MATEMATIKA- I

Oleh:Dr. Parulian Silalahi, M.Pd

1.Barisan AritmatikaBentuk Umum:

a, a + b, a + 2b, . . . , a + nb

Rumus suku ke-n

Un = a + (n-1) b Dimana:a = suku pertama (awal)b= bedaUn = suku ke-n

Contoh:1.Tentukanlah suku ke- 11 dari barisan aritmatika berikut: 2, 5, 8, …

Jawab:a = 2b = 3Un= a + (n-1) b = 2 + (11-1) 3 = 32

2.Suatu barisan aritmatika diketahui suku ke-3 = 8 dan suku ke-13= 58, tentukanlah suku awal dan bedanya.Jawab:

U3=8 a + 2b = 8U13=58 a + 12b = 58 -10 b = -50

b= 5 a + 2b = 8 a = -2

2. Deret Aritmatika

Bentuk Umum:a+ (a + b) + (a + 2b ) + . . . + (a + nb )

Rumus jumlah n suku

Sn = ½ n( 2a + (n-1)b) atau Sn = ½ n (a + Un)

Contoh:Tentukanlah jumlah 10 suku pertama dari barisan berikut: 100 + 98 + 96 + . . .

Jawab:

100 + 98 + 96 + . . .

a= 100

b = -2

S10 = 10/2 (2.100 + (10-1)2)

= 5. 182 = 910

2. Tentukanlah jumlah deret aritmatika berikut: kelipatan 5 antara 1 s/d 100

Jawab:

a = 5 ; b =5 ; Un = 95

Un = a + (n – 1)b

95 = 5 + (n – 1)5

95 = 5 + 5n – 5

n = 95/5 = 19

S19 = n/2 (a + Un) = 19/2 (5 + 95)

S19 = 19/2 (100)

S19 = 950

3. Barisan Geometri

Bentuk Umum:

a, ar , ar2 , . . . , arn

Rumus suku ke –n Un = a. rn-1 r = Un+1 / Un

Contoh:Tentukanlah suku ke 5 dari barisan berikut: 81, 27, 9, . . .

Jawab:81, 27, 9 , . . .

a = 81r = 1/3

2. Dari suatu barisan geometri diketahui suku ke- 3 = 1 dan suku ke- 8 = 1/32. Tentukanlah suku pertama dan rationya.Jawab:U3 = 1 ar2 = 1 U8 = 1/32 ar7=1/32 ar2/ar7 = 1/(1/32) r = ½ ar2 = 1 a = 4

U5 = 81. (1/3)5-1

= 1

4. Deret Geometri

Bentuk Umum

a + ar + ar2 + ar3 + . . . + arn

Rumus jumlah n suku

1,11

1,11

rrraS

rrraS

n

n

n

n

Contoh: Tentukanlah jumlah 6 suku pertama dari deret geometri berikut:

128 + 64 + 32 + . . .Jawab: a = 128 ; r = ½ ; n = 6

252

12).

6411(128

211

211128

1,11

6

6

S

S

rrraS

n

n

n

5. Deret Geometri Tak HinggaSifat deret geometri tak hinggaa + ar + ar2 + ar3 + . . . Dikatakan 1.Mempunyai limit jumlah atau konvergen, jika dan hanya jika | r | < 1 Limit jumlah itu ditentukan oleh

S = a / (1-r)

2. Tidak mempunyai limit jumlah atau divergen, jika dan hanya jika | r | > 1

Contoh: Hitunglah limit jumlah (jika ada) pada deret-deret geometri tak hingga berikut ini.a)1 + ½ + ¼ + . . .b)2 – 4 + 8 – 16 + . . .Jawab:a)1 + ½ + ¼ + . . . r = ½ | r | < 1, maka deret geometri tak hingga adalah konvergen dengan limit jumlah: S = a/ (1 – r) = 1/ (1 – ½ ) = 2b) 2 – 4 + 8 – 16 + . . . | r | > 1 , jadi deret tidak mempunyai limit jumlah atau divergen

Jika semua ci dalam mempunyai nilai

yang sama, katakanlah c, maka

n

iic

1

ccccccsukun

n

ii

...1

Sebagai hasilnya, cncn

i

.1

Defenisi: Suatu deret a1 + a2 + a3 + a4 + … + an

Dapat ditulis dengan menggunakan notasi sigmasebagai berikut:

n

iia

1

Kelinieran sigma Andaikan (ai) dan (bi) menyatakan dua barisan dan c suatu konstanta, maka:

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

babaiii

babaii

accai

111

111

11

)()(

)()(

)(

Beberapa Rumus Jumlah Khusus

30)196)(1(...321.4

2)1(...321.3

6)12)(1(...321.2

2)1(...321.1

234444

1

4

23333

1

3

2222

1

2

1

nnnnnni

nnni

nnnni

nnni

n

i

n

i

n

i

n

i

Contoh 1:Hitunglah

10

1

10

1

2

10

1

6

1

)5(2.4

.3

.2

4.1

i

i

i

i

ii

i

i

Jawab:

220)55(10)385(2102

)102()5(2)5(2.4

3856

)120)(110(10.3

552

)110(10.2

24)4(64.1

10

1

10

1

2

10

1

210

1

10

1

10

1

2

10

1

6

1

ii

iii

i

i

i

ii

iiiiii

i

i

TERIMA KASIHSelamat Belajar

http://polmansem3.esy.es/