transformasi fourier waktu-diskrit.ppt

1

Bab 3aTransformasi Fourier Waktu-Diskrit

Kuliah PSD 01 (MFS4617)[email protected]

[email protected] III.A. Transformasi Fourier Waktu Diskrit

2

Latar Belakang• Sistem LTI dinyatakan dalam tanggapan terhadap

masukan cuplikan satuan (tanggap cuplikan satuan –unit impulse response h(n)):

• Bentuknya Konvolusi: sembarang sinyal bisa dinyatakan dengan kombinasi linear cuplikan satuan yang terskala dan yang tertunda ;

• Sembarang sinyal diskrit kombiasi sinyal dasar tiap sinyal dasar penyajian sinyal baru punya kelebihan dan kelemahan;

• Ada satu cara penyajian yang sangat bermanfaat berbasis sinyal eksponensial kompleks ejωn DTFT;


3

DTFT

• DTFT = Discrete-time Fourier Transform Transformasi Fourier dalam Waktu-diskrit;

• Rumus DTFT:

• Rumus IDTFT:

2


4

Contoh 3.1 & Solusinya

• Tentukan DTFT dari x(n) = 0.5n u(n)!


5


• Karena X(ejωn) merupakan sebuah fungsi nilai-kompleks perlu digambarkan bagian besaran dan sudut-nya (bagian nyata dan imajiner-nya) terhadap w secara terpisah untuk mendeskripsikan X(ejωn) secara visual;

• Menggunakan nilai ω antara 0 hingga π;


6

2 (dua) Sifat Penting• Periodisitas: DTFT X(ejωn) bersifat periodik dalam ranah-ω dengan

periode 2ω hanya dibutuhkan satu periode saja (ω∈[0,2π] atau[-π,π]) untuk analisa:

• Simetris: untuk nilai-nyata x(n), X(ejωn) bersifat simetrik konjugat:

• Atau dituliskan:

3


7

2 (dua) Sifat Penting• Implikasi Simetrik untuk menggambar

X(ejωn) hanya perlu diperhatikan setengah periode-nya saja secara umum periode ini adalah ω ∈ [0,π]

• Contoh 3.3: untuk persamaan x(n) = 0.5n u(n)!


8

Solusi Contoh 3.3w = [0:1:500]*pi/500; % [0, pi] axis divided into 501 points.X = exp(j*w) ./ (exp(j*w) - 0.5*ones(1,501));magX = abs(X); angX = angle(X);realX = real(X); imagX = imag(X);% --subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('frequency in pi units'); title('Magnitude Part'); ylabel('Magnitude')% --subplot(2,2,3); plot(w/pi,angX); gridxlabel('frequency in pi units'); title('Angle Part'); ylabel('Radians')% --subplot(2,2,2); plot(w/pi,realX); gridxlabel('frequency in pi units'); title('Real Part'); ylabel('Real')% --subplot(2,2,4); plot(w/pi,imagX); gridxlabel('frequency in pi units'); title('Imaginary Part'); ylabel('Imaginary')


9

Solusi Contoh 3.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

1

1.5

2

frequency in pi units

Magnitude Part

Mag

nitu

de

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0


Angle Part

Rad

ians

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

1

1.5

2


Real Part

Rea

l

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0


Imaginary Part

Imag

inar

y

4


10

Komputasi Numerik DTFT• Misalkan x(n) memiliki N cuplikan (data) antara n1 ≤ n ≤

n2 (tidak perlu dalam jangkauan [0,N-1]) dan akan dievaluasi X(ejωn) pada:

• yang panjangnya (M+1) antara [0,π] sehingga persamaan (3.1) dituliskan:

• Jika x(nl) dan X(ejωn) disusun dalam vektor kolom masing-masing x dan X, maka:


11

Komputasi Numerik DTFT• Dengan W adalah matriks (M+1) x N:

• Jika kita susun k dan nl masing-masing sebagai vektor baris kdan n, maka:

• Di MATLAB, disajikan sebagai vetkor baris, sehingga persamaan (3.3) menjadi:

• Bentuk nTk merupakan matriks N x (M+1). Sekarang persamaan (3.4) dapat dituliskan dalam MATLAB:


12

Contoh 3.4 & Solusinya• Hitunglah DTFT dari deret di contoh 3.2 secara numerik dengan MATLAB!• Solusinya:

n = -1:3; x = 1:5; % sequence x(n)k = 0:500; w = (pi/500)*k; % [0, pi] axis divided into 501 points.X = x * (exp(-j*pi/500)) .^ (n'*k); % DTFT using matrix-vector productmagX = abs(X); angX = angle(X);realX = real(X); imagX = imag(X);subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('frequency in pi units'); title('Magnitude Part'); ylabel('Magnitude')subplot(2,2,3); plot(w/pi,angX); gridxlabel('frequency in pi units'); title('Angle Part'); ylabel('Radians')subplot(2,2,2); plot(w/pi,realX); gridxlabel('frequency in pi units'); title('Real Part'); ylabel('Real')subplot(2,2,4); plot(w/pi,imagX); gridxlabel('frequency in pi units'); title('Imaginary Part');ylabel('Imaginary')

5


13


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15


Magnitude Part

Mag

nitu

de

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-4

-2

0

2

4


Angle Part

Radi

ans

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5

0

5

10

15


Real Part

Rea

l

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10

-5

0

5


Imaginary Part

Imag

inar

y


14


• Diketahui persamaan x(n)=(0.9 e(jπ/3))n.untuk 0≤n≤10. Tentukan X(ejωn) dan periksalah periodisitas-nya!

• Solusi:– Karena merupakan deret bilangan kompleks hanya memenuhi sifat periodisitas;

– Hanya untuk satu periode saja (hingga 2π);– Akan digambarkan sebanyak 401 titik antara

dua periode [- 2π, 2π] untuk melihat periodisitas-nya;


15

Contoh 3.5 & Solusinyasubplot(1,1,1)n = 0:10; x = (0.9*exp(j*pi/3)).^n;k = -200:200; w = (pi/100)*k;X = x * (exp(-j*pi/100)) .^ (n'*k);magX = abs(X); angX =angle(X);subplot(2,1,1); plot(w/pi,magX);gridaxis([-2,2,0,8])xlabel('frequency in units of pi'); ylabel('|X|')title('Magnitude Part')subplot(2,1,2); plot(w/pi,angX/pi);gridaxis([-2,2,-1,1]);xlabel('frequency in units of pi');ylabel('radians/pi');title('Angle Part');

6


16


-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

2

4

6

8

frequency in units of pi

|X|

Magnitude Part

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1

-0.5

0

0.5

1


radi

ans/

pi

Angle Part


17


• Diketahui persamaan x(n)=(-0.9)n untuk-5≤n≤5. Periksalah sifat simetrik konjugat pada DTFT-nya!

• Solusi:– Terlihat bahwa persamaan merupakan

bilangan nyata (real) sehingga ada sifat simetrik konjugat-nya


18

Contoh 3.6 & Solusinyasubplot(1,1,1)n = -5:5; x = (-0.9).^n;k = -200:200; w = (pi/100)*k;X = x * (exp(-j*pi/100)) .^ (n'*k);magX = abs(X); angX =angle(X);subplot(2,1,1); plot(w/pi,magX);gridaxis([-2,2,0,15])xlabel('frequency in units of pi'); ylabel('|X|')title('Magnitude Part')subplot(2,1,2); plot(w/pi,angX)/pi;gridaxis([-2,2,-1,1])xlabel('frequency in units of pi');ylabel('radians/pi')title('Angle Part')

7


19


-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

5

10

15


|X|

Magnitude Part

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-3

-2

-1

0

1

2

3


radi

ans/

pi

Angle Part


20

Bersambung

• Berikutnya...– 3B: Sifat-sifat Transformasi Fourier Waktu

Diskrit (TFWD)!

1


3B – Sifat-sifat Transformasi Fourier Waktu Diskrit (TFWD)

[email protected] III.B. Sifat2 TFWD 2

Linearitas

1. Linearity (Linearitas): Transformasi Fourier waktu-diskrit merupakan suatu bentuk transformasi yang linear, hal ini dicirikan melalui persamaan berikut:


Penggeseran waktu dan frekuensi

2. Time Shifting (Pergeseran Waktu): suatu perpindahan dalam ranah waktu ditujukan untuk perpindahan fase, hal ini dinyatakan dengan persamaan berikut:

3. Frequency shifting (Pergeseran Frekuensi):Perkalian dengan sebuah eksponensial kompleks merupakan suatu penggeseran dalam ranah frekuensi:

2


4. Conjugation (konjugasi): Konjugasi dalam ranah waktu merupakan lipatan dan konjugasi dalam ranah frekuensi:

5. Folding (pelipatan): Lipatan dalam ranah waktu merupakan lipatan dalam ranah frekuensi

Konjugasi dan Pelipatan


6. Simetri dalam deret nyata:

Implikasi: Jika urutan x(n) adalah real dan genap, hanya satu plot [0,π] yang dapat digunakan untuk penyajian lengkap.

Simetri dalam deret nyata


7. Convolution (Konvolusi): ini merupakan salah satu dari sifat-sifat yang sangat berguna dalam analisis sistem yang sesuai dalam ranah frekuensi

8. Multiplication (Perkalian): ini merupakan suatu sifat konvolusi rangkap dua

Convolution (konvolusi) seperti operasi diatas disebut dengan konvolusi periodik (periodic convolution).

Konvolusi vs. Perkalian

3


Energi sinyal

9. Energy (energi): Energi dari sinyal x(n) dituliskan dengan persamaan berikut:


Hal ini juga dikenal sebagai Teorema Parseval. Dari (3.13) spektrum densitas energi dari x(n) didefinisikan sebagai berikut

Selanjutnya energi dari x(n) dalam pita atau jangkauan [ω1,ω2] dinyatakan dengan

Catatan Sifat-sifat TFWD


Contoh soal 3.7

• Dalam contoh ini akan dibuktikan sifat linearitas menggunakan sinyal/deret real durasi-terbatas x1(n) dan x2(n), yang merupakan dua deret acak yang didistribusikan antara [0,1] untuk jangkauan 0 ≤ n ≤ 10.

• Selanjutnya kita dapat menggunakan prosedur TFWD sebagai berikut…(Matlab):

4


x1 = rand(1,11); x2 = rand(1,11); n = 0:10;alpha = 2; beta = 3;k = 0:500; w = (pi/500)*k;X1 = x1 * (exp(-j*pi/500)).^(n'*k); % DTFT of x1X2 = x2 * (exp(-j*pi/500)).^(n'*k); % DTFT of x2x = alpha*x1 + beta*x2; % Linear combination of x1 & x2X = x * (exp(-j*pi/500)).^(n'*k); % DTFT of x% verificationX_check = alpha*X1 + beta*X2; % Linear Combination of X1 & X2error = max(abs(X-X_check)) % Difference

error =

7.9441e-015

Contoh soal 3.7 – Solusi Matlab


Contoh soal 3.8

• x(n) merupakan deret acak yang didistribusikan antara [0,1] untuk jangkauan 0 ≤ n ≤ 10 dan y(n) = x(n – 2).

• Selanjutnya kita dapat membuktikan contoh sifat penggeseran sebagai berikut…



x = rand(1,11); n = 0:10;k = 0:500; w = (pi/500)*k;X = x * (exp(-j*pi/500)).^(n'*k); % DTFT of x% signal shifted by two samplesy = x; m = n+2;Y = y * (exp(-j*pi/500)).^(m'*k); % DTFT of y% verificationY_check = (exp(-j*2).^w).*X; % multiplication by exp(-j2w)error = max(abs(Y-Y_check)) % Difference

error =

8.4843e-015

5


Contoh soal 3.9

• Untuk membuktikan sifat penggeseran frekuensi kita akan menggunakan pendekatan grafik (visualisasi)…


Contoh soal 3.9 – Solusi Matlabn = 0:100; x = cos(pi*n/2);k = -100:100; w = (pi/100)*k; % frequency between -pi and +piX = x * (exp(-j*pi/100)).^(n'*k); % DTFT of x%y = exp(j*pi*n/4).*x; % signal multiplied by exp(j*pi*n/4)Y = y * (exp(-j*pi/100)).^(n'*k); % DTFT of y% Graphical verificationsubplot(1,1,1)subplot(2,2,1); plot(w/pi,abs(X)); grid; axis([-1,1,0,60])xlabel('frequency in pi units'); ylabel('|X|')title('Magnitude of X')subplot(2,2,2); plot(w/pi,angle(X)/pi); grid; axis([-1,1,-1,1])xlabel('frequency in pi units'); ylabel('radiands/pi')title('Angle of X')subplot(2,2,3); plot(w/pi,abs(Y)); grid; axis([-1,1,0,60])xlabel('frequency in pi units'); ylabel('|Y|')title('Magnitude of Y')subplot(2,2,4); plot(w/pi,angle(Y)/pi); grid; axis([-1,1,-1,1])xlabel('frequency in pi units'); ylabel('radians/pi')title('Angle of Y')


-1 -0.5 0 0.5 10

10

20

30

40

50

60


|X|

Magnitude of X

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1


radi

ands

/pi

Angle of X

-1 -0.5 0 0.5 10

10

20

30

40

50

60


|Y|

Magnitude of Y

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1


radi

ans/

pi

Angle of Y

6


Contoh soal 3.10

• Membuktikan sifat konjugasi diketahui sinyal x(n) merupakan sinyal acak bilangan kompleks untuk –5 ≤ n ≤ 10 yang secara umum didistribusikan antara [0,1].



n = -5:10; x = rand(1,length(n)) + j*rand(1,length(n));k = -100:100; w = (pi/100)*k; % frequency between -pi and +piX = x * (exp(-j*pi/100)).^(n'*k); % DTFT of x% conjugation propertyy = conj(x); % signal conjugationY = y * (exp(-j*pi/100)).^(n'*k); % DTFT of y% verificationY_check = conj(fliplr(X)); % conj(X(-w))error = max(abs(Y-Y_check)) % Difference

error =

1.1382e-013


Contoh soal 3.11

• Untuk membuktikan sifat pelipatan, diketahui sinyal x(n) merupakan sinyal acak untuk –5 ≤ n ≤ 10 yang secara umum didistribusikan antara [0,1].

7



n = -5:10; x = rand(1,length(n));k = -100:100; w = (pi/100)*k; % frequency between -pi and +piX = x * (exp(-j*pi/100)).^(n'*k); % DTFT of x% folding propertyy = fliplr(x); m = -fliplr(n); % signal foldingY = y * (exp(-j*pi/100)).^(m'*k); % DTFT of y% verificationY_check = fliplr(X); % X(-w)error = max(abs(Y-Y_check)) % Difference

error =

1.6012e-015


• Dalam masalah ini akan dibuktikan sifat simetri dari sinyal real

kemudian menggunakan fungsi evenodd.m (pada Bab 2), dapat dihitung bagian genap dan ganjil-nya, kemudian dievaluasi TFWD-nya…

Contoh soal 3.12



n = -5:10; x = sin(pi*n/2);k = -100:100; w = (pi/100)*k; % frequency between -pi and +piX = x * (exp(-j*pi/100)).^(n'*k); % DTFT of x% signal decomposition[xe,xo,m] = evenodd(x,n); % even and odd partsXE = xe * (exp(-j*pi/100)).^(m'*k); % DTFT of xeXO = xo * (exp(-j*pi/100)).^(m'*k); % DTFT of xo% verificationXR = real(X); % real part of Xerror1 = max(abs(XE-XR)) % DifferenceXI = imag(X); % imag part of Xerror2 = max(abs(XO-j*XI)) % Difference

8



% graphical verificationsubplot(1,1,1)subplot(2,2,1); plot(w/pi,XR); grid; axis([-1,1,-2,2])xlabel('frequency in pi units'); ylabel('Re(X)');title('Real part of X')subplot(2,2,2); plot(w/pi,XI); grid; axis([-1,1,-10,10])xlabel('frequency in pi units'); ylabel('Im(X)');title('Imaginary part of X')subplot(2,2,3); plot(w/pi,real(XE)); grid; axis([-1,1,-2,2])xlabel('frequency in pi units'); ylabel('XE');title('Transform of even part')subplot(2,2,4); plot(w/pi,imag(XO)); grid; axis([-1,1,-10,10])xlabel('frequency in pi units'); ylabel('XO');title('Transform of odd part')


-1 -0.5 0 0.5 1-2

-1

0

1

2


Re(

X)

Real part of X

-1 -0.5 0 0.5 1-10

-5

0

5

10


Im(X

)

Imaginary part of X

-1 -0.5 0 0.5 1-2

-1

0

1

2


XE

Transform of even part

-1 -0.5 0 0.5 1-10

-5

0

5

10


XO

Transform of odd part


Bersambung…

• Berikutnya...– 3C: Penyajian sistem LTI dalam Ranah-

Frekuensi!

1

3C – Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi


[email protected] III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi

2

Tanggap Eksponensial Kompleks

• x(n)=ejωon merupakan suatu masukan terhadap sistem LTI yang dinyatakan dengan tanggap impuls h(n)…


3

Definisi-1: Tanggap Frekuensi

• TFWD dari suatu tanggap impuls disebut tanggap frekuensi (Fungsi Alih) dari suatu sistem LTI dan dinyatakan dengan persamaan…

• Dengan demikian persamaan (3.15) dapat dituliskan sebagai…

∑∞

∞−

−≡ njnj enheH ωω )()(

2


4

Definisi-1: Tanggap Frekuensi• Hasil selanjutnya dapat diperluas dengan kombinasi

linear antar eksponensial kompleks menggunakan linearitas sistem LTI…

• Pada umumnya tanggap frekuensi H(ejω) adalah suatu fungsi kompleks dari ω. Magnitude |H(ejω)| dari H(ejω)disebut sebagai fungsi tanggap magnitude (atau gain)dan sudut ∠H(ejω) disebut fungsi tanggap fase.


5

Tanggap thd Deret Sinusoidal

• x(n)=A.cos(ω0n+θ0) sebagai masukan ke sistem LTI h(n). Maka dari persamaan (3.17) dapat ditunjukkan bahwa tanggap y(n) merupakan sinusoid lain dari frekuensi ω0 yang sama, dengan amplitudo yang dikuatkan |H(ejω)|sebesar dan fase yang digeser sebesar ∠H(ejω),sehingga…


6

Tanggap thd Deret Sinusoidal

• Tanggap ini (persamaan 3.18) disebut dengan Tanggap Kondisi-Tetap (Steady State) dan dinyatakan dengan yss(n).Persamaan tersebut dapat diperluas menjadi sebuah kombinasi linear deret sinusoidal:

3


7

Tanggap thd Sembarang Deret• Persamaan 3.17 dapat digeneralisasi ke bentuk

deret yang dapat secara absolut-dijumlahkan (absolute summable).Jika X(ejωn)=F[x(n)] dan Y(ejωn)=F[y(n)], maka dengan menggunakan Sifat konvolusi diperoleh…

• Dengan demikian, sebuah sistem LTI dapat dinyatakan dalam ranah frekuensi sebagai…


8

Contoh Soal 3.13

• Tentukan tanggap frekuensi H(ejω) dari suatu sistem yang dicirikan dengan h(n)=(0.9)nu(n). Gambarkan besaran dan tanggap fase-nya…


9

Contoh Soal 3.13 - Solusi

4


10

Contoh Soal 3.13 - Solusi

• Untuk menggambarkan tanggap ini, dapat diimplementasikan fungsi |H(ejω)| dan ∠H(ejω) atau tanggap frekuensi H(ejω),kemudian melakukan proses perhitungan besaran dan fase-nya, berikut Matlab-nya…


11

Contoh Soal 3.13 - Solusiw = [0:1:500]*pi/500; % [0, pi] axis divided into 501pts.X = exp(j*w) ./ (exp(j*w) - 0.9*ones(1,501));magX = abs(X); angX = angle(X);subplot(2,1,1); plot(w/pi,magX); grid; axis([0,1,0,10])xlabel('frequency in pi units'); ylabel('|H|');title('Magnitude Response');subplot(2,1,2); plot(w/pi,angX/pi); gridxlabel('frequency in pi units'); ylabel('Phase in pi Radians');title('Phase Response');


12

Contoh Soal 3.13 – Visualisasi Matlab

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6

8

10


|H|

Magnitude Response

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0


Phas

ein

piR

adia

ns

Phase Response

5


13

Contoh Soal 3.14

• Misalkan masukan ke sistem pada contoh 3.13 adalah 0.1u(n), tentukan tanggap kondisi-tetap (steady-state) yss(n)…


14

Contoh Soal 3.14 - Solusi• Masukan bukan deret yang secara absolut-dapat-

dijumlahkan TFWD tidak terlalu bermanfaat!• Tapi bisa dipakai untuk menghitung tanggap kondisi-

tetap (steady-state response)!• Dalam kondisi tetap, untuk n ∞, masukan merupakan

konstanta (atau sebuah sinusoidal dengan ω0 = θ0 = 0), dengan demikian keluarannya adalah…

yss(n) = 0.1 x H(ej0) = 0.1 x 10 = 1• Dengan penguatan sistem pada ω=0 (penguatan DC)

adalah H(ejω)=10 (dari gambar contoh sebelumnya).


15

Fungsi Tanggap Frekuensi dari Persamaan Beda

• Jika sebuah Sistem LTI dinyatakan dengan persamaan beda …

• maka untuk mengevaluasi tanggap frekuensi dari pers 3.16, dibutuhkan tanggap impuls h(n). Namun dengan pers 3.17 dapat dengan mudah diperoleh H(ejω)

• Jika x(n)=ejωn, maka y(n) harus , substitusikan ke pers 3.20 diperoleh…

6


16

Fungsi Tanggap Frekuensi dari Persamaan Beda


17

Contoh Soal 3.15

• Sebuah sistem LTI dinyatakan dengan persamaan beda berikut…

y(n) = 0.8y(n-1) + x(n)1. Tentukan H(ejω)2. Hitung dan gambarkan tanggap kondisi-

tetap yss(n) untuk x(n)=cos(0.05πn)u(n)


18

Contoh Soal 3.15 - Solusi• Tuliskan kembali persamaan beda menjadi…

y(n) – 0.8y(n-1) = x(n)1. Menggunakan pers 3.21 diperoleh…

2. Untuk kondisi-tetap, masukannya adalah x(n)=cos(0.05πn) dengan frekuensi ω0=0.05πdan θ0=0°. Tanggap sistemnya adalah

7


19

Contoh Soal 3.15 – Solusi Matlabsubplot(1,1,1)b = 1; a = [1,-0.8];n=[0:100];x = cos(0.05*pi*n);y = filter(b,a,x);subplot(2,1,1); stem(n,x);xlabel('n'); ylabel('x(n)'); title('Input sequence')subplot(2,1,2); stem(n,y);xlabel('n'); ylabel('y(n)'); title('Output sequence')


20


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1

n

x(n)

Input sequence

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-5

0

5

n

y(n)

Output sequence3.42

4.092


21

Asumsi vs. Kenyataan• Contoh 3.15 persamaan beda orde pertama (1st

order) dengan mudah dapat diimplementasikan dengan 3.22 menggunakan Matlab;

• Kenyataannya orde persamaan lebih tinggi perlu prosedur yang efektif atau singkat untuk implementasi 3.21;

• Gunakan perkalian vektor matriks sederhana Jika kita evaluasi H(ejω) pada frekuensi k=0,1,…,K yang sama jaraknya dari [0,π], maka…

8


22

Asumsi vs. Kenyataan

• Jika bm, al (dengan a0=1), m=0,..,M, l=0,..,N dan ωkmerupakan larik (atau vektor baris), maka pembilang dan penyebut pada 3.23 menjadi…


23

Asumsi vs. Kenyataan

• Dengan demikian, larik H(ejω) pada 3.23 dapat dihitung menggunakan operasi ./ di dalam Matlab…


24

Contoh Soal 3.15

• Penapis lolos-rendah orde-3 dituliskan sebagai berikut…

• Gambarkan tanggap besaran dan fase dari penapis ini dan verifikasi-lah bahwa persamaan beda tersebut merupakan penapis lolos-rendah!

9


25

Contoh Soal 3.15 - Solusib = [0.0181, 0.0543, 0.0543, 0.0181];a = [1.0000, -1.7600, 1.1829, -0.2781];m = 0:length(b)-1; l = 0:length(a)-1;K = 500; k = 1:1:K;w = pi*k/K; % [0, pi] axis divided into 501 points.num = b * exp(-j*m'*w); % Numerator calculationsden = a * exp(-j*l'*w); % Denominator calculationsH = num ./ den;magH = abs(H); angH = angle(H);


26

Contoh Soal 3.15 - Solusisubplot(1,1,1);subplot(2,1,1); plot(w/pi,magH);grid; axis([0,1,0,1])xlabel('frequency in pi units'); ylabel('|H|');title('Magnitude Response');subplot(2,1,2); plot(w/pi,angH/pi); gridxlabel('frequency in pi units'); ylabel('Phase in pi Radians');title('Phase Response');


27


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1


|H|

Magnitude Response

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.5

0

0.5

1


Phas

ein

piR

adia

ns

Phase Response

Ciri-ciri penapislolos-rendah!

10


28

Bersambung

• Berikutnya…– 3C: Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal

Analog!

[email protected]

[email protected] 1

3D – Pencuplikan & Rekonstruksi Sinyal Analog


[email protected] III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog

2

Pendahuluan• Dalam berbagai aplikasi – misalnya dunia komunikasi

digital – sinyal analog dikonversi ke sinyal diskritmenggunakan pencuplikan dan operasi kuantisasi(Konversi Analog ke Digital atau ADC).

• Sinyal diskrit ini diolah oleh Prosesor Sinyal Digital dansinyal yang diproses dikonversi kembali ke sinyal analog menggunakan operasi rekonstruksi (Konversi Digital keAnalog atau DAC).

• Menggunakan Analisa Fourier, kita dapat menjelaskan operasi pencuplikan dari sudut pandang ranah-frekuensi, analisa efek dan melakukan operasi rekonstruksi yang tepat.


3

Pencuplikan• xa(t) merupakan sinyal analog. Transformasi Fourier

Waktu-Kontinyu diberikan oleh persamaan sebagai berikut:

• Dimana Ω adalah frekuensi analog dalam radian/detik. Kebalikan dari Tranformasi Fourier Waktu Kontinyu diberikan dengan persamaan berikut:

[email protected]

[email protected] 2


4

• Sekarang kita cuplik xa(t) pada pencuplikan tersendiri Interval Ts detik untuk memperoleh sinyal waktu diskrit x(n):

• Transformasi Fourier Waktu Diskrit X(ejωn)dari x(n)merupakan jumlah yang dapat dihitung dari skala-amplitudo, skala-frekuensi dan versi terjemahan dari Transformasi Fourier Xa(jΩ)

Pencuplikan


5

Pencuplikan• Persamaan 3.26 tersebut dikenal dengan

Persamaan Aliasing. Frekuensi analog dan digital dihubungkan lewat Ts.

• Frekuensi Pencuplikan diberikan oleh persamaan berikut:


6

[email protected]

[email protected] 3


7


8

Definisi 2: Sinyal Pita-Terbatas• Suatu sinyal memiliki Pita-Terbatas jika terdapat

frekuensi Radian terbatas Ω0 sedemikian hingga Xa(jΩ) adalah 0 untuk |Ω| > Ω0. Frekuensi F0=Ω0/2π disebut lebarpita sinyal dalam Hz.

• Merujuk gambar 3.10 maka jika π > Ω0Ts atau Fs/2 > F0 maka bentuk persamaannya adalah sebagai berikut:


9

Teorema-3: Prinsip Pencuplikan

• Suatu sinyal pita-terbatas xa(t) dengan lebar pita F0 dapatdirekonstruksi dari nilai cuplikannya x(n) = xa(nTs), jikapencuplikan frekuensi Fs = 1/Ts lebih besar daripada duakali lebar pita F0 dari xa(t).

Fs > 2Fo• Sebaliknya aliasing akan menghasilkan x(n). Laju

pencuplikan 2F0 untuk suatu sinyal analog pita-terbatasdisebut Laju Nyquist

[email protected]

[email protected] 4


10

Implementasi MATLAB: Pencuplikan

• Tidak mungkin menganalisa sinyal analog dengan MATLAB kecuali menggunakan Toolbox Symbolic proses lama;

• Jika kita mencuplik xa(t) dengan grid yang baik yang memiliki kenaikan waktu yang cukup kecil sedemikian hingga menghasilkan plot yang halus dan waktu maksimum yg cukup besar untuk bisa menampilkan semua data, maka dapat dilakukan analisa pendekatan.

• Misalkan ∆t sebagai interval grid sedemikian hingga∆t << Ts. Maka…


11

Implementasi MATLAB: Pencuplikan

• Persamaan 3.30 dapat digunakan sebagai suatu larik untuk mensimulasikan sinyal analog.

• Interval pencuplikan Ts jangan disamakan dengan ∆t, yang digunakan untuk menyatakan sinyal analog!

• Persamaan Transformasi Fourier 3.24 dapat didekati dengan persamaan 3.30, sehingga:


12

Contoh 3.17 & Solusi

• Tentukan dan Gambarkan Transformasi Fourier dari xa(t) = e-1000|t|.

• Solusi, dari persamaan 3.24…

[email protected]

[email protected] 5


13

Contoh 3.17 – Solusi (lanjt…)• Yang merupakan suatu fungsi nilai-nyata karena xa(t)

merupakan sinyal nyata dan genap. • Untuk mengevaluasi Xa(jΩ) secara numerik maka xa(t)

harus didekati dengan deretan grid durasi-terbatas xG(m).

• Menggunakan pendekatan e-5 ≈ 0, maka sinyal xa(t)dapat didekati dengan sinyal berdurasi-terbatas antara -0.005 ≤ t ≤ 0.005 (atau [-5,5] mdetik)

• Persamaan 3.32, Xa(jΩ) ≈ 0 untuk Ω ≥ 2π(2000), sehingga dipilih…


14

Contoh 3.17 – Solusi Matlab% Analog SignalDt = 0.00005;t = -0.005:Dt:0.005;xa = exp(-1000*abs(t));%% Continuous-time Fourier TransformWmax = 2*pi*2000;K = 500; k = 0:1:K;W = k*Wmax/K;Xa = xa * exp(-j*t'*W) * Dt;Xa = real(Xa);W = [-fliplr(W), W(2:501)]; % Omega from -Wmax to WmaxXa = [fliplr(Xa), Xa(2:501)];


15

Contoh 3.17 – Solusi Matlabsubplot(1,1,1)subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);xlabel('t in msec.'); ylabel('xa(t)')title('Analog Signal')subplot(2,1,2);plot(W/(2*pi*1000),Xa*1000);xlabel('Frequency in KHz');ylabel('Xa(jW)*1000')title('Continuous-time Fourier Transform')

[email protected]

[email protected] 6


16

Contoh 3.17 – Visualisasi Matlab

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t in msec.

xa(t)

Analog Signal

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

Frequency in KHz

Xa(

jW)*1

000

Continuous-time Fourier Transform

4000π

- 4000π

xa(t)

Xa(jΩ)


17

Contoh 3.18• Untuk mempelajari efek pencuplikan pada

kuantitas ranah frekuensi, kita akan mencuplik xa(t) pada contoh 3.17 dengan frekuensi pencuplikan yang berbeda:

a. Cuplik xa(t) pada Fs ≈ 5000 cuplik/detik untuk menghasilkan x1(n).Tentukan dan gambarkan X1(ejω)!

b. Cuplik xa(t) pada Fs ≈ 1000 cuplik/detik untuk menghasilkan x2(n).Tentukan dan gambarkan X2(ejω)!


18

Contoh 3.18 – Solusi (a)

• Karena lebar-pita dari xa(t) adalah 2 kHz maka laju Nyquist-nya adalah 4000 cuplikan/detik, kurang dari Fs yang diinginkan aliasing (hampir) bisa dihindari…

[email protected]

[email protected] 7


19

Contoh 3.18 – Solusi Matlab (a)% Analog SignalDt = 0.00005;t = -0.005:Dt:0.005;xa = exp(-1000*abs(t));% Discrete-time SignalTs = 0.0002; n = -25:1:25;x = exp(-1000*abs(n*Ts));% Discrete-time Fourier transformK = 500; k = 0:1:K;w = pi*k/K;X = x * exp(-j*n'*w);X = real(X);w = [-fliplr(w), w(2:K+1)];X = [fliplr(X), X(2:K+1)];


20

Contoh 3.18 – Solusi Matlab (a)subplot(1,1,1)subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);xlabel('t in msec.'); ylabel('x1(n)')title('Discrete Signal'); hold onstem(n*Ts*1000,x); gtext('Ts=0.2 msec'); hold offsubplot(2,1,2);plot(w/pi,X);xlabel('Frequency in pi units'); ylabel('X1(w)')title('Discrete-time Fourier Transform')


21

Contoh 3.18 – Visualisasi Matlab (a)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t in msec.

x1(n

)

Discrete Signal

Ts=0.2 msec

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

Frequency in pi units

X1(

w)

Discrete-time Fourier Transform

Bentukmirip!

[email protected]

[email protected] 8


22

Contoh 3.18 – Solusi (b)

• Karena Fs = 1000 < 4000 akan terjadi efek aliasing…

• Perhatikan MATLAB dan hasilnya…


23

Contoh 3.18 – Solusi Matlab (b)% Analog SignalDt = 0.00005;t = -0.005:Dt:0.005;xa = exp(-1000*abs(t));% Discrete-time SignalTs = 0.001; n = -5:1:5;x = exp(-1000*abs(n*Ts));% Discrete-time Fourier transformK = 500; k = 0:1:K;w = pi*k/K;X = x * exp(-j*n'*w);X = real(X);w = [-fliplr(w), w(2:K+1)];X = [fliplr(X), X(2:K+1)];


24

Contoh 3.18 – Solusi Matlab (b)subplot(1,1,1)subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);xlabel('t in msec.'); ylabel('x2(n)')title('Discrete Signal'); hold onstem(n*Ts*1000,x); gtext('Ts=1 msec');hold offsubplot(2,1,2);plot(w/pi,X);xlabel('Frequency in pi units'); ylabel('X2(w)')title('Discrete-time Fourier Transform')

[email protected]

[email protected] 9


25

Contoh 3.18 – Visualisasi Matlab (b)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t in msec.

x2(n

)

Discrete Signal

Ts=1 msec

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

Frequency in pi units

X2(

w)

Discrete-time Fourier Transform

Bentuktidak sama!


26

Rekonstruksi• Dari Teorema Pencuplikan dan contoh-contoh

sebelumnya sangat jelas bahwa jika kita mencuplik xa(t) pita-terbatas diatas laju Nyquist, maka kita dapat merekonstruksi xa(t) dari cuplikan x(n).

• Rekonstruksi ini dapat dilakukan dengan proses dua langkah:

– Pertama: Cuplikan dikonversi menjadi deretan impuls berbobot:

– Kedua: Deretan impuls berbobot tsb di-tapis melalui sebuah penapis lolos-bawah ideal dibatasi pada pita [-Fs/2,Fs/2].


27

Rekonstruksi

• Dua langkah ini dapat dinyatakan secara matematis…

• Perhatikan gambar berikut… sin( )sinc(x) x

xππ

=

Fungsi Interpolasi

[email protected]

[email protected] 10


28

Rekonstruksi – Gambar 3.14


29

Rekonstruksi – Gambar 3.14


30

Konverter D/A praktis

• Perlu dipikirkan implementasi praktis (selain menggunakan persamaan 3.33).

• Tetap menggunakan dua langkah, penapis lolos-bawah ideal penapis lolos-bawah analog yang praktis!

• Persamaan 3.33 suatu interpolasi orde tak-berhingga interpolasi orde berhingga, beberapa pendekatan…

[email protected]



31

Konverter D/A praktis: Interpolasi

• Interpolasi Zero-Order-Hold (ZOH): pada interpolasi ini, nilai cuplikan saat ini ditahan hingga cuplikan berikutnya diterima:

• Yang dapat diperoleh dengan cara menapis sederetan impuls melalui penapis interpolasi:

• Yang merupakan pulsa kotak hasilnya berupa gelombang undah (staircase)…


32

Konverter D/A praktis: Interpolasi

• Interpolasi First-Order-Hold (FOH): Dalam kasus ini cuplikan yang berdampingan digabungkan dengan garis lurus.

• Yang dapat diperoleh dengan cara menapis sederetan impuls melalui penapis interpolasi (masih membutuhkan post-filter):


33

Konverter D/A praktis: Interpolasi• Interpolasi Kubik Spline (Cubic Spline): Pendekatan ini

menggunakan interpolan spline untuk penghalusan, tetapi tidak terlalu akurat, memperkirakan sinyal analog antar cuplikan.

• Tidak lagi membutuhkan post-filter analog.• Rekonstruksi yang halus diperoleh menggunakan sekumpulan

potongan-potongan kontinyu polinomial orde-ketiga cubic spline:

• dengan merupakan koefisien polinomial, yang ditentukan menggunakan analisa least-square pada tiap-tiap cuplikan.

[email protected]



34

Implementasi MATLAB: Rekonstruksi

• Untuk Interpolasi antara cuplikan MATLAB menyediakan beberapa pendekatan…

• Fungsi sinc(x), yang menghasilkan Fungsi(sin πx)/πx, dapat digunakan untuk implementasi persamaan 3.33.

• Jika diketahui x(n), n1≤ n ≤ n2 dan jika kita ingin untuk menginterpolasi xa(t) pada suatu grid yang sangat baik dengan interval grid ∆t, maka dengan persamaan 3.33 diperoleh…


35

Implementasi MATLAB: Rekonstruksi

• Dengan MATLAB dituliskan…

n = n1:n2; t = t1:t2; Fs = 1/Ts; nTs = n*Ts;% Ts is the sampling intervalxa = x * sinc(Fs*(ones(length(n),1)*t-nTs’*ones(1, length(t)));

• Perhatikan contoh-contoh soal dan penyelesaian-nya berikut…


36

Contoh 3.19

• Dari cuplikan-cuplikan x1(n) dalam contoh 3.18a, rekonstruksi-kan xa(t) dan berikan komentar pada hasilnya!

[email protected]



37

Contoh 3.19 - Solusi

• Catatan: x1(n) diperoleh dengan mencuplik xa(t) padaTs = 1/Fs = 0.0002 detik.

• Kita akan menggunakan spasi grid 0.00005 detik pada jangakuan-0.005 ≤ t ≤ 0.005, yang akan menghasilkan x(n) pada jangkauan -25 ≤ n ≤ 25.


38

Contoh 3.19 – Solusi Matlab% Discrete-time Signal x1(n)Ts = 0.0002; Fs = 1/Ts; n = -25:1:25; nTs = n*Ts;x = exp(-1000*abs(nTs));% Analog Signal reconstructionDt = 0.00005;t = -0.005:Dt:0.005;xa = x * sinc(Fs*(ones(length(nTs),1)*t-

nTs'*ones(1,length(t))));% checkerror = max(abs(xa - exp(-1000*abs(t))))error =

0.0363


39

Contoh 3.19 – Solusi Matlab% Plotsplot(t*1000,xa);xlabel('t in msec.'); ylabel('xa(t)')title('Reconstructed Signal from x1(n) using sinc function');hold onstem(n*Ts*1000,x); hold off

[email protected]



40


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t in msec.

xa(t)

Reconstructed Signal from x1(n) using sinc function


41

Contoh 3.20 & Solusi• Dari cuplikan-cuplikan x2(n) dalam contoh 3.18b,

rekonstruksi-kan xa(t) dan berikan komentar pada hasilnya!

• Dalam kasus ini x2(n) diperoleh dengan pencuplikan xa(t) pada Ts = 1/Fs = 0.001 detik.

• Kita akan menggunakan lagi spasi grid dari 0.00005 detik pada jangkauan-0.005 ≤ t ≤ 0.005, yang menghasilkan x(n) pada jangkauan -5 ≤ n ≤ 5.


42

Contoh 3.20 – Solusi Matlab% Discrete-time Signal x1(n)Ts = 0.001; Fs = 1/Ts; n = -5:1:5; nTs = n*Ts;x = exp(-1000*abs(nTs));% Analog Signal reconstructionDt = 0.00005;t = -0.005:Dt:0.005;xa = x * sinc(Fs*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));% checkerror = max(abs(xa - exp(-1000*abs(t))))error =

0.1852

[email protected]



43

Contoh 3.20 – Solusi Matlabplot(t*1000,xa);xlabel('t in msec.'); ylabel('xa(t)')title('Reconstructed Signal from x2(n) using sinc function'); hold onstem(n*Ts*1000,x);hold off


44


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t in msec.

xa(t)

Reconstructed Signal from x2(n) using sinc function


45

Rekonstruksi – Pendekatan lain (MATLAB)

• Pendekatan MATLAB yang kedua adalah pendekatan plot/gambar;

• Fungsi stairs digunakan untuk menggambarkan ZOH sinyal analog, sedangkan fungsi plot digunakan untuk FOH…

[email protected]



46


• Gambarkan rekonstruksi sinyal dari cuplikan-cuplikan x1(n) dalam contoh 3.18 menggunakan interpolasi ZOH dan POH. Berikan Komentar pada hasilnya!

• Sebagai catatan bahwa dalam rekonstruksi ini kita tidak menghitung xa(t)tetapi hanya menggunakan cuplikan-cuplikan-nya.


47

Contoh 3.21 – Solusi Matlabfigure(1); clf% Discrete-time Signal x1(n) : Ts = 0.0002Ts = 0.0002; n = -25:1:25; nTs = n*Ts;x = exp(-1000*abs(nTs));% Analog Signal reconstruction using stairssubplot(2,1,1); stairs(nTs*1000,x);xlabel('t in msec.'); ylabel('xa(t)')title('Reconstructed Signal from x1(n) using zero-order-hold'); hold onstem(n*Ts*1000,x); hold off% Analog Signal reconstruction using plotsubplot(2,1,2); plot(nTs*1000,x);xlabel('t in msec.'); ylabel('xa(t)')title('Reconstructed Signal from x1(n) using first-order-hold'); hold onstem(n*Ts*1000,x); hold off


48


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t in msec.

xa(t)

Reconstructed Signal from x1(n) using zero-order-hold

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t in msec.

xa(t)

Reconstructed Signal from x1(n) using first-order-hold

[email protected]



49


• Dari cuplikan x1(n) dan x2(n) dalam contoh 3.18, tentukan rekonstruksi xa(t)menggunakan fungsi spline. Berikan komentar pada hasilnya!

• Contoh ini hampir sama dengan contoh 3.19 dan 3.20. Oleh sebab itu parameter pencuplikan sama dengan sebelumnya.


50

Contoh 3.22 – Solusi Matlab% a) Discrete-time Signal x1(n): Ts = 0.0002Ts = 0.0002; n = -25:1:25; nTs = n*Ts;x = exp(-1000*abs(nTs));% Analog Signal reconstructionDt = 0.00005;t = -0.005:Dt:0.005;xa = spline(nTs,x,t);% checkerror = max(abs(xa - exp(-1000*abs(t))))error =

0.0317


51

Contoh 3.22 – Solusi Matlabfigure(1); clfsubplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);xlabel('t in msec.'); ylabel('xa(t)')title('Reconstructed Signal from x1(n) using cubic spline function');hold onstem(n*Ts*1000,x); hold off

[email protected]



52

Contoh 3.22 – Solusi Matlab% b) Discrete-time Signal x2(n): Ts = 0.001Ts = 0.001; n = -5:1:5; nTs = n*Ts;x = exp(-1000*abs(nTs));% Analog Signal reconstructionDt = 0.00005;t = -0.005:Dt:0.005;xa = spline(nTs,x,t);% checkerror = max(abs(xa - exp(-1000*abs(t))))error =

0.1679


53

Contoh 3.22 – Solusi Matlab% Plotssubplot(2,1,2);plot(t*1000,xa);xlabel('t in msec.'); ylabel('xa(t)')title('Reconstructed Signal from x2(n) using cubic spline function');hold onstem(n*Ts*1000,x); hold off


54


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t in msec.

xa(t)

Reconstructed Signal from x1(n) using cubic spline function

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t in msec.

xa(t)

Reconstructed Signal from x2(n) using cubic spline function

[email protected]



55

Terima Kasih!

• TFWD selesai...• Berikutnya

– 4A: Transformasi Z bilateral!

transformasi fourier waktu-diskrit.ppt

Documents