(u0 , v0) dan (u1 , v1).

00001 yxyxx001 2 yxx2

01 bb),( 11 yx

641b 22 19264)20(92

2

101010

2

0110 )()( vvuDuccvuvuD

2

00

2

0 vcDu 2

11

2

1 vcDu

Brahmagupta menyimpulkan aturan umumnya:

“Dua bilangan akar kuadrat, dibagi dengan penjumlah atau

pengurang aslinya, merupakan akar-akar untuk satuan

penjumlahnya.”

Secara umum dapat ditulis :0

1

0

1 ,b

y

b

x

Brahmagupta memberikan beberapa aturan dan contoh

sederhana, tanpa adanya syarat supaya dapat menghasilkan

bilangan bulat yaitu

jika kita telah memperoleh penyelesaian (u, v)

1. jika v adalah bilangan ganjil atau u adalah bilangan genap,

maka penyelesaiannya adalah

2

3,

2

1),(

22

11

vv

vuvu

2. Pada kasus dimana v adalah bilangan genap dan u adalah

bilangan ganjil,

merupakan sebuah penyelesaian dalam bentuk bilangan

bulat.

4

42

4,

4

2),(

222

11

vvDuuvvu

Penyelesaian yang diberikan oleh Bhāskara II lebih

mudah untuk dipahami.

Bhāskara menunjukkan pada Līlāvatī nya bagaimana

beberapa persamaan dalam bentuk dapat

diselesaikan dalam bentuk bilangan bulat. Dia memulainya

dengan meringkas langkah-langkah Brahmagupta.

Aturan Bhāskara untuk kasus umum dan

mengikuti bentuk itu untuk contohnya, 67x2 + 1 = y2 .

22 1 yDx

22 1 yDx

Membuat akar-akar terkecil dan terbesar dan penjumlahan ke

dalam pembagian, penjumlahan, dan pembagi, pengali

menjadi imaginer.

Sebelumnya mulai dengan memilih sebuah pasangan

penyelesaian (u, v) untuk beberapa penjumlahan b. Pada

contoh berikut, ambil (1, 8) sebagai penyelesaian untuk

penjumlahan -3.

Kemudian, selesaikan persamaan tak tentu um + v = bn

untuk m, dimana 1m + 8 = -3n.

Hasilnya adalah m=1+3t, n = -3 – t, untuk beberapa bilangan

bulat t.

Ketika kuadrat dari pengali dikurangi dari bilangan asli atau

dikurangi dengan bilangan asli maka sisanya kecil, kemudian

dibagi dengan penjumlah merupakan penjumlahan yang baru.

Hal tersebut berubah tanda jika kuadrat dari pengali dikurangi

dari bilangan asli. Hasil dari pengali merupakan akar kuadrat

terkecil, dari situ dapat diperoleh akar terbesar.

Dengan kata lain, pilih t sehingga kuadrat dari m

kemungkinan mendekati D. Kemudian ambil,

b

mDb

2

1(boleh negatif) untuk penjumlahan baru.

Akar baru yang pertama adalah sehingga akar

baru yang terakhir adalahb

vumu1

1

2

11 bDuv

Dalam contoh yang diberikan, Bhāskara menginginkan m2

mendekati 67, sehingga ia memilih t = 2 dan m = 7.

Sehingga,

63

)4967()( 2

b

mD

Tetapi, karena pengurangan ini merupakan kuadrat dari

koefisien, penjumlah baru adalah 6.

Akar pertama yang baru adalah ,53

87.11u

tetapi karena akar-akar ini selalu dikuadratkan, sehingga u1

selalu bernilai positif.

Kemudian, , dan (5 , 41)

merupakan penyelesaian dari penjumlahan 6.

411681625.671v

KOMBINASI

Catatan pernyataan tentang peraturan kombinasi

paling awal muncul di India, meskipun lagi-lagi tanpa

adanya pembuktian atau pembenaran.

Sebagai contohnya, risalah medis dari Susruta, mungkin

ditulis pada abad ke-6 BCE, mengungkapkan bahwa 63

kombinasi dapat dibuat dari 6 rasa yang berbeda-pahit,

asam, asin, astringen, manis, panas-dengan

mencampurkannya satu persatu, dua dalam satu waktu, tiga

dalam satu waktu, dan seterusnya. Dengan kata lain,

terdapat 6 rasa tunggal, 15 kombinasi dari 2 rasa, 20

kombinasi dari 3 rasa, dan juga dari 4 rasa.

Kami tidak tahu apakah rumus-rumus yang berhubungan

telah dikembangkan.

Di sisi lain, Varāhamihira bekerja pada nilai yang lebih

besar pada abad ke-6. Ia mengungkapkan secara jelas bahwa

“jika jumlah dari 16 unsur divariasikan dalam 4 cara yang

berbeda, hasilnya adalah 1820.” Dengan kata lain, karena

Varāhamihira mencoba untuk menciptakan parfum

menggunakan campuran 4 bahan dari 16 bahan keseluruhan, ia

telah menghitung bahwa secara tepat terdapat 1820

cara yang berbeda untuk memilih bahan-bahan. Hal ini

mustahil jika pengarang benar-benar menghitung 1820

kombinasi ini, sehingga diasumsikan bahwa dia mengetahui

metode untuk menghitung angka itu.

16

4C

Pada abad ke-9, Mahāvīra memberikan algoritma yang

jelas untuk menghitung kombinasi ini:

Aturannya menganggap kemungkinan keragaman kombinasi

selama diketahui: Dimulai dengan satu dan ditambahkan

dengan satu, biarkan angka-angkanya bertambah sampai

mencapai angka yang diketahui baik pada baris atas maupun

baris bawah. Jika hasil dari satu, dua, tiga, atau angka lainnya

pada baris atas diambil dari kanan ke kiri dijumlahkan dengan

hasil yang bersesuaian dengan hasil satu, dua, tiga, atau angka

lainnya pada baris yang ada di bawah, juga diambil dari kanan

ke kiri, jumlah yang dibutuhkan pada masing-masing

permasalahan kombinasi merupakan hasil yang diperoleh.

!

)1)...(2)(1(

r

rnnnnCn

r

Bagaimanapun, Mahāvīra tidak memberikan

pembuktian dari algoritma ini, yang mana dapat

diterjemahkan menjadi rumus yang modern:

Tipe lain dari permasalahan secara terpisah juga muncul pada

matematika India. Sebagai contoh, Āryabhata menyatakan:

STANZA II, 22 6 bagian dari 3 hasil dari perhitungan

bertambah 1, perhitungan penjumlahan itu, dan agar

perhitungan merupakan jumlah kuadrat deretan. Dan

kuadrat dari keseluruhan deretan bilangan asli merupakan

keseluruhan dari deretan kubik.

Pernyataan kedua ini memberikan kita rumus untuk

penjumlahan dan dari turunan pertama n kuadrat dan

kubik, sebut saja,

2

nS 3

nS

)12)(1(6

12 nnnSn

dan

23 )...21( nSn

TRIGONOMETRI

1. Menggambar tabel sinus

Kami menggunakan kata “Sinus” (dengan huruf S

besar) untuk menyatakan panjang dari half-chord Indian.

Diberikan half-chord merupakan garis pada lingkaran

dengan radius R, dimana R akan selalu diketahui. Kata

“sinus” (dengan huruf s kecil) digunakan untuk fungsi

modern (atau sama dengan, ketika radius lingkaran adalah

1).

Jadi,

Sin θ = R sin θ

Āryabhaṭhīya memberikan penjelasan tentang

metode pembuatan tabel Sinus diberikan pada stanza II, 12,

sedangkan tabel perbedaan sinus diberikan pada stanza I, 10.

STANZA II, 12 Nilai dari Sinus kedua kurang dari Sinus

pertama, dan hasil bagi diperoleh dengan membagi jumlah

dari Sinus sebelumnya dengan Sinus pertama, dengan

jumlah dari dua Sinus yang mengikuti kurang dari Sinus

pertama.

Sinus pertama s1 dalam trigonometri India selalu diartikan

arc Sinus dari dan Sinus ini, dalam radius

lingkaran adalah 3438 sama dengan ukuran dalam menit,

sebut saja, s1 = 225.

Aturan dari stanza ini kemudian menuntun kita untuk

menghitung masing-masing arc Sinus dari tahap 3º45’.

Jadi, untuk menghitung s2, Sinus dari 7º30’, kita kurangi

225 dengan 225 untuk memperoleh 0 (pada tahap ini, Sinus

pertama dan kedua itu sama).

Kemudian bagi 225 dengan 225 untuk memperoleh 1 .

Kemudian kurangi 0 + 1 = 1 dari 225 untuk memperoleh

224.

'4534

33

Angka ini merupakan perbedaan Sinus yang

pertama, jadi s2 = 225 + 224 = 449.

Untuk memperoleh s3, kurangi 224 dari 225 untuk

mendapatkan 1, kemudian bagi 449 dengan 225,

diperoleh 2, kemudian kurangi 1 + 2 = 3 dari 225 untuk

mendapatkan 222 sebagai perbedaan Sinus yang

lainnya.

Jadi, s3, Sinus dari 11º15’, diperoleh dari s3 = 449 + 222

= 671

Secara umum, Sinus sn ke-n dihitung dengan

1

12111

...

s

ssssss n

nn

Semua perbedaan Sinus dicatat dalam

STANZA I, 10. Dua puluh empat perbedaan Sinus dihitung

dalam arc yaitu 225, 224, 222, 219, 215, 210, 205, 199,

191, 183, 174, 164, 154, 143, 131, 119, 106, 93, 79, 65, 51,

37, 22, 7.

Mereka menghitung nilai Sinus seperti yang

dilakukan Hipparchus: Sinus 90º sama dengan 3438’ radial;

Sinus 30º adalah setengah radial, 1719’; Sinus 45º adalah

dan Sinus dari arc lainnya dihitung dengan

menggunakan teori Phythagoras dan rumus half-angle.

'24312

3438

Varāhamihira (abad ke-6) mentabulasikan Cosinus

seperti Sinus dalam 120 radial dan mendeskripsikan

hubungan standar antara fungsi-fungsi ini. Dan Sūrya-

Siddhānta, mungkin ditulis pada abad ke-7, boleh jadi

bersumber pada perhitungan fungsi Tangen Cina yang

didiskusikan lebih dulu dan diisyaratkan pada Secan.

Meskipun fungsi itu tidak ditabulasikan, bab 3 bait 21-22,

dalam diskusi oleh gnomon, mengatakan

“Garis bujur puncak matahari dapat diperoleh dari Sinus

dan yang tegak lurus Sinus [Cosinus]. Jika Sinus dan radius

berturut-turut dikalikan dengan satuan gnomon dalam digit,

dan dibagi dengan tegak lurus sinus, hasilnya adalah

bayangan dan hipotenusa pada tengah hari”.

2. TEKNIK PERKIRAAN

Menariknya, tidak ada buku astronomi Indian

sampai zaman Bhāskara II yang menjelaskan tabel arc

Sinus mendekati .

Malahan, matematikawan India membangun metode

perkiraan. Tentunya metode paling sederhana adalah

dengan penyisipan linear antara nilai tabulasi.

Tetapi pada awal abad ke-7, Brahmagupta telah membuat

pola penyisipan akurat menggunakan perbedaan second-

order.

Dalam penulisan modern, jika Δi mewakili perbedaan

Sinus ke-i (diberikan dalam stanza I, 10 Aryabhata), αi

untuk arc ke-i, dan h = jarak antara arc ini.

4

33

4

33

Kemudian hasil dari Brahmagupta adalah

2

2

2 -

2)()(

hhSinSin ii

( Δi + Δi+1) (Δi – Δi+1)

Sebagai contoh, untuk menghitung Sin (20º), tulis

20 = , dimana = x5.4

11

4

318

4

318

Rumus yang didapatkan

1176)5(18

1)425(

6

11105

)210215(

4

332

4

11

)210215(

)4

33(2

4

11

4

318

4

11

4

318)20(

2

2

SinSinSin

Sayangnya Brahmagupta tidak memberikan alasan

kebenaran untuk rumus interpolasi ini, tetapi dicatat

bahwa sisi kanan dari rumus merupakan polinom kuadrat

yang unik dalam θ yang menyetujui dengan sisi kiri untuk

θ = , θ = 0o, dan θ = .

Anehnya, Brahmagupta sendiri juga menggunakan rumus

aljabar untuk perkiraan Sinus, rumus yang mirip dengan

Bhāskara I dalam versi bahasa Sansekerta dalam

Mahābhāskariya:

4

33

4

33

Saya meringkas pernyataan aturan untuk menemukan Sinus tanpa

membuat perbedaan Sinus 225 dan seterusnya. Kurangi derajat arc

dengan derajat dari setengah lingkaran. Kemudian kalikan sisanya

dengan derajat arc dan tulis hasilnya dalam dua tempat. Di sisi

bawah, kurangi hasilnya dari 40.500. satu perempat sisanya [jika

didapatkan] bagi hasilnya pada tempat lain sebagai pengali

radius.... Maka diperoleh Sinus radius itu.

Dalam notasi modern, rumus Bhāskara adalah

)180(40500

)180(4

)180(40500(4

1

)180(sin

RRRSin

Jika kita menggunakan rumus tersebut untuk menghitung Sinus

dari θ = 20º, kita dapatkan

1180160.2040500

160.20.4.343820Sin

paling dekat dengan bilangan bulat, kesalahan nilai dari

pendekatan adalah 0,3%.

3. DERET PANGKAT

Matematikawan India menyusun deret pangkat untuk

Sinus, Cosinus, dan Arctangen pada abad ke-14. Deret ini

muncul dalam penulisan Tantrasaṃgraha-vyākhyā sekitar

tahun 1530, sebuah komentar dalam temuan Nīlakaṇṭha.

Penurunan muncul dalam Yuktibhāsā, dimana penulis

menuliskan deret pangkat ini untuk Madhava (1359-1425).

Penurunan Indian pada hasil ini dimulai dengan

pendekatan Cosinus dan Sinus untuk arc kecil dan kemudian

menggunakan “pull yourself up by your own bootstrap”

didekati untuk memperbaiki nilai pendekatan langkah demi

langkah. Semua penurunan menggunakan notasi dari

perbedaan Sinus, ide tersebut sudah digunakan lebih dahulu.

Dalam pembahasan tentang metode Indian, menggunakan

notasi modern.

Pertama dianggap radius lingkaran R dengan arc kecil

(gambar 2). Dari kesebangunan segitiga AGC dan OEB, kita

dapatkan

R

yxx 21 danR

xyy 12

atau

x

yy

y

xx

R

1221

Dalam permasalahan modern, jika dan BOF dAOBBOC

persamaan ini menjadi

dR

Rd

R

x

R

yydd cos2cos

2)sin()sin(

2

12

dan

dR

Rd

R

y

R

xxdd sin2sin

2)cos()cos(

2

12

(Gambar 2)

Sekarang, andaikan kita memiliki sebuah arc kecil

s dibagi n sama dengan subarc, dengan α = s/n. Untuk

sederhananya, kita ambil R = 1, meskipun matematikawan

India tidak melakukannya. Dengan menerapkan hasil

sebelumnya, kita dapatkan ketetapan perbedaan untuk y

(gambar 3) (dimana yn = y sin s):

.

.

.

Gambar 3

Begitu juga, perbedaan untuk x dapat ditulis

.

.

.

Kemudian kita anggap perbedaan y yang kedua:

Dengan kata lain, perbedaan sinus yang kedua itu sebanding

dengan negatif sinus.

Tetapi karena , kita dapat menuliskan hasilnya sebagai

Secara umum, kita dapatkan bahwa

Tetapi Sinus sama dengan jumlah dari perbedaan ini:

Begitu juga s/n ≈ y1 ≈ α, atau ny1 ≈ s. Secara alamiah, nilai

terbaik untuk setiap pendekatan ini adalah nilai terbesar dari n.

Oleh sebab itu,

Kemudian, kita tambahkan perbedaan dari x. Kita peroleh

Tetapi dan . Sehingga

Untuk melanjutkan perhitungan ini, kita ganti jumlah

dari bilangan bulat n – 1 pertama dengan ungkapan

sederhana. Lebih jauhnya, Jyesthadeva membutuhkan rumus

yang mirip untuk penjumlahan kuadrat bilangan bulat, integral

pangkat tiga, dan seterusnya. Intinya, Ia butuh untuk

mengetahui

Hasil ini diketahui di India. Hasilnya adalah

Dimana hasil yang terdahulu telah dibuktikan. Karena kedua

hasil ini ditemukan beberapa ratus tahun pada awal

perkembangan dunia Islam, pembahasan bukti ditunda sampai

pada bab selanjutnya. Namun, Hasil penemuan ini akan

digunakan pada pembahasan kali ini dalam bentuk

Oleh karena itu, untuk memperoleh pendekatan baru kita untuk

y, kita lanjutkan seperti berikut:

Jadi, kita mempunyai pendekatan baru untuk y dan untuk setiap yi.

Untuk mengembangkan pendekatan untuk Sinus dan Cosinus,

Sekarang kita asumsikan bahwa yi ≈ (is/n) – (is)3/(6n3) untuk

mengungkapkan x = cos s dan dilanjutkan seperti sebelumnya.

digunakan dua rumus penjumlahan dalam kasus k = 3 untuk

memperoleh

Dengan cara yang sama, diperoleh pendekatan baru untuk y = sin

s:

Transmisi Ke Dan Dari India

• India belajar trigonometri (dan juga beberapa astronomi) dari sumber-sumber yunani, dan ulama islam yang belajar trigonometri di India, membawa hasil belajarnya ke baghdad pada abad ke delapan. Dan tentu saja, sistem nilai tempat desimal menyebar dari India melalui penyebaran islam ke eropa barat selama beberapa ratus tahun