RING ( GELANGGANG )OLEH KELOMPOK 61. ICA PURNAMA SARI2. MARLITA

PENGERTIAN RINGRing adalah suatu himpunan tak kosong yang memenuhi dua

operasi binerterhadap penjumlahan dan perkalian

dikatakan suatu Ring(Gelanggang) bila :1. (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif2. (R,.) merupakan suatu Semigrup/Monoid(Catatan : Beberapa penulis buku mengatakan bahwa di dalam suatuRing tidak perlu mempunyai identitas terhadap perkalian)3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

Sifat-sifat RingSuatu Ring dikatakan komutatif/abelian bila pada operasi

perkalian(multifikatif) terpenuhi sifat komutatifnya. Secara singkat akan dijelaskan syarat dari Ring Komutatif pada definisi berikut :

1. (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif2. (R,.) merupakan suatu Semigrup/Monoid Komutatif3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

Jadi, pada Ring Komutatif (R,.) yang merupakan suatu Semigrup/Monoidharus memenuhi sifat-sifat komutatifnya, yaitu :a . b = b . a, ∀ a,b ∈ R

tunjukan bahwa Ring (Z4,+,.) merupakan suatu RingKomutatif.

Daftar Cayley (Z4, +) dan (Z4, .)-0

telah ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} adalah suatuRing (Z4,+,.).Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Ring tersebut.a . b = b . a, ∀ a,b ∈ Z4Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 dan 3 ∈ Z4 (pada tabel 6.1.)2 . 3 = 23 . 2 = 2sehingga 2 . 3 = 3 . 2 = 2Karena Ring (Z4,+,.) tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Ring(Z4,+,.) tersebut adalah Ring Komutatif atau Ring Abelian.

Integral Domain (Daerah Integral)Suatu Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol disebut Integral

Domain (Daerah Intergral).Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatuIntegral Domain (Daerah Integral) bila :1. Tertutup terhadap penjumlahan (+)Misalkan a dan b adalah anggota R,maka a dan b tertutup bila a + b ∈R

2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+)Misalkan a,b,c ∈ Rmaka (a + b) + c = a + (b + c)

3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+)Misalkan a ∈ RBAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI100maka a + e = e + a = a

4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+)Misalkan a ∈ Rmaka a + (-a) = (-a) + a = e = 0

5. Komutatif terhadap penjumlahan (+) Misalkan a,b ∈ Rmaka a + b = b + a

6. Tertutup terhadap perkalian (.) Misalkan a dan b adalah anggota R,maka a dan b tertutup bila a . b ∈R

7. Assosiatif terhadap perkalian (.) Misalkan a,b,c ∈ Rmaka (a.b).c = a.(b.c)

8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (.) Misalkan a ∈ Rmaka a.e = e.a = a

9. Komutatif terhadap perkalian (.) Misalkan a,b ∈ Rmaka a . b = b . A

10.Tidak ada pembagi nol, Misalkan a,b ∈ R. Jika a.b = 0, maka a = 0 atau b = 0

11.Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+) Misalkan a,b,c ∈ Rmaka a.(b +c) = (a.b) + (a.c) dan (a + b).c = (a.c) + (b.c)

P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Akanditunjukkan bahwa Ring Komutatif tersebut adalah Integral Domain.Penyelesaian :Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring KomutatifSyarat dari Integral Domain adalah Ring Komutatif yang tidak mempunyaipembagi nol, dengan kata lain:a.b = 0, untuk a = 0 atau b = 0Misalkan :X = {…,-3, -1, 1, 3, ...} adalah himpunan bilangan ganjil danY = {…, -4, -2, 0, 2, 4,…} adalah himpunan bilangan genap.Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak adaunsur nol, tetapi bilangan genap ada unsur nol.Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakanIntegral Domain, karena a.b = 0 jika a = 0 atau b = 0, ∀ a,b ∈ P.

Field (Lapangan)Field adalah suatu Ring yang unsur-unsur bukan nolnya membentuk GrupKomutatif/Abelian terhadap perkalian. Dengan kata lain suatu Field adalahRing Komutatif yang mempunyai unsur balikan/invers terhadap perkalian.

Dari definisi tersebut dapat kita simpulkan bahwa suatu strukturaljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu Field bila :1. (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif2. (R-0,.) merupakan suatu Grup Komutatif3. Distributif perkalian terhadap penjumlahanJadi untuk menunjukan bahwa suatu Ring adalah Field harus kitabuktikan Ring itu komutatif dan mempunyai unsur balikan atau inversterhadap perkalian. Atau kita tunjukan R merupakan suatu Grup Komutatifterhadap penjumlahan dan perkalian serta distributif perkalian terhadappenjumlahan.

P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Akanditunjukkan apakah Ring Komutatif tersebut adalah Field.Penyelesaian :Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring KomutatifSyarat dari Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikanatau invers terhadap perkalian, dengan kata lain: ∀ a ∈P, ∃ a-1∈ P, sedemikian sehingga a . a-1 = a-1 . a = eTelah diketahui identitas dari P adalah e = ganjil • Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih ganjil ∈ P,sehingga genap.ganjil = genap ≠ e • Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih genap ∈ P,sehingga genap.genap = genap ≠ e

maka P tidak ada unsur balikan atau inversJadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} bukanmerupakan Field.dapat kita simpulkan bahwa P = {genap, ganjil}dimana P ⊆ Z, adalah suatu Ring Komutatif yang juga merupakan IntegralDomain (Daerah Integral) tetapi bukan merupakan Field (Lapangan )

TERIMAKASIH

WASSALAMUALAIKUM.WR.WB