KONVOLUSI DAN TRANSFORMASI FOURIER

Desita Ria Yusian TB,S.ST.,MTTeknik Informatika

Universitas Ubudiyah Indonesia2017

Materi Pembahasan

• Operasi matematis dalam Pengolahan citra digital konvolusi

dan transformasi Fourier

Referensi Buku

• Munir,Rinaldi, 2004, Pengolahan Citra Digital dengan Pendekatan Algoritmik, Penerbit Informatika, Bandung

• Putra,Darma, 2009, Pengolahan Citra Digital, Penerbit Andi, Jogjakarta

• Gonzalez, Rafael C and Woods, Richard, 1992, Digital Image Processing, Third Edition Pearson.

KONVOLUSI

Konvolusi adalah operator metematika yang penting untuk

banyak operator dalam image processing.

Konvolusi menyediakan cara untuk menggabungkan dua

array yang berbeda, tetapi untuk dimensi array yang sama,

menghasilkan array ketiga yang mempunyai dimensi yang

sama.

Konvolusi dapat digunakan dalam image processing untuk

menerapkan operator yang mempunyai nilai output dari piksel

yang berasal dari kombinasi linear nilai input piksel tertentu.

Konvolusi citra adalah teknik untuk menghaluskan suatu citra

dengan menggunakan nilai piksel dengan sejumlah nilai piksel

yang sesuai atau berdekatan dengan piksel aslinya. Tetapi dengan

adanya konvolusi, ukuran citra tetap sama, tidak berubah.

FUNGSI KONVOLUSIKonvolusi berguna pada proses pengolahan citra seperti :

1. Perbaikan kualitas citra (image enhancment).

2. Penghilang derau (noise).

3. Mengurangi erotan (mencong/serong).

4. Penghalusan / pembulatan citra.

5. Blur

6. Deteksi Tepi

KONVOLUSI DAN TRANSFORMASI FOURIER

Dua operasi matematis yang perlu dipahami dalam

mempelajari pengolahan citra digital adalah :

• Operasi konvolusi (Spatial Filter/Discret

Convolution Filter)

• Transformasi Fourier

Operasi Konvolusi

• Konvolusi terdapat pada operasi pengolahan citra yang mengalikan sebuah citra dengan sebuah mask (convolution mask) atau kernel

• Secara matematis, konvolusi 2 buah fungsi f(x) dan g(x) didefinisikan sebagai berikut :

• Untuk fungsi diskrit :

• Yang dalam hal ini tanda * menyatakan operator konvolusi dan variabel a adalah variabel bantu (dummy variable)

Operasi Konvolusi

• Pada operasi konvolusi di atas, g(x) disebut mask (convolution mask) atau kernel.

• Kernel g(x) yang akan dioperasikan secara bergeser pada sinyal masukan f(x), yang dalam hal ini, jumlah perkalian kedua fungsi pada setiap titik merupakan hasil konvolusi yang dinyatakan dengan keluaran h (x)

Operasi Konvolusi

Contoh operasi konvolusi pada data 1 dimensi :• f(x) = {0,1,2,3,2,1,0}• g(x) = {1,3,1}

Didefinisikan adalah operasi ⊗konvolusi, maka :• h(x) = f(x) g(x) = ⊗

{1,5,10,13,10,5,1}

Operasi Konvolusi

Operasi KonvolusiContoh operasi konvolusi pada data 1 dimensi :• f(x) = {0,1,2,3,2,1,0}• a = {0,1,2,3,4,5,6}• Grafik f(x) = (0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,2),

(5,1), (6,0)• g(x) = {1,3,1}• h(x) = f(x) g(x) = {1,5,10,13,10,5,1}⊗• Grafik h(x) = (0,1), (1,5), (2,10), (3,13),

(4,10), (5,5), (6,1)

0 1 2 3 4 5 6 70

2

4

6

8

10

12

14

f(x)h(x)

Operasi Konvolusi• f(x) = 1,7,8,9,8,7,1• g(x) = {1,3,1)• a = {0,1,2,3,4,5,6}

0 1 2 3 4 5 6 70

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

h(x)f(x)

g(x) = {1,3,1} h(x) = f(x) g(x) = {⊗ 10,30,40,43,40,30,10} Grafik f(x) = (0,1), (1,7), (2,8), (3,9), (4,8), (5,7), (6,1) Grafik h(x) = (0,10), (1,30), (2,40), (3,43), (4,40), (5,30), (6,10)

Operasi Konvolusi

• Sedangkan pemakaian teknik spatial filtering pada citra, umumnya titik yang akan diproses beserta titik-titik disekitarnya dimasukkan ke dalam sebuah matrix 2 dimensi yang berukuran N x N.

• Matrix ini dinamakan matrix neighbor (matrix tetangga), dimana N ini besarnya tergantung dari kebutuhan, tetapi pada umumnya N ini selalu kelipatan ganjil karena titik yang akan diproses diletakkan di tengah dari matrix

• Untuk citra, konvolusi dituliskan :h(x,y) = f(x,y) g(x,y)⊗

Operasi Konvolusi

• Contoh matrix tetangga 3 x 3 :

• Selain digunakannya matrix tetangga, teknik spatial filtering menggunakan sebuah matrix lagi yaitu matrix convolution (mask/kernel) yang ukurannya sama dengan matrix tetangga.

Operasi Konvolusi

• Citra dengan 5 x 5 pixel dan 8 grayscale :

Dikonvolusi denganimage mask

0 5 5 4 40 0 5 4 41 6 1 3 31 6 7 2 31 6 7 6 6

8

-2 -1 0

-1 0 1

0 1 2

Hasil konvolusi = (0 x -2)+ (5 x -1) + (5 x 0) + (0 x -1) + (0 x 0) + (5 x 1) + (1 x 0) + (6 x 1) + (1 x 2) = 8

Operasi Konvolusi

• Citra dengan 5 x 5 pixel dan 8 grayscale :

Dikonvolusi denganimage mask

0 5 5 4 40 0 5 4 41 6 1 3 31 6 7 2 31 6 7 6 6

8 -4

-2 -1 0

-1 0 1

0 1 2

Hasil konvolusi = (5 x -2)+ (5 x -1) + (4 x 0) + (0 x -1) + (5 x 0) + (4 x 1) + (6 x 0) + (1 x 1) + (3 x 2) = -4

Operasi Konvolusi

• Citra dengan 5 x 5 pixel dan 8 grayscale :

Dikonvolusi denganimage mask

0 5 5 4 40 0 5 4 41 6 1 3 31 6 7 2 31 6 7 6 6

5 15 12 11 013 8 -4 -6 -13

19 20 3 -4 -12

18 18 2 9 -55 -2 -19 -17 -13

-2 -1 0

-1 0 1

0 1 2

Normalisasi

Hasilnya

5 7 7 7 07 7 0 0 0

7 7 3 0 0

7 7 2 7 05 0 0 0 0

Hasil Pengujian Konvolusi Pada Citra A. SmoothBerikut adalah perbandingan hasil pengolahan citra dengan menggunakan konvolusi smooth yaitu menghaluskan citra yang mengalami gangguan noise (Gambar 1).

(a) (b)Gambar 1 (a) Image asli yang mengalami noise; (b) Hasil konvolusi smooth.

Hasil Pengujian Konvolusi Pada Citra B. SharpenFile gambar yang mengalami sharpen akan mengalami perubahan dimana warna-warna menjadi lebih tajam. Konvolusi sharpen sangat berguna untuk citra yang terlihat halus atau blur dimana berguna untuk memperjelas interpretasi citra itu sendiri dan hasilnya juga bisa nampak lebih baik dari citra sebelumnya. Hasil evaluasi citra yang telah diolah dengan konvolusi sharpen dapat dilihat pada Gambar 3. Dapat dilihat bahwa warna yang dihasilkan tampak lebih tajam dan terang.

(a) (b) Gambar 3 (a) Citra asli; (b) citra yang telah mengalami sharpening

Hasil Pengujian Konvolusi Pada Citra

C. Mean RemovalKonvolusi mean removal memberikan ketajaman lebih pada citra. Konvolusi mean removal berbeda dengan konvolusi sharpen walaupun sama-sama mempertajam citra. Perbedaan itu terletak pada mask konvolusi yang digunakan. Ketajaman citra yang diberikan pada mean removal lebih tajam daripada ketajaman sharpen. Namun, user dapat menggunakan keduanya sesuai dengan kebutuhan yang diperlukan. Hasil evaluasi mean removal dapat dilihat pada Gambar 4. Citra yang dihasilkan terlihat lebih tajam dan nampak nyata. Pewarnaan yang dihasilkan lebih baik dari citra aslinya.

(a) (b) Gambar 4 (a) citra asli; (b) citra yang telah mengalami mean removal

Hasil Pengujian Konvolusi Pada Citra

D. EmbossEmboss adalah membuat citra seolah diukir pada permukaaan selembar nikel. Hasil pengujian konvolusi emboss diberikan dalam Gambar 5, dengan arah kiri, kanan, atas, dan bawah.

Hasil Pengujian Konvolusi Pada Citra

(b) (c)

(d) (e)Gambar 5 (a) citra asli; (b) emboss dari arah kiri; (c) emboss dari arah kanan;(d) emboss dari arah atas; (e) emboss dari arah bawah

Hasil Pengujian Konvolusi Pada Citra E. Edge DetectionTepi suatu obyek dalam citra dinyatakan sebagai titik yang nilai keabuannya berbeda cukup besar dengan titik yang ada disebelahnya. Hasil pengujian konvolusi edge detection dapat dilihat pada Gambar 6.

(a) (b)

Gambar 6 (a) citra asli; (b) citra yang telah dilakukan edge detection

Transformasi Fourier

Transformasi Fourier merupakan suatu proses yang banyak digunakan untuk memindahkan domain dari suatu fungsi atau obyek ke dalam domain frekwensi.

Di dalam pengolahan citra digital, transformasi fourier digunakan untuk mengubah domain spasial pada citra menjadi domain frekwensi. Analisa-analisa dalam domain frekwensi banyak digunakan seperti filtering.

Dengan menggunakan transformasi fourier, sinyal atau citra dapat dilihat sebagai suatu obyek dalam domain frekwensi.

Transformasi Fourier

Salah satu hal penting dalam transformasi adalah basis citra

yang merupakan sekumpulan vektor 2D atau matriks.

Seperti pada aljabar linier, transformasi membawa suatu citra

ke sistem koordinat baru yang dibentuk oleh fungsi basis

tersebut. Dalam konteks citra, basis ini berupa matriks yang

disebut sebagai n citra basis.

Transformasi Fourier

Transformasi bisa dibagi menjadi 2 :1.Transformasi piksel/transformasi geometris2.Transformasi ruang/domain/space

Transformasi Fourier

1. Transformasi Piksel

Transformasi piksel masih bermain di ruang/domain yang sama

(domain spasial), hanya posisi piksel yang kadang diubah.

Contoh: rotasi, translasi, scaling, invers, shear, dll.

Transformasi jenis ini relatif mudah diimplementasikan dan banyak

aplikasi yang dapat melakukannya (Paint, ACDSee, dll).

Transformasi Fourier2. Transformasi RuangTransformasi ruang merupakan proses perubahan citra dari suatu ruang/domain ke ruang/domain lainnya, contoh: dari ruang spasial ke ruang frekuensi.Contoh : Ruang vektor. Salah satu basis yang merentang ruang vektor 2 dimensi adalah [1 0] dan [0 1]. Artinya, semua vektor yang mungkin ada di ruang vektor 2 dimensi selalu dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari basis tersebut. Ada beberapa transformasi ruang, yaitu : Transformasi Fourier (basis: cos-sin) Transformasi Hadamard/Walsh (basis: kolom dan baris yang ortogonal) Transformasi DCT (basis: cos) Transformasi Wavelet (basis: scaling function dan mother wavelet

Transformasi Fourier

• Konvolusi per-pixel Lama, terdapat operasi perkalian dan penjumlahan untuk setiap pixel

• Untuk mempercepat komputasi :Mengubah citra dari domain spatial ke domain frekuensi, dengan Transformasi Fourier.

• Keuntungan penggunaan domain frekuensi adalah proses konvolusi dapat diterapkan dalam bentuk perkalian langsung

Transformasi Fourier

Rumus :Jika :• h(x,y) = f(x,y) g(x,y)⊗• F(u,v) = Transf.Fourier dari f(x,y)• F(u,v) = Transf.Fourier dari f(x,y)• G(u,v) = Transf.Fourier dari g(x,y)Maka berlaku :• H(u,v) = F(u,v) .G(u,v)• h(x,y) = invers Transf.Fourier dari H(u,v)

Selesai