RING POLINOMIAL

Definisi 1.1

Andaikan R adalah suatu ring komutatif. Himpunan :

Disebut sebagai ring polinomial atas R dalam indeterminate x.

Pada definisi di atas, symbol tidak menyatakan suatu

variable yang berasal dari ring R, tetapi symbol-simbol tersebut semata-mata

hanyalah sebagai suatu penyimpanan yang pada suatu saat mungkin saja kita

gantikan dengan unsure R.

Teorema 1.1.2

Bila R adalah suatu ring, maka himpunan ring polynomial R[x] dengan operasi

penjumlahan dan perkalian polynomial adalah suatu ring.

Bukti :

Jika R[x] adalah ring maka harus memenuhi sifat-sifat berikut :

1. Sifat ketertutupan relative terhadap penjumlahan

Adit. a, b R[x] , a + b R[x]

Ambil sembarang a, b R[x], yaitu :

;

;

Maka,

a + b = a(x) + b(x)

=

=

=

Karena ai + bi R , n Z+

Maka a(x) + b(x) R[x]

Sifat ketertutupan relative penjumlahan di R[x] terpenuhi

2. Assosiatif terhadap penjumlahan.

Adit. a, b, c R[x] , (a + b) + c = a + ( b + c )

Ambil sembarang a, b, c R[x] , yaitu :

;

;

;

Maka,

(a + b) + c = [ a(x) + b(x) ] + c(x)

= [ ]

+

= [ ]

+

=

=

=

[ ]

= a (x ) + [ b(x) + c(x) ]

Sifat assosiatif terhadap penjumlahan di R[x] terpenuhi

3. Unsur Identitas relative terhadap penjumlahan

e = 0 R[x] a + e = e + a = a , a R[x]

Unsur identitas dari R[x] relative terhadap operasi penjumlahan polynomial

adalah yaitu polynomial nol.

;

Sehingga,

a + e = a(x) + 0

=

=

=

= 0 + a(x)

= a(x)

unsure identitas terhadap penjumlahan di R[x] terpenuhi

4. Unsur kebalikan dari relative dari penjumlahan

a R[x] a-1 R[x] a + a-1 = a-1 + a = e

Unsur kebalikan dari terhadap operasi penjumlahan adalah unsur

Sehingga,

a + a-1 = a(x) + (-a(x))

=

+

=

=

= (-a(x)) + a(x)

= 0

Unsur invers penjumlahan di R[x] terpenuhi

5. Komutatif terhadap penjumlahan

Adit a, b R[x] , a + b = b + a

Ambil sembarang a, b R[x], yaitu :

;

;

Maka,

a + b = a(x) + b(x)

=

=

=

=

= b(x) + a(x)

Sifat komutatif terhadap penjumlahan di R[x] terpenuhi

6. Sifat ketertutupan terhadap operasi perkalian

Adit. a, b R[x] , ab R[x]

Ambil sembarang a, b R[x], yaitu :

;

;

Maka,

ab = a(x)b(x)

=

=

+

+ ……. +

=

Karena, aibi R dan n Z+, maka, a(x)b(x) R[x]

Sifat tertutup terhadap perkalian di R[x] terpenuhi

Perlu dicatat bahwa,

=

7. Sifat Assosiatif terhadap perkalian

Adit. a, b, c R[x] , (ab)c = a(bc)

Ambil sembarang a, b, c R[x], yaitu :

; =>

; =>

; =>

Maka,

. Maka :

Dengan,

Sehingga,

Dengan cara yang serupa dapat diperlihatkan bahwa:

Dengan maka kita peroleh

:

Dengan:

Sehingga,

Jadi [a(x)b(x)]c(x) = a(x)[b(x)c(x)]

8. Sifat distributive kanan – kiri

a, b, c R[x] berlaku : a(b + c) = ab + ac dan (a + b)c = ac + bc

Ambil sembarang a, b, c R[x], yaitu :

; =>

; =>

; =>

Distributif kanan,

Selanjutnya, misalkan :

Dengan mengingat definisi penjumlahan dan perkalian polynomial, koefisien dari

suku ke k dari adalah :

Tetapi adalah koefisien suku ke k dari adalah

koefisien suku ke k dari .

Karenanya sama dengan koefisien suku ke k dari + . Hal

ini berakibat:

= +

Distributif kiri

Misalkan :

Dengan mengingat definisi penjumlahan dan perkalian polynomial, koefisien dari

suku ke k dari adalah :

Tetapi adalah koefisien suku ke k dari

adalah koefisien suku ke k dari .

Karenanya sama dengan koefisien suku ke k dari + . Hal

ini berakibat:

= +

Sifat distributive kanan kiri terpenuhi.

Teorema 1.1.3

Bila D adalah suatu daerah integral, maka ring polynomial D[x] adalah suatu

daerah integral.

Bukti:

Dengan diketahui D adalah daerah integral, akan ditunjukkan D[x] adalah daerah

integral.

D adalah daerah integral maka D memenuhi :

- Ring komutatif

- Unsur kesatuan

- RTPN

Karena D adalah suatu ring maka Teorema 1.1.2 memperlihatkan bahwa D[x]

adalah suatu ring polinomial.

1. Akan ditunjukkan bahwa D[x] adalah ring komutatif,

Diketahui bahwa D adalah suatu ring komutatif, maka untuk setiap dua unsur

diperoleh .

Ambil sembarang a, b R[x] yaitu :

dan

Maka,

Sehingga D[x] adalah suatu ring komutatif.

2. Akan ditunjukkan bahwa D[x] memiliki unsure kesatuan

Diketahui D adalah suatu daerah integral, maka D mempunyai unsur kesatuan.

Ada sehingga berakibat 1 D[x].

Maka,

a(x) . 1 =

=

= a(x)

3. Akan ditunjukkan bahwa D[x] adalah RTPN

Ambil sembarang a(x), b(x) D(x) yaitu :

Karena dan , maka perkalian polynomial menghasilkan

, hal ini disebabkan oleh . Ini berarti bahwa

dipenuhi hanya bila atau . Sehingga D[x] tidak

mempunyai unsur pembagi nol.

Jadi dari 1, 2, dan 3 disimpulkan bahwa D[x] adalah suatu daerah integral.

A. Pembagian Polinomial

Kita telah mempelajari bagaimana cara membagi suatu polynomial

(dengan koefisien real) berderajat tinggi dengan polynomial berderajat rendah.

Pada bagian ini kita akan melakukan abstraksi dan konsep pembagian polynomial

ini, yakni konsep pembagian polynomial suatu lapangan F. sebagai contoh,

perhatikan polynomial dan di

bawah ini. Pada pembagian ini tentu saja operasi penjumlahan dan perkalian

dilakukan dengan modulo 5.

Sehingga dalam , polynomial dapat ditulis sebagai :

dengan , dan

. Pada pembagian di atas polynomial disebut sebagai hasil bagi

dan polynomial disebut sisa hasil bagi.

Teorema berikut ini memperlihatkan secara umum bahwa kita dapat

melakukan pembagian polynomial atas sebarang lapangan F.

Teorema 1.2.1

Andaikan F adalah suatu lapangan. Bila , dengan ,

maka terdapat polynomial dan di yang tunggal sehingga

dengan atau derajat lebih kecil dari derajat

Bukti:

Dengan menggunakan induksi pada derajat dari polynomial , kita akan

memperlihatkan keberadaan polynomial dan .

Jika atau derajat lebih kecil dari derajat , maka dan

diperoleh dengan dan .

Selanjutnya, andaikan berderajat n dan berderajat m dengan n > m.

Misalkan :

Dengan menggunakan tekhnik pembagian seperti di atas, maka :

Misalkan :

Maka atau derajat lebih kecil dari derajat .

Dengan menggunakan asumsi pada induksi, untuk polynomial terdapat

polynomial dan sehingga dengan

atau derajat lebih kecil dari derajat .

Hal ini berakibat :

Dengan mengambil dan diperoleh:

Dengan atau derajat lebih kecil dari derajat .

Selanjutnya kita akan memperlihatkan ekspresi

adalah tunggal. Misalkan juga dapat ditulis sebagai

dengan atau derajat lebih kecil dari derajat .

Perhatikan bahwa :

=

Sehingga :

Karena derajat dari lebih kecil dari derajat , maka haruslah

. Yakni dan tentunya .

…Sebagai akibat langsung dari teorema 1.2.1 kita peroleh hasil-hasil sebagai

berikut.

Akibat 1.2.2

Andaikan F adalah suatu lapangan. Bila dan , maka

adalah sisa hasil bagi dari oleh .

Bukti :

Menurut teorema 1.2.1 untuk polynomial dan terdapat polynomial

sehingga (dengan derajat lebih kecil dari derajat

).

Akibatnya adalah suatu konstanta yang berada di F, sehingga

.

Karena , untuk kita dapat memandang sebagai suatu pemetaan

;

Sehingga untuk x = a, diperoleh :

,

, yakni sisa hasil bagi .

Akibat 1.2.3

Andaikan F adalah suatu lapangan, dan misalkan dan . Unsur

adalah pembuat nol dari jika dan hanya jika adalah factor dari .

Bukti:

Dengan menggunakan algoritma pembagian, maka polynomial dapat ditulis

sebagai:

Dengan atau derajat adalah 0 atau r(x) adalah konstanta.

i. (=>)

Bila pembuat nol dari , maka:

.

Jadi, adalah factor dari .

ii. (<=)

Sebaliknya jika adalah factor dari ,

Maka terdapat polynomial

sehingga .

Hal ini berakibat :

.

Jadi adalah pembuat nol dari .

Akibat 1.2.4

Bila F adalah suatu lapangan, maka suatu polynomial di yang berderajat

mempunyai paling banyak akar.

Bukti :

Andaikan adalah suatu polinomial berderajat n di . Kita akan

memperhatikan pernyataan di atas dengan menggunakan induksi pada derajat dari

.

Andaikan adalah polynomial berderajat .

Misalkan dengan dan . Akibatnya adalah akar

dari .

Sekarang andaikan berderajat . Andaikan adalah pembuat nol dari

. Menurut akibat 1.2.3, dapat ditulis sebagai dengan

adalah polynomial berderajat , jika adalah akar dari , maka

Karena , maka . Yakni adalah pembuat nol dari . Tetapi

menurut hipotesis induksi mempunyai paling banyak akar . Sehingga

mempunyai paling banyak akar.

B. Polinomial Tak Tereduksi

Pada bagian ini kita akan mendiskusikan polynomial tereduksi dan tak

tereduksi.

Defenisi 1.3.1:

Andai D adalah suatu daerah integral. Misalkan dengan atau

bukan unsure satuan di . Polinomial dikatakan tak tereduksi

atas D jika bilamana dinyatakan sebagai hasil kali dengan

, maka atau adalah satuan di . Suatu unsure tak

nol atau tak satuan dari yang tidak tak tereduksi atas D dikatakan tereduksi

atas D.

Contoh :

Polynomial adalah tak tereduksi atas lapangan bilangan rasional ,

tetapi tereduksi atas daerah integral Z. Perhatikan bahwa jika

dituliskan dalam bentuk , maka salah satu atau harus

merupakan polynomial konstanta di . Sehingga atau merupakan

unsure satuan di , yang berarti tak tereduksi atas . Sebaliknya pada

gelanggang polynomial . Karena dan

keduanya bukan unsure satuan di , maka tereduksi di

.

Teorema 1.3.3

Andai F adalah suatu lapangan dan misalkan f(x) F[x] adalah suatu polynomial

berderajat 2 atau 3. f(x) tereduksi atas F jika dan hanya jika f(x) mempunyai akar

di F.

Bukti :

Adib :

(i) Jika f(x) tereduksi atas F maka f(x) mempunyai akar di F

Andaikan f(x) F[x] adalah suatu polynomial tereduksi berderajat 2

atau 3. Bila f(x) dinyatakan sebagai f(x) = g(x)h(x), maka salah satu

dari polynomial g(x) atau h(x) mestilah berderajat 1.

Tanpa kehilangan keumuman pembuktian, misalkan :

adalah polynomial berderajat 1.

Maka adalah akar dari .

Akibatnya,

f(-ba-1) = g(-ba-1)h(-ba-1)

f(-ba-1) = 0 . h(-ba-1)

f(-ba-1) = 0

Karena f(-ba-1) = 0 , maka f(x) mempunyai akar di F.

(ii) Jika f(x) mempunyai akar di F maka f(x) tereduksi atas F.

Misalkan a F adalah akar dari f(x), maka menurut akibat 1.2.3 maka

f(x) dapat dinyatakan sebagai f(x) = (x – a )h(x).

Jadi, f(x) adalah polynomial tereduksi atas F.

Contoh :

1. Perhatikan polynomial f(x) = x3 + 2x + 1 Z5 [x]

Maka f(0) = 1, f(1) = 4, f(2) = 3, f(3) = 4 dan f(4) = 3.

Sehingga f(x) tidak mempunyai akar di Z5.

Jadi f(x) tak tereduksi atas Z5.

2. Perhatikan polynomial f(x) = x3 + 3x + 1 Z5 [x]

Maka f(0) = 1, f(1) = 0, f(2) = 0, f(3) = 2 dan f(4) = 2.

Sehingga f(x) mempunyai akar di Z5.

Jadi f(x) tereduksi atas Z5.

Karena f(1) = 0 maka f(x) = (x - 1)h(x) = (x + 4)h(x)

Dengan menggunakan pembagian panjang diperoleh :

x3 + 3x + 1 = (x + 4)(x2 + x + 4)

Defenisi 1.3.6

Andaikan adalah suatu polynomial di . Isi dari

didefenisikan sbagi pembagi persekutuan terbesar dari . Suatu

polynomial dinyatakan primitip jika isi dari adalah 1.

Contoh :

Isi dari polinomial adalah 2, karena pembagi

persekutuan terbesar dari 6, 4, 10 dan 18 adalah 2. Sementara isi dari polynomial

adalah 1. Sehingga adalah primitip

Lemma 1.3.8

Bila adalah polynomial primitip, maka adalah

primitip.

Bukti

Kita akan membuktikan lemma ini dengan menggunakan kontradiksi . andaikan

dan adalah polynomial primitip dan misalkan tidak primitip.

Misalkan adalah suatu bilangan prima yang membagi isi .

Misalkan , dan masing- masing adalah polynomial yang

diperoleh dari dan dengan koefisen , dan

dengan .

Jadi , . Selanjutnya perhatikan bahwa =

. Karena pembagi isi dari , maka semua koefisen

adalah kelipatan dari . Hal ini berakibat sebenarnya. Sehingga

. Karena adalah suatu daerah integral maka adalah suatu

daerah integral. Sehingga berakibat atau . Hal ini

berarti bahwa isi dari atau isi dari adalah kelipatan dari , bertentangan

dengan asumsi bahwa dan adalah primitip. Jadi harus

primitip.

Teorema berikut ini menyatakan bahwa untuk memperhatikan suatu

polynomial di tereduksi Z, cukup diperhatikan bahwa polynomial tersebut

adalah tereduksi atas lapangan .

Teorema 1.3.9

Andaikan . Jika tereduksi atas , maka tereduksi atas Z

Bukti

Andaikan . Misalkan dengan . Tan

pa kehilangan keumuman pembuktian kita dapat mengasumsikan bahwa

adalah primitip. Jika tidak primitip, maka kita dapat membagi koefisen dari

dan dengan isi dari . Misalakan adalah kelipatan

persekutuan terkecil dari semua koefisen dari dan misalkan adalah

kelipan persekutuan terkecil dari semua penyebut koefisen dari .maka

. Misalkan dan masing-masing adalah isi dari

dan . Maka dan dengan

dan . Karena adalah primitip, maka

isi dari adalah 1. Hal ini berakibat bahwa isi dari adalah .

Selanjutnya perhatikan bahwa karena dan masing-masing adalah isi dari

dan , maka dan adalah primitip. Lemma menjamin bahwa

adalah primitip, dan akibatnya isi dari adalh primitip. Jadi

dan , yakni terreduksi Z.

Kita akan mereduksikan kreteria-kreteria polimonial dengan koefisen

bilangan bulat yang tak tereduksi atas lapangan bilangan .

Teorema 1.3.10

Andaikan adalah suatu bilangan prima dan misalkan adalah suatu

polynomial berderajat paling sedikit 1. Misalkan adalah polynom

yang diperoleh dari dengan mereduksi koefisien modulo . Jika

tak tereduksi atas dan derajat sama dengan derajat , maka tak

tereduksi atas .

Bukti

Kita buktikan teorema ini dengan kontradiksi. Andaikan adalah tereduksi

atas . Maka menurut teorema 1.3.9 juga tereduksi Z. sehingga dapat

dinyatakan sebagai dengan sederajat dan

lebih kecil dari derajat . Misalkan dan masing- masing adalah

polynomial yang diperoleh dari dan dengan mereduksi koefisien ke

modulo . Hal ini berakibat . Perhatikan bahwa derajat dari

lebih kecil atau sama dengan derajat dari , demikian juga halnya hubungan

antara derajat dengan derajat . Karena derajat sama dengan derajat

, maka derajat dan lebih kecil dari derajat . Tetapi hal ini

berarti adalah tereduksi . Kontradiksi dengan asumsi bahwa tak

tereduksi atas . Jadi tak tereduksi atas .

Contoh 1.3.11

Perhatikan polynomial . Kita akan perhatikan

tak tereduksi atas . Meurut teorema 5.3.10 kita cukup mencari suatu bilangan

prima sehingga tak tereduksi atas . Bila , maka . Tetapi

dan , sehingga tereduksi atas . Akibatnya kita tidk dapat

menggunakan teorema 5.310. sekarang kita tijau untuk . Maka

dan derajat sama denga derajat . Karena

dan , tak tereduksi atas . Akibatnya

tak tereduksi atas

Teorema 1.3.12

Andaikan dan misalkan adalah suatu

bilangan prima. Bila tidak memagi membagi, dan tidak membagi ,

maka adalah tak tereduksi atas

Bukti

Menutut teorema 5.3.9 cukup diperlihatkan bahwa adalah tak tereduksi atas

Z. andaikan sebaliknya tereduksi atas Z, jika kita berharap akan memperoleh

suatu kontradiksi.

Misalkan dengan dan Karena membagi

, maka membagi salah satu dari atau tetapi tidak membagi

keduanya. Tanpa kehilangan keumuman pembuktian misalkan membagi

tetapi tidak membagi . Selanjutnya, karena tidak membagi maka

tidak membagi dan juga tidak membagi . Hal ini berakibat terdapat

suatu bulangan bulat positif terkecil , sehingga tidak membagi .

Sekarang kita perhatikan koefisen dari , dengan

Karena proses pemilihan , maka membagi dan membagi semua

dengan . Hal ini berakibat bahwa harus membagi . Konteradiksi

dengan kenyataan bahwa tidak membagi dan tidak membagi . Sehingga

dalah tak tereduksi atas Z.

Teorema 1.3.13

Bila adalah suatu bilangan prima, maka polimonial siklotomik

adalah tak tereduksi atas lapangan bilangan

rasional .

Bukti

Untuk memperhatikan hal di atas, perhatikan polynomial

   atau

untuk bilangan prima , kriteria Einsensten dipenuhi oleh polynomial .

Sehingga adalah tak tereduksi atas f(x) dan g(x), yakni

, maka bertentangan dengan

kenyataan bahwa adalah tak tereduksi. Jai polynomial adalah tak

tereduksi atas Q