metode runtun waktu - direktori file...

15 /12/2007 Entit Puspita 1

MATA KULIAH

METODE RUNTUN WAKTU

Oleh :

Entit Puspita

Nip 132086616

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

2007


BEBERAPA KONSEP DASAR DALAM ANALISIS RUNTUN WAKTU

DEFINISI : RUNTUN WAKTU ADALAH SUSUSNAN OBSERVASI BERURUT MENURUT WAKTU( ATAU DIMENSI YANG LAIN)

DILIHAT DARI JENIS DATA RUNTUN WAKTU DIBAGI MENJADI:a. RUNTUN WAKTU DISKRITb. RUNTUN WAKTU KONTINU

DILIHAT DARI POLANYA RUNTUN WAKTU DIBAGI MENJADI:a. DETERMINISTIKb. STOKASTIK


KONSEP STASIONERITAS

Himpunan data runtun waktu Z1, Z2, …,Zn yang di anggap sebagai realisasi VR Zt, diasumsikan mempunyai fkp bersama f(Z1, Z2, …, Zn). Jika struktur probabilistik fkp tidak berubah oleh adanya perubahan waktu maka runtun waktu tersebut disebut stasioner

Pada proses stasioner kita mempunyai :

- E(Zt) = μ dan kov (Zt, Zt-k) = γk

- μ adalah mean prose dan γk autokovariansi lag ke k

- Nilai μ dan γk adalah konstan untuk berbagai lag k

Himpunan {γk : k = 0, 1, 2, …, } dinamakan fungsi autokovariansi


FUNGSI AUTOKORELASI

Autokorelasi pada lag k didefinisikan :

0

2/1

)

)]var().[var(

,(

k

ktt

ktt

kZZ

ZZkov

Himpunan {ρk : k =0, 1, 2, 3 … }, dengan ρ0 = 1 disebut dengan Fungsi Autokorelasi (Fak)

Untuk proses normal dan stasioner , Rumus Bartlett menyatakan (dengan menganggap ρk =0) bahwa :

k

i

ik rN

r1

2 )21(1

)var(

Nilai ini digunakan untuk menguji keberartian nilai Fak, yaitu jika |rk|< 2 SE(rk) maka rk tidak berbeda secara signifikan dengan 0.


FUNGSI AUTOKORELASI PARSIAL

Alat lain yang digunakan dalam Analisis Runtun Waktu adalah Fungsi autokorelasi Parsial (Fakp), yang ditulis dengan {Φkk : k =1, 2, 3, …}

k

k

kkP

P

~

~*

,

|Pk*| adalah |Pk|(matrik autokorelasi runtun waktu sebanyak k) dengan kolom terakhir diganti oleh [ρ1 ρ2 … ρk]

’

1.

.....

.1

.1

.1

~

321

312

211

121

kkk

k

k

k

kP

Untuk lag yang cukup besar Quenouille memberikan rumus untuk menguji keberartian nilai Fakp, yaitu:

Var (Φkk) = 1/N


METODE BOX-JENKINS

Dalam Metode Box-Jenkins untuk Analisis Runtun waktu digunakan Dua Operator yaitu:

a. Operator Backshift B, dengan definsi BZt = Zt-1

b. Operator Diferensi, dengan definisi ∇Zt = Zt – Zt-1 = (1 – B)Zt

Model linier yang Sering Digunalan dalam Aanlisis Runtun Waktu :

Φ(B) Zt = θ(B) at (1)

Φ dan θ adalah polinomial, {at} adalah proses white noise ditulis

at ~ N(0;σ2a)

Persamaan (1) dapat juga ditulis dalam bentuk:

Zt = Ψ(B) at, dengan Ψ(B) = 1 + Ψ1B + Ψ2B2 + …


FILTER LINIER / FUNGSI TRANSFER

Bentuk Zt = Ψ(B) at, dapat diilustrasikan sebagai:

Filter linierat

Ψ(B)

Zt

Ini berarti bahwa RW Zt dapat diperoleh dengan melewatkan proses white noise at melalui filter linier dengan fungsi transfer

Ψ(B) = 1 + Ψ1B + Ψ2B2 + … . Jika barisan Ψ 1, Ψ2 …berhingga atau takberhingga tapi konvergen maka filter disebut stabil, dan runtun waktu yang dihasilkan dikatakan stasioner


Model dalam (1) dapat juga ditulis:

π(B) Zt = at , dengan π(B) = 1- π1B, π2B2,

… π(B) disebut fungsi pembentuk koefisien π

Hubungan antara koefisien Ψ dan π:

Ψ(B) . Π(B) Zt = Ψ(B) at = Zt

Atau Ψ(B) . Π(B) = 1 atau Ψ(B) = Π-1 (B)

Hubungan tersebut dapat digunakan untuk menurunkan koefisien Π apabila koefisien Ψ diketahui atau sebaliknya

Supaya runtun waktu pada bentuk π(B) Zt = at stasioner, maka deret Ψ(B) yang merupakan fungsi pembentuk koefisien Ψharuslah konvergen untuk |B| ≤ 1 dan dikatakan invertibel apabila

koefisien πj pada deret π(B) konvergen pada atau didalam lingkaran

satuan.


LANGKAH-LANGKAH ITERATIF DALAM MEMILIH MODEL

Postulasikan Kelas Umm Model

Identifikasi Model yang Diselidiki

Estimasikan Parameter dalam Model

Verivikasikan ModelApakah Model Memadai?

Forecasting

YaTidak


PROSES AUTOREGRESIVE (AR)

Bentuk umum Proses AR orde p (AR(p))

Zt = ϕ1Zt-1 + ϕ2Zt-2 + … + ϕpZt-p + at

Atau dapat ditulis

Φ(B) Zt = at

Dengan ϕ(B) = 1 – ϕ1B – ϕ2B2 – ϕpB

p disebut operator AR(P)

Pandang proses AR(1), Zt = ϕZt-1 + at

Ciri-ciri teoritik proses A(1)

a. Daerah stasioneritas -1< ϕ <1

b. Mean proses adalah nol

c. Fungsi autokorelasi turun secara eksponensial ρk = ϕk, k ≥ 1

d. Fungsi Autokorelasi Parsial terputus setelah lag ke 1


1110987654321

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0Aut

ocor

rela

tion

LBQTCorrLagLBQTCorrLag

222.91

221.35

218.21

211.09

199.53

182.04

160.34

136.35

109.21

77.94

41.29

0.35

0.51

0.79

1.04

1.34

1.59

1.81

2.12

2.62

3.56

6.23

0.16

0.22

0.34

0.44

0.55

0.62

0.66

0.71

0.77

0.85

0.91

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Fungsi Autokorelasi

1110987654321

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Part

ial A

utoc

orre

latio

n

TPACLagTPACLag

0.87

-1.20

-0.58

-2.22

-1.29

0.32

0.32

0.09

-0.49

0.84

6.23

0.13

-0.18

-0.08

-0.32

-0.19

0.05

0.05

0.01

-0.07

0.12

0.91

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Fungsi Autokorelasiu Parsial

Contoh fak dan fakp proses AR(1)


PROSES MOVING AVERAGE (MA(q))

Bentuk umum proses MA(q) adalah:

Zt = at + θ1at-1 + … + θqat-q, dengan at ~ N(0, σ2a) (1)

= θ(B) at

Dengan θ(B) = (1 + θ1B + … + θqBq) adalah operator MA(q)

Persamaan (1) dapat juga ditulis:

θ-1(B) Zt = Zt – π1Zt-1 - π2Zt-2 - …. = at

Atau π(B) Zt = at

Proses MA(q) dikatakan invertibel, jika koefisien πmerupakan deret yang konvergen


PROSES MOVING AVERAGE ORDE 1 MA(1)

Bentuk umum : Zt = at + θ1at-1

Dengan at adalah proses white noise

Ciri – ciri proses MA(1) adalah:

a. Mean = 0

b. fak adalah:

211

Dan ρk = 0, k > 1

c. Fakp adalah:

)1(2

21

1

)1()1(

k

kk

kk


15105

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0Auto

corr

elat

ion

LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag

26.29

26.29

26.02

25.91

24.82

20.80

20.22

18.56

17.40

17.31

15.81

15.11

15.05

15.05

14.47 -0.02

-0.34

0.21

0.70

-1.39

0.54

0.93

-0.79

-0.22

0.94

-0.65

0.19

-0.04

0.61

-3.71 -0.00

-0.06

0.04

0.12

-0.23

0.09

0.15

-0.13

-0.03

0.15

-0.10

0.03

-0.01

0.09

-0.48 15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Fungsi Autokorelasi

15105

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Part

ial A

utoc

orre

latio

n

TPACLagTPACLagTPACLag

-0.38

0.39

0.48

-0.61

-0.66

1.79

0.23

-0.96

0.73

0.56

-0.72

0.22

-0.39

-1.36

-3.71 -0.05

0.05

0.06

-0.08

-0.08

0.23

0.03

-0.12

0.09

0.07

-0.09

0.03

-0.05

-0.18

-0.48 15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Fungsi Autokorelasi Parsial

Contoh Fak dan Fakp Proses MA(1)


PROSES CAMPURAN (ARMA(p,q))

Bentuk umum:

Zt = ϕ1Zt-1 + … + ϕpZt-p + at + θ1at-1 + … + θqat-q

Dapat juga ditulis : ϕ(B) Zt = θ(B) at, syarat stasioneritas dan invertibilitas adalah akar-akar ϕ(B) = 0 dan θ(B) = 0 terletak di

luar lingkaran satuan.

Model ARMA dapat juga ditulis Zt = Ψ(B) atau π(B) Zt = at

Dimana Ψ(B) = ϕ-1(B) θ(B) dan π(B) = θ-1(B) ϕ(B) adalah deret

takhingga dalam B. Sehingga dengan menyatakan model ARMA dalam bentuk AR saja atau MA saja kita akan mengharapkan fakp yang kurang terus menerus.


MODEL ARMA (1,1)

Bentuk umum : (1-ϕB)Zt = (1 + θB)at

Syarat Stasioner dan invertibel :

-1 < ϕ < 1 dan -1 < θ < 1.

Untuk semua k berlaku:γk = ϕγk-1 + γaz(k) + θ γaz(k-1)

Sehingga

γ0 = ϕγ1 + σ2a + θ γaz(-1)

γ1 =ϕγ0 + θ σ2a

Dan

γ0 = ϕγk-1, untuk k > 1


RUNTUN WAKTU NONSTASIONER

Penyebab : tidak memiliki mean yang tetap

Sifat nonstasioner tersebut bersifat homogen

RW nonstasioner homogen ditunjuk -kan oleh RW selisih nilai-nilai yang berurutan adalah stasioner

Jenis Nonstasioner:– Nonstasioner dalam tingkat, dengan model ϕ(B) ∇Zt =

θ(B) at

– Nonstasioner dalam tingkat dan lerengan dengan model ϕ(B) ∇2Zt = θ(B) at

Jika kita tulis ∇dZt = Wt, maka proses ARIMA (p,d,q) untuk {Zt} merupakan proses ARMA(p,q) untuk {Wt} sehingga teori untuk runtun waktu stasioner yang telah dibicarakan berlaku pula untuk runtun waktu Wt.


Contoh Plot data RW Non Stasioner

10080604020

310

300

290

280

270

Index

runtun

D

10080604020

10

0

-10

Index

C2


10080604020

20

10

0

-10

-20

Index

C3

Keterangan gambar:

a. Plot data RW asli (nonsationer- ditunjukkan oleh adanya trend)

b. Plot data selisih pertama (sudah stasioner)

c. Plot data selisih kedua (stasioner dengan variansi yang lebih besar dari selisih pertama), artinya cukup dilakukan selisih pertama untuk membuatnya stasioner

Gambar c


Fak dan Fakp RW Nonstasioner(Data Asli)

25155

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0Auto

corr

elat

ion

LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag

419.10

418.91

418.23

416.80

414.17

410.63

407.15

405.21

403.99

403.26

402.80

402.53

402.53

402.38

401.25

398.64

394.09

387.89

376.54

357.63

330.65

295.79

256.97

212.21

157.36

86.22

-0.13

-0.25

-0.36

-0.49

-0.58

-0.58

-0.44

-0.35

-0.27

-0.21

-0.17

0.02

0.12

0.35

0.53

0.71

0.84

1.15

1.53

1.89

2.27

2.54

2.96

3.69

5.17

9.16

-0.04

-0.07

-0.10

-0.14

-0.16

-0.16

-0.12

-0.10

-0.07

-0.06

-0.05

0.00

0.03

0.10

0.15

0.19

0.23

0.31

0.40

0.48

0.55

0.58

0.63

0.70

0.80

0.89

26

25

24

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Fak RW asli

25155

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Parti

al A

utoc

orre

latio

n

TPACLagTPACLagTPACLagTPACLag

0.01

0.42

0.55

0.96

1.36

-1.03

-0.05

-0.52

0.06

0.03

-0.99

1.81

-0.46

-1.03

-1.06

1.45

-0.36

-0.78

-1.22

-1.85

0.46

1.07

0.70

-1.09

0.79

9.16

0.00

0.04

0.05

0.09

0.13

-0.10

-0.00

-0.05

0.01

0.00

-0.10

0.17

-0.04

-0.10

-0.10

0.14

-0.04

-0.08

-0.12

-0.18

0.04

0.10

0.07

-0.11

0.08

0.89

26

25

24

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Fakp RW asli


25155

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0Auto

corr

elat

ion


33.78

28.12

28.05

27.82

27.46

27.45

22.10

21.86

21.69

21.14

20.92

18.33

15.37

12.93

12.72

12.71

12.23

10.17

9.90

9.54

5.44

4.18

4.07

3.18

2.65

2.61

1.69

-0.19

-0.35

-0.44

-0.07

-1.75

0.38

0.32

0.57

-0.36

-1.28

1.40

-1.30

0.38

0.10

0.59

-1.25

0.45

-0.53

1.85

1.04

-0.31

-0.89

-0.70

0.19

-1.59

0.20

-0.02

-0.04

-0.05

-0.01

-0.20

0.04

0.04

0.07

-0.04

-0.14

0.15

-0.14

0.04

0.01

0.06

-0.13

0.05

-0.06

0.19

0.10

-0.03

-0.09

-0.07

0.02

-0.15

26

25

24

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Fak RW Selisih Pertama

25155

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Part

ial A

utoc

orre

latio

n


1.32

-0.87

-0.87

0.45

-1.25

-1.90

0.67

0.67

-0.15

-0.71

-0.93

1.28

-2.05

-0.02

0.42

0.81

-0.80

0.45

-0.05

2.22

0.90

-0.68

-1.17

-0.71

-0.05

-1.59

0.13

-0.08

-0.08

0.04

-0.12

-0.18

0.07

0.07

-0.01

-0.07

-0.09

0.12

-0.20

-0.00

0.04

0.08

-0.08

0.04

-0.00

0.22

0.09

-0.07

-0.11

-0.07

-0.00

-0.15

26

25

24

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Fakp RW Selisih Pertama

Fak dan Fakp RW Selisih Pertama


25155

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0Auto

corr

elat

ion


82.98

75.92

74.85

74.85

74.79

73.32

68.53

67.08

67.06

66.63

66.63

63.06

55.05

49.86

48.89

48.74

47.35

44.29

42.49

39.65

37.17

37.12

37.00

36.88

36.78

35.45

1.50

-0.59

-0.03

-0.14

0.71

-1.31

0.73

-0.09

0.40

-0.02

-1.18

1.84

-1.52

0.66

-0.26

0.81

-1.22

0.95

-1.22

1.16

0.16

-0.26

-0.26

-0.24

0.88

-5.87

0.22

-0.09

-0.00

-0.02

0.10

-0.19

0.10

-0.01

0.06

-0.00

-0.17

0.25

-0.20

0.09

-0.04

0.11

-0.16

0.12

-0.16

0.15

0.02

-0.03

-0.03

-0.03

0.11

-0.57

26

25

24

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Fak RW Selisih ke-dua

25155

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Part

ial A

utoc

orre

latio

n


-0.13

-1.89

0.20

0.24

-1.16

0.58

1.38

-1.14

-1.27

-0.49

0.02

0.27

-2.02

1.32

-0.62

-1.15

-1.69

-0.16

-1.41

-0.96

-3.58

-3.11

-2.32

-2.25

-3.32

-5.87

-0.01

-0.18

0.02

0.02

-0.11

0.06

0.13

-0.11

-0.12

-0.05

0.00

0.03

-0.20

0.13

-0.06

-0.11

-0.16

-0.02

-0.14

-0.09

-0.35

-0.30

-0.23

-0.22

-0.32

-0.57

26

25

24

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Fakp RW Selisih Ke-dua

Fak dan Fakp RW Selisih Ke-dua

metode runtun waktu - direktori file...

Documents