digital 20180936 029 07 model runtun

7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun

1/142

MODEL RUNTUN WAKTU

AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSCEDASTICITY

(ARCH) DAN GENERALIZED AUTOREGRESSIVE

CONDITIONAL HETEROSCEDASTICITY(GARCH)

PENI SHANTI SURYANI

0301010454

UNIVERSITAS INDONESIA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

DEPARTEMEN MATEMATIKA

DEPOK

2007

Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007


2/142

MODEL RUNTUN WAKTU

AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSCEDASTICITY

(ARCH) DAN GENERALIZED AUTOREGRESSIVE

CONDITIONAL HETEROSCEDASTICITY(GARCH)

Skripsi diajukan sebagai salah satu syarat

untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

Oleh :

PENI SHANTI SURYANI

0301010454

DEPOK

2007



3/142

SKRIPSI : MODEL RUNTUN WAKTUAUTOREGRESSIVE

CONDITIONAL HETEROSCEDASTICITY (ARCH) DAN

GENERALIZED AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL

HETEROSCEDASTICITY(GARCH)

NAMA : PENI SHANTI SURYANI

NPM : 0301010454

SKRIPSI INI TELAH DIPERIKSA DAN DISETUJUI

DEPOK, 11 JULI 2007

Dra. Netty Sunandi, M.Si Yogo Purwono, SE, MM, Gdip,ActSc

Pembimbing I Pembimbing II

Tanggal lulus Ujian Lulus Sidang Sarjana : 11 Juli 2007

Penguji I : Dra. Netty Sunandi, M.Si

Penguji II : Rahmi Rusin, S.Si, M.Sc

Penguji III : Fevi Novkaniza, S.Si, M.Si



4/142

i

KATA PENGANTAR

Alhamdulillaahirabbilaalamiin, puji syukur kepada Allah swt atas

segala rahmat-Nya sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan.

Penulis mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya kepada :

1. Ibu Netty dan Pak Yogo (selaku pembimbing I dan II), Ibu Titin dan Ibu

Saskya (selaku pengurus departemen Matematika) serta Ibu Siti

Aminah (selaku pembimbing akademis), untuk bimbingan, bantuan

dan doanya kepada penulis selama berada di Matematika.

2. Keluarga, terutama kedua kakak, Nunning dan Dewita (terima kasih

laptopnya yang amat sangat berguna), dan Om Marwanto Omen,

untuk doa, semangat dan kasih sayang terbesar kepada penulis.

3. Teman-teman di Matematika, terutama Luwice, Ihsan (pembimbing

ketiga, maaf sering merepotkan), Ary dan Widya (teman senasib

selama mengerjakan skripsi), Hidia dan Yanti (seksi konsumsi), Siska

dan Feni (seksi penginapan), Bas dan Onggo (seksi penyemangat),

Dany (untuk file TA Dany-nya), Wiwik dan ibunya (terima kasih

interlokalnya), Winny (semangat terus ya), cewek-cewek barengan

lulus : Dyut, Aurora, Icha, Kumala, Diah, Indah, Wina dan Vidya.

4. Teman-teman di luar Matematika (Oppie, Wahidin dan teman-teman

ex-2c), keluarga kucing (keluarga besar Uci, Alul, Mimi, Tutul, Impi,

Kitty, Bubul, Item, Cina, Milki, Manda, Monika, Jackson, dkk), dan



5/142

ii

Yuni (untuk nasi goreng dan mengurus keluarga kucing), serta kepada

semua pihak yang telah membantu dan mendoakan, maaf tidak dapat

disebutkan satu persatu.

Penulis

2007



6/142

iii

ABSTRAK

Tugas akhir ini bertujuan untuk memperkenalkan model runtun waktu

Autoregressive Conditional Heteroscedasticity(ARCH) dan Generalized

Autoregressive Conditional Heteroscedasticity(GARCH), kemudian

menggabungkannya dengan modelruntun waktu stasioner yaitu model

Autoregressive Moving Average(ARMA), menjadi model ARMA-ARCH atau

ARMA-GARCH. Model ini akan dapat menangkap adanya fenomena

pengelompokan volatilitas yang seringkali terjadi pada data runtun waktu

finansial. Selain itu akan dijelaskan karakteristiknya, diantaranya adalah sifat

kestasioneran dan fungsi autokorelasi, kemudian diperlihatkan berbagai

simulasinya.

Kata kunci : fungsi autokorelasi; heteroskedastik; homoskedastik;

proses ARMA; proses white noise; stasioner.

vii + 132 hlm. ; lamp.

Bibliografi : 12 (1982-2007)



7/142

iv

DAFTAR ISI

Halaman

KATA PENGANTAR .................................................................................... i

ABSTRAK .................................................................................. iii

DAFTAR ISI .............................................................................. iv

DAFTAR LAMPIRAN ............. vii

BAB I PENDAHULUAN ..................................................... 1

1.1 LATAR BELAKANG MASALAH ........................... 1

1.2 MASALAH ....................................... 3

1.3 PEMBATASAN MASALAH ...................... 3

1.4 TUJUAN PENULISAN ................................ 3

1.5 SISTEMATIKA PENULISAN ..................................... .. 4

BAB II PROSES RUNTUN WAKTUAUTOREGRESSIVE MOVING

AVERAGE(ARMA) ........ 5

2.1 KONSEP DASAR RUNTUN WAKTU ............................. 5

2.1.1 Runtun Waktu dan Proses Stokastik ........................... 5

2.1.2 Fungsi Mean, Fungsi Autokovariansi dan

Fungsi Autokorelasi ................................................... 6

2.1.3 Kestasioneran ............................................................... 7

2.1.3.1 Stasioner Kuat ............................................... 7

2.1.3.2 Stasioner Lemah ........................................... 7

2.1.4 Proses White Noise ..................................................... 8

2.1.5 Fungsi Autokorelasi Parsial ........................................ 9

2.1.6 Operator Backward Shift ............................................ 12

2.2 PROSES MOVING AVERAGE.............................................. 12

2.2.1 Proses Moving AverageOrde Pertama ..................... 13

2.2.2 Proses Moving AverageOrde Kedua ........................ 15

2.2.3 Proses Moving AverageOrde ke-q ............................ 16



8/142

v

2.3 PROSESAUTOREGRESSIVE ......................................... 17

2.3.1 ProsesAutoregressive Orde Pertama ....................... 18

2.3.2 ProsesAutoregressive Orde Kedua........................... 22

2.3.3 ProsesAutoregressive Orde ke-p.............................. 25

2.4 INVERTIBILITAS .................................................................. 27

2.4.1 Proses Moving Average............................................ 27

2.4.2 ProsesAutoregressive............................................... 29

2.5 PROSESAUTOREGRESSIVE MOVING AVERAGE........... 30

2.5.1 Proses ARMA(1,1)...................................................... 32

2.5.2 Proses ARMA(p,q)...................................................... 34

2.6 SIMULASI PROSES ARMA .................................................. 35

2.7 RUNTUN WAKTU NONSTASIONER.................................... 37

2.7.1 Transformasi Diferensi................................................ 38

2.7.2 Transformasi Logaritma............................................... 41

BAB III PROSESAUTOREGRESSIVE CONDITIONAL

HETEROSCEDASTICITY(ARCH) .............................................. 47

3.1 MEAN DAN VARIANSI BERSYARAT PADA PROSES

ARMA........................................................................... 47

3.2 PENGELOMPOKAN VOLATILITAS PADA RUNTUN

WAKTU FINANSIAL ............................. ................................ 48

3.3 PEMODELAN FAKTOR PENGGANGGU UNTUK RUNTUN

WAKTU DENGAN PENGELOMPOKAN VOLATILITAS......... 50

3.3.1 Model dengan Variabel Eksogen ................................ 51

3.3.2 Model Bilinier ............................................................... 52

3.3.3 ModelAutoregressive Conditional Heteroscedasticity

(ARCH) ........................................................................ 53

3.4 PROSESAUTOREGRESSIVE CONDITIONAL

HETEROSCEDASTICITY(ARCH).......................................... 55

3.4.1 Proses ARCH Orde Pertama ..................................... 55



9/142

vi

3.4.2 Proses ARCH Orde ke-n............................................. 58

3.5 FUNGSI AUTOKORELASI {t2} PADA PROSES ARCH(n).....59

3.6 MODEL ARMA-ARCH STASIONER..................................... 62

3.7 SIMULASI PROSES ARCH .................................................. 65

3.7.1 Simulasi Proses AR(1)................................................. 65

3.7.2 Simulasi Proses AR(1)-ARCH(1)................................ 67

3.7.3 Simulasi Proses AR(1)-ARCH(4)................................ 68

3.7.4 Simulasi Proses AR-ARCH yang Tidak Stasioner....... 71

BAB IV PROSES GENERALIZED AUTOREGRESSIVE

CONDITIONAL HETEROSCEDASTICITY(GARCH) ................ 73

4.1 PROSES GARCH(1,1)......................................................... 73

4.2 PROSES GARCH ORDE KE-mDAN n................................ 77

4.3 FUNGSI AUTOKORELASI {t2}

PADA PROSES GARCH(m,n) ............................................. 78

4.4 REPRESENTASI GARCH(1,1) SEBAGAI ARCH() ............ 82

4.5 MODEL ARMA-GARCH STASIONER ................................. 83

4.6 SIMULASI PROSES GARCH .............................................. 84

4.6.1 Simulasi Proses AR(1)-GARCH(1,1).......................... 85

4.6.2 Simulasi Proses AR(1)-GARCH(2,2)........................... 86

4.6.3 Simulasi Proses AR-GARCH yang Tidak Stasioner.... 89

4.7 KELEMAHAN PROSES ARCH DAN GARCH ........................ 90

BAB V PENUTUP ........................................................ 91

5.1 KESIMPULAN ............................................................... 91

5.2 SARAN .................................................................................. 93

DAFTAR PUSTAKA ............................................................. 95

LAMPIRAN ........................................................................... 96



10/142

vii

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran Halaman

1. Program Simulasi .... 96

2. Pembuktian Teorema . 99

3. Skewness dan Kurtosis 129



11/142

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG MASALAH

Runtun waktu adalah himpunan barisan observasi yang terurut dalam

waktu. Satuan waktu ini dapat berupa tahunan, bulanan, harian, maupun

detik, tergantung pada permasalahannya. Dari suatu data runtun waktu,

dapat dilakukan analisis runtun waktu, yaitu memodelkan data runtun waktu,

kemudian menggunakan model tersebut untuk meramalkan nilai masa depan

dari runtun waktu tersebut.

Model runtun waktu yang biasa digunakan dalam memodelkan suatu

data runtun waktu adalah modelAutoregressive Moving Average(ARMA).

Model ini menggunakan asumsi faktor pengganggu (error) mempunyai

variansi konstan (bersifat homoskedastik). Suatu proses runtun waktu agar

dapat dimodelkan dengan model ARMA, harus memenuhi sifat stasioner,

yaitu fungsi mean dan variansinya konstan terhadap waktu, dan fungsi

autokovariansi antara dua observasi pada dua titik waktu yang berbeda

hanya bergantung pada selisih antara dua titik waktu tersebut.

Runtun waktu dalam bidang finansial contohnya adalah harga saham,

tingkat inflasi dan nilai tukar mata uang. Data runtun waktu finansial

seringkali memperlihatkan adanya volatilitas yang berfluktuasi tajam pada



12/142

2

periode waktu tertentu, sedangkan pada periode waktu yang lain nilainya

relatif stabil. Nilai runtun waktu yang besar (atau kecil), cenderung diikuti

oleh nilai yang besar (atau kecil) pula pada waktu berikutnya, baik bernilai

positif maupun negatif. Sifat ini akan menyebabkan terjadinya fenomena

yang disebut dengan pengelompokan volatilitas, yaitu keragaman nilai

pada data runtun waktu antar periode membentuk kelompok-kelompok.

Pada periode waktu tertentu keragaman nilai runtun waktu ini bernilai relatif

kecil-kecil, sedangkan pada periode waktu yang lain bernilai relatif besar-

besar. Fenomena seperti ini wajar terjadi karena dalam bidang finansial

banyak faktor yang saling mempengaruhi.

Gambar 1.1 Pengembalian (Return) Indeks Harga Penutupan

Saham pada Bursa Saham Nasdaq 1971-2006

Data runtun waktu finansial dengan adanya pengelompokan volatilitas,

tidak sesuai apabila dimodelkan dengan menggunakan model ARMA biasa,

karena model ARMA biasa tidak dapat menangkap adanya sifat tersebut.



13/142

3

1.2 MASALAH

Membentuk suatu model runtun waktu, dengan memperluas model

ARMA, sehingga model ini akan dapat mencerminkan fenomena

pengelompokan volatilitas yang seringkali terjadi pada runtun waktu finansial.

1.3 PEMBATASAN MASALAH

Pembahasan dalam penulisan tugas akhir ini dibatasi pada proses

runtun waktu yang hanya melibatkan satu variabel (univariat) dan mempunyai

fungsi mean yang konstan. Selain itu pada penulisan ini hanya membahas

karateristik saja, tidak membahas estimasi parameter pada model.

1.4 TUJUAN PENULISAN

Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah :

1. Menjelaskan variansi bersyarat proses ARMA.

2. Menjelaskan prosesAutoregressive Conditional Heteroscedasticity

(ARCH).

3. Menjelaskan proses Generalized Autoregressive Conditional

Heteroscedasticity(GARCH).

4. Menjelaskan proses ARMA-ARCH dan ARMA-GARCH.



14/142

4

5. Memperlihatkan simulasi dari proses-proses yang telah dijelaskan

sebelumnya.

1.5 SISTEMATIKA PENULISAN

Bab I. Pendahuluan

Berisi latar belakang, masalah, pembatasan masalah, tujuan

penulisan, dan sistematika penulisan.

Bab II. Landasan Teori

Berisi pembahasan tentang konsep dasar runtun waktu dan

karakteristik prosesAutoregressive Moving Average(ARMA) beserta

simulasinya.

Bab III. ProsesAutoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH)

Berisi pembahasan tentang proses ARCH dan ARMA-ARCH, beserta

simulasinya.

Bab IV. Proses Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity

(GARCH)

Berisi pembahasan tentang proses GARCH dan ARMA-GARCH,

beserta simulasinya.

Bab V. Penutup

Berisi kesimpulan.



15/142

5

0.00 100.00 200.00 300.00

waktu

0.00

50000.00

100000.00

150000.00

Keuntungan

BAB II

PROSES RUNTUN WAKTU

AUTOREGRESSIVE MOVING AVERAGE (ARMA)

2.1 KONSEP DASAR RUNTUN WAKTU

2.1.1 Runtun Waktu dan Proses Stokastik

Runtun waktu adalah himpunan observasi yang terurut dalam waktu.

Satuan waktu ini dapat berupa tahunan, bulanan, harian maupun detik,

tergantung pada permasalahannya. Dari suatu data runtun waktu, dapat

dilakukan analisis runtun waktu, yaitu memodelkan data runtun waktu,

kemudian menggunakan model tersebut untuk meramalkan nilai masa depan

dari runtun waktu tersebut. Pada bab ini akan dibahas karakteristik runtun

waktu yang dimodelkan dengan model runtun waktu stasionerAutoregressive

Moving Average (ARMA).

Gambar 2.1 Runtun Waktu Keuntungan Harian

Produsen Minuman X Tahun 2006



16/142

6

Notasikan tY sebagai observasi pada waktu t . Untuk memodelkan

ketidakpastian pada observasi, asumsikan bahwa untuk setiap titik waktu t,

tY adalah variabel random. Suatu fenomena statistik yang berkembang

dalam waktu sesuai dengan hukum probabilitas disebut dengan proses

stokastik. Runtun waktu yang akan dianalisis dapat dipandang sebagai

realisasi dari proses stokastik. Selanjutnya kata proses stokastik dapat

ditulis secara singkat dengan proses saja.

2.1.2 Fungsi Mean, Fungsi Autokovariansi dan Fungsi Autokorelasi

Untuk proses stokastik { }: 0, 1, 2,...tY t = , fungsi mean dinotasikan

dengan t , yaitu :

( ), 0, 1, 2,

t t

E Y t = =

Fungsi autokovariansi antara dant sY Y , dinotasikan dengan ,t s , yaitu :

( ) ( )( ) ( ), , , , 0, 1, 2,t s t s t t s s t s t sCov Y Y E Y Y E YY t s = = = = .

Jika t s= maka ,t s menjadi variansi tY , yaitu :

( ) ( ), , , 0, 1, 2,t t t t tCov Y Y Var Y t = = = .

Fungsi autokorelasi antara dant sY Y , dinotasikan dengan ,t s , yaitu :

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ),

, 1 2 1 2

, ,

,, , , 0, 1, 2,...

.

t S t s

t s t s

t t s st S

Cov Y YCorr Y Y t s

Var Y Var Y

= = = =

.



17/142

7

2.1.3 Kestasioneran

2.1.3.1 Stasioner Kuat

Proses stokastik { }tY bersifat stasioner kuatjika distribusi bersama

dari1 2, ,...,

nt t tY Y Y sama dengan distribusi bersama dari

1 2, ,...,

nt k t k t kY Y Y , yaitu

dapat ditulis :

( ) ( )1 2 1 2Pr , ,..., Pr , ,...,n nt t t t k t k t kY Y Y Y Y Y = ,

untuk setiap titik waktu 1 2, ,..., nt t t dan lag k .

2.1.3.2 Stasioner Lemah

Proses stokastik { }tY bersifat stasioner lemahjika :

1. Fungsi mean konstan terhadap waktu, yaitu :

( ) ( ) ,t t kE Y E Y = = < ,

untuk setiap t dan k.

2. Fungsi autokovariansi antara tY dan t kY hanya bergantung pada

selang waktu k, tidak bergantung pada t, yaitu :

( ) ( ), , ,t t k t j t k j k kCov Y Y Cov Y Y = = < ,

untuk setiap t, kdanj.



18/142

8

Jika 0k = maka k menjadi variansi tY , yaitu :

( ) ( ) 0,t t tVar Y Cov Y Y = = < .

Sehingga jika { }tY stasioner lemah maka fungsi autokorelasi antara tY dan

t kY menjadi :

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )1 2 1 2

00 0

,,

.

t t k k kk t t k

t t k

Cov Y YCorr Y Y

Var Y Var Y

= = = =

Untuk pembahasan selanjutnya, kata stasioner saja berarti stasioner lemah.

2.1.4 Proses White Noise

Proses white noisedidefinisikan sebagai barisan variabel random{ }ta

yang independen dan berdistribusi identik. Distribusi yang biasa digunakan

adalah distribusi normal. Proses white noisebersifat stasioner kuat.

Buktinya adalah sebagai berikut :

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 2 1 2

Pr , ,..., Pr Pr Pr n nt t t n t t t n

a x a x a x a x a x a x =

(karena independen)

( ) ( ) ( )1 21 2

Pr Pr Pr nt k t k t k n

a x a x a x =

(karena berdistribusi identik)

( )1 21 2Pr , ,..., nt k t k t k na x a x a x =

Karena berdistribusi identik, proses white noisemempunyai fungsi

mean konstan yaitu :

( )tE a=



19/142

9

Fungsi autokovariansinya yaitu :

( )

( )

2

a , jika 0

, 0 , jika 0

k t

t t k

Var a k

Cov a a k

= = =

= =

Sehingga fungsi autokorelasinya yaitu :

= =

=

1 , jika 0

0 , jika 0

k k

k

Dalam penulisan tugas akhir ini, diasumsikan bahwa proses white noise

mempunyai mean nol sehingga dapat ditulis NIID ( )20, a .

2.1.5 Fungsi Autokorelasi Parsial

Fungsi autokorelasi parsial antara tY dan t kY didefinisikan sebagai

korelasi antara tY dan t kY dengan diberikan variabel di tengahnya, yaitu

1 2 1, , ,t t t kY Y Y + . Untuk { }tY yang stasioner, fungsi autokorelasi parsial

antara tY dan t kY , dinotasikan dengan kk , didefinisikan :

( )1 2 1, , , ,kk t t k t t t kCorr Y Y Y Y Y +=

Untuk model 1 1 1t t tY Y a = + , dengan ( ) 0tE Y = , { }ta adalah white noise, dan

asumsikan , 1t ka k , independen dengan tY , didapatkan :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )

2

1 1 1

1 1

1 11 1 1 11

0

,

, ,

t t t t t

t t t

t t

t t

t

E Y Y E Y E a Y

Cov Y Y Var Y

Cov Y YCorr Y Y

Var Y

= +

=

= = = = =



20/142

10

Sehingga model 1 1 1t t tY Y a = + dapat ditulis menjadi :

1 11 1t t tY Y a = + (2.1)

Sedangkan untuk model 2 1 1 2 2t t t tY Y Y a = + + , diperoleh :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

2

2 1 1 1 1 2 1 2 1

2 1 2 1

2 1

2 22

1

, 0 0

,

t t t t t t t t t t t

t t t t t

t t t

t t

E YY Y E YY Y E Y Y E a Y Y

Cov Y Y Y Var Y Y

Cov Y Y Y

Var Y Y

= + +

= + +

= =

Sehingga model 2 1 1 2 2t t t tY Y Y a = + + dapat ditulis menjadi :

2 1 1 22 2t t t tY Y Y a = + + (2.2)

Dari (2.1) dan (2.2), secara umum regresi t kY terhadap ( )1 1, , ,t t t kY Y Y ,

dapat ditulis :

( ) ( )1 21 2t k k k kk t t kt k t kY Y Y Y a = + + + +

Dengan mengalikan kedua sisi persamaan di atas dengan( )

t k jY

, 1,2,j = ,

lalu diekspektasikan, diperoleh :

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

1 21 2

t k j k kt k j t k t k j t k t k j

kk t t kt k j t k j

E Y Y E Y Y E Y Y

E YY E a Y

= = +

+ + +

Asumsikan t ka independen dengan ( )t k jY , 1,2,j = , maka :

( )( ) ( ) ( )( )t k t kt k j t k jE a Y E a E Y =

Sehingga didapatkan :

1 1 2 2j k j k j kk j k = + + +



21/142

11

Kemudian kedua ruasnya dibagi dengan 0 menjadi :

1 1 2 2j k j k j kk j k = + + +

Dengan substitusi 0 1 = dan k k = , untuk 1,2, ,j k= didapatkan :

1 1 2 1 1

2 1 1 2 2

1 1 2 2

k k kk k

k k kk k

k k k k k kk

= + + +

= + + +

= + + +

Sistem persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks, yaitu :

11 2 11

1 1 22 2

1 2 3

11

1

kk

k k

k k kk kk

k k k

=

= P

Dengan aturan Cramer, solusi untuk , 1,2,...kk k = , dapat dicari dengan :

, 1,2,...k

kk

k

k

= =PP

kP : determinan matriks kP

k

P : determinan matriks kP dengan kolom terakhirnya diganti dengan k .

Sehingga didapatkan :

11 1 =

1

21 2 2 1

22 21 1

1

1

1 1

1

= =



22/142

12

1 1

1 2

2 1 3

33

1 2

1 1

2 1

1

1

11

1

=

dan seterusnya.

2.1.6 Operator Backward Shift

Operator Backward Shift (Backshift), dinotasikan dengan B,

mengoperasikan indeks waktu dari suatu runtun waktu, dengan

menggesernya 1 satuan waktu ke belakang, yaitu :

2

1 2, , , k

t t t t t t kBY Y B Y Y B Y Y = = =

2.2 PROSES MOVING AVERAGE

Misalkan { }tY menotasikan runtun waktu yang terobservasi, dengan

( )tE Y = , dan { }ta adalah proses white noiseyang berdistribusi NIID ( )20, a .

Untuk memudahkan dalam penurunan rumus nantinya, asumsikan bahwa

( ) 0tE Y = = . Jika 0 maka nilai runtun waktu { }tY masing-masing

dikurangi dengan , sehingga runtun waktu { }tY mempunyai mean nol.



23/142

13

Runtun waktu { }tY mengikuti proses moving averageorde ke-q,

disingkat dengan MA(q), apabila memenuhi persamaan berikut ini :

1 1 2 2 ...t t t t q t qY a a a a =

Jadi runtun waktu saat ini direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari

proses white noisesaat ini dan masa lalu sampai q satuan waktu ke

belakang.

2.2.1 Proses Moving AverageOrde Pertama

Runtun waktu { }tY mengikuti proses moving averageorde pertama,

atau MA(1), apabila memenuhi persamaan berikut ini :

1 1t t tY a a =

Mean proses MA(1) yaitu :

( ) ( ) ( )1 1 0t t tE Y E a E a = =

Variansi proses MA(1) yaitu :

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 20 1 1 1 11t t a a aVar a Var a = + = + = +

Fungsi autokovariansi proses MA(1) yaitu :

( ) ( ) ( ) 21 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1, , ,t t t t t t t t aCov Y Y Cov a a a a Cov a a = = = =

( ) ( )2 2 1 1 2 1 3, , 0t t t t t tCov Y Y Cov a a a a = = = (karena tidak ada

white noiseyang mempunyai pasangan yang sama)

0k = , 2k



24/142

14

Dengan menggunakan rumus 0k k = , didapatkan fungsi autokorelasi

proses MA(1) yaitu :

1

2

1

, 11

0 , 2

k k

k

= =+

=

Fungsi autokorelasi parsial proses MA(1) yaitu :

( )21 1111 1 2 4

1 1

1

1 1

= = =

+

( )1

2 22 21 11 1 1

22 2 2 4 6

1 1 1 1 1

1

110

1 1 1 1

1

= = = =

+ +

( )

( )( )

1 1

13 23 3

1 11 1 133 2 2 4 6 8

1 1 1 1 1 1

1 1

1

2

1 1

2 1

1

1

1 0

10 0

1 0 1 2 1 1

1

0 1

1, 1

1

k

kk kk

+

= = = =

+ + +

=

Karena 1 0 , nilai fungsi autokorelasi parsial tersebut tidak akan bernilai

nol.



25/142

15

2.2.2 Proses Moving AverageOrde Kedua

Runtun waktu { }tY mengikuti proses moving averageorde kedua, atau

MA(2), apabila memenuhi persamaan berikut ini :

1 1 2 2t t t tY a a a =

Mean proses MA(2) yaitu :

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 0t t t tE Y E a E a E a = =

Variansi proses MA(2) yaitu :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 20 1 1 2 2 1 21t t t t aVar Y Var a Var a Var a = = + + = + +

Fungsi autokovariansi proses MA(2) yaitu :

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

1 1

1 1 2 2 1 1 2 2 3

1 1 1 2 2 1 2

2

1 1 2

2 2

1 1 2 2 2 1 3 2 4

2 2 2

2

2

,

,

, ,

,

,

,

t t

t t t t t t

t t t t

a

t t

t t t t t t

t t

a

k t

Cov Y Y

Cov a a a a a a

Cov a a Cov a a

Cov Y Y

Cov a a a a a a

Cov a a

Cov Y

=

=

= +

= +

=

=

=

=

= ( ), , 3t kY k

Dengan menggunakan rumus 0k k = , didapatkan fungsi autokorelasi

proses MA(2), yaitu :1 1 2

2 2

1 2

2

2 2

1 2

, 11

, 21

0 , 3

k k

k

k

+= =

+ +

= =

+ +

=



26/142

16

Seperti pada proses MA(1), fungsi autokorelasi parsial proses MA(2)

juga tidak akan bernilai nol.

2.2.3 Proses Moving AverageOrde ke-q

Runtun waktu { }tY mengikuti proses moving averageorde ke-q, atau

MA(q), apabila memenuhi persamaan berikut ini :

1 1 2 2 ...t t t t q t qY a a a a =

Mean proses MA(q) yaitu :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 ... 0t t t t q t qE Y E a E a E a E a = =

Variansi proses MA(q) yaitu :

( ) ( )2 2 2 20 1 21t q aVar Y = = + + + +

Fungsi autokovariansi proses MA(q) yaitu :

( )2 1 1 2 2 , 1,2,..., 0 , 1

k a k k k q k q k q

k q

+ + = + + + + =

= +

Dengan rumus 0k k = , fungsi autokorelasi proses MA(q) yaitu :

1 1 2 2

2 2 2

1 2

, 1,2,...,1

0 , 1

k k k q k q

k

q

k q

k q

+ + + + + += =+ + + +

= +

Jadi ciri khas dari proses MA(q) adalah tidak berkorelasi untuk lag diatas q.

Sedangkan fungsi autokorelasi parsial proses MA(q) tidak akan bernilai nol.



27/142

17

Dari pembahasan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa proses

MA(q) selalu stasioner untuk nilai , 1, ,i i q = berapapun, karena mempunyai

fungsi mean dan autokovariansi yang konstan terhadap waktu.

Untuk tY dengan mean tidak nol ( ( ) 0tE Y = ), model MA(q) dapat

ditulis :

1 1 2 2

1 1 2 2

...

Y ...

t t t t q t q

t t t t q t q

Y a a a a

a a a a

=

= +

Penambahan pada ruas kanan persamaan di atas tidak mempengaruhi

variansi dan fungsi autokovariansi.

Perhatikan pada proses MA(1), 11 21

1

=

+. Nilai 1 tersebut akan

bernilai sama untuk suatu nilai 1 dan 11 . Ini menyebabkan model MA(1)

tidak tunggal karena terdapat dua model MA(1) untuk nilai 1 yang sama.

Masalah seperti ini akan muncul pula pada model MA(2) dan seterusnya.

Masalah ketidaktunggalan model MA(q) ini dapat diselesaikan dengan

memilih nilai parameter , 1, ,i i q = , yang tepat. Masalah ini akan dijelaskan

dengan sifat invertibilitas yang akan dibahas pada subbab 2.4.

2.3 PROSESAUTOREGRESSIVE





28/142

18

Asumsi independen pada { }ta dapat dilemahkan menjadi tidak berkorelasi.

Seperti pada pembahasan moving average, untuk memudahkan, asumsikan

bahwa ( ) 0tE Y = = , dan jika 0 maka nilai runtun waktu { }tY masing-

masing dikurangi dengan , sehingga runtun waktu { }tY mempunyai

mean nol. Asumsikan { }tY stasioner dan ta independen dengan 1 2, ,...t tY Y .

Proses autoregressive, seperti pada namanya, yaitu berarti regresi

terhadap dirinya sendiri. Runtun waktu { }tY mengikuti proses autoregressive

orde ke-papabila memenuhi persamaan berikut ini :

1 1 2 2 ...t t t p t p tY Y Y Y a = + + + +

Jadi pada proses ini, nilai runtun waktu saat ini direpresentasikan sebagai

kombinasi linier dari dirinya sendiri sampai p satuan waktu ke belakang,

kemudian ditambahkan satu suku white noise ta .

2.3.1 ProsesAutoregressiveOrde Pertama

Runtun waktu { }tY mengikuti proses autoregressive orde pertama,

atau AR(1), apabila memenuhi persamaan berikut ini :

1 1t t tY Y a = +

Dengan mengambil variansi pada kedua sisi 1 1t t tY Y a = + , didapatkan :

( ) ( ) ( ) ( )21 1 12 ,t t t t tVar Y Var Y Var a Cov Y a = + +



29/142

19

Karena ta independen dengan 1tY , maka ( )1, 0t tCov Y a = , sehingga

( ) ( ) ( )21 1t t tVar Y Var Y Var a = +

Karena diasumsikan prosesnya stasioner maka ( ) ( )1 0t tVar Y Var Y = = .

Sehingga variansi proses AR(1) yaitu :

2 2

0 1 0

2

0 2

11

a

a

= +

=

Agar variansi di atas bernilai positif maka disyaratkan bahwa 21

1 0 > atau

1| | 1 < . Jadi syarat stasioner untuk AR(1) yaitu 1| | 1 < .

Fungsi autokovariansi proses AR(1) didapatkan dengan mengalikan

kedua sisi persamaan 1 1t t tY Y a = + dengan t kY , lalu diekspektasikan, yaitu :

( ) ( ) ( )1 1t t k t t k t t kE YY E Y Y E a Y = + , 1k (2.3)

Karenat

a independen dengant k

Y

, 1k , maka( )

0t t k

E a Y

= . Lalu untuk

proses yang stasioner maka dapat ditulis ( )t t k kE YY = dan ( )1 1t t k kE Y Y = .

Sehingga (2.3) menjadi :

= 1 1k k (2.4)

=

2

1 2

1

, 11

k a k (2.5)

Dengan membagi kedua sisi persamaan (2.4) dengan 0 , didapatkan fungsi

autokorelasi proses AR(1), yaitu :

1 1k k = , 1k



30/142

20

Atau dari (2.5),

2

1 2

120

2

1

1

, 1

1

k a

kk

ka k

= = =

Karena 1| | 1 < sehingga nilai fungsi autokorelasi ini akan menurun secara

eksponensial menuju nol untuk nilai k yang semakin besar.

Fungsi autokorelasi parsial proses AR(1) yaitu :

11 1 1 = =

1 1

2 2 21 2 1 1 1 1

22 2

1 1 1

1 1

1 1

01 1 1

1 1

= = = =

1 1 1 1

2

1 2 1 1

2 3

2 1 3 1 1

33 21 2 1 1

1 1 1 1

22 1 1 1

1 1

1 1

01 1

1 1

1 1

= = =

Nilai 33 di atas adalah nol, karena kolom tiga pada pembilang merupakan

kelipatan sebesar 1 dari kolom satu. Untuk 44 55, ,... , juga bernilai nol.

Dengan menggunakan operator Backshiftdidapatkan :

( )

1 1

1 1

1

1

1

t t t

t t t

t t

t

Y Y a

a Y Y

Y BY

B Y

= +

=

=

=



31/142

21

kk

k kk

k

Definisikan polinomial karakteristik model AR(1) yaitu :

( ) 11x x =

Persamaan karakteristiknya yaitu :

( ) 11 0x x = = ,

dengan akar 11x = . Syarat stasioner 1| | 1 < ekivalen dengan pernyataan

bahwa nilai mutlak akar persamaan karakteristik, lebih besar dari satu

( 1x > ).

k k

(a) Fungsi autokorelasi ( )k (b) Fungsi autokorelasi

untuk 1 0 > . parsial ( )kk untuk 1 0 > .

k k

(c) Fungsi autokorelasi ( )k (d) Fungsi autokorelasi

untuk 1 0 < . parsial ( )kk untuk 1 0 < .

Gambar 2.2. Grafik fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial

proses AR(1).



32/142

22

2.3.2 ProsesAutoregressive Orde Kedua

Runtun waktu { }tY mengikuti proses autoregressiveorde kedua, atau

AR(2), apabila memenuhi persamaan berikut ini :

1 1 2 2t t t tY Y Y a = + + (2.6)

Dengan mengambil variansi pada kedua sisi persamaan (2.6) didapatkan :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 2 2

2 2

0 1 1 2 2 1 2 1 2

1 1 2 2

2 ,

2 , 2 ,

t t t t

t t t t t

t t t t

Var Y Var Y Y a

Var Y Var Y Var a Cov Y Y

Cov a Y Cov a Y

= + +

= + + +

+ +

Karena diasumsikan stasioner maka ( ) ( ) ( )1 2 0t t tVar Y Var Y Var Y = = = , dan

karena ta independen dengan 1tY dan 2tY maka ( )1, 0t tCov a Y = dan

( )2, 0t tCov a Y = . Sehingga variansi proses AR(2) yaitu :

2 2 2

0 1 0 2 0 1 2 12 = + + + (2.7)

Jika kedua sisi persamaan (2.6) dikalikan dengant kY lalu diekspektasikan

maka didapatkan fungsi autokovariansi proses AR(1), yaitu :

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2t t k t t k t t k t t kE YY E Y Y E Y Y E a Y = + +

1 1 2 2k k k = + , 1,2,...k= (2.8)

Untuk 1k= ,

1 1 0 2 1

1 0 2 1

10 2

2

, 11

= +

= +

=



33/142

23

Lalu substitusikan ke dalam (2.7) didapatkan :

( )( ) ( )( )

2 2 2 10 1 0 2 0 1 2 0

2

22

0

2 2 1 2 1

21

1

1 1 1

= + + +

=+ +

Agar variansi tersebut bernilai positif maka disyaratkan :

( )( ) ( )( )2

2 2 1 2 1

1 10

1 1 1

>

+ +

Solusinya adalah syarat kestasioneran untuk AR(2), yaitu :

2 2 1 2 11 , 1 , 1 < < + < (2.9)

Dengan membagi kedua sisi persamaan (2.8) dengan 0 , didapatkan fungsi

autokorelasi proses AR(1), yaitu :

1 1 2 2k k k = + , 1,2,...k= (2.10)

Jadi k , 2,3,k= , dapat dicari secara rekursif dari (2.10) dengan nilai awal

0 1 = dan1

1

21

=

. Nilai ini akan menurun secara eksponensial untuk

nilai k yang semakin besar. Persamaan (2.8) dan (2.10) disebut persamaan

Yule-Walker.

Fungsi autokorelasi parsial proses AR(2) yaitu :

= =

111 1

21

( )

( )

2 2 2

1 2 2 1122

2 21 2 2 122 222

1 112

1 2

1

1 1

1 11

1 1

+

= = = =



34/142

24

1 1

1 1

2 1 3

33

1 2

1 1

2 1

1

1

11

1

=

Dari (2.10), untuk 1,2,3k = ,

1 1 2 1

2 1 1 2

3 1 2 2 1

1

1

= +

= +

= +

atau dapat ditulis dalam bentuk matriks kolom sebagai berikut :

1 1

2 1 1 2

3 2 1

1

1

= +

Pembilang pada 33 adalah nol, karena kolom ketiganya merupakan

kombinasi linier dari kolom pertama dan kolom kedua. Untuk 44 , 55 ,

dapat dicari dengan cara yang sama, akan bernilai nol juga. Jadi untuk

proses AR(2), fungsi autokorelasi parsial pada lag 1 dan lag 2 bernilai tidak

nol, sedangkan untuk lag di atas 2 bernilai nol.

Dengan menggunakan operator Backshiftdidapatkan :

( )

1 1 2 2

1 1 2 2

2

1 2

2

1 2

1

t t t t

t t t t

t t t

t

Y Y Y a

a Y Y Y

Y BY B Y

B B Y

= + +

=

= =

Persamaan karakteristiknya adalah :

( ) 21 21 0x x x = =



35/142

25

Seperti pada AR(1), proses AR(2) stasioner jika dan hanya jika nilai mutlak

dari akar-akar persamaan karakteristiknya lebih besar dari satu. Ini akan

mengimplikasikan 2 2 1 2 11 , 1 , 1 < < + < , yaitu sama seperti (2.9).

2.3.3 ProsesAutoregressiveOrde ke-p

Runtun waktu { }tY mengikuti proses autoregressiveumum orde ke-p,

atau AR(p), apabila memenuhi persamaan berikut :

1 1 2 2 ...t t t p t p tY Y Y Y a = + + + + (2.11)

Dengan menggunakan operator Backshift, didapatkan :

( )

1 1 2 2

2

1 2

2

1 2

...

...

1 ...

t t t t p t p

p

t t t p t

p

p t

a Y Y Y Y

Y BY B Y B Y

B B B Y

=

=

=

Persamaan karakteristiknya adalah :

( ) 21 21 ... 0p

px x x x = =

Proses AR(p) stasioner jika dan hanya jika nilai mutlak semua akar-akar

persamaan karakteristik ( ) 0x = lebih besar dari satu.

Dengan mengalikan kedua sisi persamaan (2.11) dengan t kY lalu

diekspektasikan maka didapatkan fungsi autokovariansi proses AR(p), yaitu :

1 1 2 2 ...k k k p k p = + + + , 1,2,...k= (2.12)



36/142

26

1 1 1

2 1 2

1 2

1 1 1

1

1p

p

p

p p p

+

= + + +

Kalikan persamaan (2.11) dengan tY lalu diekspektasikan, didapatkan :

( )0 1 1 2 2 p p t tE a Y = + + + +

Karena ( ) ( )( ) ( )2 21 1 2 2 ...t t t t t p t p t t aE aY E a y y y a E a = + + + + = = , maka

variansi proses AR(p), yaitu :

2

0 1 1 2 2 p p a = + + + +

Dengan membagi persamaan (2.12) dengan 0 , didapatkan fungsi

autokorelasi proses AR(p), yaitu :

1 1 2 2 ...k k k p k p = + + + , 1,2,...k = (2.13)

Persamaan (2.13) disebut dengan persamaan Yuke-Walker. Nilai ini akan

menurun secara eksponensial untuk nilai k yang semakin besar. Kemudian

akan dicari fungsi autokorelasi parsialnya. Dengan subsitusi 1,2, , 1k p= + ,

0 1 = dan k k = , persamaan (2.13) dapat ditulis dalam bentuk matriks

sebagai berikut :

(2.14)

Pembilang pada ( )( )1 1p p + + adalah

1 1 1

1 2 2

1 1 1

11

0

p

p

p p p

+

=



37/142

27

karena dari (2.14), kolom terakhirnya merupakan kombinasi linier dari kolom-

kolom sebelumnya. Pada proses AR(p), fungsi autokorelasi parsial pada lag

1 sampai lag p akan bernilai tidak nol, sedangkan untuk lag 1p+

dan

seterusnya bernilai nol.

Untuk tY dengan mean tidak nol ( ( ) 0tE Y = ), model AR(p) dapat

ditulis :

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 21 1 1 2 2 2

0 1 1 2 2

t t t p t p t

t t t p t p p t

t t t p t p t

Y Y Y Y a

Y Y Y Y a

Y Y Y Y a

= + + + +

= + + + + +

= + + + + +

dengan ( )0 1 21 p = . Seperti pada MA(q), penambahan 0

pada ruas kanan tidak mempengaruhi variansi dan fungsi autokovariansi.

2.4 INVERTIBILITAS

2.4.1 Proses Moving Average

Telah dijelaskan sebelumnya pada pembahasan MA(q), bahwa

terdapat masalah ketidaktunggalan pada model MA(q). Masalah

ketidaktunggalan model MA(q) ini dapat diselesaikan dengan memilih nilai

parameter , 1, ,i

i q = , yang tepat. Sifat invertibel pada MA(q) maksudnya

adalah model MA(q) dapat diubah bentuknya menjadi bentuk AR.



38/142

28

Untuk MA(1) 1 1t t tY a a = , dapat dijabarkan secara rekursif, yaitu :

( )

( )

( )

+ +

+ +

= +

= + +

= + +

= + + +

= + + +

= + + + + +

= +

1 1

1 1 1 2

21 1 1 2

2

1 1 1 2 1 3

2 3

1 1 1 2 1 3

2 1

1 1 1 2 1 1 1

2 1

1 1 1 2 1 1

t t t

t t t

t t t

t t t t

t t t t

k k

t t t t k t k

k k

t t t t k t t k

a Y a

Y Y a

Y Y a

Y Y Y a

Y Y Y a

Y Y Y Y a

Y Y Y Y a a( )1

Jika 1| | 1 < dan k menuju tak berhingga, maka didapatkan model AR()

2

1 1 1 2...

t t t tY Y Y a = +

Jadi dapat disimpulkan bahwa jika 1| | 1 < maka model MA(1) dapat diubah

(invertibel) menjadi bentuk AR( ). Jadi masalah ketidaktunggalan model

MA(1) dapat diselesaikan dengan cara memilih parameter 1 yang memenuhi

1| | 1 < . Telah dibahas sebelumnya bahwa fungsi autokorelasi parsial proses

MA(1) yaitu :

( )( )

2

1 1

2 1

1

1, 1

1

k

kk kk

+

=

,

Jika 1| | 1 < maka nilai fungsi autokorelasi tersebut akan menurun secara

eksponensial menuju nol untuk nilai kyang semakin besar.

Sedangkan untuk MA(q), dengan menggunakan operator Backshift:

( )

1 1 2 2

2

1 2

2

1 2

...

...

1 ...

t t t t q t q

q

t t t q t

q

q t

Y a a a a

a Ba B a B a

B B B a

=

=

=



39/142

29

Persamaan karakteristiknya yaitu :

( ) 21 21 ... 0q

qx x x x = = ,

Persamaan karakteristik tersebut mirip dengan persamaan karakteristik untuk

model AR(p). Pada model AR(p), solusi stasioner untuk tY ada, jika dan

hanya jika nilai mutlak dari akar-akar persamaan karakteristiknya lebih besar

dari 1. Jadi dapat disimpulkan bahwa model MA(q) bersifat invertibel, yaitu

dapat diubah bentuknya menjadi AR( ) :

1t j t j t

jY Y

== + , dengan

j adalah konstanta,

jika dan hanya jika nilai mutlak dari akar-akar persamaan karakteristiknya

( ( ) 0x = ) lebih besar dari 1. Jadi masalah ketidaktunggalan model MA(q)

dapat diselesaikan dengan memilih parameter , 1, ,i i q = yang memenuhi

syarat tersebut. Seperti pada proses MA(1), ini akan menyebabkan fungsi

autokorelasi parsial proses MA(q), nilainya akan menurun secara

eksponensial menuju nol untuk nilai kyang semakin besar.

2.4.2 ProsesAutoregressive

Berikut ini akan diperiksa sebaliknya, apakah proses AR(p) invertibel

ke bentuk MA( ). Untuk AR(1) dapat dijabarkan secara rekursif, yaitu :



40/142

30

( )

( )

( )

1 1

1 1 2 1

2

1 1 1 2

21 1 1 1 3 2

2 3

1 1 1 2 1 3

2 1

1 1 1 2 1 11

t t t

t t t

t t t

t t t t

t t t t

k k

t t t t kt k

Y Y a

Y a a

a a Y

a a Y a

a a a Y

a a a a Y

= +

= + +

= + +

= + + += + + +

= + + + + +

Untuk AR(1) yang stasioner maka 1| | 1 < . Sehingga untuk k , akan

menghasilkan proses MA ( ) :

2

1 1 1 2t t t tY a a a = + + +

Jadi proses AR(p) yang stasioner selalu invertibel ke bentuk MA( ).

2.5 PROSESAUTOREGRESSIVE MOVING AVERAGE



Asumsi independen pada { }ta dapat dilemahkan menjadi tidak berkorelasi.

Seperti pada sebelumnya,untuk memudahkan, asumsikan bahwa

( ) 0tE Y = = , dan jika 0 maka nilai runtun waktu { }tY masing-masing

dikurangi dengan , sehingga runtun waktu { }tY mempunyai mean nol.

Asumsikan ta independen dengan 1 2, ,...t tY Y .



41/142

31

ProsesAutoregressive Moving Averageorde ke-p dan q, disingkat

dengan ARMA(p,q), adalah proses campuran dari proses autoregressivedan

moving average. Runtun waktu { }tY mengikuti proses ARMA(p,q), apabila

memenuhi persamaan berikut ini :

1 1 2 2 1 1 2 2... ...t t t p t p t t t q t qY Y Y Y a a a a = + + + +

Karena ARMA(p,q) merupakan gabungan dari AR(p) dan MA(q), maka untuk

proses ini diperlukan kedua syarat stasioner dan invertibel. Dengan

menggunakan operator Backshiftdidapatkan :

( ) ( )

1 1 2 2 1 1 2 2

2 2

1 2 1 2

2 2

1 2 1 2

...

1 1

t t t p t p t t t q t q

p q

t t t p t t t t q t

p q

p t q t

Y Y Y Y a a a a

Y BY B Y B Y a Ba B a B a

B B B Y B B B a

=

=

=

Proses ARMA(p,q) stasioner jika dan hanya jika nilai mutlak akar-akar

persamaan karakteristik AR,

( ) 21 21 ... 0ppx x x x = = ,

lebih besar dari 1. Proses ARMA(p,q) invertibel jika dan hanya jika nilai

mutlak akar-akar persamaan karakteristik MA,

( ) 21 21 ... 0q

qx x x x = = ,

lebih besar dari 1.



42/142

32

2.5.1 Proses ARMA(1,1)

Runtun waktu { }tY mengikuti proses ARMA(1,1) apabila memenuhi

persamaan berikut ini :

1 1 1 1t t t tY Y a a = +

Syarat stasioner proses ARMA(1,1) didapatkan dari syarat stasioner

proses AR(1), yaitu 1 0 < . Sedangkan syarat invertibel proses ARMA(1,1)

didapatkan dari syarat invertibel proses MA(1), yaitu 1 0 < .

Dengan mengalikan kedua sisi persamaan di atas dengan t kY lalu

diekspektasikan maka didapatkan

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1t t k t t k t t k t t kE YY E Y Y E a Y E a Y = + (2.15)

Karena

( ) ( )( ) ( )2 21 1 1 1t t t t t t t aE a Y E a Y a a E a = + = =

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

1 1 1 1 1 1

2

1 1 1 1 1

2 2 2

1 1 1 1

t t t t t t

t t t

a a a

E a Y E a Y a a

E a Y E a

= +

=

= =

sehingga (2.15) menjadi

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1t t k t t k t t k t t kE YY E Y Y E a Y E a Y = +

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 1 1 1

2 2

0 1 1 1 1

0

t t t t t t t t

a a

k E YY E Y Y E a Y E a Y

= = +

= +

( )( ) 20 1 1 11 a = + (2.16)



43/142

33

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 11 t t t t t t t tk E YY E Y Y E a Y E a Y = = +

2

1 1 0 1 a = (2.17)

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 12 t t k t t k t t k t t kk E YY E Y Y E a Y E a Y = +

1 1k k = (2.18)

Dari (2.16) dan (2.17) akan menghasilkan

( )21 1 1 20 2

1

1 2

1a

+=

(2.19)

( )( )1 1 1 1 21 2

1

1

1a

=

(2.20)

Kemudian dari (2.18) dan (2.20) akan menghasilkan rumus rekursif

( )( )1 1 1 1 1 212

1

1, 1

1

k

k a k

=

(2.21)

Dengan menggunakan rumus 0k k = , dari (2.19) dan (2.21) maka

didapatkan fungsi autokorelasi proses ARMA(1,1), yaitu :

( ) ( ) 12

1, 1

1 2

k

k k

= +

Atau dari (2.18),

1 1k k = , 2k

sehingga

11 1kk = , 2k

dengan nilai awal

( )( )1 2

1

1 2

=

+



44/142

34

Nilai ini akan menurun secara eksponensial menuju nol untuk nilai kyang

semakin besar. Fungsi autokorelasi parsial proses ARMA(1,1) juga akan

menurun secara eksponensial menuju nol untuk nilai kyang semakin besar.

2.5.2 Proses ARMA(p,q)

Runtun waktu { }tY mengikuti proses ARMA(p,q), apabila memenuhi

persamaan berikut ini :

1 1 2 2 1 1 2 2... ...t t t p t p t t t q t qY Y Y Y a a a a = + + + + (2.22)

Asumsikan proses ini stasioner dan invertibel. Berikut ini akan dicari fungsi

autokorelasi proses ARMA(p,q). Dengan mengalikan kedua sisi persamaan

(2.22) dengan t kY lalu diekspektasikan maka didapatkan :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 2

1 1 2 2

...

...

t t k t t k t t k p t p t k

t t k t t k t t k q t q t k

E YY E Y Y E Y Y E Y Y

E a Y E a Y E a Y E a Y

= + + +

+

1 1 2 2 ...k k k p k p = + + + , 1k q +

Sehingga fungsi autokorelasi proses ARMA(p,q), yaitu :

1 1 2 2 ...k k k p k p = + + + , 1k q + (2.23)

Bentuk fungsi autokorelasi tersebut mirip dengan fungsi autokorelasi untuk

proses AR(p), sehingga nilainya akan menurun secara eksponensial untuk

nilai k yang semakin besar. Nilai fungsi autokorelasi parsial proses

ARMA(p,q) juga menurun secara eksponensial menuju nol untuk nilai kyang

semakin besar.



45/142

35

Untukt

Y dengan mean tidak nol ( ( ) 0tE Y = ), maka model

ARMA(p,q) dapat ditulis :

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 21 1 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

0 1 1 2 2

...

...

t t t p t p

t t t q t q

t t t p t p p

t t t q t q

t t t

Y Y Y Y

a a a a

Y Y Y Y

a a a a

Y Y Y

= + + +

+

= + + + +

+

= + + + +

1 1 2 2 ...p t p t t t q t qY a a a a +

dengan ( )0 1 21 p = . Penambahan 0 pada ruas kanan tidak

mempengaruhi variansi dan fungsi autokovariansi.

2.6 SIMULASI PROSES ARMA

Berikut ini akan diperlihatkan beberapa simulasi proses ARMA dan

proses yang tidak stasioner. Program untuk simulasi ini ada di Lampiran 2.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-3

-2

-1

0

1

2

3

Simulasi White Noise

Gambar 2.3. Simulasi Proses white noiseNIID(0,1)

Dari simulasi di atas, terlihat datanya menyebar di sekitar satu titik

yang berarti mengindikasikan bahwa proses ini mempunyai mean konstan.

Selain itu keragamannya juga konstan yang berarti mengindikasikan bahwa

proses ini mempunyai variansi konstan terhadap waktu. Seperti yang telah



46/142

36

dijelaskan sebelumnya bahwa proses white noise bersifat stasioner kuat.

Seluruh simulasi pada Gambar 2.4 sampai Gambar 2.13 berikut ini dibangun

dari proses white noise { }ta pada Gambar 2.3.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4

-3

-2

-1

0

1

2

3Simulasi Y(t)

Gambar 2.4. Simulasi Proses AR(1) ( )1 00.1 1.01t t tY Y a = + =

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5Simulasi Y(t)

Gambar 2.5. Simulasi Proses AR(2) ( )1 2 00.3 0.5 2.08t t t tY Y Y a = + + =

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Simulasi Y(t)

Gambar 2.6. Simulasi Proses MA(1) ( )1 00.5 1.09t t tY a a = =

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5Simulasi Y(t)

Gambar 2.7. Simulasi Proses ARMA(1,1) ( )1 00.5 0.5 1t t i t tY Y a a = + =



47/142

37

Dari simulasi pada Gambar 2.4 sampai 2.7, runtun waktu yang

dihasilkan terlihat mempunyai mean dan variansi yang konstan terhadap

waktu (bersifat stasioner). Bandingkan dengan pola yang ada pada Gambar

2.8 dan Gambar 2.9 berikut ini.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-15

-10

-5

0

5

10

15

20Simulasi Y(t)

Gambar 2.8. Simulasi Proses AR(1) tidak stasioner1t t t

Y Y a= +

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-30

-20

-10

0

10

20

30

40Simulasi Y(t)

Gambar 2.9. Simulasi Proses ARMA(1,1) tidak stasioner 1 1t t t tY Y a a = +

Dari Gambar 2.12 dan Gambar 2.13 di atas, jelas terlihat bahwa runtun

waktu yang dihasilkan tidak stasioner karena mempunyai mean dan variansi

yang tidak konstan.

2.7 RUNTUN WAKTU NONSTASIONER

Pada pembatasan masalah di bab I telah ditulis bahwa dalam

penulisan tugas akhir ini, hanya dibatasi pada runtun waktu yang mempunyai



48/142

38

fungsi mean yang konstan terhadap waktu. Permasalahannya adalah runtun

waktu yang akan dimodelkan belum tentu mempunyai fungsi mean yang

konstan terhadap waktu. Berikut ini akan dibahas tentang trasformasi runtun

waktu yang tidak stasioner agar menjadi stasioner, sehingga runtun waktu

tersebut dapat dimodelkan dengan model ARMA.

2.7.1 Transformasi Diferensi

Transformasi diferensi digunakan untuk menghilangkan trend (menaik

atau menurun) pada runtun waktu. Operator diferensi, dinotasikan dengan

, mengoperasikan selisih dua data dengan waktu yang berurutan, yaitu :

Diferensi pertama :

= 1t t tZ Z Z ,

diferensi kedua :

( ) ( )

( ) ( )

2

1 1

1 1 2 1 2 2 ,

t t t t t t

t t t t t t t

Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z Z Z

= = =

= = +

dan seterusnya.

Misalkan { }tZ adalah runtun waktu dengan fungsi mean tidak konstan

yang dapat ditulis sebagai berikut :

t t tZ M a= + dengan 1t t tM M b= + ,

{ }ta dan { }tb adalah white noise yang saling independen. Terlihat bahwa

runtun waktu { }tM adalah proses AR(1) yang tidak stasioner karena 1 1 = .



49/142

39

Transformasi diferensi pertama dari tZ , yaitu :

1t t t t t tZ M a b a a = + = + + ,

akan menghasilkan runtun waktu { }tZ yang stasioner, karena 1, dant t tb a a

adalah white noise yang saling independen.

Kemudian misalkan :

t t tZ M a= + dengan 1t t tM M b= + dan 1t t tb b = + ,

{ }ta dan { }t adalah white noise yang saling independen. Pada model ini

terlihat bahwa runtun waktu { }tM dan { }tb keduanya adalah proses AR(1)

yang tidak stasioner. Untuk { }tZ yang seperti ini, transformasi diferensi

pertamanya, yaitu :

t t t t tZ M a b a = + = + ,

belum menghasilkan runtun waktu { }tZ yang stasioner. Transformasi

diferensi keduanya, yaitu :

2 2

1 22t t t t t t tZ b a a a a = + = + +

akan menghasilkan runtun waktu { }2 tZ yang stasioner, karena , ,t ta

1 2dant ta a adalah white noise yang saling independen.

Berikut ini diperlihatkan contoh runtun waktu yang stasioner melalui

transformasi diferensi.



50/142

40

0 10 20 30

Waktu

4

8

12

16

RuntunWaktu

A

AA

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A A

A

A

A

A

A

A

AA

AA

A A

A

A

Gambar 2.10. Runtun Waktu { }tZ

Dari Gambar 2.10 di atas, terlihat adanya trend menurun kemudian menaik,

sehingga runtun waktu tersebut tidak stasioner. Kemudian runtun waktu

tersebut dihitung diferensi pertamanya (Tabel 2.1), kemudian dibuat grafiknya

di Gambar 2.11.

t tZ Diferensi Pertama, tZ Diferensi Kedua,2

tZ

1 19 - -

2 16 19 - 16 = 3 -

3 15.5 16 - 15.5 = 0.5 3 - 0.5 = 2.5

4 12.5 15.5 - 12.5 = 3 0.5 - 3 = -2.5

5 11 12.5 - 11 = 1.5 3 - 1.5 = 1.5

dan seterusnya

Tabel 2.1. Data Runtun Waktu { }tZ , Diferensi Pertama { }tZ

dan Diferensi Kedua { }2 tZ

0 10 20 30

Waktu

-2

0

2

4

DiferensiPertama

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

Gambar 2.11. Diferensi Pertama { }tZ



51/142

41

Dari Gambar 2.11, ternyata hasil diferensi pertama belum memperlihatkan

menghasilkan runtun waktu yang stasioner karena masih terlihat adanya

trend menurun. Kemudian dari hasil diferensi pertama dihitung diferensi

kedua (lihat Tabel 2.1) kemudian dibuat grafiknya di Gambar 2.12.

0 10 20 30

Waktu

-2

0

2

DiferensiKedua

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

Gambar 2.12. Diferensi Kedua ( 2

tZ )

Dari Gambar 2.12 terlihat tidak ada trend dan variansinya terlihat konstan. Ini

mengindikasikan bahwa runtun waktu ini bersifat stasioner.

Karakteristik runtun waktu yang diperoleh dengan cara diferensi, dapat

dipelajari lebih lanjut dengan menggunakan model integrated autoregressive-

moving average(ARIMA). Akan tetapi dalam tugas akhir ini, karakteristik

model ARIMA tidak dibahas.

2.7.2 Transformasi Logaritma

Transformasi logaritma digunakan untuk runtun waktu yang semakin

menyebar seiring dengan penambahan level dari runtun waktu tersebut, atau



52/142

42

dengan kata lain, standar deviasinya proporsional dengan penambahan level

dari runtun waktu tersebut. Contohnya Gambar 2.13 berikut ini.

0 50 100 150 200

waktu

5.00

10.00

15.00

20.00

RuntunWaktu

Gambar 2.13. Runtun Waktu { }tZ

Dari Gambar 2.13, terlihat bahwa pada awalnya runtun waktu tersebut

mempunyai standar deviasi kecil, kemudian semakin besar.

Misal 0tZ > untuk semua t, dengan mean dan standar deviasi

( )t tE Z = , ( )t tVar Z =

Dengan menggunakan aproksimasi Taylor :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2' ''1! 2!

f a f af x f a x a x a= + + +

untuk tx Z= , ta = dan ( ) log tf x Z= , sehingga ( ) log tf a = , dihasilkan :

( )1

log logt t t t

t

Z Z

+

Mean dan variansi ( )log tZ adalah

( ) ( ) ( )1

log log

log

t t t t

t

t

E Z E E Z

+

=



53/142

43

( ) ( ) ( )

( )

( )

2

2

1log log

1 1

konstan

t t t t

t

tt

t t

Var Z Var Var Z

ZVar Var Z

+

= =

=

0 50 100 150 200

waktu

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

log

Gambar 2.14. Transformasi Logaritma ( )log tZ

Dari Gambar 2.14, variansi runtun waktu terlihat konstan tetapi fungsi

meannya tidak konstan karena adanya trend menaik. Untuk data seperti ini

perlu dilakukan transformasi diferensi untuk menghilangkan trend tersebut.

Berikut ini akan ditunjukkan bahwa transformasi logaritma yang diikuti

dengan diferensi, akan menghasilkan runtun waktu yang stasioner. Misalt

Z

cenderung mempunyai perubahan persentasi yang relatif stabil dari suatu

periode waktu ke periode selanjutnya, yaitu :

1

1

t t

t

t

Z ZX

Z

= (2.24)

100 tX adalah perubahan persentasi dari 1tZ ke tZ .



54/142

44

0 50 100 150 200

Waktu

-0.25

0.00

0.25

xt

Gambar 2.15 . Runtun waktu { }tX dengan1

1

t tt

t

Z ZX

Z

=

dan { }tZ dari Gambar 2.11

Pola pada Gambar 2.15 mengindikasikan bahwa runtun waktu tersebut

bersifat stabil (stasioner).

Dari (2.24) akan didapatkan :

( ) ( )

( ) ( )

1

1

log log log

log log 1

tt t

t

t t

ZZ Z

Z

Z X

=

= +

Lalu ( )log 1 tX+ akan diaproksimasi dengan menggunakan deret MacLaurin :

( ) ( ) ( ) ( ) 2' 0 '' 00

1! 2!

f ff x f x x= + + +

yaitu akan dihasilkan

( )log 1 t tX X+

Sehingga

( ) ( )log log 1t t tZ X X = +

adalah runtun waktu yang stabil (stasioner). Dari Gambar 2.14, dilakukan

diferensi menjadi runtun waktu pada Gambar 2.16 berikut ini.



55/142

45

0 50 100 150 200

waktu

-0.25

0.00

0.25

DIFF(log,1

)

Gambar 2.16. Diferensi ( ) ( )1log logt tZ Z

Dari Gambar 2.16 terlihat bahwa runtun waktu tersebut mempunyai mean

dan variansi konstan, sehingga runtun waktu tersebut bersifat stasioner.

Salah satu runtun waktu yang menggunakan transformasi seperti ini

(logaritma kemudian diferensi) adalah tingkat pengembalian (rate of return),

yaitu :

1

1

t tt

t

S SR

S

=

tR : Tingkat pengembalian pada waktu t

tS : Harga aset pada saat t



56/142

Tabel 1. Ringkasan Karakterist ik Proses AR(p), MA(q), dan ARMA

Proses AR(p) Proses MA(q)

Model

1 1 2 2 ...t t t p t p tY Y Y Y a = + + + +

( )21 2( 1 ... )pt p ta B B B Y =

1 1 2 2 ...t t t t q t qY a a a a =

( )21 2( 1 ... )qt q tY B B B a =

tY =

( (

PolinomialKarakteristik

( ) 21 21 ... p

px x x x = ( ) 21 21 ...

q

qx x x x = ( x

( x

Syarat

Stasioner

Nilai mutlak akar-akar ( ) 0x =

lebih besar dari 1Selalu stasioner

Nila

leb

Syarat

InvertibelSelalu invertibel

Nilai mutlak akar-akar ( ) 0x =

lebih besar dari 1

Nila

leb

Fungsi

Autokorelasi

Menurun secara eksponensial

menuju nolBernilai nol untuk lag di atas q

Me

me

Fungsi

Autokorelasi

ParsialBernilai nol untuk lag di atas

p

Menurun secara eksponensial

menuju nol

Me

me



57/142

47

BAB III

PROSESAUTOREGRESSIVE CONDITIONAL

HETEROSCEDASTICITY(ARCH)

3.1 MEAN DAN VARIANSI BERSYARAT PADA PROSES ARMA

Pada bab II telah dijelaskan bahwa proses ARMA mempunyai mean

dan variansi konstan terhadap waktu. Berikut ini akan dijelaskan tentang

mean dan variansi bersyarat dari proses ARMA, yaitu mean dan variansi

dengan diberikan 1t , yaitu himpunan informasi dari semua informasi masa

lalu sampai waktu 1t . Model ARMA dapat dituliskan sebagai berikut :

1 1 2 2 1 1 2 2 ...t t t p t p t t t q t qY Y Y Y a a a a = + + + +

dengan { }t

a adalah white noiseyang berdistribusi

( )

2NIID 0,a

dan asumsikan

ta independen dengan 1t . Mean tY dengan diberikan 1t yaitu :

( ) ( )( )1 1 1 2 2 1 1 2 2 1| ... |t t t t p t p t t t q t q tE Y E Y Y Y a a a a = + + + +

1 1 2 2 1 1 2 2 ...t t p t p t t q t qy y y a a a = + + + (3.1)

Mean bersyarat tersebut tidak konstan karena bergantung pada waktu.

Variansi tY dengan diberikan 1t yaitu :

( ) ( )( )( )

1 1 1 2 2 1 1 2 2 1| ... |

t t t t p t p t t t q t q t

t

Var Y Var Y Y Y a a a a

Var a

= + + + +

=

2a= (3.2)



58/142

48

Variansi bersyarat tersebut bernilai konstan terhadap waktu. Jadi dapat

disimpulkan bahwa pada proses ARMA, variansi tak bersyarat dan variansi

bersyarat, keduanya bernilai konstan terhadap waktu, atau disebut bersifat

homoskedastik.

3.2 PENGELOMPOKAN VOLATILITAS PADA RUNTUN WAKTU

FINANSIAL

Runtun waktu dalam bidang finansial contohnya adalah indeks harga

saham dan nilai kurs mata uang. Data runtun waktu finansial seringkali

memperlihatkan adanya volatilitas yang berfluktuasi tajam pada periode

waktu tertentu, sedangkan pada periode waktu yang lain nilainya relatif stabil.

Contohnya pada Gambar 3.1 dan Gambar 3.2 berikut ini.

Gambar 3.1 (-) Indeks Harga Penutupan Saham

pada Bursa Saham S&P100 1982-2006

(-) Pengembalian (Return)



59/142

49

Gambar 3.2 (-) Indeks Harga Penutupan Saham

pada Bursa Saham Nasdaq 1971-2006

(-) Pengembalian (Return)

Dari Gambar 3.1 dan 3.2 di atas, runtun waktu yang akan dianalisis

yaitu runtun waktu pengembalian, karena pada penulisan tugas akhir ini

hanya dibahas runtun waktu yang mempunyai fungsi mean konstan.

Perhitungan dari indeks harga saham menjadi pengembalian dihitung dengan

menggunakan rumus diferensi :

1t t tR S S =

tR : Tingkat pengembalian pada waktu t

tS : Indeks harga penutupan saham pada saat t

Dari kedua gambar tersebut, terlihat adanya pengelompokan

volatilitas, yaitu keragaman nilai pada data runtun waktu antar periode

membentuk kelompok-kelompok. Pada periode tertentu keragaman nilai ini

bernilai relatif kecil-kecil, sedangkan pada periode lain bernilai relatif besar-

besar. Dengan kata lain, nilai runtun waktu yang besar (atau kecil),

cenderung diikuti oleh nilai yang besar (atau kecil) pula pada waktu

berikutnya, baik bernilai positif maupun negatif. Ini mengindikasikan bahwa

variansi bersyarat pada suatu waktu, bergantung pada nilai runtun waktu



60/142

50

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4

-3

-2

-1

0

1

2

3Simulasi Y(t)

sebelumnya. Bandingkan pola yang terjadi pada Gambar 3.1 dan 3.2 dengan

Gambar 3.3 di bawah ini yang merupakan simulasi proses ARMA(1,1).

Gambar 3.3. Simulasi Proses ARMA 1 10.1 0.3t t t tY Y a a = +

dengan ( )NIID 0,1ta

Dari Gambar 3.3, terlihat bahwa pada proses ARMA, nilai runtun waktu

menyebar dengan keragaman yang terlihat konstan sepanjang waktu dan

tidak ada yang mengelompok. Oleh karena itu data runtun waktu finansial

dengan adanya pengelompokan volatilitas, tidak sesuai apabila dimodelkan

dengan menggunakan model ARMA biasa, karena proses ARMA biasa tidak

dapat menangkap adanya pengelompokan volatilitas.

3.3 PEMODELAN FAKTOR PENGGANGGGU UNTUK RUNTUN

WAKTU DENGAN PENGELOMPOKAN VOLATILITAS

Telah dijelaskan sebelumnya bahwa pada runtun waktu finansial

dengan adanya pengelompokan volatilitas mengindikasikan bahwa variansi

bersyarat pada suatu waktu, bergantung pada nilai runtun waktu sebelumnya.



61/142

51

Sehingga untuk membentuk model yang dapat menangkap adanya peristiwa

pengelompokan volatilitas pada runtun waktu { }tY , akan dimulai dengan

memodelkan untuk variansi bersyarat, yaitu ( )1|t tVar Y , yang dapat

mencerminkan peristiwa tersebut. Dari (3.2) terlihat bahwa kekonstanan

variansi bersyarat pada proses ARMA berasal dari homoskedastisitasnya

variansi faktor pengganggu { }ta , yaitu ( ) ( )2

1|t t t aVar Y Var a = = . Jadi

untuk mencari model yang dapat menangkap pengelompokan volatilitas pada

suatu proses runtun waktu { }tY , akan dimulai dengan memodelkan faktor

pengganggu dari model yang baru, yaitu dinotasikan dengan { }t .

3.3.1 Model dengan Variabel Eksogen

Model dengan variabel eksogen dituliskan sebagai berikut :

1t t ta X =

dengan { }ta adalah proses white noiseyang berdistribusi ( )2NIID 0, a dan

tX adalah variabel eksogen. Asumsikan

ta independen dengan 1tX . Pada

model ini, nilai faktor pengganggu saat ini merupakan perkalian white noise

saat ini dengan suatu variabel eksogen satu waktu sebelumnya. Variabel

eksogen tX adalah variabel lain yang dipilih karena diduga mempengaruhi

variansi dari runtun waktu yang dianalisis.



62/142

52

Variansi bersyarat dari t dengan diberikan 1t yaitu :

( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 1 1t t t t t t t t aVar Var a X X Var a X = = =

Variansi bersyarat tersebut bersifat heteroskedastik karena nilainya

bergantung pada waktu. Tetapi model ini terlihat tidak baik, karena

memerlukan adanya spesifikasi variabel lain, yaitu variabel eksogen tX

tersebut. Tidak mudah mencari variabel eksogen yang tepat, karena dalam

bidang finansial banyak faktor yang saling mempengaruhi. Karena kesulitan

inilah, model ini jarang diperhitungkan pada analisis runtun waktu.

3.3.2 Model Bil inier

Model bilinier dituliskan sebagai berikut :

1t t ta =

dengan { }ta adalahwhite noiseyang berdistribusi ( )2NIID 0, a . Asumsikan

ta independen dengan 1t . Jadi pada model bilinier, faktor pengganggu saat

ini bergantung pada dirinya sendiri satu waktu sebelumnya.

Variansi bersyarat darit

dengan diberikan 1t yaitu :

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 1 1 1 1| | |t t t t t t t t t t t aVar Var a Var a Var a = = = =

Variansi bersyarat ini bersifat heteroskedastik karena bergantung pada

waktu.



63/142

53

Sedangkan variansi tak bersyaratnya yaitu :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 21 1 1t t t t t t a tVar E E a E a E Var = = = =

Jika 2 1a < maka barisan ( ){ }, 1,2,...tVar t = akan semakin kecil sampai

akhirnya mendekati nol, sedangkan jika 2 1a

> maka barisan

( ){ }, 1,2,...tVar t = akan semakin besar sampai tak berhingga. Ini

menyebabkan model bilinier ini tidak baik.

3.3.3 ModelAutoregressive Conditional Heteroscedasticity(ARCH)

ModelAutoregressive Conditional Heteroscedasticity(ARCH) pertama

kali diperkenalkan oleh Engle (1982), yaitu :

1 2t t ta h = (3.3)

dengan 20 1 1 0 1, 0, 0t th = + >

dengan { }ta adalah proses white noiseyang berdistribusi NIID(0,1).

Asumsikan ta independen dengan 1t . Jadi ARCH didapatkan dari perkalian

white noise yang berdistribusi NIID(0,1) dengan suatu fungsi linier dari

kuadrat dirinya sendiri satu waktu sebelumnya. Sehingga model tersebut

sering disebut juga dengan model ARCH linier. Kemudian karena bergantung

pada kuadrat dirinya sendiri satu waktu sebelumnya, model (3.3) disebut

dengan model ARCH orde pertama, atau disingkat dengan ARCH(1).



64/142

54

Sehingga { }t yang memenuhi persamaan (3.3) disebut mengikuti proses

ARCH(1).

Dengan diberikan 1t , mean dan variansi dari t pada (3.3) yaitu :

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 21 1 1 | | | 0t t t t t t t t t tE E a h h E a h E a = = = =

( ) ( ) ( ) ( )1 2 21 1 1 0 1 1| | |t t t t t t t t t t t tVar Var a h hVar a hVar a h = = = = = +

Sehingga dapat ditulis

( )1| N 0,t t th

Variansi bersyaratnya bersifat heteroskedastik, karena bergantung pada

kuadrat dirinya sendiri satu waktu sebelumnya. Nilai 2t yang besar (atau

kecil) akan mengakibatkan variansi periode selanjutnya menjadi besar (atau

kecil) pula. Inilah yang mencerminkan adanya pengelompokan volatilitas.

Dengan diberikan 1t , mean dan variansi bersyarat dari

1 1 2 2 1 1 2 2 ...t t t p t p t t t q t qY Y Y Y = + + + + , (3.4)

dengan 1 2t t ta h = ,

2

0 1 1t th = + , 0 10, 0 >

yaitu :

( )1 1 1 2 2 1 1 2 2| ...t t t t p t p t t q t qE Y y y y = + + +

( ) ( )1 1| |t t t t tVar Y Var h = =

Mean bersyaratnya sama seperti pada (3.1), sedangkan variansi

bersyaratnya bersifat heteroskedastik karena bergantung pada waktu. Jadi

dapat disimpulkan bahwa { }t yang mengikuti proses ARCH, akan



65/142

55

membawa kepada { }tY yang juga bersifat heteroskedastik (bersyarat).

Sedangkan untuk variansi tak bersyarat akan dibahas nanti. Model (3.4)

disebut dengan model ARMA-ARCH(1), yaitu model runtun waktu ARMA

dengan faktor pengganggu mengikuti proses ARCH(1).

3.4 PROSESAUTOREGRESSIVE CONDITIONAL

HETEROSCEDASTICITY(ARCH)

3.4.1 Proses ARCH Orde Pertama

Misalkan { }t adalah proses stokastik waktu diskrit yang bernilai real,

dan 1t adalah himpunan informasi dari semua informasi masa lalu sampai

waktu 1t . Proses { }t mengikuti proses ARCH orde pertama, atau

disingkat dengan ARCH(1), jika :

( ) 1| N 0,t t th

2

0 1 1t th = + , 0 10, 0 > (3.5)

Jika 1 0 = maka 0th = , sehingga ( )1 0| N 0,t t t = adalah proses

white noise dengan variansi 0 . Proses ARCH(1) dapat bersifat stasioner

dengan syarat yang diberikan oleh Teorema 1 berikut ini. Kemudian untuk

pembahasan selanjutnya, hanya dibahas proses ARCH(1) yang stasioner.



66/142

56

Teorema 1

Proses { }t yang mengikuti proses ARCH(1), bersifat stasioner dengan

( ) 0tE = , ( )0

11t

Var

=

dan ( ), 0, 0t t kCov k =

jika dan hanya jika 1 1 < .

(Bukti di Lampiran 1)

Kemudian Teorema 2 berikut ini akan memberikan syarat eksistensi

momen genap dari distribusi tak bersyarat dari { }t yang mengikuti proses

ARCH(1), yang selanjutnya dapat digunakan untuk mencari kurtosis.

Sedangkan momen ganjilnya, dari kesimetrisan ( )1| N 0,t t th ,

( ) ( )( )1 0s st t tE E E = = (3.6)

dengan sbilangan ganjil (bukti di Lampiran 1).

Teorema 2

Momen ke-2rdari { }t yang mengikuti proses ARCH(1), ada, jika dan hanya

jika 1 1r

rc < . Momen tersebut dapat diekspresikan dengan rumus rekursif

( ) ( ) ( )

1 12 20 1 1

0 1

rr r j j j r

t r t r

j

r

E c E cj

=

=

dengan ( )01

1, 2 1 , 1,2,r

r

j

c c j r =

= = = .

(Bukti di Lampiran 1)



67/142

57

Skewness distribusi tak bersyarat dari { }t yang mengikuti proses

ARCH(1) yaitu :

( )

( )( )( ) ( )3

3

3 3 0t t

t t t

t

E E E

skew

= = = ,

(karena dari (3.6), ( )3 0tE = ). Ini mengimplikasikan bahwa distribusi tak

bersyarat dari { }t yang mengikuti proses ARCH(1) bersifat simetris.

Dari Teorema 1, variansi dari { }t yang mengikuti proses ARCH(1)

yaitu :

( ) ( )2 011

t tVar E

= =

, 1 1 <

Dari Teorema 2, momen keempatnya yaitu :

( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )

( )

1 14 2 2 2

2 0 1 10

112 20 0 1 0 1 1

12 21 10 1

1

12 2 210 1 1

1

21 3

3 2 1 1 3

1 2 3 1 3

1

1 3 1 3 , 3 1

1

j j j

t t

j

E c Ej

=

=

= +

+=

+=


68/142

58

Nilai kurtosisnya lebih besar dari 3 (karena 1 1 < dan213 1 < ) sehingga

distribusi tak bersyarat dari { }t yang mengikuti proses ARCH(1) mempunyai

ekor yang lebih tebal daripada distribusi Normal (bersifat leptokurtik). Jadi

{ }t tidak berdistribusi Normal. Ini jelas berbeda dengan white noise yang

berdistribusi Normal (kurtosis distribusi Normal adalah 3, bukti di Lampiran 3).

3.4.2 Proses ARCH Orde Ke-n

Misalkan { }t adalah proses stokastik waktu diskrit yang bernilai real,

dan 1t adalah himpunan informasi dari semua informasi masa lalu yang

terdapat sampai pada waktu 1t . Proses { }t mengikuti proses ARCH orde

ke-n, atau disingkat dengan ARCH(n), jika :

( )1| N 0,t t th

2 2 20 1 1 0

1

...n

t t n t n i t ii

h =

= + + + = + (3.7)

0 0, 0, 1, ,i i n > =

Jadi pada proses ini, variansi bersyaratnya merupakan fungsi linier dari

2 2 21 2, , ,t t t n . Seperti pada proses ARCH(1), Teorema 3 berikut ini akan

memberikan syarat stasioner untuk { }t yang mengikuti proses ARCH(n),

dan untuk pembahasan selanjutnya hanya dibahas proses ARCH(n) yang

stasioner.



69/142

59

Teorema 3

Proses { }t yang mengikuti proses ARCH(n) bersifat stasioner dengan

( ) 0tE = , ( )0

1

1t n

i

i

Var

=

=

dan ( ), 0, 0t t kCov k = (3.8)

jika dan hanya jika1

1n

ii

=


70/142

60

Nilai ( )2tVar tersebut konstan terhadap waktu karena, karena ( )4tE dan

( )2tE keduanya konstan terhadap waktu. Kemudian berikut ini akan dicari

fungsi autokorelasi dari { }2t . Notasikan fungsi autokovariansi antara 2t dan

2t k dengan :

( ) ( )2 2 2,t

t t kk Cov

=

Definisikan 2t t tv h= . Mean bersyarat dari tv yaitu :

( ) ( )( ) ( )2 2

1 1 1 0t t t t t t t tE v E h E h = = =

(karena ( ) ( )2 1 1t t t t tE Var h = = ). Sehingga mean dari tv yaitu :

( ) ( )( )1 0t t tE v E E v = =

Substitusikan 2t t th v= ke dalam (3.7) maka didapatkan :

2 20

1

n

t t i t i

i

v

=

= +

2 2

01

n

t i t i t

i

v =

= + + (3.9)

Dari (3.8), ( ) 2 0

1

1t n

i

i

Var

=

= =

, atau 20

1

1n

i

i

=

=

. Kemudian

subtitusikan ke dalam (3.9) maka didapatkan :

( )

( )

2 2 2

1 1

2 2 2

1

2 2 2 2

1

1

n n

t i i t i t

i i

n

i t i t

i

n

t i t i t

i

v

v

v

= =

=

=

= + +

= + +

= +



71/142

61

Dengan mengalikan kedua sisinya dengan ( )2 2 , 1t k k , kemudian

diekspektasikan sehingga didapatkan :

( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

2 2 2 2 2 2 2 2

1

2 2 , 1

n

t t k i t i t k

i

t t k

E E

E v k

=

=

+

(3.10)

Karena

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

2 2 2 21

2 21

0, 1

t t k t t k t

t k t t

E v E E v

E E v

k

=

=

=

sehingga (3.10) menjadi :

( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( )

( )2

2 2 2 2 2 2 2 2

1

2 2 2 2 2 2

1

2 2

1

,

,

t

n

t t k i t i t k

i

n

t t k i t i t k

i

n

i t i t k

i

i

E E

Cov E

Cov

k

=

=

=

=

=

=

=

( )21

, 1t

n

i

k i k

=

Dengan membagi kedua sisinya dengan ( ) ( )22 0t

tVar

= , dari rumus

( ) ( ) ( )0k k = , maka didapatkan fungsi autokorelasi berikut ini :

( ) ( )2 21

,

digital 20180936 029 07 model runtun

Documents