revisi bab 6

8/15/2019 Revisi Bab 6

http://slidepdf.com/reader/full/revisi-bab-6 1/13

6.4. METODE EULER

Mulai dari bagian ini hingga akhir bagian, metode numerik yang digunakan

untuk menyelesaikan MNA (6.1) hanya melalui nilai-nilai fungsi yang diketahui

sebaelumnya. Tinjau MNA (6.1). Misalkan ingin diketahui nilai-nilai y ada x = xr = xo

+ r h dengan r = 1, 2, 3, . . ., n.

!ntuk n = 1. "ersamaan (6.#) menjadi

$

1 $( 1) 1( , )

x

x

y x y y x y dx= = − ∫

%alam (6.11), bila diasumsikan $ $

( ), ,( ) f x y f x y≈ untuk $ 1

x x x≤ ≤ , maka (6.11)

menjadi

1

$

1 $ $ $( , )

x

x

y y f x y dx≈ + ∫

1

$

$ $ $

$ $ $ 1 $

$ $ $

( )

( )( )

(

,

,

,

)

x

x

y f x y

y f x y x x

y hf

dx

x y

= +

= + −= +

∫

Analog, untuk1

n n x x x +≤ ≤ dieroleh

1 ( ),n nn n y hf x y y+ = +

dengan1n n

x x h−− = dan

$,1, &,...,n N =

"ersamaan (6.1&) adalah sebuah integrator yang dikenal dengan sebuatan integrator

metode Euler. 'ntegrator (6.1&) meruakan integrator yang aling sederhana untuk

menyelesaikan MNA (6.1). %engan integrator ini ula, metode-metode imlisit daat

memulai roses enyelesaian MNA. Metode ini, kurang akurat karena adanya asumsi

$ $( ), ,( ) f x y f x y≈

untuk$ 1

x x x≤ ≤ yang ada rinsinya sangat beresiko tinggi.

Asumsi ini akan sangat mendekati yang diharakan jika nilai 1h << . ika ini dilakukan

konsekuensinya adalah semakin banyaknya iterasi yang harus dilakukan.

ontoh 6.*



+unakan metode uler, untuk menyelesaikan ersamaan differensial

y y′ = − dengan syarat

1($) y =

"enyelesaian

Misalkanh

yang akan digunakan adalah$,$1

untuk x

dalam inter/al. "enggunaan

intregator (6.1&) dengan$,$1h =

memberikan hasil berikut

y ($,$1) =

1 + ($,$1) (-1) = $,##

y ($,$&)

=

$,## + ($,$1) (-$,##) =

$,#0$1

y

($,$) =

$,#0$1 + ($,$1) (-$,#0$1)

=

$,#2$

y

($,$*)

=

$,#2$ + ($,$1) (-$,#2$)

=

$,#6$6

3olusi eksak dari ersamaan differensial di atas adaalah y 4 e- x

, dan dari nilai x 4 $,$*

dieroleh nilai y 4 $,#6$6.

6.5. METODE RUNGE-KUTTA



3eerti telah disamaikan di bagian sebelumnya, bah5a metode uler kurang efisien

dalam masalah-masalah raktis, karena dalam metode uler dierlukan h 1 untuk

memeroleh hasil yang 7uku teliti (akurat). Metode 8unge-kutta dibuat untuk

mendaatkan ketelitian yang lebih tinggi dan kelebihan dari metode ini adalah bah5a

untuk memeroleh hasil-hasil tersebut hanya dierlukan nilai-nilai fungsi dari titik-titik

sebarang yang diilih ada suatu inter/al bagian.

6.5.1 Metode Runge-Kutta Orde 2

Metode 8unge-9utta :rde & diberikan dalam skema berikut

1 &1

&n n

k k y y+

+ = + ÷

dengan

1( , ),

n nk hf x y= & 1

1; ,

&n n

k hf y k = ÷

6.5.2 Metode Runge-Kutta Orde 4

Metode 8unge-9utta orde emat diberikan dalam rumus berikut ini

( )1 1 & *

1& &

6n n

y y k k k k + = + + + +



dengan

( )1 , ,n nk f x y=

& , ,& &

nn n

k hk f x y

= + + ÷

, ,

& &

nn n

k hk f x y

= + + ÷

* ,&n n

h

k f x y k

= + + ÷

h = step size

ontoh 6.<

%iberikan MNA dalam bentuk

dy

y xdx

= −

dengan

( )$ & y =.

Tentukan y ($,1) dan y ($,&) teliti hingga emat temat desimal

"enyelesaian

!" Metode Runge-Kutta Orde Dua

"ilih h = $,1 , f ( x, y) = y = x, dan

( )$ & y =. 9emudian tentukan nilai-nilai koefisien

1k

dan&

k

dengan 7ara berikut

( ) ( )1 $ $, $ $,1 ($,&) $,1 & $ $,&k hf hf x y f = = = = − =

( )

( )

( )

& $ $ 1

&

&

, $,1> ($ $,1, & $, &)?

$,1 $,1-&,&

$,1 &,& $,1 $,&1

k hf x h y k f

k f

k

= + + = + +

= = − =

9emudian dihitung nilai y ertama yaitu



( )1

$ 1 &

$,1

@

& @ $,&

(

$,&1

&, &$<$

)

( )

y y

y k k

=

= + +

= + +

=

+una mendaatkan nilai fungsi( )& $,& y y=

, dierlukan

$,1o x =

dan

&,&$<$.o

y =

%engan 7ara yang sama dieroleh

( )

( )

( )

1 $ $,

$,1 $,1-&,&$<$

$,1 &,&<$ $,1$,&&1<<

k hf x y

f

f

=

=

= −=

( )

( )

( )

& $ $ 1, ,

$,1 $,1&,*1<<

$,1 &,*1<< $,&

$,&&1<<

k hf x h y k

f

f

= +

=

= −

=

sehingga

( )

( )

1&& $ 1 &

1&&,&$<$ &,*1<< $,&&1<<

&,*&1$

y y k k = + +

= + −

=

Analog akan dieroleh ula

( ) $, &,6*#& y y= =

dan

( )* $,* &,0#$# y y= =

!ntuk keerluan embanding, daat dierlihatkan bah5a ketika ilihan h 4 $,& dieroleh

( ) ( )$, & &,*&$$ $, * &,000$.

y dany= =



%ari hasil nemerik ini, memerlihatkan betaa ilihan h memainkan eranan dalam hal

keakuratan aroksimasi.

3ementara itu, solusi se7ara analitik MNA dalam ontoh 6.< adalah fungsi1 x y x e= + +

3olusi analitik untuk nilai-nilai y ($,&) dan y ($,*) berturut-turut adalah &,*&1* dan

&,0#10.

erikut ini rekaitulasi nilai-nilai fungsi solusi ontoh 6.<. yang telah dikemukakan.

x

y hitung

y eksak

selisih

8asio

$,&

h 4 $,1

&,*&1$

&,*&1*

$,$$$*

,<

h 4 $,&

&,*&$$



$,$$1*

$.

h 4 $,1

&,0#$#

&,*#10

$,$$$#

*,&

h

4 $,&

&,000$

$,$$0



%ari tabel di atas terlihat bah5a metode 8unge-9utta orde dua kon/ergen.

!!". Metode Runge-Kutta Orde Em#at

Analog dengan langkah-langkah enyelesai MNA dengan metode 8unge-9utta orde dua,

Metode 8unge-9utta orde emat (6.1<) memberikan untuk h 4 $,1



( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 $ $

1 1& && $ $ 1

1 1& & $ $ &

* $ $

, $,1($, &)

$,1 & $ $,&

,

$,1 $,$<, &,1

$,1 &,1 $,$< $,&$<

,

$,1 $,$<, & $,1$&<

$,1 &,1$&< $,$< $,&$<&<

,

$,1 $,1,&,&$<&<

$,1 &,&$<&< $,1 $,&1$<

k hf x y

f

k hf x h y k

f

k hf x h y k

f

k hf x h y k

f

= =

= − =

= + +

=

= − =

= + +

= +

= − =

= + +

=

= − =

%ari nilai-nilai tersebut dieroleh

( )1 $ 1 & *( )

(

$,1 & &

& $,& $,*1$ $,*1 )$< $, &1$*

&,&$<&

y y y k k k k = = + + + +

= + + + +

=

dengan 7ara yang sama didaat juga

( )$,& &,*&1* y =.

6.6. METODE-METODE $ENTUK %M&L%'%T

Metode-metode yang telah dibahas sebelumnya adalah metode-metode bentuk ekslisit

(terbuka) yakni metode yang memberikan se7ara langsung nilai-nilai1n y +

ketika nilai

,( )n n x y

diberikanBdiketahui. Metode ekslisit juga dikenal sebagai metode

rediksi( predictor ). 3ebaliknya, metode imlisit, ia t!da( lang)ung memberikan nilai-

nilai yn+1 ketika asangan nilai,( )n n x y

diberikan. Metode ini memerlukan beberaa kali

roses yang samaBberulang atau memerlukan nilai1, 1( )

n n x y+ +

untuk mendaatkan nilai-

nilai yn+1. %engan keadaan ini, metode imlisit memerlukan 5aktu lebih lama

dibandingkan metode ekslisit. Cal ini dikarenakan erlunya roses ekstra untuk

mendaatkan nilai yang sama atau sangat dekat dengan yn+1 . Metode imlisit juga

dikenal dengan sebutan metode corrector karena 7ara kerja metode ini adalah mengoreksi

setia nilai aroksimasi yn+1 yang sesuai yakni ketika berlaku kondisi



1

1 1 1

k k

n n n y y y++ + +≈ − <

toleransi,$,1, &,...,k N =

Toleran)! dalam ersamaan (6.16) diambil sesuai kebutuhan (umumnya toleransi

$,1).< !ntuk

$,k =nilai

$

1n y +

aling mudah diambil dari Metode uler ersamaan (6.1&).

%ua metode imlisit yang 7uku dikenal adalah metode Aturan N!la! Tenga*( Mid Point

Rule) dan metode Gau))-Legendre.

6.6.1 Metode Aturan N!la! Tenga* Mid Point Rule"

Metode Aturan Nilai Tengah diberikan dalam bentuk sebagai berikut

11

&

n nn n

y y y y hf +

+

+ = + ÷

6.6.2 Metode Gau))-Legendre Orde Em#at

Metode +auss-Degendre orde emat diberikan dalam bentuk berikut

1 &1

& &n n k k y y h+ = + + ÷

dengan

( )1 &

&&

11 & &

* & 1& *, - ,n n n n

k k f

k k k x y k f x yτ τ

÷= + = + − ÷+ + ÷ ÷ ÷

+ ÷ ÷ ÷÷

3oal-soal Datihan

1. %ari

1,dy

xydx

= +

dan

( )$ 1, y = tentukan jarak

( ) y x

dan hitunglah

( )$,1 y

teliti

hingga empat tempat desimal.



2. Gunakan metode deret Taylor, untuk membuktikan bahwa solusi

dari

&

&$

d y y xy

dx+ =

, dengan

$, , $dy

x y cdx

= = =

, daat dinyatakan oleh

6 #1 1

1 ...E 6

* #

E #

*

E

x y c x x

× × × = − + − +

%iberikan MNA sbagai berikut

&

1dy

dx x y=

+ dengan syarat a5al

(*) * y =

+unakan deret Taylor untuk mendaatkan

( )*,1 y

dan

( )*,& y

.

!ntuk MNA berikut ini, tentukanlah solusi ersamaan tersebut dalam bentuk

erangkatan dari x dengan memakai metode "i7ard, kemudian hitung y ($,1) teliti

hingga emat temat desimal.

&dy x y

dx= −

dengan syarat a5al

( )$ 1 y =

3elesaikan dengan menggunakan metode uler ersamaan differensial

dy x ydx

= +

dengan

syarat

( )$ $ y = ilih

$,&h = dan hitung

( )$,* y

dan

( )$,6 y

.

%iberikan ersamaan

&dy x y

dx= +

dan

( )$ 1 y =. Tentukan

( )$,$& y

,

( )$,$* y

dan

( )$,$6 y

dengan menggunakan modifikasi metode uler.

+unakan metode oerde keemat 8unge-9utta untuk men7ari nilai y

untuk1 x =

, bila

diketahui bah5a1 y =

untuk$ x =

dan

dy y x

dx y x

−=

+.

uatlah daftar sousi dari,

dy x y

dx= +

dengan

( )$ $ y =

!ntuk$, * 1,$ x< <

dengan$,1h =

, menggunakan formula 89* dan Mid "oint 8ule.

revisi bab 6

Documents