representasi runtun fourier

Lab. Sistem KomunikasiTeknik Telekomunikasi, Jurusan Teknik Elektro

Fakultas Teknik Universitas Udayana

Representasi Deret Fourier Pada Sinyal Waktu-Kontinyu Periodik

Dr. I Made Oka Widyantara, ST, [email protected]

Pendahuluan

Representasi Fourier membuat penafsiran baru sinyal dari konten frekuensinya dan disebut dengan Spektrum Frekuensi.

Dalam kawasan frekuensi sistem waktu-invarian linier bertindak sebagai filter spektrum frekuensi sinyal masukan meredam beberapa frekuensi dan memperkuat di beberapa frekuensi lainnya.

Sifat sistem waktu-invarian linier ini disebut sebagai respon frekuensi sistem

Konsep kawasan frekuensi adalah fundamental dalam teknik elektro , terutama pada bidang desain filter, analog dan digital, kontrol umpan balik dll

LINEAR COMBINATIONS OF HARMONICALLY RELATED COMPLEX EXPONENTIALS Setiap sinyal memiiki frekuensi dasar yaitu perkalian (m-k) dengan o

sehingga sinyal-sinyal tersebut adalah periodik dengan perioda T

Bagian Imajiner k(t) untuk k = 0, 1, 2 dan T = 1s

cos sinje j

LINEAR COMBINATIONS OF HARMONICALLY RELATED COMPLEX EXPONENTIALS Kombinasi linier dari eksponensial komplek k(t) adalah juga periodik

dengan perioda dasar T.

Dua bentuk dengan k= 1 dari runtun sinyal disebut dengan komponen dasar atau komponen harmonik pertama dari sinyal

Bentuk kedua dengan k= 2 disebut komponen harminik kedua dengan frekuensi dasar 2o

Secara umum untuk k = N adalah komponen harmonik ke-N

(2)

LINEAR COMBINATIONS OF HARMONICALLY RELATED COMPLEX EXPONENTIALS Contoh : Perhatikan sebuah sinyal periodik dengan frekuensi dasar

o=/2 rad/s disusun dari penjumlahan 5 komponen harminik yaitu :

Menggabungkan semua komponen harmonik

Penentuan Representasi Deret Fourier Pada Sinyal Periodik Waktu-Kontinyu

Asumsikan :

◦ Sinyal periodik adalah kombinasi linier dari harmonik sinyal (persamaan 2)

Jika sinyal periodik x(t) memiliki representasi deret Fourier, maka dua pasang representasi sinyal dapat dinyatakan sebagai:

Persamaan sintetik Representasi kawasan waktu sinyal sebagai penjumlahan sinyal-sinyal eksponensial kompleks periodik

Persamaan analisisRepresentasi kawasan frekuensi sinyal sebagai koefisien deret FourierKoefisien spektral dari x(t)

(3)


Keterangan : Koefisien adalah koefisien DC sinyal (nilai rata-rata

sinyal dalam satu perioda).

Untuk sinyal riil dari x(t), a-k = ak* .

Asumsikan ak = Akejk. Ak, k R. Maka bentuk riil dari deret Fourier adalah :

0

1( )

T

a x t dtT

(4)


Jika koefisien deret Fourier dinyatakan dengan ak = Bk+ jCk ; Bk, Ck R, bentuk lain dari deret Fourier adalah :

(5)


Representasi deret Fourier dari sintal x(t) adalah

GRAPH OF THE FOURIER SERIES COEFFICIENTS:THE LINE SPECTRUM Himpunan koefisien deret Fourier komplek sinyal, bagian magnituda

dan phase dapat diplot secaraterpisah. Kombnasi kedua plot disebut dengan spektrum sinyal

GRAPH OF THE FOURIER SERIES COEFFICIENTS:THE LINE SPECTRUM

GRAPH OF THE FOURIER SERIES COEFFICIENTS:THE LINE SPECTRUM M-file %% Line spectrum of Fourier series coefficients

% Amplituda dan perioda sinyalA=1;T=1;% Jumlah harmonisaN=10;% Menghitung ak pertamaa0=0;spectrum=zeros(1,2*N+1);for k=-N:N% Koefisien spektral dari sinyal gigi gergaji (sawtooth signal) if k>0 eval(['a' num2str(k) '=-j*A/(k*pi)']) eval(['spectrum(k+N+1)=a' num2str(k)]); elseif k<0 eval(['a_' num2str(abs(k)) '=-j*A/(k*pi)']) eval(['spectrum(k+N+1)=a_' num2str(abs(k))]); end eval(['spectrum(N+1)=a0']);end% Spektrum garisK=[-N:N];subplot(211)stem(K,abs(spectrum),'.-')subplot(212)stem(K,phase(spectrum),'.-')

GRAPH OF THE FOURIER SERIES COEFFICIENTS:THE LINE SPECTRUM

PROPERTIES OF CONTINUOUS-TIME FOURIER SERIES

Catat bahwa jika sinyal periodik x(t) adalah representasi deret Fourier, maka himpunan koefisien-koefisien spektral menentukn x(t) secara lengkap.

Dualitas antara sinyal dan representasi spektralnya dinyatakan dengan :

Sifat-sifat deret Fourier sangat mudah ditunjukan dengan menggunakan persamaan

( )FS

kx t a


Linierity

Operasi perhitungan koefisien deret Fourier dari sinyal periodik adalah linier. Untuk :

Jika dibentuk kombinasi linier z(t) = αx(t) + βy(t), α, β R, maka

Contoh :

Asumsikan

( )FS

kx t a ( )FS

ky t b

( ) exp[ ]

( ) exp[ ]

n on

n on

x t jn t

x t jn t

1 2

1 2

( ) ( ) ( );

, konstan

z t k x t k y t

k k

1 2

0

( ) exp[ ]

exp[ ]

n n on

nn

z t k k jn t

jn t

Koefisien Fourier dari z(t) adalah

1 2n n nk k


Time-Shifting Adalah perkalian dengan sebuah sinyal eksponensial kompleks.

Untuk

Jika x(t) memiliki koefisien deret Fourier cn, maka sinyal x(t-) memiliki koefisien dn , yaitu :

( )FS

kx t a 0 00( )

FSjk t

kx t t e a

1( )exp[ ]

1exp[ ] ( ) exp[ ]

exp[ ]

n o

T

o o

T

n o

d x t jn t dtT

j x jn dT

c jn


Contoh : Perhatikan sinyal periodik dibawah. Sinyal x(t) merupakan penjumlahan dari dua sinyal x1(t) dan x2(t), masing-masing dengan

perioda 2/o

Jika βn dan γn adalah koefisien deret Fourier dari x1(t) dan x2(t), tentukan koefisien deret Fourier dari x(t).

01

0

0 0

( )

sin 0o

jika t

x t

E t jika t

2 1 0( )x t x t


Time Reversal

Identik dengan pembalikan urutan sinyal x(t) atau sering disebut dengan simetri.

Tipe simetri :

1. x(t) genap, deret koefisien adalah juga genap (a-k = ak)

2. x(t) ganjil, deret koefisien adalah juga ganjil (a-k = -ak)


Dari persamaan (5), ak = Bk+ jCk ; Bk, Ck R

Sifat-sifat simetri dapat menyederhanakan perhitungan koefisien deret Fourier.

◦ Deret Fourier dari sinyal x(t) genap pada perioda T adalah deret Cosinus Fourier

◦ Deret Fourier dari sinyal x(t) ganjil pada perioda T adalah deret Sinus Fourier

01

2( ) cosk

k

k tx t a B

T

/2

0

0

2( )

T

a x t dtT

/2

0

4 2( )cos

T

k

k tB x t dt

T T

;

/2

0

4 2( )sin

T

k

k tC x t dt

T T

1

2( ) sink

k

k tx t C

T

;


Multiplication of Two Signals

Suppose that x(t) and y(t) are both periodic with period T. For , , we have

Contoh : 0

0

( ) exp[ ]

( ) exp[ ]

nn

mm

x t jn t

y t jm t

X(t) dan y(t) adalah sinyal periodik dengan perioda sama

Maka :

0 0

0

0

( ) ( ) ( )

exp[ ] exp[ ]

exp[ ( ) ]

exp[ ]

n mn m

n mn m

l m ml m

z t x t y t

jn t jm t

j n m t

jl t

Penjumlahan konvolusi

(6)


Persamaan (6) menunjukan bahwa koefisien Fourier dari perkalian z(t) sama dengan penjumlahan konvolusi dua sekuen yang dibangkitkan oleh masing-masing x(t) dan y(t).

Jika y(t) diganti dengan y*(t), maka

dan

Deret Fourier Gelombang Rektangular Periodik

Perhatikan gelombang rektangular (gelombang kotak) dengan perioda dasar T dan frekuensi dasar 0 = 2/T

Sinyal adalah genap dan riil, maka koefisien deret Fourier adalah juga riil dan membentuk sekuen genap.

Nilai DC = area satu rektangle dibagi oleh perioda a0 = 2t0/T. Koefisien spektral lainnya diperoleh dengan :

(7)

Deret Fourier Gelombang Rektangular Periodik

Kesimpulan :

Koefisien a0 adalah rata-rata sinyal pada satu perioda. Koefisien yang lain adalah sample-sample yang diskalakan pada fungsi sinc kontinyu riil, yaitu :

http://en.wikipedia.org/wiki/Sinc_function

Deret Fourier Gelombang Rectangular Periodik

Kasus :

Siklus gelombang rectangle pada satu perioda adalah = 2t0/T. Koefisien spektral dinyatakan menggunakan fungsi sinc dan siklusnya dinyatakan dengan :

Siklus sering dinyatakan dengan persentase (%). Untuk siklus 50%, yaitu = ½, maka

Deret Fourier Gelombang Rectangular Periodik

Untuk siklus = 1/8

Kesimpulan :

◦ Untuk siklus panjang, koefisien spektral Fourier cendrung 1

◦ Untuk siklus pendek, koefisien spektral Fourier cendrung ke 0, dan lebih banyak spektrum garis pada lobe utama. Jadi sinyal periodik dengan siklus pendek memiliki komponen harmonik yang signifikan di frekuensi tinggi.

Optimalisasi dan Konvergensi Deret Fourier

Untuk mempelajari konvergensi deret Fourier, perhatikan permasalahan pendekatan sinyal periodik dengan penjumlahan berhingga sinyal harmonik, yaitu :

Pertanyaan : Apakah koefisien deret Fourier akan memberikan pendekatan terbaik untuk sinyal diatas.

Definisikan error pendekatan sebagai :

Definisikan energi pada satu perioda sinyal error sebagai kuantitas minimal untuk mendapatkan pendekatan terbaik


Maka :

Kemudian, nyatakan koefisien dalam koordinat rectangular ak = αk + jβk


Minimalkan energi EN(αk ,βk) dengan differensial parsial pada αk dan βk dan setting hasilmya menjadi nol.

Persamaan akan konvergen, jika koefisien deret Fourier:

Dengan cara yang sama, dengan memperhatikan βk , konvergensi akan diperoleh, jika :

Maka koefisien komplek meminimalkan error pendekatan.

Kondisi-kondisi Dirichlet

Apakah kelas-kelas sinyal-sinyal periodik memiliki representasi deret Fourier?

Contoh : Kelas sinyal periodik dengan energi berhingga pada satu perioda sinyal (daya rata-rata total adalah berhingga), yaitu :

Sinyal ini memiliki deret Fourier dan konvergen dalam arti bahwa daya sinyal sebagai perbedaan antara sinyal dan representasi deret Fourier adalah nol

Catatan : tidak berarti bahwa sinyal x(t) dan representasi deret Fouriernya adalah sama di setiap t

Kondisi-kondisi Dirichlet

Pendapat lain: Sinyal memiliki representasi deret Fourier jika memenuhi 3 (tiga) kondisi Dirichlet, yaitu :

◦ Kondisi 1 : Pada setiap perioda, x(t) harus absolutely integrable

◦ Kondisi 2 : Dalam setiap interval waktu berhingga, x(t) harus dibatasi variasinya. Ini berarti bahwa x(t) harus memiliki jumlah maxima dan minima berhingga selama satu perioda. Contoh : sinyal x(t) = sin (2/t), pada interval 0 < t 1 tidk

memenuhi kondisi 2, karena terdapat osilasi tak hingga ketika mendekati nol

◦ Kondisi 3 : dalam interval waktu berhingga, x(t) memiliki jumla diskontinyu berhingga. Selanjutnya, setiap diskontinyu ini adalah juga berhingga

GIBBS PHENOMENON

Perhatikan kembali gelombang rectangular dengan koefisien spektral dihitung dengan :

dan penjumlahan berhingga Fourier (N=7) (truncated Fourier version) dinyatakan dengan :

Terdapat riak amplituda pada sinyal pendekatan, terutama ketika mendekati bagian diskontinyu sinyal

GIBBS PHENOMENON

Untuk N= 19 sinyal pendekatan lebih mendekati sinyal rectangular

Kesimpulan :

◦ Amplituda puncak tidak berkurang ketika N lebih besar.

◦ Overshoot pertama pada kedua sisi diskontinyu adalah 9% dari tinggi diskontinyu sinyal rectangular

FOURIER SERIES OF A PERIODIC TRAIN OF IMPULSES

Impulse train :

Koefisiein deret Fourier dihitung dengan :

The spectrum of an impulse train is a real, constant sequence. This means that the impulse train contains harmonics of equal strength at all frequencies, up to infinity


The Fourier series coefficients of the periodic signal x(t) are obtained by multiplying the spectrum (Fourier transform) of xT(t) by the spectrum of the impulse train.

PARSEVAL THEOREM

Parseval theorem atau Parseval equality menyederhanakan bahwa total daya rata-rata sinyal periodik x(t) adalah sama dengan jumlah daya rata-rata seluruh komponen harmoniknya

Daya dalam sinyal periodik x(t) dinyatakan dengan :

Catatan: Pk = P-k, sehingga daya total komponen harmonik ke-k sinyal (yaitu daya total di frekuensi k0) adalah 2 Pk

Total daya sinyal rata-rata diberikan dalam kawasan frekuensi oleh Parseval theorem adalah:

PARSEVAL THEOREM

POWER SPECTRUM

Spektrum daya sinyal adalah daya rata-rata sekuen dalam setiap harmonik kompleks : |ak|2

Untuk sinyal periodik riil, spektrum sinyal adalah riil, sehingga

|a-k|2 = |a*k|2 = |ak|2

Contoh : Spektrum daya gelombang rectangular amplituda-unit step dengan

siklus = 1/8, diberikan oleh :

We can see that most of the power is concentrated atDC and in the first seven harmonic components, that is, in the frequency range [-14/T, 14/T] rad/s.

TOTAL HARMONIC DISTORTION

Contoh gelombang sine terdistorsi

Satu cara untuk mengkarakteristikan distorsi sinyal adalah dengan menghitung rasio daya rata-rata seluruh harmonik. Rario ini disebut dengan total harmonic distortion (THD)

Dimana :

2

22: 100 % : 100 %k

RMS k

RMS dasar k

aX

THDX a

2

12RMS dasarX a

TOTAL HARMONIC DISTORTION

STEADY-STATE RESPONSE OF AN LTI SYSTEMTO A PERIODIC SIGNAL Respon sistem LTI dengan respon impulse h(t ) untuk sinal

ekponensial kompleks est adalah :

dimana

Untuk s = j output

Fungsi kompleks H(s) dan H(j) disebut sebagai fungsi transfer dan respon frekuensi

Dengan superposisi, output sistem LTI untuk sinyal periodik yang dinyatakan oleh deret Fourier adalah :

Koefisien deret Fouriernya adalah :

STEADY-STATE RESPONSE OF AN LTI SYSTEMTO A PERIODIC SIGNA

Filtering

Filtering a periodic signal with an LTI system involves the design of a filter with a desirable frequency spectrum H( jk0 ) that retains certain frequencies and cuts off others.

Filtering

representasi runtun fourier

Documents