Prosiding ISBN : 978-602-17339-0-5

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012 107

Penggunaan Metode Bayesian Subyektif

dalam Pengkonstruksian Grafik Pengendali-c

Sekar Sukma Asmaraa, Adi Setiawan

b, Tundjung Mahatma

c

a Mahasiswa Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika

Universitas Kristen Satya Wacana

Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga, qkhasweetie@yahoo.com b Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika

Universitas Kristen Satya Wacana

Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga, adi_setia_03@yahoo.com c Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika

Universitas Kristen Satya Wacana

Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga, t.mahatma@gmail.com

ABSTRAK

Metode Bayesian Subyektif dapat digunakan untuk melakukan estimasi titik berdasarkan pada

sampel dan informasi priornya. Grafik pengendali memberikan gambaran mengenai perilaku sebuah

proses. Grafik pengendali digunakan untuk mengidentifikasi apakah sebuah proses yang berjalan

dalam kondisi terkendali atau tidak. Pada makalah ini dijelaskan penggunaan metode Bayesian

subyektif dalam pengkonstruksian grafik pengendali-c.

Kata Kunci : bayesian subyektif, prior, grafik pengendali

ABSTRACT Subjective Bayesian Method can be used for the point estimation based on the sample and its

prior information. Control chart gives description about the performance of a process. It is also used

to indicate whether a process is in controlled condition or not. The paper explains the usage of

Subjective Bayesian Method in the construction of c-chart.

Key Words : subjective bayesian, prior, control chart

Pendahuluan

Konsumen mempunyai ekspektasi

yang besar terhadap produk yang dibelinya.

Menurut Montgomery (1990), kualitas

merupakan jaminan utama konsumen

dalam memilih produk, oleh karena itu

dalam setiap pembelian konsumen

mengharapkan produk-produk yang bebas

dari cacat. Menurut Prawirosentono (2007),

konsumen yang membeli produk

berorientasi pada kualitas, pada umumnya

mempunyai loyalitas produk yang besar

dibandingkan dengan konsumen yang

membeli produk berdasarkan harga,

sehingga mereka akan selalu membeli

produk tersebut (repurchase). Dengan

Prosiding ISBN : 978-602-17339-0-5

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012 108

demikian kualitas menjadi kunci sebuah

bisnis dalam menentukan keberhasilannya,

karena produk yang berkualitas

mempunyai daya saing tinggi dengan

produk lain yang sejenis. Selain itu,

peningkatan kualitas sering kali disertai

dengan penurunan biaya produksi, karena

dapat meminimalisasi produk-produk yang

rusak. Namun dalam banyak proses

produksi, terdapat banyak variabilitas

sehingga diperlukan pengendalian proses

statistik yaitu untuk menyingkirkan

variabilitas dalam proses. Salah satu alat

yang efektif untuk mengurangi variabilitas

adalah grafik pengendali. Dalam penelitian

ini, akan dikonstruksikan grafik

pengendali-c ( -chart) dengan

menggunakan metode Bayesian subyektif,

sehingga dapat diidentifikasi apakah proses

terkendali atau tidak. Hasil identifikasi

tersebut digunakan sebagai acuan sebuah

perusahaan mengambil tindakan dan

perbaikan dalam pengendalian proses

produksi.

Dasar Teori

Grafik pengendali adalah teknik

pengendali proses pada jalur yang

digunakan secara luas untuk pengendalian

kualitas, yang dapat digunakan untuk

menaksir parameter suatu proses produksi,

menentukan kemampuan proses, dan

memberikan informasi yang berguna dalam

meningkatkan proses itu (Montgomery,

1990 : 120).

Grafik pengendali terdiri dari nilai

karakteristik kualitas, garis tengah

(centerline) yang merupakan nilai rata-rata

karakteristik kualitas, batas pengendali atas

(upper control limit), dan batas pengendali

bawah (lower control limit). Dengan

demikian dapat diketahui apakah nilai

karakteristik kualitas termasuk daerah yang

diterima (accepted area) atau daerah

ditolak (rejected area) seperti pada

Gambar 1. Dalam statistik, untuk

memperoleh tingkat kepercayaan sebesar

, digunakan batas toleransi sebesar

3 kali deviasi standar.

Grafik Pengendali-c Klasik

Grafik pengendali-c mengganggap

bahwa terjadinya ketidaksesuaian dalam

sampel-sampel berukuran tetap dapat

dimodelkan dengan distribusi Poisson,

dengan fungsi probabilitas

Prosiding ISBN : 978-602-17339-0-5

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012 109

Gambar 1. Diagram Shewhart

= banyaknya ketidaksesuaian,

= parameter distribusi Poisson,

dengan mean dan variansi adalah

parameter . Jika nilai standar tidak

diberikan maka dapat ditaksir dengan

banyak ketidaksesuaian rata-rata yang

diamati , sehingga diperoleh batas-batas

pengendali

(1)

(Montgomery 1990 : 169).

Grafik Pengendali-c dengan Metode

Bayesian Subyektif

Banyaknya cacat atau tak sesuai

yang terjadi dalam unit pemeriksaan

mengikuti distribusi Poisson dengan fungsi

probabilitas

dan fungsi likelihood adalah

dengan .

Distribusi Gamma merupakan

keluarga konjugat distribusi Poisson,

sehingga fungsi kepadatan probabilitas

Prosiding ISBN : 978-602-17339-0-5

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012 110

priornya berdistribusi Gamma

dengan fungsi densitas

.

Parameter dan pada distribusi

prior yang dipilih, merepresentasikan

penilaian subyektif peneliti. Salah satu

metodenya adalah memilih prior

berdistribusi Gamma . Dipilih

paramater Gamma yang cocok

dengan keyakinan prior berdasarkan mean

dan deviasi standarnya adalah

dan

dengan

dan

(Darmanto). Oleh karena itu estimator

Bayes sama dengan rata-rata

ketidaksesuaian pada grafik pengendali-c

klasik.

Distribusi posterior dihitung dengan

mengalikan distribusi prior dengan fungsi

likelihood distribusi sampelnya yaitu

Gamma

Estimator Bayes dapat digunakan sebagai

sehingga

Batas dan dihitung sehingga

dan dipilih jarak minimum anatara dan

dengan tingkat signifikansi .

Metode Penelitian

Untuk melukiskan grafik

pengendali-c, data yang digunakan adalah

data contoh banyaknya ketidaksesuaian

dalam sampel papan untaian tercetak

yang diambil dari studi literatur.

Hal pertama yang dilakukan dalam

penelitian ini adalah melukiskan grafik

pengendali-c klasik. Metode bayesian

subyektif dapat digunakan untuk

mengestimasi titik dalam hal ini batas-

batas pengendali yang kemudian digunakan

Prosiding ISBN : 978-602-17339-0-5

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012 111

untuk melukiskan grafik pengendali-c

dengan prior Gamma dan prior

Gamma dengan parameter dan

yang cocok dengan keyakinan prior

berdasarkan mean dan deviasi standarnya.

Hasil dan Pembahasan

Data contoh banyaknya

ketidaksesuaian dalam sampel papan

untaian tercetak digunakan pada grafik

pengendali-c, seperti pada Tabel 1.

Tabel 1. Data Banyak Ketidaksesuaian

dalam Sampel dengan 100 papan untaian

tercetak.

No. Sampel Banyaknya

Ketidaksesuaian

1 21

2 24

3 16

4 12

5 15

6 5

7 28

8 20

9 31

10 25

11 20

12 24

13 16

14 19

15 10

16 19

17 13

18 22

19 18

20 39

21 30

22 24

23 16

24 19

25 17

26 15

Grafik Pengendali-c Klasik

Untuk menentukan batas

pengendali digunakan persamaan , oleh

karena itu diperoleh

dengan demikian diperoleh grafik

pengendali-c klasik pada Gambar 2.

Berdasarkan Gambar 2 diperoleh batas

pengendali yang simetri dan terdapat 2 titik

yang out of control.

Gambar 2. Grafik Pengendali-c Klasik

0 5 10 15 20 25

01

02

03

04

0

c-chart klasik

Nomor Sampel

Ba

nya

k K

etid

akse

su

aia

n

Prosiding ISBN : 978-602-17339-0-5

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012 112

Grafik Pengendali-c dengan Metode

Bayesian Subyektif

Berdasarkan data diperoleh bahwa

dan

Secara subyektif dipilih dan

, dari persamaan diperoleh

distribusi posterior

.

Untuk menentukan digunakan

persamaan sehingga

dan ditentukan dan dengan

persamaan dengan . Hasil

perhitungan dengan menggunakan program

R diperoleh

,

yang digunakan untuk melukiskan batas

pengendali pada grafik pengendali-c,

seperti pada Gambar 3. Berdasarkan

Gambar 3 terdapat 18 sampel yang out of

control.

Gambar 3. Grafik Pengendali-c dengan

Prior Gamma

Salah satu metode untuk memilih

parameter dan , digunakan persamaan

dan untuk membantu menentukan

dan yaitu

dan

Dengan menggunakan persamaan dan

diperoleh

0 5 10 15 20 25

01

02

03

04

0

c-chart Bayesian subyektif

Nomor Sampel

Ba

nya

k K

etid

akse

su

aia

n

Prosiding ISBN : 978-602-17339-0-5

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012 113

dan

Distribusi posterior ditentukan dengan

menggunakan persamaan , sehingga

diperoleh

.

Untuk menentukan digunakan

persamaan sehingga

dan ditentukan dan dengan

persamaan dengan . Hasil

perhitungan dengan menggunakan program

R diperoleh

,

yang digunakan untuk melukiskan batas

pengendali pada grafik pengendali-c,

seperti pada Gambar 4. Berdasarkan

gambar di atas terdapat 18 sampel yang out

of control.

Gambar 4. Grafik Pengendali-c dengan

Prior Gamma

Studi simulasi dilakukan dengan cara

membangkitkan sampel dengan ukuran

besar (misalkan diambil

dari distribusi Poisson dengan parameter

. Sampel tersebut

digunakan dalam pengkonstruksian grafik

pengendali-c klasik (Metode 1), grafik

pengendali-c dengan prior Gamma

(Metode 2), dan grafik pengendali-c

dengan prior Gamma

(Metode 3). Oleh karena itu dapat

ditentukan proporsi titik-titik sampel yang

out of control. Hasil tersebut dinyatakan

pada Tabel 2, Tabel 3, dan Tabel 4.

0 5 10 15 20 25

01

02

03

04

0

c-chart Bayesian subyektif

Nomor Sampel

Ba

nya

k K

etid

akse

su

aia

n

Prosiding ISBN : 978-602-17339-0-5

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012 114

Tabel 2. Tabel hasil rata-rata proporsi titik

yang out of control untuk metode 1.

No. Metode 1

Tabel 3. Tabel hasil rata-rata proporsi titik

yang out of control untuk metode 2

No. Metode 2

Tabel 4. Tabel hasil rata-rata proporsi titik

yang out of control untuk metode 3.

No. Metode 3

Hasil proporsi titik yang out of

control dari grafik pengendali-c klasik jauh

berbeda dengan hasil proporsi titik yang

out of control dari grafik pengendali-c

dengan menggunakan metode Bayesian

subyektif untuk dan yang dipilih.

Untuk dan yang lain akan diperoleh

hasil proporsi titik-titik sampel yang out of

control hampir sama.

Kesimpulan

Dalam bab sebelumnya telah

dijelaskan penggunaan metode Bayesian

subyektif dalam pengkonstruksian grafik

pengendali-c, dengan prior berdistribusi

Gamma. Dalam makalah ini dipilih secara

subyektif distribusi prior Gamma dan

prior Gamma yang

cocok dengan keyakinan prior berdasarkan

Prosiding ISBN : 978-602-17339-0-5

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012 115

mean dan deviasi standarnya. Distribusi

posterior diperoleh dari distribusi sampel

dan distribusi prior. Hasil proporsi titik

yang out of control dari grafik pengendali-c

klasik mendekati nilai yang diharapkan

yaitu . Sedangkan hasil

proporsi titik yang out of control dari

grafik pengendali-c dengan metode

Bayesian subyektif jauh dari nilai yang

diharapkan.

Pustaka

Montgomery, D.C. 1990. Pengantar

Pengendalian Kualitas Statistik. Alih

bahasa: Zanzawi Soejoeti.

Yogyakarta: Universitas Gadjah

Mada.

Prawirosentono, S. 2007. Filosofi Baru

Tentang Manajemen Mutu Terpadu

Abad 21, Edisi Kedua. Jakarta : Bumi

Aksara.

Setiawan, A. 2012. Penggunaan Metode

Bayesian Obyektif dalam Pembuatan

Grafik Pengendali p-chart. Prosiding

Seminar Nasional Penelitian,

Pendidikan, dan Penerapan MIPA,

UNY Yogyakarta

Web 1 :

Darmanto, Estimasi Parameter, Blog

Statistika,

http://statistikanyadarmanto.lecture.u

b.ac.id/materi-kuliah/