PAPER TEKNIK PEMROSESAN SINYALWAVEFORM SPECTRA

OLEHArdiyan Handayani(13050514034)Rudianto (13050514050)ELKOM 13 B

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYAFAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK ELEKTRO2015A. Pulse TrainGelombang pulsa atau deretan pulsa adalah jenis non-sinusoidal gelombang yang mirip dengan gelombang persegi , tetapi tidak memiliki bentuk simetris terkait dengan gelombang persegi yang sempurna. Ini adalah istilah umum untuk synthesizer pemrograman, dan merupakan gelombang khas yang tersedia di banyak synthesizer. Bentuk yang tepat dari gelombang ditentukan oleh siklus dari osilator . Dalam banyak synthesizer, siklus dapat dimodulasi (kadang-kadang disebut pulse-width modulation) untuk timbre lebih dinamis. Gelombang pulsa juga dikenal sebagai gelombang persegi panjang, yang periodik versi fungsi persegi panjang.Seri Fourier eksponensial untuk gelombang pulsa persegi panjang dengan periode T dan waktu pulsa adalah

komponen dc dilihat diberikan dengan :

dan amplitudo n harmonik dengan : Sebuah deretan pulsa ditampilkan pada gambar dibawah ini :

Di sini an dan bn adalah koefisien didefinisikan sebagai integral dalam hal tertentu x(t).Dalam antisipasi hasil berikutnya, bentuk persamaan untuk an mungkin akan dirubah sebagai berikut. Dengan x = n /T0, kemudian dibiarkan sebagai latihan siswa untuk menampilkan bahwa an = fungsi (sin x)/x sering terjadi dalam belajar spektrum. Pada saat x = 0, sehingga x = k untuk k = 1, 2,... . dalam praktiknya persamaan diatas x adalah variabel diskrit, dan k = = n /T0 itu tidak semestinya utuh.Karena adanya signifikansi dalam komunikasi digita, fungsi (sin x)/x diberikan nama khusus. Itu dikenal sebagai sampling function, ditulis Sa(x) dimana Sa(x) = Kadang ditandai dengan fungsi yang behubungan dikenal sebagai sinc function, ditulis sinc k, dimanaSinc k = Dalam kenyataan ini hanya perbedaan dalam notasi, tapi kedua fungsi secara luas digunakan dalam latihan, dan sehingga ini terbaik agar lebih mudah dipahami. Kedua fungsi yang ada dalam grafik dan bentuk tabel. Fungsi sinc akan digunakan dalam tulisan ini, dan dalam persamaan dibawah ini an = sinc B. Beberapa Sifat Umum Gelombang PeriodikKetika menentukan spektrum untuk gelombang pendahulunya, sifat tertentu yang disimpulkan dari simetri gelombang. beberapa sifat dan lain-lain adalah sebagai berikut.1. Jika salah satu siklus gelombang memiliki area yang sama atas dan di bawah sumbu waktu tidak akan ada istilah dc2. Jika gelombang simetris terhadap sumbu vertikal perluasan trigonometri hanya akan berisi istilah cosinus. simetri ini mengharuskan bahwa bentuk gelombang menjadi fungsi, atau v(-t) = v(t).3. Jika komponen ac gelombang miring-simetris terhadap sumbu vertikal perluasan trigonometri hanya akan berisi istilah sinus. simetri ini mengharuskan bahwa komponen ac menjadi fungsi ganjil, atau v(-t) = -v(t)4. Jika gelombang memiliki diskontinuitas yang terbatas (seperti transisi dari satu tingkat ke yang lain dalam gelombang persegi, atau perubahan mendadak di puncak gelombang segitiga), maka spektrum akan berisi jumlah tak terbatas harmonik. Penurunan ini dalam amplitudo setidaknya secepat 1/n.C. Exponential Fourier SeriesCosinus sudut dapat ditulis dalam syarat eksponensial :Cos = Amplitudo ini dua eksponensial istilah adalah sama di cn = An/2 dan sudut fase berbeda dengan 180. dengan menunjukkan eksponensial positif sebagai fasor pada frekuensi +nf0 dan eksponensial negatif pada frekuensi nf0, bentuk eksponensial spektrum dibuat, . ini dikenal sebagai spektrum dua sisi, karena menggunakan frekuensi positif dan negatif. harus dipahami, bagaimanapun, bahwa komponen ini harus selalu datang berpasangan untuk membuat istilah trigonometri yang sesuai pada nyata (positif) frekuensi nf0.Dengan satu modifikasi tambahan, seri Fourier trigonometri dapat ditulis bentuk eksponsial sangat padat. modifikasi adalah untuk menginterpretasikan komponen dc sebagai istilah cosinus dari nol frekuensi dan fase nol sudut, yang kemudian memungkinkan persamaan untuk v(t) bisa ditulis :Eksponensial Fourier Series menggunakan, bukan dasar dari sinus dan cosinus dari trigonometri Fourier Series, sebuah basis setara fungsi eksponensial. Basis ini mungkin terlihat seperti

di mana, seperti sebelumnya, w 0 adalah frekuensi dasar sinyal dan j = -1 (Sering terlihat di tempat lain seperti i) Hubungan antara ini dasar dan dasar trigonometri sebelumnya Anda hanya melihat karena identitas yang sangat penting yang sering disebut Euler Persamaan: e i = cos () + saya sin () (Di mana i = -1) atau e j = cos () + j sin () (Dimana j = -1) (Versi akrab bagi insinyur listrik). Orang tidak intuitif mengasosiasikan eksponensial dengan perilaku berfluktuasi sebagai salah satu tidak dengan fungsi trigonometri. Namun ketika bilangan kompleks yang terlibat dan Euler Persamaan dibesarkan, mereka menjadi setara. Misalnya, eksponensial kompleks ini tidak busuk dari waktu ke waktu sebagai versi yang sebenarnya tidak, melainkan berosilasi terus dengan kedua bagian real dan imajiner melakukannya. Jika Anda mencoba untuk membayangkan ini, memikirkan vektor satuan dari asal dalam bidang dua dimensi, dengan ujungnya pada titik (cos (), sin ()) Sebagai meningkat dalam waktu, ujung vektor terjadi di sekitar dan di sekitar titik asal. Bentuk kompleks dan trigonometri dari Fourier Series sebenarnya setara. Hal ini dapat dilihat dengan sedikit ilmu aljabar. Menggunakan identitas trigonometri cos (-) = cos (), sin (- ) = - sin () satu mendapatkan bahwa e -j = cos () - j sin () dari e j = cos () + j sin () menambahkan dua persamaan ini bersama-sama dan membaginya dengan 2 hasil cos () = (E j + E -j) / 2 sementara mengurangkan mereka dan membaginya dengan 2j hasil sin () = (E j - E -j) / 2j. Dengan demikian eksponensial kompleks dapat dinyatakan berfungsi sebagai trigonometri sementara fungsi trigonometri dapat dinyatakan sebagai eksponensial kompleks. Insinyur listrik lebih suka versi yang kompleks, sementara fisikawan dan insinyur mekanik lebih trigonometri tersebut. Selanjutnya, untuk setiap f sinyal (t) lebih [0, T 0], atau f periodik (t) dengan periode T 0 kita dapat menghitung eksponensial Fourier Series. Kita mulai dengan menulis karena basis set kami sekarang . Kita harus menemukan D 0 dan D n koefisien untuk menemukan EFS dari sinyal f. Seperti sebelumnya dengan trigonometri Fourier Series danSeri Fourier eksponensial secara luas telah digunakan di lebih teks lanjutan untuk kemudahan yang memungkinkan manipulasi matematika untuk dilakukan. manipulasi seperti tidak akan diperlukan dalam teks ini, namun, sama-sama penting, seri Fourier eksponensial membentuk dasar untuk sebagian besar Fast Fourier Transform program komputer yang digunakan untuk menentukan koefisien Fourier. program ini tersedia secara luas, dan untuk memanfaatkan secara efisien, pengetahuan tentang latar belakang untuk metode ini diperlukan.Seperti yang telah disebutkan, dalam situasi tertentu bentuk fungsional untuk v (t) tidak akan diketahui. dalam situasi ini integral dari persamaan dievaluasi dengan memperlakukannya sebagai suatu daerah di bawah kurva dan mendapatkan nilai perkiraan untuk daerah, menggunakan aturan daerah seperti aturan persegi panjang. Program FFT mengikuti pendekatan ini, dan ini memiliki pengaruh pada bagaimana data harus dimasukkan ke dalam program dan bagaimana hasilnya harus ditafsirkan, seperti yang akan ditampilkan segera.

D. DERET FORIER DAN TRANSFORMASI FORIERDalammatematika,Deret Fouriermerupakan penguraianfungsi periodikmenjadi jumlahan fungsi-fungsi berosilasi, yaitu fungsi sinus dan kosinus, ataupun eksponensial kompleks. Studi deret Fourier merupakan cabanganalisis Fourier. Deret Fourier diperkenalkan olehJoseph Fourier(1768-1830) untuk memecahkan masalahpersamaan panasdi lempeng logam.Persamaan panas merupakanpersamaan diferensial parsial. Sebelum Fourier, pemecahan persamaan panas ini tidak diketahui secara umum, meskipun solusi khusus diketahui bila sumber panas berperi laku dalam cara sederhana, terutama bila sumber banas merupakan gelombangsinusataukosinus. Solusi sederhana ini saat ini kadang-kadang disebut sebagai solusi eigen. Gagasan Fourier adalah memodelkan sumber panas ini sebagai superposisi (atau kombinasi linear)gelombang sinus dan kosinus sederhana, dan menuliskan pemecahannya sebagai superposisi solusi eigen terkait. Superposisi kombinasi linear ini disebut sebagai deret Fourier.Meskipun motivasi awal adalah untuk memecahkan persamaan panas, kemudian terlihat jelas bahwa teknik serupa dapat diterapkan untuk sejumlah besar permasalahanfisikadan matematika. Deret Fourier saat ini memiliki banyak penerapan di bidangteknik elektro, analisisvibrasi,akustika,optika,pengolahan citra,mekanika kuantum, dan lain-lain.Definisi :Deret Fourier adalah salah satu cara merepresentasikan bentuk sinyal ke domain frekuensi. Deret Fourier hanya berlaku untuk sinyal periodik.Transformasi Fourier Diskrit (TFD) adalah cara untuk merepresentasikan sinyal periodik dan non-periodik ke domain frekuensi. Sehingga analisis fourier ada dua macam, yaitu untuk fungsi periodik menggunakan Deret Fourier, sedangkan untuk fungsi non periodik menggunakan Transformasi Fourier. Pada prinsipnya analisis Fourier untuk sinyal waktu-diskrit dapat dianalogikan dengan sinyal waktu-kontinyu sebab fungsi diskrit dan kontinyu perbedaannya hanya pada pendefinisian pada waktunya saja, fungsi kontinyu terdefinisi untuk semua waktu, sedangkan fungsi diskrit hanya terdefinisi untukwaktu tertentu saja, sehingga notasinya pun diubah, seperti t menjadi n dan bentuk integral ( ) menjadi sigma ( ).1. Deret Forier Untuk Waktu Kontinyu

Menurut teori Fourier setiap fungsi periodik dengan frekuensi 0 dapat di ekspresikan sebagai perjumlahan dari fungsi sinus ataupun kosinus.Fungsi Periodik: Deret Fourier:

Koefisien Forier :

Contoh: Tentukan deret Fourier dari sinyal di bawah ini:

Dengan T = 2 dan Bentuk persamaan gelombang:

Jawab:Dengan menggunakan rumus deret Fourier!

2. Deret Forier Untuk Waktu Diskrit :

Deret Fourier untuk sinyal diskrit dengan perioda N dapat ditulis:

Dengan Ck adalah:

Contoh: Tentukan konstanta Fourier ck dari sinyal waktu-diskrit periodik dengan perioda N = 4 dan x(n) = {1, 1, 0, 0)Jawab:Dengan rumus:

3. Transformasi Deret Forier Transformasi Fourier dari x(n) didefinisikan sebagai :

Secara fisis, X() menyajikan isi frekuensi sinyal x(n). Dengan kata lain, X() adalah dekomposisi x(n) menjadi komponen-komponen frekuensinya. Invers dari transformasi Fourier diskrit dapat dinyatakan dengan :

Perbedaan antara transformasi Fourier waktu kontinyu dengan transformasi Fourier waktu diskrit:1. Transformasi Fourier sinyal waktu-kontinyu kisaran frekuensinya (-,), sedangkan kisaran frekuensi transformasi Fourier sinyal waktu-diskrit kisaran frekuensinya(-, ) atau ekivalennya adalah (0, 2).2. Karena sinyal adalah diskrit dalam waktu, maka transformasi Fouriernya adalah penjumlahan (sigma) sebagai ganti dari integral. Karena X() adalah fungsi periodik dengan variabel frekuensi , ia mempunyai espansi deret Fourier, yang diekspresikan sebelumnya memenuhi. Dari definisi X() terlihat X() mempunyai bentuk deret Fourier dengan koefisien/konstanta Fourier adalah x(n).Karena bentuk transformasi Fourier adalah deret tak berhingga, maka akan ada persoalan konvergensi. Suatu deret tak berhingga dikatakan konvergen jika dan hanya jika deret tersebut nilainya tidak tak berhingga ( < ).Maka dapat dikatakan suatu transformasi Fourier dari suatu sinyal waktu-diskrit ada (dapat ditentukan) jika dan hanya jika deret tak berhingganya konvergen, atau secara matematis ditulis :

Maka:

Sehingga seharusnya setiap kita akan mencari/menghitung suatu transformasi Fourier dari sebuah sinyal waktu-diskrit, pertama-tama harus diselidiki terlebih dahulu kekonvergenan dari sinyal tersebut.

Contoh:1. Tentukan transformasi Fourier dari :

Jawab:Karena |a| < 1, barisan x(n) dapat dijumlahkan secara absolut (konvergen):

Karena itu transformasi Fourier dari x(n) dapat dihitung dan diperoleh dengan definisi transformasi Fourier :

Contoh:2. Tentukan transformasi Fourier dari :

Jawab:Selidiki dulu konvergensi barisannya.

Karena itu x(n) dapat dijumlahkan secara absolut (konvergen), maka transformasi Fouriernya ada. Selanjutnya kita hitung transformasi Fourier sinyal tersebut :

Untuk menyederhanakan deret tersebut, terlebih dahulu deret tersebut kita perpanjang sampai n = , seperti dibawah ini :

Jumlah keseluruhan untuk deret tersebut dengan menggunakan formula penjumlahan geometri adalah:

dan jumlah untuk deret mula sampai adalah:

maka jumlah deret pada persamaan transformasi Fourier diatas adalah:

Table transformasi forier ;

Latihan Soal !!!Diketahui terdapat sinyal seperti berikut:

Periode sinyal = T0 = 2.Tentukan a0, an, bn, dan deret Fourier-nya!