6 ring polinomial

Download 6 Ring Polinomial

If you can't read please download the document

Upload: agung-juma

Post on 27-Oct-2015

311 views

Category:

Documents


67 download

TRANSCRIPT

Struktur Aljabar Ring Polinomial Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id 16. Ring Polinomial Pada bab ini akan dibahas mengenai suatu ring khusus yang disebut dengan ring polinomial. Polinomial yang selama ini dikenal dalam kalkulus akan dipandang sebagai suatu elemen dari sebuah ring. Pada bab ini juga akan dibahas mengenai sifat-sifat suatu ring polinomial terkait dengan koefisiennya yang merupakan elemen dari lapangan. Definisi 6.1 (Polinomial) Diketahui R ring. Polinomial f(x) merupakan deret tak hingga, yaitu: 010......ininiaxaaxax==++++ dengan iaR dan terdapat 0n sehingga 0ia= untuk setiap in. Elemen ia dengan 0ia disebut koefisien dari f(x). Jika untuk suatu 0i berlaku 0ia, maka nilai i yang terbesar disebut derajat dari f(x). Jika semua 0ia=, maka derajat f(x) tidak terdefinisi. Elemen disebut indeterminate dan bentuk iiax disebut suku dari f(x). Tanpa mengurangi keumuman, untuk selanjutnya notasi 01...00...nnaaxax++++++ akan ditulis dengan 01...nnaaxax+++. Berikut diberikan definisi mengenai polinomial monik. Definisi 6.2 (Polinomial Monik) Diketahui R ring dengan elemen satuan. Polinomial ()[]0...nnfxaaxRx=++ dengan derajat 0n> disebut polinomial monik (monic polynomial) jika dan hanya jika 1nRa=. Contoh 6.3 Misalkan 4R=], maka ()5231fxxx=++ merupakan polinomial monik berderajat 5 dengan koefisiennya merupakan elemen di 4]. Tentu saja sebarang elemen di 4] juga merupakan polinomial yang disebut dengan polinomial konstanta dengan derajatnya adalah 0.

Struktur Aljabar Ring Polinomial Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id 2Berikut diberikan definisi mengenai penjumlahan dan perkalian polinomial. Definisi 6.4 (Penjumlahan dan Perkalian Polinomial) Diketahui R ring, serta 01()...nnfxaaxax=+++ dan 01()...mmgxbbxbx=+++ merupakan sebarang dua polinomial dengan koefisiennya merupakan elemen pada R, maka : (i). 01()()...kkfxgxccxcx+=+++ , dengan {}max,knm dan iiicab=+ untuk setiap 0ik (ii). 01()()...kkfxgxddxdx=+++, dengan knm+ dan 0jjijiidab== untuk setiap 0jk. Contoh 6.5 Diperhatikan bahwa ()422fxx=+ dan )42gxx= merupakan dua polinomial yang koefisiennya merupakan elemen di 4]. Diperhatikan bahwa: (i). ()))))44444()()222222022fxgxxxxxx+=++=++=+= (ii). ()()()()4484()()222000fxgxxxxx=+=+=. Terlihat bahwa derajat ()()0fxgx+= dan derajat ()()fxgx tak terdefinisi. Lemma berikut menjelaskan sifat polinomial yang koefisiennya merupakan elemen dari suatu daerah integral. Untuk selanjutnya derajat suatu polinomial )fx akan dinotasikan sebagai ()()degfx. Lemma 6.6 Diketahui R daerah integral, maka untuk setiap polinomial )fx dan ()gx dengan koefisiennya merupakan elemen di R berlaku ())())()deg()()degdegfxgxfxgx=+.

Struktur Aljabar Ring Polinomial Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id 3Bukti. Misalkan ()()degfxn= dan ()()deggxm=, dengan demikian 01()...nnfxaaxax=+++ dan 01()...mmgxbbxbx=+++, dengan ,ijabR untuk setiap 0in dan 0jm dan juga ,0nmab. Diperhatikan bahwa 01()()...kkfxgxddxdx=+++ dengan knm+ dan 0jjijiidab== untuk setiap 0jk. Diperhatikan untuk jk= diperoleh 0nmkikinmidabab+===. Karena R daerah integral, akibatnya R tidak memuat pembagi nol atau dengan kata lain 0nmab. Jadi, karena 0nmab akibatnya 0nmnmabx+ dan dengan demikian ()()()())deg()()degdegfxgxnmfxgx=+=+. , Menurut Fraleigh (1994) dan dari definisi penjumlahan dan perkalian polinomial tersebut, dapat diperoleh teorema berikut. Teorema 6.7 (Ring Polinomial) Himpunan semua polinomial dengan indeterminate x dan koefisiennya merupakan elemen pada ring R merupakan ring atas operasi penjumlahan dan perkalian polinomial. Selanjutnya, himpunan semua polinomial tersebut dinotasikan dengan []Rx. Untuk selanjutnya, notasi []Rx menyatakan ring polinomial dengan indeterminate x dan koefisiennya merupakan elemen pada ring R. Lebih lanjut, diperhatikan bahwa beberapa sifat-sifat yang ada pada ring R, juga berlaku pada ring[]Rx seperti yang dijelaskan pada lemma berikut.

Struktur Aljabar Ring Polinomial Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id 4Lemma 6.8 Diketahui R merupakan ring, maka sifat-sifat berikut berlaku: (i). [RRx (ii). Jika R ring dengan elemen satuan 1R, maka []Rx juga ring dengan elemen satuan 1R. (iii). Jika R ring komutatif, maka []Rx juga ring komutatif. (iv). Jika R daerah integral, maka []Rx juga daerah integral. (v). Jika R lapangan, maka tidak selalu []Rx merupakan lapangan. Contoh 6.9 Ilustrasi untuk poin (v) Lemma 6.6 adalah sebagai berikut. Diperhatikan bahwa \ merupakan lapangan, namun x\ bukan lapangan karena elemen [xx\ tidak memiliki invers terhadap perkalian di x\, yaitu 1xx\. Lemma 6.10 Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal pada R, maka ideal I tidak selalu merupakan ideal di []Rx. Bukti. Misalkan R=]. Diketahui 2] merupakan ideal di ], akan tetapi 2] bukan ideal di []x] karena x] dan dengan demikian 2xaax=] untuk setiap 2a]. Lemma 6.11 Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal pada R, maka Ix merupakan ideal pada [Rx. Bukti. Diketahui I ideal pada R. Karena I ideal maka I bukan himpunan kosong dan menurut Lemma 6.6 (i), [Ix juga bukan himpunan kosong. Diambil sebarang

Struktur Aljabar Ring Polinomial Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id 501()...nnfxaaxax=+++ dan 01()...mmgxbbxbx=+++ yang merupakan elemen dari [Ix. Diperhatikan bahwa ())()()()0011...kkkfxgxababxabx=+++ dengan {max,knm=. Karena I merupakan ideal dan ,iiabI untuk setiap 0ik, maka iiabI dan dengan demikian ))[]fxgxIx. Selanjutnya, diambil sebarang 01()...mmhxccxcxRx=+++. Diperhatikan bahwa 01()()...nmnmfxhxddxdx++=+++ dengan 0jjijiidac== untuk setiap 0jnm+. Karena I ideal, maka ijiacI dan dengan demikian )()[fxhxIx. Dengan cara serupa dapat ditunjukkan bahwa ))hxfxIx. Karena R ring komutatif, maka menurut Lemma 6.6 (iii) berakibat Rx juga ring komutatif dan dengan demikian ()()()()[hxfxfxhxIx=. Jadi, terbukti bahwa [Ix ideal pada [Rx. , Selanjutnya, jika K merupakan lapangan maka []Kx merupakan daerah integral dan [Kx memuat seluruh unit pada K. Lemma berikut menjelaskan tentang hal tersebut dan akan berguna pada pembahasan mengenai algoritma pembagian pada []Kx. Lemma 6.12 Diketahui K lapangan, maka unit pada Kx merupakan unit pada K, yaitu berupa konstanta. Bukti. Karena K merupakan lapangan maka elemen-elemen pada K selain 0 merupakan unit. Menurut Lemma 6.6 (i) berakibat Kx memuat seluruh unit pada K. Andaikan terdapat polinomial ()[fxKx yang merupakan unit pada []Kx dan ()fxK, dengan kata lain derajat ()0fx>. Karena ()fx merupakan unit, maka terdapat ()gxKx sehingga ()()1Kfxgx=, diperhatikan bahwa derajat ()()0fxgx=. Karena ()() dan fxgx merupakan unit, maka ()(),fxgx bukan pembagi nol dan akibatnya

Struktur Aljabar Ring Polinomial Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id 6derajat ()(),0fxgx=. Muncul kontradiksi dengan pengandaian, jadi ()fxK atau setiap unit di [Kx merupakan elemen di K. , Lemma 6.13 (Algoritma Pembagian) Diketahui K lapangan dan ))[,fxgxKx, maka terdapat dengan tunggal ()()[,qxrxKx sehingga )()))fxqxgxrx=+, dengan ()0rx= atau ()()()()degdegrxgx>>> Karena derajat sebarang polinomial pada Rx lebih dari atau sama dengan 0 akibatnya terdapat k` sehingga )()deg0krx=, jadi rantai tersebut akan menjadi statis, yaitu : ()()()()()()12degdeg...0krxrxrx>>>=. Jadi, diperoleh ()()())()())()()()12...()kkfxqxqxqxgxrxfxqxgxrx+++==+ dengan ()())()12...kqxqxqxqx=+++ dan ())krxrx=. Diperhatikan bahwa ()0krx, karena jika ()0krx= akan berakibat ()()()fxqxgx= dan menyalahi asumsi awal bahwa ()()()fxhxgx untuk setiap ()[hxKx. Untuk menunjukkan bukti ketunggalannya adalah sebagai berikut. Misalkan ())())))1122()fxqxgxrxqxgxrx=+=+ untuk suatu ()()()()1212,,,qxqxrxrxKx. Dengan demikian diperoleh ()()()()())1212qxqxgxrxrx=. Karena ()()120rxrx= atau ()()()()()12degdegrxrxgx>>> Karena derajat sebarang polinomial pada Kx lebih dari atau sama dengan 0 akibatnya terdapat k` sehingga )()deg0krx=, jadi rantai tersebut akan menjadi statis, yaitu : ()()()()()()()()1degdegdeg...0kgxrxrxrx>>>>=. Dengan demikian diperoleh: ()()()()())))11,,,...,kkIfxgxgxrxrxrxrxrx=====. Karena ()()deg0krx=, akibatnya ()krx merupakan unit dan menurut Lemma 4.3, berakibat ()()()()[]1,,1kkKIfxgxrxrxKx====. ,

Struktur Aljabar Ring Polinomial Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id 11Contoh 6.17 Misalkan 3, 1Ixxx=++ merupakan ideal di [x\. Karena menurut Contoh 6.14 (iii) berlaku ()()()32212xxxxx+=+++, akibatnya 2I. Karena 2 merupakan unit di [x\, akibatnya 3, 11Ixxxx=++==\. Berikut akan dijelaskan mengenai faktor untuk suatu polinomial. Penjelasan tersebut dimulai dengan mendefinisikan polinomial tak tereduksi. Definisi 6.18 (Polinomial Tidak Tereduksi) Diketahui K lapangan. Polinomial )fxKx dikatakan tidak tereduksi (irreducible) pada [Kx jika dan hanya jika )fx bukan konstanta dan ()()()fxgxhx untuk setiap ()()[,gxhxKx dengan derajat )gx dan ()hx lebih kecil dari derajat ()fx. Contoh 6.19 Pada ring polinomial [x\: (i). Polinomial 21x+ merupakan polinomial tidak tereduksi, karena tidak ada ()()[,gxhxx\ sehingga ()()21xgxhx+=. (ii). Polinomial 21x merupakan polinomial tereduksi, karena ()()2111xxx=+. Lemma 6.20 Diketahui K lapangan. Polinomial )fxKx tidak tereduksi pada [Kx jika dan hanya jika untuk setiap ()(),gxhxKx dengan )()()fxgxhx= berakibat ()gxK atau ()hxK.

Struktur Aljabar Ring Polinomial Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id 12Bukti. () Diketahui ()[]fxKx tidak tereduksi pada Kx. Karena )fx tidak tereduksi pada [Kx, maka untuk setiap ())[],fxgxKx dengan )()()fxgxhx= berakibat derajat ()gx atau ()hx sama dengan derajat ()fx. Perhatikan bahwa tidak mungkin derajat ()gx atau ()hx keduanya sama dengan derajat )fx, sehingga tepat salah satu dari ()gx atau ()hx memiliki derajat nol. Dengan kata lain )gxK atau ()hxK. () Diketahui untuk setiap ()),gxhxKx dengan ()()()fxgxhx= berakibat ()gxK atau ()hxK. Perhatikan bahwa tidak mungkin ()gx dan ()hx keduanya merupakan elemen K, karena akan berakibat ()fx merupakan konstanta. Akibatnya, tepat salah satu dari ()gx atau )hx harus memiliki derajat yang sama dengan derajat ()fx atau dengan kata lain ()fx tidak tereduksi. , Berikut diberikan definisi mengenai faktor persekutuan terbesar pada [Kx beserta sifatnya. Definisi 6.21 (Membagi Habis) Diketahui K lapangan dan ())[],fxgxKx. Polinomial )fx membagi habis ()gx jika dan hanya jika ()())gxhxfx= untuk suatu )hxKx dan dinotasikan dengan ()()fxgx. Contoh 6.22 Pada ring polinomial [x\, berlaku )()21|1xx+, karena )()2111xxx=+.

Struktur Aljabar Ring Polinomial Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id 13Definisi 6.23 (Faktor Persekutuan Terbesar) Diketahui K lapangan dan ()()[],fxgxKx. Faktor persekutuan terbesar (greatest common divisor) untuk ()fx dan ()gx adalah polinomial ()[]hxKx yang memenuhi: (i). ()()hxfx dan ())hxgx (ii). Untuk setiap polinomial ()'hxKx dengan ()()'|hxfx dan ())'|hxgx berlaku ()()'|hxhx. Faktor persekutuan terbesar untuk ()fx dan ()gx dinotasikan ()()()gcd,fxgx. Contoh 6.24 Pada ring polinomial [x\, berlaku )2gcd1, 11xxx+=+. Definisi 6.25 (Relatif Prima) Diketahui K lapangan dan ())[],fxgxKx. Polinomial )fx dan ()gx dikatakan saling relatif prima jika dan hanya jika ()())gcd,1fxgx=. Contoh 6.26 Pada ring polinomial []x\, karena )gcd1, 11xx+= maka 1x+ dan 1x saling relatif prima. Lemma 6.27 Diketahui K lapangan, maka untuk setiap ()()[],fxgxKx terdapat ()[]hxKx sehingga ()()()()gcd,fxgxhx= .

Struktur Aljabar Ring Polinomial Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id 14Bukti. Dari Lemma 6.16, diketahui ()()),fxgxhx= untuk suatu ()[]hxKx. Akan ditunjukkan bahwa ())())gcd,fxgxhx=. Karena ()()(),fxgxhx=, maka ()()()1fxhxqx= dan ())()2gxhxqx=, atau dengan kata lain ()()hxfx dan ()()hxgx. Misalkan terdapat )[]'hxKx dengan ))'|hxfx dan ())'|hxgx. Karena ()()'|hxfx, akibatnya )))1'hxsxfx= dan karena )()'|hxgx, akibatnya ()()()2'hxsxgx=. Karena ())),hxfxgx=, akibatnya )()(),hxfxgx, dengan demikian ()())()()hxaxfxbxgx=+. Dari )()()1'hxsxfx= dan ()()()2'hxsxgx=, diperoleh: ()()()()()()))()()()()()()1212'''hxaxhxsxbxhxsxhxaxsxbxsxhx=+=+ Atau dengan kata lain, ()()|'hxhx. Jadi, terbukti ()()())gcd,fxgxhx=. , Lemma 6.28 Diketahui K lapangan dan ()(),fxgxKx. Jika ()()())gcd,hxfxgx=, maka terdapat ()()[],axbxKx sehingga )())()()hxaxfxbxgx=+. Bukti. Karena ()()()()gcd,hxfxgx=, akibatnya )()(),hxfxgx= dan dengan demikian ()()()())hxaxfxbxgx=+ untuk suatu )),axbxKx.

Struktur Aljabar Ring Polinomial Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id 15Dari lemma-lemma diatas dapat disimpulkan bahwa jika K merupakan lapangan, maka berlaku: (i). [Kx merupakan daerah integral. (ii). Untuk setiap ()(),fxgxKx, terdapat dengan tunggal ()(),qxrxKx sehingga ())))fxqxgxrx=+ dengan ()0rx= atau ()()()()degdegrxgx