MATEMATIKA- I

Oleh:Dr. Parulian Silalahi, M.Pd

Matriks- 1

MATRIKS1. Pengertian MatriksMatriks adalah susunan sekelompok bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom.

Bentuk Umum:

mn

n

n

nnn

ij

a

aa

aaa

aaaaaa

aA:

.........::::

.................

2

1

321

232221

131211

2. Ordo MatriksMatriks yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut berordo m x n

Contoh:

Matriks A berordo 2x2Matriks B berordo 2 x 3

326512

;4312

BA

3. Transpose matriksTranspose matriks A ( ditulis AT) adalah pertukaran baris menjadi kolom dan kolom menjadi barisContoh:Tentukanlah transpose dari matriks berikut:

Jawab:

241635

;4251

BA

264315

;4521 TT BA

4. Kesamaan dua MatriksDua buah matrisk A dan B dikatakan sama jika ordonya sama dan elemen-elemen yang seletak sama. Contoh:

Matriks A= B

416

48

26

22

;4231

BA

5. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Dua buah matriks A dan B dapat

dijumlahkan atau dikurangkan jika mempunyai ordo yang sama

Contoh:Diketahui;

Tentukanlah : 1. A + B ; 2 . A – B

Jawab:

1526

5502

BABA

1526

5502

BABA

6. Perkalian Matriksa.Perkalian skalar pada matriksContoh: diketahui:

Tentukanlah : 1. -2 A ; 2. 1/5 A

Jawab:

2453

A

52

54

55

53

51)2

48106

2)1 AA

b. Perkalian matriks dengan matriksMatriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.Contoh:Diketahui:

Tentukanlah : 1. A x B ; 2. B x A

1.

2. B x A , tidak bisa dilakukan

412310

;4321

BA

25781134

412310

4321

AxB

7. Determinan matriksa.Determinan matriks berordo 2 x 2

Jika matriks , maka determinannya adalah: det A =

Contoh: Tentukan determinan matriks dari

Jawab: det A =

dcba

A

cbdadcba

..

2354)1(31453

1453

A

b. Determinan matriks berordo 3x3Contoh: tentukanlah determinan matriks berikut:

Jawab:

012302111

A

Aturan Sarrus

Diagonal utama

Diagonal samping(-) (-) (-)

(+) (+) (+)

538)0.2.11.3.12.0.1()1.2.12.3.10.0.1(

120211

012302111

det

A

8. Menghitung sistem persamaan linier dari dua variabel (SPLDV) dengan menggunakan determinan

Contoh: Tentukan harga x dan y dari dua persamaan berikut dengan menggunakan determinan

2x + y = 5x-2y = 0

Jawab:

155;2

510

55.10.20152

100.1)2.(52015

51.1)2.(22112

DD

yDDx

D

D

D

yx

y

x

9. Menghitung sistem persamaan linier dari tiga variabel (SPLTV) dengan menggunakan determinan

Contoh: Selesaikan persamaan linier simultan berikut ini.

2 i1 + i2 - i3 = -2

2 i1 + 2 i2 + i3 = 0

3 i1 – i2 + 2 i3 = 9

Jawab:

349302

)1(2312

)2(2910

2293102122

171920

)1(2910

12112

)2(219120112

171322

)1(2312

12112

2213122112

2

1

Di

Di

D

21734

21734

11717

341322

)2(9302

19102

2913022212

33

22

11

3

DDii

DDii

DDii

Di

Matriks 21. Menentukan invers suatu matriks brordo 2x2

Jika matriks A = dengan det A = ad-bc

, maka invers dari matris A ditentukan oleh

A-1 =

Dengan syarat bahwa det A= ad-bc ≠ 0

dcba

ac

bdbcad1

Langkah Penyelesaian

1. Elemen-elemen pada diagonal utama dipertukarkan2. Tanda elemen-elemen pada diagonal samping diubah. Jika elemen itu (+) diubah menjadi (-) dan jika elemen itu (-) diganti (+)3. Matriks yang diperoleh pada langkah 1 dan 2 di atas kemudian dibagi dengan determinan matriks persegi awal.

Tentukanlah invers matriks berikut ini.

Jawab:

Det A =

Karena det A≠ 0 maka matriks A mempunyai invers. Invers dari A adalah

2435

A

212104).3()2.(52435

25

24

23

22

1

5432

21A

1. Menentukan invers suatu matriks berordo 3x3a. Pengertian Minor Misalkan A adalah matriks persegi berordo

tiga yang disajikan dalam bentuk:

Jika elemen-elemen yang terletak pada baris ke –i dan kolom ke-j dari matriks A itu dihapuskan, maka diperoleh matriks berordo 2 x 2.

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

Determinan dari matriks persegi berordo 2 x 2 yang diperoleh itu dinamakan minor dari matriks A, dilambangkan dengan |Mij|

Minor dari determinan matriks A disebut sebagai minor aij.

Contoh:

Diketahui matriks A =

Tentukanlah minor-minor dari matriks A.

341431321

Jawab:

63.43.23432

13.14.14131

14.13.13141

74.43.33443

2121

1313

1212

1111

MadalahaMinor

MadalahaMinor

MadalahaMinor

MadalahaMinor

12.13.13121

13.14.14131

13.34.24332

22.14.14121

03.13.13131

3333

3232

3131

2323

2222

MadalahaMinor

MadalahaMinor

MadalahaMinor

MadalahaMinor

MadalahaMinor

b. Pengertian Kofaktor

Jika |Mij| adalah minor dari aij dari matriks A,

maka bentuk (-1)i+j |Mij| disebut kofaktor dari aij.

Kofaktor dari aij dilambangkan dengan α ij.

Jadi kofaktor aij dapat ditentukan dengan rumus αij = (-1)i+j |Mij|

Contoh: Kofaktor dari a11 adalah α11= (-1)1+1 |M11|= + |M11| Kofaktor dari a12 adalah α12= (-1)1+2 |M12|= - |M12| Kofaktor dari a13 adalah α13= (-1)1+3 |M13|= + |M13| Kofaktor dari a21 adalah α21= (-1)2+1 |M21|= - |M21| Kofaktor dari a22 adalah α22= (-1)2+2 |M22|= + |M22| Kofaktor dari a23 adalah α23= (-1)2+3 |M23|= - |M23| Kofaktor dari a31 adalah α31= (-1)3+1 |M31|= + |M31| Kofaktor dari a32 adalah α32= (-1)3+2 |M32|= - |M32| Kofaktor dari a33 adalah α33= (-1)3+3 |M33|= + |M33|

Matriks A adalah matriks persegi berordo 3 x 3 dalam bentuk:

Yang dimaksud dengan adjoin matriks A (disingkat: adj A) adalah juga suatu matriks yang ditentukan dalam bentuk:

adj A =

Dengan αij adalah kofaktor dari aij

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

332313

322212

312111

c. Pengertian Adjoin Matriks berordo 3 x3

d. Invers matriks berorodo 3 x 3

Misalkan matriks A adalah matriks

berorodo 3 x 3. Invers dari matriks A

dirumuskan dengan aturan:

0detdet11 AuntukAadjA

A

Contoh: Tentukanlah invers matriks berikut.

Jawab:

Jadi matriks A mempunyai invers

021130121

A

1)023()020(232

101

021130121

det

A

Kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah:

20212

32130

10110

20213

21

13

12

11

33021

11011

11312

42121

10111

33

32

31

23

22

Matriks adjoinnya:

Adj A= =

A-1 = 1/det A. adj A = 1/-1 =

332313

322212

312111

343111122

343111122

343111122

Penyelesaian persamaan matriks.Misalkan A, B, dan X adalah matriks-matriks persegi berordo 2 x 2 atau 3 x 3, dan A adalah matriks yang tak singular yang mempunyai invers, yaitu A-1, maka:

Penyelesaian persamaan matriks A.X = B ditentukan oleh X = A-1. B

Penyelesaian persamaan matriks X.A = B, ditentukan oleh: X = B.A-1

Contoh 1: Tentukanlah penyelesaian SPLDV dibawah ini dengan menggunakan metode invers matriks.

4x + 5y = 172x + 3y = 11

Jawab:Langka awal untuk menyelesaikan bentuk persamaan diatas dengan metode invers matriks adalah dengan mengubah persamaan dalam bentuk persamaan matriks.

1117

3254yx

Langkah 2:

Langkah 3:

Langkah 4:

X = -2 dan y = 5

25.23.43254

det,3254

AmakaA

4253

211A

52

1117

4253

21

yx

Contoh 2: Tiga arus i1, i2, i3 dalam suatu jaringan berhubungan melalui persamaan berikut:

2 i1 + i2 – i3 = 13 - i1 + 2 i2 + 3i3 = -94 i1 - i2 + 2i3 = 8

Dengan menggunakan metode invers matriks tentukanlah penyelesaian persamaan diatas.

Jawab:Langkah 1:Mengubah persamaan dalam bentuk matriks

BIA

iii

.

8913

.214321112

3

2

1

35)268()1128(121

412

214321112

det

A

Kofaktor- kofaktor dari matriks A

52112

53112

53211

61412

33

32

31

23

82412

12111

71421

142431

72132

22

21

13

12

11

Matriks adjoin :

5675814517

AAdj

I = A-1 . B

I = 1/det A . Adj A . B

3;2;4

324

8913

5675814517

351

321

3

2

1

3

2

1

iii

iii

iii

TERIMA KASIHSelamat Belajar

http://polmansem3.esy.es/