MAKALAH

GRAFIKA KOMPUTER

TRANSFORMASI FOURIER

Dosen pembimbing : Soffiana Agustin S.Kom

Oleh :

David Ardianto (08622042)

Ikhwan Fahri (08622055)

M. Husni Mubarok (08622067)

Fatichatun Ni’mah (08622044)

TEKNIK INFORMATIKA

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH GRESIK

2009

TRANSFORMASI FOURIER

Transformasi Fourier adalah pengolahan gambar yang penting alat yang digunakan

untuk menguraikan sebuah gambar ke dalam sinus dan kosinus komponen. Output dari

transformasi mewakili gambar dalam Fourier atau frekuensi domain, sementara input gambar

adalah domain spasial setara. Dalam gambar Fourier domain, setiap titik mewakili frekuensi

tertentu yang terdapat dalam domain spasial gambar.

Fourier Transform digunakan dalam berbagai aplikasi, seperti analisis gambar, gambar

penyaringan, gambar dan citra rekonstruksi kompresi.

A. LANDASAN TEORI

Metode Frequency Domain

Secara umum, metode yang digunakan dalam pemrosesan citra digital dapat dibagi

menjadi dua kelompok, yaitu metode spatial domain dan metode frequency domain. Pada

metode spatial domain, pemrosesan dilakukan dengan cara memanipulasi nilai pixel dari

citra tersebut secara langsung.

Sedangkan pada pengolahan citra digital dengan metode frequency domain,

informasi citra digital ditransformasikan lebih dulu dengan transformasi Fourier,

kemudian dilakukan manipulasi pada hasil transformasi Fourier tersebut. Setelah

manipulasi selesai, dilakukan inverse transformasi Fourier untuk mendapatkan informasi

citra kembali.

Metode frequency domain ini dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah-

masalah tertentu yang sulit jika dilakukan dengan menggunakan metode spatial domain.

Transformasi Fourier

Transformasi Fourier dari f(x), didefinisikan sebagai berikut:

di mana

Sebaliknya, jika diketahui F(u), maka f(x) dapat diperoleh dengan Invers

Transformasi Fourier berikut:

Kedua persamaan di atas disebut dengan pasangan transformasi Fourier. Jika f(x) adalah

bilangan real, biasanya F(u) merupakan bilangan kompleks yanbisa diuraikan menjadi:

F(u) = R(u) + jI(u)

dimana R(u) dan I(u) adalah komponen real dan imajiner dari F(u). Persamaan di atas juga

sering dituliskan sebagai:

dimana | F(u) | adalah magnitude dari F(u), yang diperoleh dari :

Fungsi magnitude | F(u) | disebut juga spektrum Fourier dari f(x), dan φ(u) disebut dengan

sudut fase dari f(u).Jika f(x) dijadikan diskrit maka persamaan transformasi Fourier diskrit

adalah:

Karena pada pengolahan citra digital, data yang digunakan berbentuk digital/diskrit

maka dapat digunakan kedua persamaan diatas untuk melakukan transformasi dan inverse

transformasi Fourier.

Untuk menganalisa citra pada frequency domain, hasil transformasi Fourier dapat

ditampilkan sebagai citra, dimana intensitasnya proporsional dengan besarnya | F(u) | atau

spektrum Fourier. Namun karena dynamic range dari spektrum Fourier biasanya sangat

besar, maka sebelum ditampilkan sebagai citra harus diubah menjadi

dimana c adalah konstanta. Selanjutnya yang ditampilkan sebagai citra adalah nilai dari

D(u,v). Nilai D(u,v) ini akan memiliki dynamic range yang lebih kecil daripada |F(u,v)|.

Berikut ini adalah contoh gambar beberapa citra dengan spektrum Fouriernya:

B.KUPASAN TENTANG TRANSFORMASI FOURIER

1.Definisi

Ada beberapa konvensi umum untuk menentukan Transformasi Fourier dari sebuah

integrable fungsi f: R → C (Kaiser 1994). Artikel ini akan menggunakan definisi:

untuk setiap bilangan real ξ.

Ketika variabel independen x merepresentasikan waktu (dengan SI satuan detik),

transformasi variabel ξ mewakili frekuensi (dalam hertz). Di bawah kondisi yang sesuai, ƒ

dapat direkonstruksi dari oleh invers transform:

untuk setiap bilangan real x.

Untuk konvensi umum lainnya dan notasi, lihat Lain konvensi dan notasi lainnya di bawah

ini. Para Transformasi Fourier pada ruang Euclides diperlakukan secara terpisah, di mana

variabel x sering mewakili ξ posisi dan momentum.

Gambar berikut memberikan ilustrasi visual tentang bagaimana mengukur apakah

Transformasi Fourier frekuensi hadir dalam fungsi tertentu. Fungsi digambarkan

berosilasi di 3 hertz (jika t ukuran detik) dan cenderung cepat ke 0.

Fungsi ini khusus dipilih untuk memiliki Transformasi Fourier nyata yang dapat dengan

mudah diplot. Image pertama berisi dengan grafik. Untuk menghitung kita harus

mengintegrasikan e -2 πi (3 t) f (t). Gambar kedua menunjukkan plot yang nyata dan imajiner

dari fungsi ini. Bagian dari yang sebenarnya integran hampir selalu positif, hal ini karena

ketika f (t) adalah negatif, maka bagian nyata e -2 πi (3 t) adalah negatif juga. Karena mereka

terombang-ambing dengan kecepatan yang sama, ketika f (t) adalah positif, begitu pula

bagian nyata dari e -2 πi (3 t). Hasilnya adalah bahwa ketika Anda mengintegrasikan bagian

nyata dari integran Anda mendapatkan jumlah yang relatif besar (dalam kasus ini 0,5). Di sisi

lain, ketika Anda mencoba untuk mengukur frekuensi yang tidak hadir, seperti dalam kasus

ketika kita melihat ntegran cukup berosilasi sehingga integral sangat kecil. Situasi umum

mungkin sedikit lebih rumit daripada ini, tapi ini di dalam roh adalah bagaimana

Transformasi Fourier mengukur berapa banyak frekuensi individu hadir dalam suatu fungsi f

(t).

Sifat-sifat Transformasi Fourier

Integrable Sebuah fungsi adalah fungsi f pada baris yang nyata Léon Lebesgue-terukur dan

memuaskan

2.Dasar properti dari transformasi fourier

Integrable Mengingat fungsi f (x), g (x), dan h (x) menunjukkan transformasi Fourier mereka

dengan , dan masing-masing. Para Transformasi Fourier memiliki sifat

dasar sebagai berikut :

- Linearitas

Untuk setiap bilangan kompleks a dan b, jika h (x) = aƒ (x) + bg (x), kemudian

- Terjemahan

Untuk setiap bilangan real x 0, jika h (x) = f (x - x 0), kemudian

- Modulasi

Untuk setiap bilangan real ξ 0, jika h (x) = e 2 πixξ 0 f (x), kemudian

- Scaling

Untuk non-nol bilangan real a, jika h (x) = f (ax), kemudian Kasus

seorang = -1 mengarah kepada waktu-pembalikan properti, yang menyatakan: jika h (x) = f (-

x), maka

- Konjugasi

Jika , Kemudian

Secara khusus, jika ƒ adalah nyata, maka satu memiliki kondisi realitas

Fungsi semula menunjukkan osilasi 3 hertz.

Real dan imajiner dari integran untuk Transformasi Fourier pada 3 hertz

Real dan imajiner dari integran untuk Transformasi Fourier pada 5 hertz

Transformasi Fourier dengan 3 dan 5 hertz berlabel.

- Kekusutan

Jika Kemudian

3.Seragam kesinambungan dan Riemann-Léon Lebesgue lemma

Para fungsi sinc, Transformasi Fourier fungsi persegi panjang, berbatasan dan berkelanjutan,

tetapi tidak Léon Lebesgue integrable.

Transformasi Fourier fungsi integrable memiliki sifat-sifat tambahan yang tidak selalu

berlaku. Transformasi Fourier dari fungsi f adalah integrable seragam kontinu dan

Transformasi Fourier fungsi integrable juga memenuhi lemma Riemann-Léon Lebesgue yang

menyatakan bahwa

Transformasi Fourier dari sebuah fungsi f integrable dibatasi dan berkesinambungan, tetapi

tidak perlu integrable - misalnya, Transformasi Fourier dari fungsi persegi panjang, yang

merupakan fungsi tangga (dan karenanya integrable) adalah fungsi sinc, yang tidak Léon

Lebesgue integrable, meskipun memang memiliki integral yang tidak semestinya: satu

memiliki analog ke harmonik bolak-seri, yang merupakan jumlah konvergen tapi tidak benar-

benar konvergen.

Tidak mungkin pada umumnya untuk menulis invers transformasi sebagai Léon Lebesgue

integral. Namun, ketika kedua f dan adalah integrable, kesetaraan terbalik berikut berlaku

untuk hampir setiap x:

Hampir di mana-mana, f sama dengan fungsi kontinu diberikan oleh sisi kanan. Jika f kontinu

diberikan sebagai fungsi pada baris, lalu kesetaraan berlaku untuk setiap x. Sebagai

konsekuensi dari hasil sebelumnya adalah bahwa Transformasi Fourier adalah injective pada

L 1 (R).

Kesimpulan

1. Transformasi Fourier adalah pengolahan gambar yang penting alat yang digunakan untuk

menguraikan sebuah gambar ke dalam sinus dan kosinus komponen.

2. metode yang digunakan dalam pemrosesan citra digital dapat dibagi menjadi dua

kelompok, yaitu metode spatial domain dan metode frequency domain.

3. Transformasi Fourier dari f(x), didefinisikan sebagai berikut:

di mana

Sebaliknya, jika diketahui F(u), maka f(x) dapat diperoleh dengan Invers

Transformasi Fourier berikut:

Kedua persamaan di atas disebut dengan pasangan transformasi Fourier. Jika f(x)

adalah bilangan real, biasanya F(u) merupakan bilangan kompleks yanbisa diuraikan

menjadi:

F(u) = R(u) + jI(u)

dimana R(u) dan I(u) adalah komponen real dan imajiner dari F(u). Persamaan di atas

juga sering dituliskan sebagai:

dimana | F(u) | adalah magnitude dari F(u), yang diperoleh dari :

4. Dasar properti dari transformasi fourier adalah:

a. Linearitas

b. Terjemahan

c. Modulasi

d. Scaling

e. Konjugasi

f. Kekusutan