Makalah Metode Transformasi

Metode Transformasi Fourier

Disusun Oleh :

Imay Willian Perdana (5150711094)

Rohman Iskandar (5150711078)

Aditya Pratama (5150711054)

Regy Buana Pramana (5150711074)

Alan Zarkasi (5150711085)

Danang Dwi Prasetya (5150711062)

KELAS : TEKNIK ELEKTRO B

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS TEKNOLOGI YOGYAKARTA

2016

KATA PENGANTAR

Assalamu'alaikum Wr.Wb.

Puji syukur kami panjatkan kepada Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta karunia-

Nya kepada kami, sehingga kami berhasil menyelesaikan makalah ini tepat pada waktunya,

makalah yang berjudul Transformasi Fourier, meskipun banyak hambatan dalam proses

pengerjaannya, kami tetap bisa menyelesaikannya.

Kami menyadari bahwa tugas makalah ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu kami

mengharap adanya saran masukan maupun kritikan yang membangun guna melengkapi

kekurangan makalah ini, sehingga kami bisa memperbaiki diri lebih baik.

Semoga makalah ini dapat membantu dan memberikan manfaat bagi kita semua dalam

mempelajari materi Transformasi Fourier. Atas perhatiannya semua kami ucapakan terima kasih.

Wassalamu’alaikum Wr.Wb

Daftar Isi

Halaman Judul........................................................................................................... 1

Kata Pengantar........................................................................................................... 2

Daftar Isi.................................................................................................................... 3

BAB I Pendahuluan................................................................................................... 4

1.1 Latar Belakang..................................................................................................... 4

1.2 Tujuan Pembahasan Makalah.............................................................................. 4

BAB II Pembahasan................................................................................................... 5

2.1 Bilangan Kompleks.............................................................................................. 5

2.2 Transformasi Fourier........................................................................................... 5

2.3 Transformasi 1 Dimensi....................................................................................... 8

2.4 Analisis Fourier.................................................................................................... 14

2.5 Sifat-Sifat Transformasi Fourier.......................................................................... 15

BAB III Penutup........................................................................................................ 16

3.1 Kesimpulan.......................................................................................................... 16

Daftar Pustaka............................................................................................................ 17

BAB I

Pendahuluan

1.1 Latar Belakang

Pengertian Transformasi Fourier - Proses penting dalam pemrosesan sinyal digital adalah menganalisis suatu sinyal input maupun output untuk mengetahui karakteristik sistem fisis tertentu dari sinyal. Proses analisis dan sintesis dalam domain waktu memerlukan analisis cukup panjang dengan melibatkan turunan dari fungsi, yang dapat menimbulkan ketidaktelitian hasil analisis.

Analisis dan sintesis sinyal akan lebih mudah dilakukan pada domain frekuensi, karena besaran yang paling menentukan suatu sinyal adalah frekuensi. Oleh karena  itu, untuk dapat bekerja pada domain frekuensi dibutuhkan suatu formulasi yang tepat sehingga proses manipulasi sinyal sesuai dengan kenyataan. Salah satu teknik untuk menganalisis sinyal adalah mentransformasikan (alih bentuk) sinyal yang semula analog menjadi diskrit dalam domain waktu, dan kemudian diubah ke dalam domain frekuensi.

Pada materi yang akan dijelaskan pada makalah ini yaitu:

1. Bilangan Kompleks

2. Penjelasan tentang Transformasi Fourier

3. Penjelasan tentang perhitungan transformasi 1 dimensi

4. Analisis Fourier

5. Sifat-Sifat Transformasi

Mengenai materi yang akan dijelaskan terdapat pada isi makalah.

1.2 Tujuan pembahasan Makalah

a) Dapat mengetahui penjelasan tentang transformasi fourier.b) Dapat mengenal ketentuan-ketentun perhitungan transformasi fourier.c) Untuk memahami kegunaan transformasi fourier dalam pengaplikasiannya. d) Untuk mengetahui kelebihan dan kekurangan dalam transformasi fourier.

BAB II

Pembahasan

2.1 Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks terdiri dari bilangan Real dan Imajiner, dimana bilangan real ada tipe rasional dan irasional.

Bilangan yang berbentuk dari a + b I di mana a dan b adalah bilangan riil , dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang

mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner . Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2i.

Bentuk bilangan kompleks seperti: Polar, Rectangular, Trigonometri, Eksponensial, dan deret euler.

2.2 Transformasi Fourier

Transformasi Fourier merupakan transformasi paling penting di dalam bidang pengolahan sinyal (signal processing), khususnya pada bidang pengolahan citra.

Umumnya sinyal dinyatakan sebagai bentuk plot amplitudo versus waktu (pada fungsi satu matra) atau plot amplitudo versus posisi spasial (pada fungsi dwimatra). Pada beberapa aplikasi pengolahan sinyal, terdapat kesukaran melakukan operasi karena fungsi dalam ranah waktu/spasial, misalnya pada operasi konvolusi di atas. Operasi konvolusi dapat diterapkan sebagai bentuk perkalian langsung bila fungsi berada dalam ranah frekunsi.

Transformasi Fourier adalah kakas (tool) untuk mengubah fungsi dari ranah waktu/spasial ke ranah frekuensi. Untuk perubahan sebaliknya digunakan Transformasi Fourier Balikan. Intisari

dariTransformasi Fourier adalah menguraikan sinyal atau gelombang menjadi sejumlah sinusoida dari berbagai frekuensi, yang jumlahnya ekivalen dengan gelombang asal.

Di dalam pengolahan citra, transformasi Fourier digunakan untuk menganalisis frekuensi pada operasi seperti perekaman citra, perbaikan kualitas citra, restorasi citra, pengkodean, dan lain-lain. Dari analisis frekuensi, kita dapat melakukan perubahan frekuensi pada gambar. Perubahan frekuensi berhubungan dengan spektrum antara gambar yang kabus kontrasnya samapi gambar yang kaya akan rincian visualnya. Sebagai contoh, pada proses perekaman citra mungkin terjadi pengaburan kontras gambar. Pada gambar yang mengalami kekaburan kontras terjadi perubahan intensitas secara perlahan, yang berarti kehilangan informasi frekuensi tinggi. Untuk meningkatkan kualitas gambar, kita menggunakan penapis frekuensi tinggi sehingga pixelyang berkontras kabur dapat dinaikkan intensitasnya.

Sehingga Transformasi Fourier adalah suatu model transformasi yang memindahkan domain spasial atau domain waktu menjadi domain frekwensi.

Transformasi Fourier merupakan suatu proses yang banyak digunakan untuk memindahkan domain dari suatu fungsi atau obyek ke dalam domain frekwensi. Di dalam pengolahan citra digital, transformasi fourier digunakan untuk mengubah domain spasial pada citra menjadi domain frekwensi. Analisa-analisa dalam domain frekwensi banyak digunakan seperti filtering. Dengan menggunakan transformasi fourier, sinyal atau citra dapat dilihat sebagai suatu obyek dalam domain frekwensi.

Mengapa perlu transformasi ?

Setiap orang pada suatu saat pernah menggunakan suatu teknik analisis dengan transformasi untuk menyederhanakan penyelesaian suatu masalah [Brigham,1974]

Contoh: penyelesaian fungsi y = x/z

Analisa konvensional : pembagian secara manualAnalisa transformasi : melakukan transformasi

log(y) = log(x) –> log(z)look-up table pengurangan look-up table

Transformasi juga diperlukan bila kita ingin mengetahui suatu informasi tertentu yang tidak tersedia sebelumnya.

Jenis-jenis transformasi yang ada:

a. Transformasi citra, sesuai namanya, merupakan proses perubahan bentuk citra untuk mendapatkan suatu informasi tertentu

Transformasi bisa dibagi menjadi 2 :–Transformasi piksel/transformasi geometris–Transformasi ruang/domain/space

Transformasi piksel masih bermain di ruang/domain yang sama (domain spasial), hanya posisi piksel yang kadang diubah. Contoh: rotasi, translasi, scaling, invers, shear, dll. Transformasi jenis ini relatif mudah diimplementasikan dan banyak aplikasi yang dapat melakukannya (Paint, ACDSee, dll).

Transformasi ruang merupakan proses perubahan citra dari suatu ruang/domain ke ruang/domain lainnya, contoh: dari ruang spasial ke ruang frekuensi.

Masih ingat istilah ‘ruang’ ? Ingat- ingat kembali pelajaran Aljabar Linier tentang Basis dan Ruang

Contoh : Ruang vektor. Salah satu basis yang merentang ruang vektor 2 dimensi adalah [1 0] dan [0 1]. Artinya, semua vektor yang mungkin ada di ruang vektor 2 dimensi selalu dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari basis tersebut.

Ada beberapa transformasi ruang yang akan kita pelajari, yaitu :–Transformasi Fourier (basis: cos-sin)–Transformasi Hadamard/Walsh (basis: kolom dan baris yang ortogonal)–Transformasi DCT (basis: cos)–Transformasi Wavelet (basis: scaling function dan mother wavelet)

Kelebihan dan Kekurangan transformasi Fourier

Kelebihanya adalah:

Transformasi Fourier dapat mempermudah analisis terhadap suatu sinyal yang berada dalam suatu sistem.

Kekuranganya adalah:

Transformasi Fourier hanya dapat menangkap informasi apakah suatu sinyal memiliki frekuensi tertentu atau tidak, tapi tidak dapat menangkap dimana frekuensi itu terjadi.

Definisi Transformasi Fourier

Fourier mendefinisikan transformasi Fourier dari deret Fourier bentuk kompleks (eksponensial), yaitu dengan menganggap fungsi non periodik adalah fungsi periodik dengan perioda tak berhingga. Kita mulai dengan bentuk bentuk eksponensial deret Fourier.

2.3 Transformasi Fourier 1 Dimensi

Transformasi Fourier 1 dimensi ada 2, yaitu:

Transformasi kontinu 1 dimensi Transformasi Diskrit 1 dimensi

Transformasi fourier kotinyu

Transformasi fourier kotinyu adalah Sebuah sinyal waktu sebagai hasil penjumlahan beberapa sinyal kontinyu.

Transformasi Fourier kontinu 1D dari suatu fungsi waktu f(t) didefinisikan dengan:

F (ω )=∫−∞

∞

f ( t ) .e− jωt dt

dimanaF(w) adalah fungsi dalam domain frekwensi

w adalah frekwensi radial 0 – 2pf,

atau dapat dituliskan bahwa

w = 2pf

Contoh 2.3

Diketahui fungsi f(t) sebagai berikut:

f(t)

3

-1 10 t

Transformasi Fourier dari f(t) di atas adalah:

F (ω )=∫−1

1

(3 )e− jωt dt=3∫−1

1

e− jωt dt

=−3jω

e− jωt|−11

¿−3jω

[e− jω−e jω ]=6 sin(ω )ω

Hasil dari transformasi Fourier untuk = 0 s/d 2 adalah :

Gambar 2.2. Contoh hasil transformasi fourier

Transformasi Fourier Diskrit

Transformasi fourier diskrit atau disebut dengan Discrete Fourier Transform (DFT) adalah model transformasi fourier yang dikenakan pada fungsi diskrit, dan hasilnya juga diskrit. DFT didefinisikan dengan :

F (k )=∑n=1

N

f ( n) .e− j2 π knT / N

DFT 1D

DFT seperti rumus di atas dinamakan dengan DFT 1 dimensi, DFT semacam ini banyak digunakan dalam pengolahan sinyal digital.

Contoh 4.3 :

Diketahui f(t) dalam bentuk diskrit f(n) sebagai berikut :

DFT dengan T=1 dari fungsi f(n) di atas adalah :

k=0

F (0)=∑n=0

3

f (n) .e− jn 0=∑n=0

3

f (n)

¿1+1+1+1=4

k=1

F (1)=∑n=0

3

f (n ).e− j2 πn/ 4=

∑n=0

3

f (n ).e−0. 5 jn π=0

k=2 F (2)=∑

n=0

3

f (n ) .e− j4 n /4=∑n=0

3

f (n) . e− jn π=0

k=3 F (3)=∑

n=0

3

f (n) . e− j6 nn /4=∑n=0

3

f (n ). e− j 1. 5nπ=0

Hasil dari DFT untuk T (periode sampling) yang berbeda akan juga berbeda. Sehingga dalam proses perhitungan DFT, penentuan nilai T juga merupakan perhatian penting. Sebagai acuan dapat digunakan aturan frekwensi Niquist bahwa frekwensi sampling minimal dua kali frekwensi informasi (data), atau dengan kata lain periode sampling maksimal setengah kali periode dari nilai fungsinya.

Contoh 2.3:

Diketahui f(t) dalam bentuk diskrit f(n) sebagai berikut :

f(t)

t3210

0 1 2 3t

f(t)2

1

0 1 2 3

DFT dengan T=1 dari fungsi f(n) di atas adalah :

F (k )=∑

n=0

7

f (n) . e− j 2π nk /8=∑n=0

7

f (n ). e− jπ nk /8

Hasil DFT fungsi f(t) di atas adalah :

K F(k)

0 12

1 0

2 -2 – 2j

3 0

4 0

5 0

6 -2 + 2j

7 0

Terlihat bahwa hasil dari DFT adalah bilangan komplek, yang terdiri dari unsur real dan imaginer. Sehingga dapat dipisahkan dalam unsur real dan imaginer sebagai berikut :

k Real{F(k)} Im{F(k)}

0 12 0

1 0 0

2 -2 -2

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 -2 2

7 0 0

Dan dapat digambarkan sebagai berikut :

Bagian Real Bagian Imaginer

Gambar 4.5. Contoh DFT real dan imaginer

Atau dapat dinyatakan dalam magnitude dan phase dengan definisi sebagai berikut :

Magnitude : |F (k )|=√ (Re { f (k )})2+( Im { f (k )})2

Phase :Arg {F (k ) }=

Im {F (k )}Re {F (k )}

Magnitude Phase

Gambar 4.6. Contoh DFT real dan imaginer

Bila DFT dihitung untuk k=0 s/d 15 maka hasilnya adalah:

K F(k) K F(k)

0 12 8 12

1 0 9 0

2 -2 – 2j 10 -2 – 2j

3 0 11 0

4 0 12 0

5 0 13 0

6 -2 + 2j 14 -2 + 2j

7 0 15 0

Terlihat terjadi pengulangan hasil, hal ini disebabkan proses DFT memang mengakibatkan terjadinya periodik. Ini sebagai akibat dari adanya unsur radial 2 dalam bentuk transformasi

fourier. Sehingga dalam proses perhitungan DFT, perhitungan cukup dilakukan sampai 1/2 periodik saja. Dan perhitungan inilah yang dinamakan dengan FFT (Fast Fourier Transform).

2.4 Analisis Fourier

2.5 Sifat-Sifat Transformasi Fourier

Sifat-sifat Transformasi Fourier Jika f(t) ↔F(u) dan g(t) ↔G(u), maka sifat-sifat Transformasi Fourier dirumuskan di dalam Tabel

BAB III

Penutup

3.1 Kesimpulan

Bahwa pada sitem transformasi fourier ini merupakan proses pengukuran seberapa kuat sinyal yang diterima dan dikeluarkan dengan pengitungan secara 1 dimensi maupun 2 dimensi. Pada materi yang dipelajari ini kami mendalami dalam proses pengolahan sinyal 1 dimensi secara kotinu ataupun diskrit, secara umum perebedaan dalam proses ini mencakup dalam analog dan digital dengan relatif pengukuran hasil yang hampir sama. Pengolahan sinyal disini difokuskan dalam pengolahan citra dengan pengaplikasian secara pixel maupun ruang.

Bilangan kompleks sangat banyak digunakan, terutama dalam berbagai sinyal. Sinyal –sinyal tersebut telah menjadi bagian penting dalam kehidupan kita, seperti listrik, gambar digital, suara audio, dan sinyal –sinyal lain. Hadirnya bilangan kompleks sangat mendukung perkembangan sinyal sehingga teknologi dapat semakin maju seperti saat ini. Penggunaan bilangan kompleks dan pemrosesan sinyal dengan sistem transformasi tentu akan terus berkembang dan menghasilkan teknologi –teknologi baru yang lebih baik dari sebelumnya.

DAFTAR PUSTAKA

1. https://zulkaryanto.files.wordpress.com/2010/01/transformasi-fourier.pdf

2. http://setyowidibudiyanto.blogspot.co.id/2012/10/transformasi-fourier.html

3. Baca buku elekto di perpustakaan

4. Baca buku sistem informasi