MATEMATIKA- III

Oleh:Dr. Parulian Silalahi, M.Pd

Metoda Variasi Parameter

http://matematikapolman.esy.es

METODA VARIASI PARAMETERJika u1 (x) dan U2 (x) adalah penyelesaian bebas terhadap persamaan homogen, maka dapat diperlihatkan bahwa terdapat penyelesaian khusus terhadap persamaan tak homogen yang berbentuk

Yp = V1 (x) U1 (x) + V2 (x) U2 (x)

Dengan syaratV1’ U1 + V2’ U2 = 0V1’ U1’ + V2’ U2’ = k(x)

Contoh:Selesaikanlah PDL di bawah ini dengan menggunakan metoda variasi parameter

1.Y”+ Y = cosec x2.Y” – 9 y = e2x

Jawab:1. Y”+ Y = cosec x PDL Homogen Y” + Y = 0Persamaan bantu : r2 + 1 = 0

r1,2 = ± iPenyelesaian umum homogenYh = C1 cos x + C2 sin x

Penyelesaian khusus terhadap persamaan tak homogen Yp = V1 (x) cos x + V2 (x) sin x

Syarat : V1’ cos x + V2’ sin x = 0 - V1 sin x + V2’ cos x = cosec x

1sincossin.0

cossinsincoscoscossin0

' 22sin1

1

xxx

xxxxxecxx

V x

ctgxxx

xx

xxxxecxx

x

V

222 sincos

sincos

cossinsincoscossin0cos

'

Penyelesaian umumY = Yh + YpY= C1 cos x + C2 sin x- x.cosx + ln |sin x|.sin x

xxxxYp

xdxctgxV

xdxV

sin.sinlncos.

sinln

1

2

1

Y” – 9Y = e2x

PDL Homogen : Y” – 9 Y = 0Persamaan bantu : r2 – 9 = 0

r1,2 = ± 3Penyelesaian umum homogenYh = C1 e3x + C2 e-3x

Penyelesaian khusus terhadap persamaan tak homogen:Yp = V1(x) e3x + V2 (x) e-3x

Syarat:V1’ e3x + V2’ e-3x = 03V1’e3x - 3V2’e-3x = e2x

xxxx

xx

xx

xx

x

xxxx

xx

xx

xx

x

edxeVee

eeeeee

e

V

edxeVee

eeeeeee

V

552

55

33

33

23

3

2

1

33

33

32

3

1

301

61

61

3333

30

'

61

61

61

3333

30

'

Yp = V1 (x). U1 (x) + V2 (x) .U2 (x) = -1/6 e-x. e3x + (-1/30 e5x). e-3x

= - 1/5 e2x

Jadi penyelesaian umumY = Yh + YpY = C1 e3x + C2 e-3x – 1/5 e2x

TERIMA KASIHSelamat Belajar

http://matematikapolman.esy.es/