0 x1

y1

(x1, y1)

X

Y

0 x2

y2

(x1, y1)

X

Y

(x2, y2)

x1

y1

0 b

a

(b, 0) X

Y

(0, a)

O

ax + by = c

Y

X

a

b

(0, a)

(b, 0)

(x, y)

titik uji

PROGRAM LINEAR

A. Persamaan Garis Lurus

a. Persamaan garis yang

bergradien m dan

melalui titik (x1, y1)

adalah:

y – y1 = m(x – x1)

b. Persamaan garis yang

melalui dua titik (x1, y1)

dan (x2, y2) adalah :

y− y1=y2− y1

x2−x1( x−x1 )

c. Persamaan garis yang

memotong sumbu X di (b,

0) dan memotong sumbu Y

di

(0, a) adalah:

ax + by = ab

B. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear

Untuk menentukan daerah HP pertidaksamaan liniear ax + by ≤ c dengan metode grafik dan

uji titik, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :

1. Gambarkan garis ax + by = c

2. Lakukan uji titik, yaitu mengambil sembarang titik (x, y) yang ada di luar garis ax + by =

c, kemudian substitusikan ke pertidaksamaan ax + by ≤ c

3. Jika pertidaksamaan itu bernilai benar, maka HPnya adalah daerah yang memuat titik

tersebut dengan batas garis ax + by = c

4. Jika pertidaksamaan itu bernilai salah, maka HPnya adalah daerah yang tidak memuat

titik tersebut dengan batas garis ax + by = c

0

a

X

Y

b g

HP

p

q

h

(x,y)(0,a)

(q,0)

Titik kritis ada 3:(0, a), (q, 0) dan (x, y)

0

a

X

Y

b g

HPp

q

h

(x,y)

(0,p)

(b,0)

Titik kritis ada 3:(0, p), (b, 0) dan (x, y)

C. Fungsi Tujuan (Obyektif / Sasaran), Nilai Maksimum, dan Nilai Minimum

1) Fungsi tujuan adalah nilai f untuk x dan y tertentu dari suatu program linear, dan dinyatakan

f(x, y)

2) Nilai fungsi sasaran yang dikehendaki adalah kondisi x dan y yang menyebabkan

maksimum atau minimum

3) Pada gambar HP program linear, titik-titik sudut merupakan titik-titik kritis, dimana nilai

minimum atau maksimum berada. Apabila sistem pertidaksamaannya terdiri dari dari

dua pertidaksamaan, maka titik-titik kritisnya bisa ditentukan tanpa harus digambar

grafiknya.

Grafik HP untuk fungsi tujuan

maksimum

Grafik HP untuk fungsi tujuan minimum

Berdasarkan kedua grafik di atas dapat disimpulkan cara penentuan titik kritis sebagai

berikut:

1. Pilih titik potong kurva dengan sumbu Y atau sumbu X yang terkecil (0, a) dan (q, 0)

jika tujuannya maksimumkan atau yang terbesar (0, p), (b, 0) jika tujuannya

minimumkan

2. Titik potong antara kedua kurva (x, y)

CONTOH SOAL

1. Tunjukan himpunan penyelesaian yang memenuhi system pertidaksamaan

2x + y ≤ 6 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0, untuk x,y ∈ R

Jawab :

Langkah – langkah :

Lukislah grafik 2x + y ≤ 6 dengan cara :

i. Tentukan titik potong sumbu x dan sumbu y dengan table

Jika x = 0 maka y = 6

Jika y = 0 maka x = 3

Tabel

x 0 3

y 6 0

ii. Buatlah garis x = 0 , yang merupakan sumbu y , derah yang memenuhi adalah

daerah di sebelah kanan sumbu y.

iii.Buatlah garis y = 0 , yang merupakan sumbu x , derah yang memenuhi adalah

daerah di atas sumbu x.

iv.Ganbar grafik dalam koordinatkartesius sehingga terlihat himpunan

penylesaiannya :

v. Daerah grafik yang diarsir. Uji titik ( 0,0 ) maka 2.0 + 0 ≤ 6 maka titik ( 0,0 )

memenuhi.

- - - + + +

2. Seorang pembuat paku membuat jenis paku dari bahan yang tersedia yaitu 5,5 kg A dan

2 kg bahan B. Paku jenis I tiap buah memerlukan 200 gram bahan A dan 75 gram bahan

B sedangkan paku jenis II tiap buah memerlukan 150 gram bahan jenis A dan 50 gram

bahan jenis B.

Jika pengusaha menjual paku I dengan harga Rp 500,00 dan paku II dengan harga Rp

350,00 maka hitunglah berapa buah paku I dan paku II yang harus dibuat agar

penghasilan pengusaha maksimum?

Jawab :

3

(6,0)

(3,0)0

Mengubah bentuk verbal menjadi model matematika dari soal diatas

Misalkan : Paku jenis I = x dan

Paku jenis II = y

Tabel

Barang Bahan A Bahan B

Paku jenis I 200 gram 75 gram

Paku jenis II 150 gram 50 gram

Jumlah 5.500 gram 2.000 gram

Berdasarkan table sebelumnya didapat persamaan sebagai berikut :

200x + 150y ≤ 5.500

75x + 50y ≤ 2.000

x ≥ 0

y ≥ 0

Sedangkan fungsi objektifnya adalah z = 500x + 350y

Kita sederhanakan dulu persamaan diatas

200x + 150y ≤ 5.500 ⇔4x + 3y ≤ 110

75x + 50y ≤ 2.000 ⇔ 3x + 2y ≤ 80

x ≥ 0

y ≥ 0

⇔Mencari daerah penyelesaian untuk system pertidaksamaan di atas

4x + 3y ≤ 110

x 0 552

y 1103

0

3x + 2y ≤ 80

x 0 803

y 40 0

⇔Titik potong garis 4x + 3y = 110 dan 3x + 2y = 80 adalah

B(20,10)

0

4x + 3y = 110

A(80/3,0)

y

x

C(0,110/3)

4x + 3y = 110 x2 8x + 6y = 2203x + 2y = 80 x3 9x + 6y = 240 - x = -20 x = 20 untuk x = 20

3x + 2y = 80 ⇔3.20 + 2y = 80

2y = 80 – 60

y = 20

2 = 10 maka titik potong (20,10)

⇔Gambar grafik fungsi penyelesaiannya

⇔Daerah himpunan penyelesaian adalah OABC, sedangkan titik –titik

optimumnya adalah O(0,0), A(80/3,0), B(20,10), dan C(0,110/3)

⇔Nilai fungsi obyeknya adalah :

Untuk O(0,0) ⇔ z = 500.0 + 350.0 = 0

UntukA(80/3,0) ⇔ z = 500.80/3 + 350.0 = 13.000

UntukB(20,10) ⇔ z = 500.20 + 350.10 = 13.500

UntukC(0,110/30⇔ z = 500.0 + 350.110/3 = 12.000

⇔ Jadi agar mendapat penghasilan maksimum yaitu Rp 13.500,00 maka

pengusaha harus membuat 20 buah paku I dan 10 buah paku II.

3. Ani, Nia, dan Ina pergi bersama – sama ke toko buah. Ani membeli 2 kg apel, 2 kg anggur,

dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur, dan I kg

jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Ina membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg jeruk

3x + 2y = 80

dengan harga Rp 80.000,00. Berapa harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk

seluruhnya?

Jawab :

misal : apel = x, anggur = y dan jeruk = z

Ani : 2x + 2y + z = 67.000 … (i)

Nia : 3x + y + z = 61.000 … (ii)

Ina : x + 3y + 2z = 80.000 … (iii)

dari (i) diperoleh :

   z = 67.000 – 2x – 2y … (iv)

kemudian substitusi (iv) ke persamaan (ii) dan (iii), sehingga diperoleh :

  3x + y + z = 61.000 … (ii)

  3x + y + 67.000 – 2x – 2y = 61.000

  x – y = -6.000 … (v)

    x + 3y + 2z = 80.000 … (iii)

    x + 3y + 2(67.000 – 2x – 2y) = 80.000

    x + 3y + 134.000 – 4x – 4y = 80.000

    -3x – y = -54.000 … (vi)

dari (v) diperoleh :

y = x + 6.000 … (vii)

kemudian substitusi (vii) ke (vi), sehingga diperoleh :

-3x – y = -54.000 … (vi)

-3x – (x + 6.000) = -54.000

  -3x – x – 6.000 = -54.000

   54.000 – 6.000 = 4x

           48.000 = 4x

           12.000 = x (harga apel per kg)

substitusi nilai x ke persamaan (vii), sehingga diperoleh :

y = 12.000 + 6.000

  = 18.000 (harga anggur per kg)

Kemudian substitusi nilai x dan y ke persamaan (iv), sehingga diperoleh :

z = 67.000 – 2(12.000) – 2(18.000)

  = 67.000 – 24.000 -2(18.000)

  = 67.000 – 24.000 – 36.000

0

Y

X3

2

4

5

  = 7.000 (harga anggur per kg)

Jadi, harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk adalah :

   = x + y + 4z

   = 12.000 + 18.000 + 4(7.000)

   = 12.000 + 18.000 + 28.000

   = 58.0000

LATIHAN SOAL

SOAL PILIHAN GANDA

1. Perusahaan pengiriman barang mempunyai dua jenis mobil yaitu jenis I dan II. Mobil jenis I daya muatnya 12 m3, sedangkan mobil jenis II daya muatnya 36 m3. Order tiap bulan rata–rata mencapai lebih dari 7.200 m3, sedangkan biaya per pengiriman untuk mobil jenis I Rp400.000,00 dan mobil jenis II Rp600.000,00. Dari biaya yang telah ditetapkan tersebut pendapatan rata–rata sebulan tidak kurang dari Rp200.000.000,00. model matematika yang tepat dari masalah tersebut adalah …A. x + 3y 600, 2x + 3y 1000, x 0, y 0B. x + 3y 600, 2x + 3y 1000, x 0, y 0C. x + 3y 400, 2x + 3y 2000, x 0, y 0D.x + 3y 400, 2x + 3y 2000, x 0, y 0E. x + 3y 800, 2x + 3y 1000, x 0, y 0

2. Daerah yang diarsir pada gambar berikut merupakan himpunan penyelesaian system pertidaksamaan …

A. 2x + 5y 10, 4x + 3y 12, x 0, y 0B. 2x + 5y 10, 4x + 3y 12, x 0, y 0C. 2x + 5y 10, 4x + 3y 12, x 0, y 0D. 2x + 5y 10, 4x + 3y 12, x 0, y 0E. 2x + 5y 10, 4x + 3y 12, x 0, y 0

0

Y

X

3 8

4

6

3. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear 2x + y 8, x + 2y 12, y 3 yang ditunjukan pada gambar berikut adalah …

A. IB. IIC. IIID. IVE. V dan VI

4. Perhatikan gambar!

Nilai maksimum f(x,y) = 60x + 30y untuk (x, y) pada daerah yang diarsir adalah …A. 200B. 180C. 120D. 110E. 80

5. Nilai maksimum fungsi sasaran Z = 6x + 8y dari sistem pertidaksamaan

{4 x+2 y≤60 ¿ {2 x+4 y≤48 ¿¿¿¿ adalah …

A. 120B. 118C. 116D. 114E. 112

6. Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Teblet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp4.000,00 per biji dan tablet II Rp8.000,00 per biji, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah …A. Rp12.000,00B. Rp14.000,00C. Rp16.000,00D. Rp18.000,00E. Rp20.000,00

7. Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00, jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum yang di terima pedagang adalah ….A. Rp13.400.000,00B. Rp12.600.000,00C. Rp12.500.000,00D. Rp10.400.000,00E Rp8.400,000,00

8. Seorang penjahit membuat 2 model pakaian. Model pertama memerlukan 1 m kain polos dan 1, 5 kain corak. Model kedua memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bercorak. Dia hanya mempunyai 20 m kain polos dan 10 m kain bercorak. Jumlah maksimum pakaian yang dapat dibuat adalah …A. 10 potongB. 11 potongC. 12 potongD. 14 potongE. 16 potong

9. Di atas tanah seluas 1 hektar akan dibangun dua tipe rumah, yaitu tipe A dan tipe B. Tiap unit rumah tipe A luasnya 100 m2, sedangkan tipe B luasnya 75m2. Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 125 unit. Harga jual rumah tipe A adalah Rp100.000.000,00 dan rumah tipe B adalah Rp60.000.000. Supaya pendapatan dari hasil penjulana seluruh rumah maksimum, maka harus dibangun rumah sebanyak…A. 100 rumah tipe A sajaB. 125 rumah tipe A sajaC. 100 rumah tipe B sajaD. 100 rumah tipe A dan 25 tipe BE. 25 rumah tipe A dan 100 tipe B

10. Untuk menambah penghasilan, seorang ibu setiap harinya memproduksi dua jenis kue untuk dijual. Setiap jenis kue jenis I modalnya Rp 200,00 dengan keuntungan 40%, sedangkan setiap jenis kue jenis II modalnya Rp 300,00 dengan keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setiap harinya Rp 100.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 400 kue, maka keuntungan terbesar yang dapat dicapai ibu tersebut dari modalnya adalah …A. 30%B. 32%C. 34%D. 36%E. 40%

SOAL ESSAY

1. Seorang pengrajin menghasilkan satu tipe meja dan satu tipe kursi. Proses yang dikerjakan

hanya merakit meja dan kursi. Dibutuhkan waktu 2 jam untuk merakit 1 unit meja dan 30

menit untuk merakit 1 unit kursi. Perakitan dilakukan oleh 4 orang karyawan dengan

waktu kerja 8 jam perhari. Pelanggan pada umumnya membeli paling banyak 4 kursi untuk

1 meja. Oleh karena itu pengrajin harus memproduksi kursi paling banyak empat kali

jumlah meja. Harga jual per unit meja adalah Rp 1,2 juta dan per unit kursi adalah Rp 500

ribu. Buatlah model matematika dari permasalahn tersebut.

2. Seorang peternak memiliki 200 kambing yang mengkonsumsi 90 kg pakan khusus setiap

harinya. Pakan tersebut disiapkan menggunakan campuran jagung dan bungkil kedelai

dengan komposisi sebagai berikut :

Bahan Kg per kg bahan

Kalsium Protein Serat Biaya (Rp/kg)

Jagung 0.001 0.09 0.02 2000

Bungkil kedelai 0.002 0.60 0.06 5500

Kebutuhan pakan kambing setiap harinya adalah paling banyak 1% kalsium, paling sedikit

30% protein dan paling banyak 5% serat. Buatlah model matematika dari permasalahan

tersebut.

3. Suatu pesawat udara mempunyai 60 tempat duduk. Setiap penumpang kelas utama boleh

membawa barang hingga 50 kg, sedangkan untuk setiap penumpang kelas ekonomi

diperkenankan paling banyak membawa 20 kg barang. Bagasi pesawat itu hanya mampu

menapung 1.500 kg barang. Jika harga tiket kelas utama Rp 500.000,00, dan untuk kelas

ekonomi Rp 300.000,00. Berapakah pendapatan maksimum untuk sekali penerbangan?

4. Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk

membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat

barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I dijual seharga Rp

250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp 400.000,00 perunit, maka agar

penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak masing-masing barang harus di buat?

5. Sebuah pabrik menggunakan bahan A, B, dan C untuk memproduksi 2 jenis barang, yaitu

barang jenis I dan barang jenis II. Sebuah barang jenis I memerlukan 1 kg bahan A, 3 kg

bahan B, dan 2 kg bahan C. Sedangkan barang jenis II memerlukan 3 kg bahan A, 4 kg bahan

B, dan 1 kg bahan C. Bahan baku yang tersedia 480 kg bahan A, 720 kg bahan B, dan 360 kg

bahan C. Harga barang jenis I adalah Rp 40.000,00 dan harga barang jenis II adalah Rp

60.000,00. Tentukan pendapatan maksimum yang diperoleh.

MATRIKS

A. Transpose Matriks

Jika A = (a bc d ) , maka transpose matriks A adalah AT =

(a cb d )

B. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Dua matriks dapat dijumlahkan bila kedua matriks tersebut berordo sama. Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen–elemen yang seletak

Jika A = (a bc d ) , dan B =

( k lm n ) , maka A + B =

(a bc d )+(

k lm n ) =

( a+k b+ lc+m d+n )

C. Perkalian Matriks dengan Bilangan Real n

Jika A = (a bc d ) , maka nA = n

(a bc d ) =

(an bncn dn )

D. Perkalian Dua Buah Matriks

Perkalian matriks A dan B dapat dilakukan bila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B (Am×n × Bp×q, jika n = p) dan hasil perkaliannya adalah matriks berordo m × q.

Hasil perkalian merupakan jumlah perkalian elemen–elemen baris A dengan kolom B.

Jika A = (a bc d ) , dan B =

(k l mn o p ) , maka

A × B = (a bc d )×

(k l mn o p ) =

(ak+bn al+bo am+bpck+dn cl+do cm+dp )

E. Matriks Identitas (I)

I = (1 00 1 )

Dalam perkalian dua matriks terdapat matriks identitas (I), sedemikian sehingga I×A =

A×I = A

F. Determinan Matriks berordo 2×2

Jika A = (a bc d ) , maka determinan dari matriks A dinyatakan Det(A) =

|a bc d

|= ad – bc

Sifat–sifat determinan matriks bujursangkar

1. det (A ± B) = det(A) ± det(B)

2. det(AB) = det(A) det(B)

3. det(AT) = det(A)

4. det (A–1) =

1det (A )

G. Invers Matriks

Dua matriks A dan B dikatakan saling invers bila A×B = B×A = I, dengan demikian A

adalah invers matriks B atau B adalah invers matriks A.

Bila matriks A = (a bc d ) , maka invers A adalah:

A−1= 1Det (A )

Adj (A )= 1ad−bc ( d −b

−c a ), ad – bc ≠ 0

Sifat–sifat invers dan determinan matriks

1) (A×B)–1 = B–1 ×A–1

2) (B×A)–1 = A–1 ×B–1

H. Matriks Singular

matriks singular adalah matriks yang tidak mempunyai invers, karena nilai determinannya

sama dengan nol

I. Persamaan Matriks

Bentuk–bentuk persamaan matriks sebagai berikut:

1) A × X = B X = A–1 × B

X × A = B X = B × A–1

CONTOH SOAL

1. Jika matriks A=( 1 1

−1 1 ) dan B=(0 1

1 0 ) , tentukan nilai ( A+B)( A−B)−( A−B )(A+B) !

Jawab:

A=¿ (1 1¿ )¿¿

¿¿ B=¿ (0 1¿ )¿¿

¿¿

(A + B) (A – B) – (A – B) (A + B)

=¿ (1 2 ¿ ) ¿¿

¿¿

=¿ (−3 2¿ )¿¿

¿¿

2. Bila x dan y memenuhi persamaan matriks ( p qq p )(xy )=( pq ) , p≠q , p≠0 , dan q≠0

tentukan nilai x + y !

Jawab:

( p q ¿ )¿¿

¿¿

( x ¿ )¿¿

¿¿

( x ¿ )¿¿

¿¿

x = 1, y = 0 ⇒ x + y = 1 + 0 = 1

3. Persamaan garis g dan h berturut-turut adalah det|y x

1 1|=0

dan det|x+ y 1

1 1|=0

. Garis g

dan h berpotongan di titik A, titik B(p, 1) terletak pada g, dan titik C(2, q) terletak pada h.

Tentukan persamaan garis k yang melalui A dan sejajar BC!

Jawab:

g≡ det¿|y x ¿|¿¿

¿

y = x

h≡ det ¿|x+ y 1¿|¿¿

¿

y = 1 – x

o h dan g berpotongan di A

x = 1 – x

2x = 1

x=12⇒ y=1

2A=( 1

2, 1

2 )

o B (p, 1) terletak di g ⇒ p = 1

Sehingga B = (1, 1)

o C (2, q) terletak di h ⇒ q = 1 – 2 = - 1

Sehingga C = (2, -1)

omBC=

1−(−1)1−2

=−2

o k melalui A( 1

2, 1

2 ) dan sejajar BC

k≡ y−12=−2(x−1

2 )k≡ y=2 x+ 3

2

4. Untuk suatu , tentukan nilai α x dan y yang memenuhi (cos α sin αsin α −cosα )(xy)=(cos α

sin α ) !Jawab:

(cos α sinα ¿ )¿¿

¿¿

( x ¿ )¿¿

¿¿

(cos2α+sin2α ¿ )¿¿

¿¿

5. Jika A=[1 2 0

3 −1 4 ] dan AT adalah transpos dari matriks A, tentukan susunan baris

pertama dari ATA !

Jawab:

A=¿ (1 2 0 ¿ ) ¿¿

¿¿

AT A=¿ (1 3¿ ) (2 −1 ¿ ) ¿¿

¿¿

=¿ (10 −1 12¿ ) (−1 5 −4 ¿ ) ¿¿

¿¿

LATIHAN SOAL

SOAL PILIHAN GANDA

1. Diketahui matriks A = (1 23 4 ) dan B =

(4 32 1 ) . MT = transpose dari matriks M. Matriks (5A –

2B)T adalah …

A. ( 3 411 18 )

B. (−18 411 3 )

C. (−3 −4−11 18 )

D. (−3 11

4 18 )E. ( 3 −11−4 −18 )

2. Diketahui matriks A = (2 −13 11 −2 ) , dan B =

(1 −1 00 2 3 ) . Matriks B×A = ….

A. (1 −25 −4 )

B. (−1 −2

9 4 )C. (−1 −2

9 −4 )

D. (−1 −2

3 −1 )

E. (−1 2

9 −4 )

3. Diketahui matriks A = (3 y5 −1 ), B =

( x 5−3 6 ) , dan C =

(−3 −1y 9 )

. Jika A + B – C = ( 8 5 x−x −4 ),

maka nilai x + 2xy + y adalah ...A. 8B. 12C. 18D. 20E. 22

4. Diketahui matriks P = (12 4

0 −11 ) , Q = ( x 2 y−3 4 )

, dan R = (96 −2066 −44 ) .

Jika PQT = R (QT transpose matriks Q), maka nilai 2x + y = ….A. 3B. 4C. 7D. 13E. 17

5. Diketahui 3 matriks, A = (a 21 b ) , B =

(4 12 b+1 ) , C =

(−2 b−a b2 )

. Jika A×Bt – C = (0 25 4 ) dengan

Bt adalah transpose matriks B, maka nilai a dan b masing–masing adalah …a. –1 dan 2b. 1 dan –2c. –1 dan –2d. 2 dan –1e. –2 dan 1

6. Diketahui matriks P = (2 51 3 ) dan Q =

(5 41 1 ). Jika P–1 adalah invers matriks P dan Q–1 adalah

invers matriks Q, maka determinan matriks Q–1 P–1 adalah …A. 209B. 10C. 1D. –1 E. –209

7. Diketahui matriks A = ( 6

x − 10x

−1 2 )dan B =

(x 25 3 ) . Jika AT = B–1 dengan AT = transpose matrik

A, maka nilai 2x = … A. –8B. –4

C.14

D. 4E. 8

8. Diketahui persamaan (2 31 4 )( x 1

x+ y z−2 )=(21 823 9 ) . Nilai x + y – z = …

A. –5B. –3C. 1D. 5E. 9

9. Nilai x2 + 2xy + y2 yang memenuhi persamaan : (2 61 −3 )¿ (x ¿ ) ¿

¿¿

adalah …A. 1B. 3C. 5D. 7E. 9

10. Diketahui matriks A = (1 23 5 ) dan B =

(3 −21 4 )

. Jika At adalah transpose dari matriks A dan AX = B + At, maka determinan matriks X = …A. 46B. 33C. 27D. –33E. –46

SOAL ESSAY

1. Selidikilah apakah matriks-matriks berikut mempunyai invers? Jika mempunyai invers

tentukan inversnya .

a). A = (2 33 4 ) c). C =

(−2 41 −3 ) e). E =

( 8 −4−2 1 )

b). B = (4 22 1 ) d). D =

(7 64 3 )

2. Jika A = (2 45 6 ) dan B =

(4 52 1 ) maka carilah !

a). ( AB )−1

b). B−1 A−1

Apakah ( AB )−1 dan B

−1 A−1 sama ?

3. Carilah nilai x dan y pada sistem persamaan linier berikut dengan cara matriks !

a). {5x−2 y=4

2 x+ y=7 c). { 2x− y=63x+4 y+2=0

b). {2x+3 y=94 x−5 y=7 d).

{7 x−3 y−13=0x+2 y−14=0

4. Carilah matriks X pada persamaan matriks berikut.

a). (2 33 4 )X=(12 14

17 19 )

b). X .( 2 −5

−1 3 )=(6 −137 −18 )

c). (2 13 6 )X=( 5 1

12 6 )

5. Carilah nilai x ,y dan z pada sistem persamaan linier berikut dengan cara matriks !

a). {2x−3 y+4 z=83 x+4 y−2 z=5x+2 y+2 z=11

b). { 3 x−4 y−z=115x+2 y+3 z=192x−3 y+4 z=17

c). {2x+3 y=23

2x−2 z=62 y+ z=13

d). {−x+2 z=42 y−3 z=33 x+ y=−3

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

A. Domain Fungsi (DF)

1. F(x) = √ f (x ), DF semua bilangan R, dimana f(x) 0

2. F(x) =

f ( x )g( x ) , DF semua bilangan R, dimana g(x) 0

B. Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

1. (f∘g)(x) = f(g(x))

2. (f∘g∘h)(x) = f(g(h(x)))

3. (f∘g)– 1 (x) = (g– 1∘ f– 1)(x)

4. f(x) =

ax+bcx+d , maka f– 1(x) =

−dx+bcx−a

5. f(x) = alog x, maka f– 1(x) = ax

6. f(x) = ax, maka f– 1(x) = alog x

CONTOH SOAL

1. Jika f(x) = 4x dan f (g ( x ))=− x

2+1

. Tentukan fungsi g(x) .Jawab: f(x) = 4x

f (g ( x ))=− x2+1

Misal g(x) = p

f ( p )=− x2+1

4 p=− x2+1

p=− x

2+1

4

p=g (x )=18(−x+2 )

2. Jika f−1( x )= x−1

5 dan g−1 (x )= 3−x

2 , tentukan nilai (fog)-1 (6) .Jawab:

f−1( x )= x−15 ;

g−1 (x )= 3−x2

(fog)-1 (x) = (g-1 o f-1)(x)

=g−1( x−15 )

=3− x−1

52

=15−x+110

=16−x10

( fog )−1(6 )=16−610

=1010=1

3. Jika ditentukan Jika f ( x )=4 x+1

x−4 dengan x є R dan x ≠ 4, tentukan fungsi f-1(x) = ….Jawab:

f ( x )=4 x+1x−4 , x R, x ≠ 4є

f−1( x )=4 x+1x−4

4. Jika f ( x )=√ x2+1 dan ( fog )( x )= 1

x−2 √ x2−4 x+5

, tentukan fungsi g(x – 3) = ….Jawab:

f ( x )=√ x2+1

f (g ( x ))= 1x−2 √x

2−4 x+5

f (g ( x ))= 1x−2 √x

2−4 x+5

√ g( x2)+1= 1x−2 √x

2−4 x+5

g( x2 )+1= x2−4 x+5x2−4 x+4

g( x2 )= x2−4 x+5x2−4 x+4

−1

g( x2 )= x2−4 x+5−x2+4 x−4x2−4 x+4

g( x )2= 1( x−2 )2

g( x )= 1x−2

g( x )= 1x−5

5. Jika (fog) (x) = 4x2 + 8x – 3 dan g(x) = 2x + 4, tentukan fungsi f-1(x).Jawab: g(x) = 2x + 4

(fog)(x) = 4x2 + 8x – 3

f(g(x)) = 4x2 + 8x – 3

f(2x + 4) = 4x2 + 8x – 3

f ( x )=4( x−42 )

2+8( x−4

2 )−3

= x2 – 8x + 16 + 4x – 16 – 3

= x2 – 4x – 3

= (x – 2)2

Misal f(x) = y

y = (x – 2)2 – 7

y + 7 = (x – 2)2

√ y+7=x−2

√ y+7+2=xf−1( x )=√x+7+2

LATIHAN SOALSOAL PILIHAN GANDA1. Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x2 – 4x. Komposisi (fg)(x) =….

A. 2x2 + 8x + 2B. 2x2 – 8x + 2C. 2x2 – 8 + 1D. 2x2 – 8x –2E. 2x2 – 8x –1

2. Diketahui f : R R, g : R R dirumuskan oleh f(x) = x – 2 dan g(x) = x2 + 4x – 3. Jika (g∘ f)(x) = 2, maka nilai x yang memenuhi adalah …. A. –3 atau 3B. –2 atau 2C. –1 atau 2D. 1 atau –2E. 2 atau –3

3. Jika f(x) = √ x+1 dan (f∘g)(x) = 2√ x−1 , maka fungsi g adalah g(x) = …. A. 2x – 1B. 2x – 3C. 4x – 5D. 4x – 3E. 5x – 4

4. Jika g(x) = x + 3 dan (f∘g)(x) = x2 – 4, maka f(x – 2) = …. A. x2 – 6x + 5B. x2 + 6x + 5C. x2 – 10x + 21D. x2 – 10x – 21E. x2 + 10x + 21

5. Diketahui fungsi f(x) = x+1x−3

, x≠3, dan g(x) = x2 + x + 1. Nilai komposisi fungsi (g f)(2) = ….

A. 2B. 3C. 4D. 7E. 8

6. Jika f ( x )= 1x+2dan f−1 (c )=4 maka nilai c yang memenuhi adalah . . . .

A. – 2B. 2

C.−12

D.12

E. 1

7. Jika f ( x )=53x maka f−1 (5√5 )=. .. .A. – 2B. 2

C.−12

D.12

E. 1

8. Jika f ( x )=x+2 untuk x>0 dan g ( x )=15x untuk x>0 , maka nilai x yang memenuhi

f−1og−1 (x )=1 adalah . . . A. 5B. 4C. 3

D. 2E. 1

9. Jika f ( x )=√x+3 maka f−1 (x )= .. . .A. (x−3)2

B. (x+3)2

C. (3−x)2

D. (3+x )2

E. (−x−3)2

10. Fungsi invers dari f ( x )= 3x+42 x−1 adalah . . . .

A.3 x+42x−1

B.x+4

2x−3

C.3x−42x+1

D.x−4

2x−3

E.x+4

2x+3

SOAL ESSAY

1. Diketahui dan . Tentukan rumus (f o g) (x) dan tentukan pula daerah asalnya (D).

2. Diketahui , dan h(x) = 3x. Tentukanlah (f o g o h) (2)

3. Tentukan rumus fungsi g(x) jika diketahui f(x) = x + 3 dan (fog)(x) = 3x – 5.

4. Diketahui fungsi g(x) = -3x + 4 dan , maka tentukan fungsi .

5. Diketahui f(x) = 2x + 5 dan g(x) = x + 2. Tentukan (fog)-1(x).

BARISAN DAN DERET

A. Barisan Aritmetika dan Geometri

U1, U2, U3, … ,Un adalah barisan suatu bilangan yang memiliki ciri khusus sebagai berikut :

Barisan Ciri utama Rumus suku

ke-n

Suku tengah Sisipan k

bilangan

AritmetikaBeda b = Un – Un –

1

Un = a + (n –

1)b

Ut = 12 (a + U2k – 1) ,

k letak suku

tengah, banyaknya

suku 2k–1

bbaru =

y−xk+1

GeometriRasio r =

Un

Un−1Un = arn–1

Ut = √a⋅U n ,

dengan t = ½(n +

1)

rbaru = k+1√ y

x

Catatan :

1. x dan y adalah dua buah bilangan yang akan di sisipkan k buah bilangan

2. U1 = a = suku pertama suatu barisan

3. Pada barisan aritmetika berlaku Um – Uk = (m – k)b

B. Deret Aritmetika dan Geometri

U1 + U2 + U3 + … + Un adalah penjumlahan berurut (deret) suatu barisan dengan ciri khusus

sebagai berikut :

Deret Jumlah n suku pertama

Aritmetika

Sn = 12 n(a + Un) ……………jika a dan Un

diketahui

= 12 n(2a + (n – 1)b) …………..jika a dan b

diketahui

GeometriSn =

a(rn−1 )r−1 ………………… jika r > 1

=

a(1−rn )1−r …………………jika r < 1

Catatan:

1. Antara suku ke-n dan deret terdapat hubungan yaitu :

Un = Sn – Sn – 1

U1 = a = S1

2. Terdapat deret takhingga suatu barisan geometri yaitu:

S∞=a

1−r

CONTOH SOAL

1. Suku keempat deret aritmatika adalah 9 dan jumlah suku keenam dan kedelapan adalah 30.

Jumlah suku pertama deret tersebut adalah ….

Jawab:

U4 = 9 ⇒ a + 3b = 9

U6 + U8 = 30 ⇒ a + 5b + a + 7b = 30

a + 3b = 9 x 2 2a + 6b = 18

2a + 12b = 30 x 1 2a + 12b = 30 –

- 6 b= - 12

b = 2 ⇒a=3

S20=n2(2a+( n−1)b )

=202((2 )(3)+(19 )(2))=10(6+38 )=440

2. Suku pertama dan suku kedua suatu deret geometri berturut-turut adalah p2 dan px. Jika

suku ke-5 deret tersebut adalah p18, maka x = ….

Jawab:

U1 = a = p2

U2 = a r = px

r=U 2

U1= px

p2= px−2

U5 = a r4 = p18

P18 = p2 (px – 2)4

p18 = p4x – 6

18 = 4x – 6 ⇒ x = 6

3. Suku tengah suatu deret aritmatika adalah 23. Jika suku terakhirnya 43 dan suku ketiganya

13, maka banyak suku deret adalah ….

Jawab:

UT=a+Un

2=23⇒a+U n=46

Un = 43

U3 = a + 2b = 13

a + Un = 46 ⇒ a = 46 – 43 = 3

U3 = 3 + 2b = 13 ⇒ b = 5

Un = a + (n – 1)b

43 = 3 + (n – 1) 5 ⇒ n = 9

4. Agar deret geometri tak hingga dengan suku pertama a mempunyai jumlah 2, maka a

memenuhi …..

Jawab:

S∞= a1−r

=2

a = 2 – 2r atau r=2−a

2

syarat r pada deret geometri tak hingga

- 1 < r < 1

−1< 2−a2

<1

- 2 < 2 – a < 2

- 4 < - a < 0

4 > a > 0

5. Seutas tali dibagi menajdi 10 bagian dengan panjang yang membentuk deret aritmatika.

Jika pita yang terpendek 20 cm dan yang terpanjang 155cm, maka panjang pita semula

adalah ….

Jawab:

Pita terpendek ⇒ U1 = a = 20

Pita terpanjang ⇒ U10 = a + 9b = 155

a + 9b = 155 ⇒ 20 + 9b = 155 ⇒ b = 15

S 10=102(2 . 20+9 . 15)=875

LATIHAN SOAL

SOAL PILIHAN GANDA

1. Suku ke-6 dan ke-12 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 35 dan 65. Suku ke-52

barisan aritmetika tersebut adalah …

A. 245

B. 255

C. 265

D. 285

E. 355

2. Barisan bilangan aritmetika terdiri dari 21 suku. Suku tengah barisan tersebut adalah 52,

sedangkan U3 + U5 + U15 = 106. suku ke-7 barisan tersebut adalah …

A. 27

B. 30

C. 32

D. 35

E. 41

3. Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = n2 + 3n. Suku ke-20 deret

tersebut adalah….

A. 38

B. 42

C. 46

D. 50

E. 54

4. Nilai ∑n=1

8

(2n+3 )= ….

A. 24

B. 28

C. 48

D. 96

E. 192

5. Diketahui suku ketiga dan suku kelima dari deret aritmetika berturut-turut adalah 18 dan

24. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah …

A. 117

B. 120

C. 137

D. 147

E. 160

6. Seorang penjual daging pada bulan Januari menjual 120 kg, bulan Februari 130 kg, Maret

dan seterusnya selama 10 bulan selalu bertambah 10kg dari bulan sebelumnya. Jumlah

daging yang terjual selama 10 bulan adalah …

A. 1.050 kg

B. 1.200 kg

C. 1.350 kg

D. 1.650 kg

E. 1.750 kg

7. Diketahui lima orang bersaudara dengan selisih umur yang sama. Anak termuda berusia 13

tahun dan yang tertua 33 tahun. Jumlah usia mereka seluruhnya adalah …

A. 112 tahun

B. 115 tahun

C. 125 tahun

D. 130 tahun

E. 160 tahun

8. Barisan geometri dengan U7 = 384 dan rasio = 2. Suku ke-10 barisan tersebut adalah…

A. 1.920

B. 3.072

C. 4.052

D. 4.608

E. 6.144

9. Diketahui suku kedua dan suku keenam suatu deret geometri dengan suku positif berturut-

turut adalah 6 dan 96. Jumlah lima suku pertama deret tersebut adalah …

A. 72

B. 93

C. 96

D. 151

E. 160

10. Bakteri jenis A berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap lima menit. Pada waktu lima

belas menit pertama banyaknya bakteri ada 400. Banyaknya bakteri pada waktu tiga puluh

lima menit pertama adalah … bakteri

A. 640

B. 3.200

C. 6.400

D. 12.800

E. 32.000

SOAL ESSAY

1. Rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika adalah Sn=

16n (n + 2)

. Tentukan

beda deret tersebut.

2. Diketahui deret bilangan 10 + 11 + 12 + 13 + .... + 99. Dari deret bilangan itu, tentukan

jumlah bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis 5.

3. Dari suatu barisan geometri ditentukan U1 + U2 + U3 = 9 dan U1 – U2 – U3 = -216. Tentukan

nilai U3 pada barisan geometri tersebut.

4. Antara bilangan 20 dan 116 sisipkan bilangan 11 bilangan. Bilangan ini bersama kedua

bilangan semula membentuk sebuah deret hitung. Tentukan jumlah deret hitung tersebut.

5. Tentukan jumlah n suku pertama dari deret log 2 + log 4 + log 8 + log 16 + ....

Hubungan Antargaris

A. Titik Tengah, Gradien dan Persamaan Garis

1. Titik tengah dari A(x1, y1) dan B(x2, y2) adalah ( x1+x2

2,y1+ y2

2 ).2. Jarak dua titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) adalah √ (x2−x1 )

2+( y2− y1)2.

3. Gradien titik A(x1, y1) dan B(x2, y2):

mAB=y2− y1

x2−x1=tanθ

4. - Gradien sebuah garis benilai positif (+), jika ∆ ydan ∆ x bertanda sama

- Gradien sebuah garis benilai negatif (-), jika ∆ ydan ∆ x berbeda tanda

- Gradien garis yang sejajar sumbu X bernilai nol

- Gradien garis yang sejajar sumbu Y bernilai tidak terdefinisi

5. - Garis-garis yang sejajar mempunyai gradient yang sama, m1 = m2.

- Dua garis saling tegak lurus, maka hasil kali kedua gradient adalah -1 atau m1 x m2 = -1.

6. Hubungan aljabar secara barisan aritmatika yang ada di antara koordinat setiap titik (x,

y) pada suatu garis disebut persamaan garis.

7. - Persamaan garis lurus titik O(0,0): y = mx atau y = tan θ . x.

- Persamaan garis melalui titk (0, c) dan gradient m: y = mx + c.

- Persamaan garis melalui titik (x1, y1) dan bergradien m: y – y1 = m (x – x1).

- Persamaan garis melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2): y− y1

y2− y1=

x−x1

x2−x1

8. Persamaan garis yang memotong sumbu X di titik (a, 0) dan memotong sumbu Y di titik

(0, b): xa+ yb=1

9. Bentuk umum persamaan garis: Ax + By + C = 0

B. Hubungan Antargaris

1. Dua garis sejajar dan berimpit

a. Garis l1 sejajar l2 ↔ A1

B1=

A2

B2≠C1

C2

b. Garis l1 berimpit dengan garis l2 ↔ A1

B1=

A2

B2=C1

C2

2. Jarak titik A (x1, y1) ke garis dengan persamaan Ax + By + C = 0

d=|A x1+B y1+C

√A2+B2 |3. Persamaan garis normal

a. Persamaan normal dari Hess: cos θ + y sin θ = n, n > 0

b. Persamaan normal dari persamaan umum

- Dari garis Ax + By + C = 0: ±[ A√A2+B2

x+ B√A2+B2

y+ C√A2+B2 ]=0

- Dari garis y = mx + n : ±[ m√m2+1

x− 1√m2+1

y+ n√m2+1 ]=0

c. Persamaan parameter: P(x, y) dengan x = x1 + t cos θ

y = y1 + t sin θ

d. Persamaan garis bagi sudut antara dua garis lurus :

A1 x+B1 y+C1

√A12+B1

2=±

A2 x+B2 y+C2

√A22+B2

2

4. Persamaan berkas garis: l1+l2=0.

CONTOH SOAL

1. Tentukan jarak titik P(3,5) dan Q(1,-6).

Jawab

Untuk menentukan jarak titik P dan Q dapat digunakan rumus

|PQ|=√( xQ−x p)2+( yQ− y P)

2

= √(1−3 )2+(−6−5 )2

= √(−2)2+(−11)2

= √4+121

= 5√3

2. Tunjukkan bahwa titik-titik A(3,8), B(-11,3), dan (-8,-2) adalah titik-titik sudut dari segitiga

sama kaki ABC.

Jawab

Dengan menggunakan rumus jarak dua titik, diperoleh |AB|=√221

|BC|= √34 dan |AC| = √221

Karena panjang sisi AB sama dengan panjang sisi AC, maka dapat dikatakan segitiga

tersebut di atas adalah segitiga sama kaki.

3. Tentukan jarak titik (1, 4) ke garis 3x – 5y + 2 = 0.

Jawab:

d =

|Ax1+By1+C|

√A2+B2

=

|3⋅1−5⋅4+2|

√32+(−5)2 =

|−15|√34 =

15√34 .

4. Tentukan semua panjang garis tinggi dari segitiga dengan koordinat titik-titik sudutnya

A(1, –1), B(4, 6), dan C(–1, 7).

Jawab:

C

B

A

Kita cari persamaan masing-masing garis sisi segitiga ABC.

Persamaan garis AB adalah

y− y1

y2− y1 =

x−x1

x2−x1

y−(−1 )6−(−1 ) =

x−14−1

7x – 3y – 10 = 0

Kemudian kita hitung jarak titik C(–1, 7) terhadap garis 7x – 3y – 10 = 0

Maka diperoleh

d(C, AB) =

|Ax1+By1+C|

√A2+B2

=

|7⋅(−1)−3⋅7−10|

√72+(−3 )2 =

38√58 .

LATIHAN SOAL

SOAL PILIHAN GANDA

1. Persamaan garis yang melalui (0, 0) dan (5, -3) adalah ….

A. 5x + 3y = 0

B. 5x - 3y = 0

C. 3x + 5y = 0

D. 3x - 5y = 0

E. 3x + 5y + 2 = 0

2. Garis yang melalui titik-titik A(3, 1), dan B (9, 3) dan garis yang melalui titik-titik C(6, 0)

dan D(0, 2) adalah berpotongan pada titik ….

A. (1, 3)

B. (6, 0)

C. (6, 2)

D. (3, 1)

E. (9, 3)

3. Titik-titik sudut ABC masing-masing adalah A(2, 5), B(-1, 3), dan C(3, 1). Persamaan garis

berat ABC yang melalui titik A adalah ….

A. 3x + y - 11 = 0

B. 3y + x - 17 = 0

C. 3x - y - 1 = 0

D. 3y - x - 13 = 0

E. 3x - y + 11 = 0

4. Garis lurus y = ax + b memotong sumbu X di titik x = 3 dan membentuk sudut 300 terhadap

sumbu X positif. Nilai dari (3a + b) adalah ….

A. −√3

B. 0

C. 1

D. √2

E. √3

5. Garis ax + 3y – 5 = 0 dengan garis 2x – by – 9 = 0 berpotongan di titik (2, -1). Nilai (a + b)

adalah ….

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

E. 10

6. Persamaan garis yang melalui titik potong garis y = 2x – 8 dn garis 4y = x – 18 serta sejajar

garis x + 3y = 6 adalah ….

A. x + 3y + 10 = 0

B. 2x + 3y + 10 = 0

C. 3x – y + 10 = 0

D. 3x – 2y – 10 = 0

E. X – 3y + 10 = 0

7. Garis yang melalui titik A(3, 1) dan B(9, 3) serta garis yang melalui titik C(6, 0) dan D(0, 2)

akan berpotongan di titik ….

A. (1, 3)

B. (3, 1)

C. (6, 0)

D. (6, 2)

E. (9, 3)

8. Jika jarak dari titik (0, 0) ke garis y = −3a

x+3 sama dengan setengah panjang potongan

garis yang menghubungkan titik-titik (a, 0) dan (0, 3), maka nilai mutlak a sama dengan ….

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5

9. Koordinat titik pada garis y = 2x – 15 yang terdekat dengan titik (0, 0) adalah ….

A. (-2, -19)

B. (2, -11)

C. (-4, -11)

D. (4, -7)

E. (6, -3)

10. A(3, 2), B(6,5), dan D terletak pada garis AB dengan AD : DB = 2 : 1. Persamaan garis yang

melalui D dan tegak lurus 3x – 2y + 4 = 0 adalah ….

A. 3y – 2x + 22 = 0

B. 3y + 2x - 22 = 0

C. 2y + 3x - 22 = 0

D. 2y – 3x + 22 = 0

E. 2y + 3x + 22 = 0

SOAL ESSAY

1. Carilah titik P pada masing-masing kurva :

a. y = x3 dengan (1, 1) membentuk garis lurus bergradien ¾ .

b. y = √ x dengan (1, 1) membentuk garis lurus bergradien ¼ .

2. Jika 1a+ 1b=1, tunjukkan bahwa ketiga titik (a, 0), (b, 0) dan (1, 1) segaris (kolinier).

b

c

b

a. 2 sudut dan satu sisi b. 2 sisi dan satu sudut di depan sisi sisi

c

b

c

b

a. sisi sisi sisi b. sisi sudut sisi

a

3. Diberikan ABC sama sisi dengan titik A (0, 1) dan B (4, 5), sedangkan titik C di kuadran 1.

Tuliskan persamaan garis tinggi ABC dan koordinat titik tingginya.

4. Carilah persamaan garis lurus yang melalui titik potong antara garis x – 3y + 1 = 0 dan 2x +

5y – 9 = 0 dan berjarak √5 terhadap titik pusat (0, 0).

5. Carilah sudut apit yang dibentuk oleh garis 2x + y – 12 = 0 dan 3x – y – 2 = 0.

RUMUS–RUMUS DALAM SEGITIGA

A. Aturan Sinus

1. Aturan sinus :

asin A=

bsin B=

csinC=2 r

Aturan sinus digunakan apabila kondisi segitiganya adalah:

B. Aturan Kosinus

2. Aturan Kosinus : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

Aturan kosinus digunakan jika kondisi segitiganya:

3. Luas segitiga

a) L = ½ a · b sin C : dengan kondisi “sisi sudut sisi”

b) L =

a2⋅sinB⋅sinC2sin (B+C ) : dengan kondisi “sudut sisi sudut”

c) L = √s (s−a)( s−b )(s−c ), s = ½(a + b + c) : dengan kondisi “sisi sisi sisi”4. Luas segi n beraturan

L = n×1

2 r2sin (360

n )∘

CONTOH SOAL

1. Pada segitiga ABC, b = 1, ∠B=300 ,∠C=53 ,10. Hitunglah c.

Jawab :

bSinB

= cSinC ⇔

c=bSinCSinB

=

12Sin53 ,1Sin30

=

12 .0,80,5

=

9,60,5

= 19 ,2

2. Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c = 46. ∠B=68 ,2 . Hitunglah ∠C .

Jawab :

bSinB

= cSinC ⇔ Sin C =

cSinBb

=46 Sin68 ,265

=

46 x 0 ,92865

=

42 ,71065

= 0 ,657

∠C = 41,1

3. Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm, ∠ A = 600. Hitung panjang BC

Jawab :

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

= 52 + 82 – 2.5.8. cos 60

= 25 + 64 – 80. ½

= 89 – 40

= 49

a = 7 cm

4. Diketahui segitiga ABC dengan c = 5 cm, ∠ A=65 ,∠B=60 . Tentukan luasnya.

Jawab :

∠C=180−65−60=55

L= c2 . sin A . sin B2 sinC

L=52 . sin 65 .sin 602 sin55

L=25 .0 ,425 .0 ,870 ,82

L=11 ,27

5. Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm.

Jawab :

s = ½ (a + b + c) = ½ (3 + 4 + 5) = 6

L=√s .(s−a) .(s−b ) .(s−c )

L=√6 .(6−3 ).(6−4 ) .(6−5) L=√6 . 3 .2 .1

L=√36=6 cm2

LATIHAN SOAL

SOAL PILIHAN GANDA

1. Diketahui segi enam beraturan. Jika jari–jari lingkaran luar segienam beraturan adalah 10

satuan, Maka luas segienam beraturan tersebut adalah …

A. 150 satuan luas

B. 150√2 satuan luas

C. 150√3 satuan luas

D. 300 satuan luas

2

60

30

10 cm

45D C

B

A

E. 300√2 satuan luas

2. Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari–jari lingkaran luar 8 cm adalah …

A. 192 cm2

B. 172 cm2

C. 162 cm2

D. 148 cm2

E. 144 cm2

3. Panjang jari–jari lingkaran luar segi delapan beraturan adalah 6 cm. Keliling segi delapan

tersebut adalah ….

A. 6 √2−√2 cm

B. 12 √2−√2cm

C. 36 √2−√2cm

D. 48 √2−√2cm

E. 72 √2−√2cm

4. Keliling suatu segienam beraturan adalah 72 cm. Luas segi enam tersebut adalah ...

A. 432√3cm2

B. 432cm2

C. 216√3cm2

D. 216√2cm2

E. 216 cm2

5. Diberikan segiempat ABCD seperti pada gambar!

Panjang BC adalah …

A. 4√2cm

P

Q

R

S

B. 6√2cm

C. 7√3cm

D. 5√6 cm

E. 7√6 cm

6.

Diketahui segiempat PQRS dengan PS = 5cm, PQ = 12 cm, QR = 8cm, besar sudut SPQ = 90,

dan besar sudut SQR = 150. Luas PQRS adalah …

A. 46 cm2

B. 56 cm2

C. 100 cm2

D. 164 cm2

E. 184 cm2

7. Diketahui segitiga ABC dengan AB = 7 cm, BC = 5 cm, dan AC = 6 cm. Nilai sin BAC=...

A. 57

B. 27 √6

C. 2449

D. 27

E. 17 √6

8. Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang sisinya 5 cm, 6 cm, dan √21cm adalah …

A.15 √21

B.16 √21

C.15 √5

D.16 √5

E.13 √5

9. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B sejauh 60 mil dengan arah 40 dari

A, kemudian berputar haluan dilanjutkan ke pelabuhan C sejauh 90 mil, dengan arah 160

dari B. Jarak terdekat dari pelabuhan A ke C adalah … mil

A. 30√2

B. 30√5

C. 30√7

D. 30√10

E. 30√30

10. Dua buah mobil A dan B, berangkat dari tempat yang sama. Arah mobil A dengan mobil B

membentuk sudut 60. Jika kecepatan mobil A = 40 km/jam, mobil B = 50 km/jam, dan

setelah 2 jam kedua mobil berhenti, maka jarak kedua mobil tersebut adalah … km

A. 10√21

B. 15√21

C. 20√21

D. 10√61

E. 20√61

SOAL ESSAY

1. Pada segitiga lancip ABC diketahui panjang sisi AC = 4cm, AB = 5 cm, dan cos B = 45 , tentukan

nilai cos C.

2. Diketahui PQR dengan PQ = 464√2 m, PQR = 105º, dan RPQ = 30º. Tentukan panjang

QR.

3. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi a = 13 cm, b = 14 cm, dan c = 15 cm, tentukan

panjang garis tinggi BD.

4. Pada segitiga ABC diketahui sisi AB = 6 cm, AC = 10 cm, dan sudut A = 60. Tentukan

panjang sisi BC.

5. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm, AC = 4 cm, dan CAB = 60. CD

adalah tinggi segitiga ABC. Tentukan panjang CD.

STATISTIKA

A. Menyajikan data ukuran menjadi data statistik diskriptif

1. Memahami Statistik, populasi dan sampel

Statistika adalah ilmu pengetahuan tentang cara-cara pengumpulan data, pengumpulan

data, penyusunan data, penyajian data serta penarikan kesimpulan.

Statistik adalah kumpulan fakta yang umumnya berbentuk bilangan / agka dan

disajikan dalam bentuk table atau diagram sehingga dapat menggambarkan suatu

masalah.

Populasi adalah keseluruhan objek yang akan diteliti.

Sampel adalah sebagian dari populasi yang benar-benar diteliti

Penyajian data dalam bentuk diagram

a.Data Ukuran (Kontinu) dan Data Cacahan(Deskrit)

Data adalah keterangan atau fakta mengenai sesuatu persoalan

Data kualitatif adalah data kategori missal; rusak, baik, senang, puas.

Data kuantitatif adalah data berbentuk bilangan missal: dat berat badan, banyak

siswa dll.

Ada 2 jenis data kuantitatif:

1. Data ukuran ( kontinu) yaitu data yang diperoleh dengan cara mengukur. Misal:

tinggi menara 30 m, berat badan 50 kg dll.

2. Data cacahan ( deskrit) yaitu data yang diperoleh dengan cara menghitung.

Misal: jumlah siswa kls XI IPA 1 ada 30 anak

SMA 13 mempunyai 20 ruang kelas.

b. Diagram Batang, Diagram Lingkaran dan Diagram Garis

1. Diagram Batang adalah penyajian data statistic yang menggunakan persegi

panjang atau batang dengan lebar batang sama dengan jarak antara batang yang

satu dengan yang lainnya, serta dilengkapi dengan skala sehingga ukuran

datanya dapat dilihat dengan jelas.

1st Qtr 2nd Qtr 3rd Qtr 4th Qtr0

102030405060708090

East

West

North

2. Diagram Lingkaran adalah penyajian data statistic dengan menggunakan gambar

yang berbentuk daerah lingkaran.

3. Diagram Garis adalah penyajian data statistic dengan menggunakan gambar

berbentuk garis lurus.

4. Diagram Batang Daun yaitu teknik penyajian data dalam bentuk batang dan daun

yang bertujuan untuk menampilkan data yang akurat darai suatu opservasi.

5. Diagram Kotak Garis (DKG) adalah diagram yang berupa kotak dan garis dengan

ketentuan sbb:

Data statistik yang dipakai untuk menggambar DKG adalah statistic lima

serangkai

Diagram tersebut berbentuk seperti kotak seperti persegi panjang dan

mempunyai ekor ke kiri dan ke kanan yang berupa garis.

DKG meliputi jangkauan antar kuartil atau hamparan dan data yang berada di

dalam kotak adalah median dan kuartil bawah (Q1) serta kuartil atas (Q3).

Persegi panjang yang mempunyai ekor memeanjang kekiri dan kekanan

mencakup semua data ( kecuali pencilan)

Pencilan adalah data yang letaknya diluar pagar dalam dan pagar luar

biasanya diberi tanda * .

Data Distribusi Frekuensi, Frekuensi Relatif dan Frekuensi Kumulatif

a. Daftar Distribusi Frekuensi Tunggal

Nilai ulangan matematika dari 40 siswa :

8 5 7 4 4 5 7 7 6 4 7 6 6 5 4 8 8 7 6 5

5 6 7 8 4 5 7 6 7 6 7 7 6 6 8 6 6 4 4 5

Data di atas dapat disajikan dalam bentuk distribusi frekuensi data tunggal:

Nilai Turus Frekuensi

4

5

6

7

8

7

7

11

10

5

Jumlah ∑f = 40

b. Daftar Distribusi Frekuensi Data Kelompok

Nilai ulangan matematika dari 100 siswa:

Nilai Frekuensi

30 – 34

35 – 39

40 – 44

45 – 49

50 – 59

60 – 64

65 – 69

70 – 74

3

7

12

17

25

18

13

5

Jumlah ∑f = 100

Beberapa istilah yang ada frekuensi data kelompok:

1. Kelas interval

Kelompok-kelompok data seperti 30 – 34, 35 – 39, …, 70 – 74 disebut kelas

interval.

2. Batas kelas

Bilangan 30, 35, …70 disebut batas bawah kelas, sedangkan 34, 39, … ,74 batas

atas kelas.

3. Tepi kelas

Tepi bawah = batas bawah - 0,5 satuan terkecil.

Tepi atas = batas atas – 0,5 satuan terkecil.

4. Panjang kelas / lebar kelas

Panjang kelas = tepi atas – tepi bawah kelas

5. Titik tengah kelas

Titik tengah kelas = ½ ( batas bawah + batas atas )

Langkah-langkah untuk membuat daftar distribusi frekuensi data kelompok:

a) Menentukan jangkauan

J = X max – X min = Xn – X1

b) Menentukan banyaknya kelas interval

Biasanya diambil paling sedikit 5 kelas dan paling banyak 15 kelas.

Atau menggunakan aturan Strungers:

k = 1+ 3,3 log n

k = banyaknya kelas

n = banyaknya data

c) Menentukan panjang kelas interval

p = jangkauan . banyaknya kelas

d) Menentukan batas kelas dimana semua nilai tercakup di dalamnya.

e) Menentukan nilai frekuensi tiap kelas dengan turus.

c. Distribusi Frekuensi Relatif

Frekuensi relatif adalah banyaknya data (frekuensi ) yang dihitung dengan prosen.

Frekuensi Relatif = fi . x 100% ∑fi

d. Distribusi frekuensi kumulatif

Ada 2 macam daftar distribusi frekuensi kumulatif yaitu:

1. Daftar distribusi frekuensi kumulatif kurang dari.

2. Daftar distribusi frekuensi kumulatif lebih dari.

e. Histogram, Polygon Frekuensi dan Ogive

Histogram merupakan diagram batang dimana batang-batangnya saling

dihimpitkan.Apabila tengah tiap sisi atas batang dihubungkan satu sama lain

diperoleh polygon frekuensi.

Ogive positive merupakan grafik yang disusun berdasarkan table frekuensi

kumulatif kurang dari.

Ogive negative merupakan grafik yang disusun berdasarkan table frekuensi

kumulatif lebih dari.

B. Ukuran Pemusatan Data

1. Rata–rata (Mean)

a. Data tunggal: X=

x1+x2+ x3+.. .+xnn

b. Data terkelompok:

Cara konvensional Cara sandi

X=∑ f i⋅xi∑ f i

X=X s+(∑ f i⋅u i

∑ f i )cKeterangan:

fi = frekuensi kelas ke–i

xi = Nilai tengah data kelas ke–i

X s= Rataan sementara , pilih xi dari data dengan fi

terbesar

ui = …, –2, –1, 0, 1, 2 … , disebut kode. 0 merupakan kode untuk

X sc = panjang kelas interval

c. Rataan Gabungan (penggabungan rata–rata 2 atau lebih kelompok data)

X g=n1⋅x1+n2⋅x2+n3⋅x3+.. .

n1+n2+n3+.. .

dengan n1, n2, n3, … : banyaknya data kelompok 1, kelompok 2, kelompok 3 … dst

x1 , x1, x

1. . .

: nilai rata–rata data kelompok 1, kelompok 2, kelompok 3 … dst.

2. Median

Median adalah data yang berada tepat ditengah, setelah data tersebut diurutkan.

a. Data tunggal: x1, x2, x3, …, xn:

median merupakan data ke ½(n + 1) atau Me = X 1

2 (n+1)

b. Data terkelompok: Me = Q2

Q2 = LQ2+(

12 N−∑ f k

f Q 2)c

Keterangan :

fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil

fQ2= Frekuensi kelas kuartil ke 2

N = Jumlah seluruh data

LQ2= tepi bawah kelas yang memuat kelas kuartil ke 2

c = panjang kelas interval

3. Modus

Modus adalah data yang sering muncul atau berfrekuensi terbesar.

Data terkelompok:

Mo = Lmo+( d1

d1+d2)c

Keterangan :

Lmo = tepi bawah kelas modus

d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

4. Kuartil

Kuartil adalah membagi bentangan data menjadi empat bagian sama panjang setelah

data tersebut di urutkan dari yang terkecil (Xmin) sampai yang terbesar (Xmaks), seperti

pada bagan di bawah ini.

Xmin, Q1, Q2, Q3, dan Xmaks disebut dengan statistika 5 serangkai:

a. Data tunggal:

1) Tentukan median (Q2) dengan cara membagi bentangan data menjadi dua

bagian

2) Q1 (kuartil bawah) merupakan median data bentangan sebelah kiri

3) Q3 (kuartil atas) merupakan median data bentangan sebelah kanan

b. Data terkelompok

Qi = LQi+(

i4 N−∑ f k

f Qi)c

Keterangan :

i = jenis kuartil (1, 2, atau 3)

fk = Frekuensi kumulatif sebelum

kelas kuartil

fQi = Frekuensi kelas kuartil

N = Jumlah seluruh data

LQi= tepi bawah kelas yang

memuat kelas kuartil

c = panjang kelas interval

B. Ukuran Penyebaran Data

1. Jangkauan atau Rentang (R)

R = Xmaks – Xmin

dengan

Xmaks : statistik maksimum atau data yang terbesar

Xmin : statistik minimum atau data yang terkecil

2. Hamparan atau Rentang Antar Kuartil atau

Jangkauan Antar Kuartil (H)

H = Q3 – Q1

Dengan

Q1 : kuartil pertama atau kuartil bawah

Q3 : kuartil ketiga atau kuartil atas

3. Simpangan Kuartil atau Rentang Semi Antarkuartil (Qd)

Qd = 12 (Q3−Q1)

4. Simpangan Rata–Rata (Sr)

a. Data tunggal :Sr =

∑|xi−x|n ;

b. Data terkelompok :

Sr =

∑ f i|x i−x|N ;

5. Standar Deviasi atau Deviasi Standar atau Simpangan Baku (S)

a. Data tunggal

i) Ragam atau Variansi : S2 =

∑ ( x i−x )2

n

ii) Simpangan baku : S = √S2

b. Data Terkelompok

i) Ragam atau Variansi : S2 =

∑ f i ( xi−x )2

∑ f i

ii) Simpangan baku : S = √S2

CONTOH SOAL

1. Nilai rata-rata ulangan matematika dari 35 siswa adalah 58. Jika nilai Ani dan Budi

digabungkan dengan kelompok tersebut, maka nilai rata-ratanya menjadi 59. Berapa nilai

rata-rata Ani dan Budi?

Jawab :

Rata-rata nilai ulangan matematika 35 siswa = 58.

Rata-rata nilai Ani dan Budi adalah

2. Nilai ujian suatu mata pelajaran diberikan dalam tabel berikut.

Nilai 5 6 7 8 9 10

Frekuens

i

3 5 4 6 1 1

Jika nilai siswa yang lebih rendah dari rata-rata dinyatakan tidak lulus, tentukan banyaknya

siswa yang lulus.

Jawab :

Banyaknya siswa yang nilainya < 7 adalah 8.

3. Data berikut adalah tinggi badan sekelompok siswa. Jika median data di bawah 163,5 cm,

tentukan nilai k.

Tinggi (cm) Frekuensi

151 – 155 5

156 – 160 20

161 – 165 k

166 – 170 26

171 – 175 7

Jawab :

tinggi

(cm)

frek

151 – 155

156 – 160

161 – 165

166 – 170

171 – 175

5

20

k

26

7

Me = 163,5 kelas median adalah kelas ketiga

4. Nilai rata-rata dari 20 bilangan adalah 14,2. Jika rata-rata dari 12 bilangan pertama adalah

12,6 dan rata-rata dai 6 bilangan berikutnya adalah 18,2, berapa rata-rata dari 2 bilangan

terakhir?

Jawab :

Rata-rata 12 bilangan pertama = 12,6

Rata-rata 6 bilangan berikutnya = 18,2

5. Tentukan modus dari data dalam tabel berikut.

Interval Frekuensi

61 – 65 8

66 – 70 12

71 – 75 18

76 – 80 14

Jawab :

Interval frek

61 – 65 8

66 – 70 12

71 – 75 18

76 – 80 14

kelas modus

LATIHAN SOAL

SOAL PILIHAN GANDA

1. Berat badan dari 40 siswa dalam kg tercatat pada tabel di samping. Rataan berat badan

tersebut adalah …

Berat

(kg)fi

35 – 39 4

40 – 44 11

45 – 49 12

50 – 54 7

55 – 59 4

60 – 64 2

a. 46,20

b. 47

c. 47,25

d. 47,50

e. 49,50

2. Pada ulangan matematika, diketahui nilai rata–rata kelas adalah 58. Jika rata–rata nilai

matematika untuk siswa laki–laki 64 dan rata–rata untuk siswa perempuan 56, maka

perbandingan banyak siswa laki–laki dan perempuan adalah …

a. 1 : 6

b. 1 : 3

c. 2 : 3

d. 3 : 2

e. 3 : 4

3. Perhatikan tabel berikut!

Median dari data yang disajikan berikut adalah …

Nilai Frekuensi

20 – 24 2

25 – 29 8

30 – 34 10

35 – 39 16

40 – 44 12

45 – 49 8

50 – 54 4

a. 32

b. 37,625

c. 38,25

d. 43,25

e. 44,50

4. Modus dari data pada tabel berikut adalah ....

Ukuran Frekuensi

1 – 5 3

6 – 10 17

11 – 15 18

16 – 20 22

21 – 25 25

26 – 30 21

31 – 35 4

a. 20,5 + 34⋅5

b. 20,5 + 325⋅5

c. 20,5 + 37⋅5

d. 20,5 –

34⋅5

e. 20,5 – 37⋅5

5

.

Modus dari data pada gambar adalah ….

a. 13,05

b. 13,50

c. 13,75

d. 14,05

e. 14,25

6. Distribusi nilai ulangan matematika di kelas XIIA :

Nilai Frekuensi

50 – 54 2

55 – 59 4

60 – 64 8

65 – 69 16

70 – 74 10

75 – 79 2

Modus dari data pada tabel adalah ….

a. 64,5 + 6⋅86

b. 64,5 + 5⋅86

c. 64,5 + 5⋅8

8+6

d. 64,5 – 6⋅

88+6

e. 64,5 – 5⋅

88+6

7

.

Nilai ulangan harian dari suatu kelas disajikan dengan histogram seperti pada

gambar. Kuartil bawah data tersebut adalah….

a. 76

b. 74,5

c. 73,5

d. 72,5

e. 71,5

8. Perhatikan tabel berikut!

Nilai kuartil atas (Q3) dari data yang disajikan adalah ….

NilaiFre

k

40 – 49 7

50 – 59 6

60 – 69 10

70 – 79 8

80 – 89 9

Jumlah 40

a. 54,50

b. 60,50

c. 78,25

d. 78,50

e. 78,75

13,5 18,5 23,5 28,5 33,5 Nilai

f

34

10

6

9.

Modus dari data pada histogram di atas adalah ….

a. 25,0

b. 25,5

c. 26,0

d. 26,5

e. 27,0

10. Varians dari data 5,6,8,9,6,4,4, adalah ….

A. 3,14

B. 3,00

C. 2,86

D. 2,71

E. 2,57

SOAL ESSAY

1. Lima orang karyawan A, B, C, D, dan E mempunyai pendapatan sebagai berikut.

Pendapatan A ½ pendapatan E.

Pendapatan B lebih Rp100.000,00 dari A.

Pendapatan C lebih Rp150.000,00 dari A.

Pendapatan D kurang Rp180.000,00 dari A.

Bila rata-rata pendapatan kelima karyawan tersebut Rp525.000,00 maka berapa

pendapatan karyawan D.

2. Tahun yang lalu gaji permulaan 5 orang karyawan dalam ribuan rupiah sebagai berikut:

480, 360, 650, 700, 260. Tahun ini gaji mereka naik 15% bagi yang sebelumnya bergaji

kurang dari Rp500.000,00 dan 10% bagi yang sebelumnya bergaji lebih dari Rp500.000,00.

Tentukan rata-rata besarnya kenaikan gaji mereka per bulan.

3. Dari hasil ujian 30 siswa diperoleh data berikut.

Nilai Ujian Frekuensi21 – 30 131 – 40 141 – 50 A51 – 60 961 – 70 B71 – 80 681 – 90 2

Siswa yang dinyatakan lulus bilamana nilai lebih dari 60. Jika banyaknya siswa yang lulus

adalah 16 orang, tentukan nilai AB.

4. Diberikan data pada table berikut.

Nilai Frekuensi

20 – 24 2

25 – 29 8

30 – 34 10

35 – 39 16

40 – 44 12

45 – 49 8

50 – 54 4

Tentukan median dari data di atas.

5. Data yang diberikan dalam tabel frekuensi sebagai berikut.

Kelas Frekuensi20 – 29 330 – 39 740 – 49 850 – 59 1260 – 69 970 – 79 680 – 89 5

Tentukan modus dari data pada tabel di atas.

KAIDAH PENCACAHAN

A. Aturan perkalian

Apabila suatu peristiwa dapat terjadi dengan n tahap yang berurutan, dimana tahap

pertama terdapat a1 cara yang berbeda dan seterusnya sampai dengan tahap ke–n dapat

terjadi dalam an cara yang berbeda , maka total banyaknya cara peristiwa tersebut dapat

terjadi adalah a1 × a2 × a3 × ... × an.

B. Permutasi

Permutasi adalah pola pengambilan yang memperhatikan urutan (AB BA), jenisnya ada 3, yaitu:

a) Permutasi dari beberapa unsur yang berbeda;nPr=

n!(n−k )!

b) Permutasi dengan beberapa unsur yang sama; nPn1

, n2, n3

= n!n1 ! n1! n1! ,n1 + n2 + n3 + …

n

c) Permutasi siklis (lingkaran); nPsiklis=(n−1 )!

C. Kombinasi Kombinasi adalah pola pengambilan yang tidak memperhatikan urutan (AB = BA).

Kominasi dari beberapa unsur yang berbeda adalah nC r=

n !(n−r )!⋅r !

CONTOH SOAL

1. Bilangan terdiri dari tiga angka disusun dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7 dan 9. Banyaknya

bilangan dengan angka-angka yang berlainan yang lebih kecil dari 400 adalah ….

Jawab :

Banyaknya bilangan 3 angka berlainan yang lebih kecil dari 400 disusun dari angka-angka

2, 3, 5, 6, 7, dan 9 adalah

2 5 4

2 × 5 × 4 = 40

2. Dari sekelompok remaja terdiri atas 10 pria dan 7 wanita, dipilih dua pria dan 3 wanita.

Banyaknya cara pemilihan adalah ….

Jawab :

Terdapat 10 pria dan 7 wanita. Banyaknya cara memilih 2 pria dan 3 wanita adalah:

3. Banyaknya segitiga yang dapat dibuat dari 7 titik tanpa ada tiga titik yang terletak segaris

adalah ….

Jawab :

Banyaknya segitiga yang dibuat dari 7 titik tanpa ada tiga titik yang segaris adalah:

4. Seorang murid diminta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan, tetapi nomor 1 sampai dengan

nomor 5 harus dikerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid tersebut adalah . …

Jawab :

Butir soal ulangan dikerjakan 9 dari 10 nomor, tetapi namun 1 sampai 5 harus dikerjakan.

Banyaknya pilihan soal:

9 – 5 = 4 butir soal

Banyaknya pilihan yang dapat diambil adalah

5. Seorang murid diminta mengerjakan 5 dari 6 soal ulangan tetapi soal nomor 1 harus

dipilih. Banyak pilihan yang dapat diambil murid tersebut adalah .…

Jawab :

Dari 6 butir soal ualngan, wajib dikerjakan 5 butir tetapi nomor urut 1 harus dipilih.

Banyaknya pilihan dari butir soal yang tersisa: 6 – 1 = 5.

Banyaknya pilihan yang dapat diambil:

LATIHAN SOAL

SOAL PILIHAN GANDA

1. Bilangan terdiri dari 4 angka disusun dari angka–angka 1,2,3,5,6,dan 7. Banyak susunan

bilangan dengan angka–angka yang berlainan (angka–angkanya tidak boleh berulang)

adalah …

A. 20

B. 40

C. 80

D. 120

E. 360

2. Dari angka–angka : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka

dengan tidak ada angka yang berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 320

adalah …

A. 60

B. 80

C. 96

D. 109

E. 120

3. Dalam ruang tunggu, terdapat tempat duduk sebanyak kursi yang akan diduduki oleh 4

pemuda dan 3 pemudi. Banyak cara duduk berjajar agar mereka dapat duduk selang–seling

pemuda dan pemudi dalam satu kelompok adalah …

A. 12

B. 84

C. 144

D. 288

E. 576

4. Banyak susunan kata yang dapat di bentuk dari kata”WIYATA” adalah….

A. 360 kata

B. 180 kata

C. 90 kata

D. 60 kata

E. 30 kata

5. Dalam sebuah keluarga yang terdiri dari Ayah, Ibu, dan 5 orang anaknya akan makan

bersama duduk mengelilingi meja bundar. Jika Ayah dan Ibu duduknya selalu

berdampingan, maka banyak cara mereka duduk mengelilingi meja bundar tersebut

adalah....

A. 120

B. 240

C. 720

D. 1.020

E. 5.040

6. Dari 10 orang finalis suatu lomba kecantikan akan dipilih secara acak 3 yang terbaik.

Banyak cara pemilihan tersebut ada … cara

A. 70

B. 80

C. 120

D. 160

E. 220

7. Sebuah kotak berisi 4 bola putih dan 5 bola biru. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus,

banyak cara pengambilan sedemikian hingga sedikitnya terdapat 2 bola biru adalah …

A. 10 cara

B. 24 cara

C. 50 cara

D. 55 cara

E. 140 cara

8. Dalam suatu ujian terdapat 10 soal, dari nomor 1 sampai nomor 10. Jika soal nomor 3, 5,

dan 8 harus dikerjakan dan peserta ujian hanya diminta mengerjakan 8 dari 10 soal yang

tersedia, maka banyak cara seorang peserta memilih soal yang dikerjakan adalah …

A. 14B. 21C. 45D. 66E. 2.520

9. Pada sebuah bidang datar terdapat 15 titik yang berbeda. Melalui setiap 2 titik yang

berbeda dibuat sebuah garis lurus. Jumlah garis lurus yang dapat dibuat adalah …

A. 210

B. 105

C. 90

D. 75

E. 65

10. Dari 10 calon pengurus OSIS akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara. Banyak cara

memilih pengurus OSIS adalah …

A. 720 cara

B. 70 cara

C. 30 cara

D. 10 cara

E. 9 cara

SOAL ESSAY1. Tentukan nilai n yang memenuhi

a.

n !(n-1) !

=25 b.

(n+1 ) !(n-1) !

=6

2. Empat buah bendera terdiri dari 2 bendera Indonesia, 1 bendera Jepang dan 1 bendera

Australia. Akan dipasang pada 4 tiang yang sudah tersedia. Berapa banyak cara menyusun

bendera itu pada tiang yang disusun berderet, bila :

a. Bendera bebas diletakkan.

b. Bendera Indonesia harus diletakkan di tepi.

3. 5 pria dan 4 wanita akan duduk acara melingkar. Berapa macam posisi duduk mereka jika

orang yang jenis kelaminnya sama harus duduk berdekatan ?

4. Sebuah tim sepakbola terdiri dari 15 orang pemain, dan 2 diantaranya hanya bisa bermain

sebagai penjaga gawang sedang yang lain dapat bermain sembarang. Berapa cara team

sepakbola itu dapat disusun ?

5. Sebuah kotak berisi : 7 bola merah, 6 bola putih dan 4 bola biru. Berapa banyak cara, jika 3

bola diambil dan didapat :

a. 1 bola merah, 1 bola putih dan 1 bola biru

b. Ketiganya bola merah

LINGKARAN

A. Persamaan Lingkaran1. Lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari–jarinya (r)

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

2. Bentuk umum persamaan lingkaranx2 + y2 + Ax + By + C = 0

Pusat (– ½ A, –½B) dan jari–jari: r = √( 12 A )

2+( 12 B )

2−C

3. Jarak titik P(x1,y1) terhadap garis ax + by + c = 0 adalah:

r=|ax1+by1+c

√a2+b2|

B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

1. Garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x1, y1) pada lingkaran

a) Garis singgung lingkaran: x2 + y2 = r2

x x1 + y y1 = r2

b) Garis singgung lingkaran : (x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2

c) Garis singgung lingkaran : x2 + y2 + Ax + By + C = 0

xx1 + yy1 + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0

2. Garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x1, y1) di luar lingkaran, langkah–

langkahnya:

a. Tentukan persamaan garis kutub = garis singgung lingkaran pada a)

b. Substitusikan persamaan garis kutub yang telah diperoleh ke persamaan lingkaran,

maka akan diperoleh dua buah titik singgung pada lingkaran.

c. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui kedua titik yang telah diperoleh.

3. Garis singgung lingkaran dengan gradien m diketahui

Garis singgung lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dengan gradien m

y – b = m(x – a) r√m2+1

CONTOH SOAL

1. Persamaan lingkaran berikut yang berpusat di O(0, 0) dan meyinggung garis 12x – 5y – 39

= 0 adalah ….

Jawab :

Pusat di O(0, 0) dan meyinggung garis 12x – 5y – 39 = 0

Jadi persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 9

2. Persamaan lingkaran yang berpusat di P(5, -1) dan melalui A(-1, 7) adalah ….

Jawab :

Berpusat di P(5, -1) dan melalui A(-1, 7), maka r = panjang PA =|PA|. Dengan menggunakan

jarak dua titik diperoleh r = √(−1−5 )2+(7−(−1 ))2 = 10

Persamaan Lingkaran : ( x−a )2+( y−b )2=r2

(x – 5)2 + (y + 1)2 = 102

(x – 5)2 + (y + 1)2 = 100

r

O

Y 12x – 5y – 39 = 0

X

Karena menyinggung garis 12x – 5y – 39=0 maka r merupakan jarak titik pusat O(0, 0) dengan garis 12x – 5y – 39 = 0. Dengan menggunakan rumus jarak titik terhadap garis diperoleh jar-jari :

r = |ax1+by 1+c

√a2+b2|

r = |12 .0+(−5) . 0+(−39 )

√122+(−5 )2|⇒ r = 3

3. Persamaan lingkaran yang berpusat di P(2, 3) dan menyinggung 2x + 3y + 4 = 0 adalah ….

Jawab :

berpusat di P(2, 3) dan menyinggung 2x + 3y + 4 = 0

Jari-jari lingkaran merupakan jarak P(2, 3) dengan garis 2x + 3y + 4 = 0, diperoleh :

r = |ax1+by 1+c

√a2+b2|

=

|2. 2+3 .3+4√22+32

|

= |17√13

|

Persamaan lingkaran:

( x−a )2+( y−b )2=r2

(x – 2)2 + (y – 3)2 = |17√13

|2

(x – 2)2 + (y – 3)2 =

28913

13(x – 2)2 + 13(y – 3)2 = 289

4. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 4x + 8y – 21 = 0 di titik C(2, 1) adalah ....

Jawab :

PGS L ¿ x2 + y2 + 4x + 8y – 21 = 0 di titik C(2, 1) berarti x1 = 2, y1 = 1, A = 4, B = 8,

C = – 21.

PGS ¿ x1x + y1y +

A2 (x + x1) +

B2 (y + y1) + C = 0

⇔2x + 1.y + 2(x + 2) + 4(y + 1) – 21 = 0

⇔4x + 5y – 13 = 0

Jadi persamaan garis singgungnya adalah 4x + 5y – 13 = 0.

5. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 9 yang dapat ditarik dari titik A(0, 4)

adalah ....

Jawab :

(i) Menentukan persamaan garis kutub/polar dari titik A(0, 4), berarti x1 = 0, y1 = 4, r2 = 9

Pers. Grs kutub ¿ x1x + y1y = r2 ⇒ 0.x + 4y = 9 ⇒ y =

94

(ii) Menentukan titik singgung lingkaran dengan cara mensubtitusi pers. Garis polar ke

pers. Lingkaran.

y =

94 ⇒ x2 + y2 = 9

x2 + ( 94 )

2

= 9

x2 =

144−8116 =

6316

x1 =

3√74 atau x2 =

−3√74

Jadi titik singgungnya ( 3√7

4, 94 ) dan

(−3√74

, 94 )

(i) Menentukan persamaan garis singgung L ¿ x2 + y2 = 9 di titik ( 3√7

4, 9

4 ) dan

(−3√74

, 94 )

Garis singgung di titik

( 3√74

, 94 )

⇒ x1x + y1y = r2

⇔

3√74 x +

94 y = 9

⇔3√7x + 9y = 36 ⇒ √7 x + 3y – 12 = 0

Garis singgung di titik (−3√7

4, 94 )⇒ x1x + y1y = r2

⇔−3√7

4 x +

94 y = 9

⇔–3√7x + 9y = 36 ⇒√7 x – 3y + 12 = 0

Jadi persamaan garis singgung L ¿ x2 + y2 = 9 yang ditarik dari titik A(0, 4) adalah √7 x + 3y

– 12 = 0 dan √7 x – 3y + 12 = 0.

LATIHAN SOAL

SOAL PILIHAN GANDA

1. Titik (a, b) adalah pusat lingkaran x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0. Jadi 2a + b = ….

A. 0

B. 2

C. 3

D. –1

E. –2

2. Lingkaran L (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang

melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ....

A. x = 2 dan x = –4

B. x = 2 dan x = –2

C. x = –2 dan x = 4

D. x = –2 dan x = –4

E. x = 8 dan x = –10

3. Lingkaran (x – 4)2 + (y – 4)2 = 16 memotong garis y = 4. Garis singgung lingkaran yang

melalui titik potong lingkaran dan garis tersebut adalah ….

A. y = 8 – x

B. y = 0 dan y = 8

C. x = 0 dan x = 8

D. y = x + 8 dan y = x – 8

E. y = x – 8 dan y = 8 – x

4. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 di titik (7, 1) adalah ….

A. 3x – 4y – 41 = 0

B. 4x + 3y – 55 = 0

C. 4x – 5y – 53 = 0

D. 4x + 3y – 31 = 0

E. 4x – 3y – 40 = 0

5. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0 di titik P(5, 3) adalah….

A. 3x – 4y + 27 = 0

B. 3x + 4y – 27 = 0

C. 3x + 4y –7 = 0

D. 3x + 4y – 17 = 0

E. 3x + 4y –7 = 0

6. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y +11 = 0 di titik (2, –1) adalah ….

A. x – y – 12 = 0

B. x – y – 4 = 0

C. x – y – 3 = 0

D. x + y – 3 = 0

E. x + y + 3 = 0

7. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 2x + 2y –2 = 0 yang bergradien 10 adalah….

A. y = 10x – 10 2√101

B. y = 10x – 11 2√101

C. y = –10x + 11 2√101

D. y = –10x 2√101

E. y = 10x 2√101

8. Persamaan garis singgung lingkaran (x – 3)2 + (y + 5)2 = 80 yang sejajar dengan garis y – 2x +

5 = 0 adalah ….

A. y = 2x – 11 ± 20

B y = 2x – 8 ± 20

C. y = 2x – 6 ± 15

D. y = 2x – 8 ± 15

E. y = 2x – 6 ± 25

9. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran (x – 4)2 + (y – 5)2 = 8 yang sejajar dengan

garis y – 7x + 5 = 0 adalah ….

A. y – 7x – 13 = 0

B. y + 7x + 3 = 0

C. –y – 7x + 3 = 0

D. –y + 7x + 3 = 0

E. y – 7x + 3 = 0

10. Salah satu garis singgung yang bersudut 120º terhadap sumbu X positif pada lingkaran

dengan ujung diameter titik (7, 6) dan (1, –2) adalah ….

A. y = –x √3 +4 √3 +12

B. y = –x √3 – 4 √3 +8

C. y = –x √3 +4 √3 – 4

D. y = –x √3 – 4 √3 – 8

E. y = –x √3 +4 √3 + 22

SOAL ESSAY

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P( - 1, 4 ) dan melalui titik :

a. ( - 7, 4 )

b. ( 3, 2 )

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter garis AB dengan titik :

a. A ( -2,3 ) dan B ( 6, 3 )

b. A (1,-2) dan B(-3,6)

3. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan menyinggung garis :

a. 3x + 4y + 10 = 0

b. x – y = √6

0

Y

X(x, y)

(x, – y) 0

Y

X

(x, y)(–x, y)

0

Y

X(x, y)

(y, x)y = x

0

Y

X

(x, y)

(–y, –x)

y = –x

4. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis – 2x + y + 1 = 0, berjari-

jari 5 dan menyinggung sumbu X !

5. Panjang garis singgung yang ditarik dari titik R(4, 5) terhadap lingkaran L ¿ x2 + y2 + 2kx =

0 sama dengan satu satuan panjang. Hitunglah nilai k !

TRANSFORMASI

A. Translasi (Pergeseran) ; T = [ab ]

(x 'y ')=(xy)+(ab ) atau (xy)=(x 'y ')−(ab )

B. Refleksi (Pencerminan)1. Bila M matriks refleksi berordo 2 × 2, maka:

(x 'y ' )=M (xy ) atau (xy)=M−1(x 'y ')

2. Matriks M karena refleksi terhadap sumbu X, sumbu Y, garis y = x, dan garis y = – x dapat dicari dengan proses refleksi titik–titik satuan pada bidang koordinat sbb:

Msb x Msb y My = x My = – x

(1 00 −1 ) (−1 0

0 1 ) (0 11 0 ) ( 0 −1

−1 0 )

depan tetap belakang

negasi

belakang tetap depan negasi

dibalik dibalik dinegasi

3. Refleksi terhadap garis y = n dan x = k

a. A(x,y) M y=n A’(x’, y’) = A’(x, – y + 2n)ordinat di negasi + 2n

b. A(x,y) M x=k A’(x’, y’) = A’(–x + 2k, y) absis di negasi + 2k

0

Y

X(x, y)

(–y, x)90

0

Y

X(x, y)

(y, –x)

–90

C. Rotasi (Perputaran)

R[O, ] R[O, 90] R[O, –90]

(x 'y ')=(cos θ −sin θsin θ cosθ )(xy ) (x 'y ')=(0 −1

1 0 )(xy) (x 'y ')=( 0 1−1 0 )(xy)

dibalik depan dinegasidibalik belakang

dinegasi

D. D[O, k] Dilatasi (Perbesaran) dengan Faktor Pengali k dan pusat di O

(x 'y ')=k (xy) (xy)=1

k (x 'y ' )E. Komposisi Transformasi

P(x, y)

(a bc d )(p qr s )P’(x’, y’); maka

( x ' ¿ )¿¿

¿¿

F. Luas Hasil Transformasi

1. Luas bangun hasil translasi, refleksi, dan rotasi adalah tetap.

Luas bangun hasil transformasi (a bc d )adalah: L’ =

L×|a bc d

|

CONTOH SOAL

1. Translasi T 1=( pq )memetakan titik A(1,2) ke titik A'(4,6)

a. Tentukan translasi tersebut !

b. Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1, 2), B(3, 4), dan C(-5, 6) oleh

translasi tersebut.

c. Jika segitiga yang kalian peroleh pada jawaban b ditranslasikan lagi dengan T 2=(−1

−1)Tentukan bayangannya!

d. Translasikan segitiga ABC dengan translasi T2 ◦T1. Samakah jawabannya dengan

jawaban c?

Jawab:

a. A (1,2 ) T 1( pq )A

' (1+ p , 2+q )=A1 ( 4,6 )

Diperoleh 1+p = 4 sehingga p = 3

2+q = 6 sehingga q = 4

Jadi translasi tersebut adalah T 1=(34)

b. translasi T 1=(34) artinya artinya memindahkan suatu titik 3 satuan ke kanan dan 4

satuan ke atas. Dengan mentranslasikan titiktitik A', B', dan C' dari segitiga ABC dengan

translasi T1, kalian memperoleh segitiga A'B'C' sebagai berikut

A (1,2 ) T 1(34 )A ' (1+3,2+4 )=A ' (4,6 )

B (3,4 ) T1(34 )B' (3+3,4+4 )=B ' (6,8 )

C (−5,6 ) T1(34 )C ' (−5+3,6+4 )=C ' (−2 ,10 )

Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(4,6), B'(6,8), dan C'(-2,10)

c. A ' (4,6 ) T2(−1

−1) A '' (4+(−1 ) ,6+(−1 ) )=A '' (3,5 )

A ' (6,8 ) T2(−1−1 ) A '' (6+(−1 ) ,8+(−1 ))=B '' (5,7 )

A ' (4,6 ) T2(−1−1 )A '' ( (−2 )+ (−1 ) ,10+(−1 ))=A '' (−3,9 )

Jadi bayangan segitiga A'B'C' adalah segitiga A''B''C'' dengan titik A''(3,5), B''(5,7) dan C''(-

3,9)

d. translasi titik T 1∘T 2=(3+(−1 )

4+(−1 ))=(23)A (1,2 )(23) A ' (1+2,2+3 )=A ' (3,5 )

B (3,4 )(23)B ' (3+2,4+3 )=B ' (5,7 )

C (−5,6 )(23)C ' (−5+2,6+3 )=C ' (−3,9 )

Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(3,5), B'(5,7) dan C'(-3,9)

Perhatikan bahwa segitiga yang kalian peroleh pada jawaban c sama dengan segitiga yang

kalian peroleh pada jawaban d.

2. Tentukan bayangan lingkaran (x-3)2 + (y+1)2 = 4 jika ditranslasikan T=(−5

2 )!

Jawab :

Ambil sembarang titik P(a,b) pada lingkaran (x-3)2 + (y+1)2 = 4 sehingga diperoleh (a-3)2 +

(b+1)2 = 4

Translasikan titik P dengan T=(−5

2 ) sehingga diperoleh

P (a ,b )(−52 )P '' (a−5 , b+2 )

Jadi titik P'(a-5, b+2)

Perhatikan bahwa: a'= a - 5. Dari persamaan (*), didapat a = a'+ 5.

b'= b + 2. Dari persamaan (*), didapat b = b' - 2.

Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), akan

Diperoleh (a'+ 5-3)2 + (b' - 2+1)2 = 4

(a'+ 2)2 + (b' - 1)2 = 4

Jadi bayangan dari (a'+ 5-3)2 + (b' - 2+1)2 = 4 jika ditranslasikan denganT=(−5

2 )adalah

(a'+ 2)2 + (b' - 1)2 = 4

3. Tentukan bayangan garis -4x+y=5 oleh pencerminan terhadap garis y=x dilanjutkan

translasi (32 )!

Jawab:

misal titik P(x,y) pada garis -4x+y=5

P(x,y) dicerminkan terhadap garis y=x, bayangannya P'(y,x)

P'(y,x) ditranslasi (32 ) . Bayangannya P''(y+3, x+2)=P''(x'',y'')

Jadi x'' = y +3 → y = x''-3

y'' = x +2 → x = y'' -2

persamaan -4x+y=5 → -4(y'' -2) + (x'' - 3) = 5

-4y'' + 8 + x'' – 3 = 5

x'' - 4y''= 0

jadi bayangan akhirnya adalah x - 4y= 0

LATIHAN SOAL

SOAL PILIHAN GANDA

1. Bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y = x adalah …

A. y = x + 1

B. y = x – 1

C. y = ½x – 1

D. y = ½x + 1

E. y = ½x – ½

2. Garis 2x + 3y = 6 ditranslasikan dengan matriks

(−3 ¿ ) ¿¿

¿¿dan dilanjutkan dengan

(1 ¿ )¿¿

¿¿

bayangannya adalah …

A. 3x + 2y + 5 = 0

B. 3x + 2y – 5 = 0

C. 2x – 3y + 5 = 0

D. 2x + 3y – 5 = 0

E. 2x + 3y + 5 = 0

3. Bayangan garis 3x – y + 2 = 0 apabila direfleksikan terhadap garis y = x, dilanjutkan dengan

rotasi sebesar 90º dengan pusat O(0,0) adalah …

A. 3x + y + 2 = 0

B. –x + 3y + 2 = 0

C. 3x + y – 2 = 0

D. x – 3y + 2 = 0

E. –3x + y + 2 = 0

4. Persamaan bayangan lingkaran x2 + y2 = 4 bila dicerminkan terhadap garis x = 2 dilanjutkan

dengan translasi

(−3 ¿ ) ¿¿

¿¿ adalah…

A. x2 + y2 – 2x – 8y + 13 = 0

B. x2 + y2 + 2x – 8y + 13 = 0

C. x2 + y2 – 2x + 8y + 13 = 0

D. x2 + y2 + 2x + 8y + 13 = 0

E. x2 + y2 + 8x – 2y + 13 = 0

5. Bayangan kurva y = 3x – 9x2 jika dirotasi dengan pusat O( 0, 0 ) sejauh 90 dilanjutkan

dengan dilatasi dengan pusat O( 0, 0 ) dan faktor skala 3 adalah….

A. x = 3y2 – 3y

B. x = y2 + 3y

C. x = 3y2 + 3y

D. y = 3y2 – 3y

E. y = x2 + 3y

6. Diketahui garis g dengan persamaan y = 3x + 2. Bayangan garis g oleh pencerminan

terhadap sumbu X dilanjutkan rotasi terhadap O sebesar π2 radian adalah …

A. 3x + y + 2 = 0

B. 3y – x – 2 = 0

C. 3x – y – 2 = 0

D. 3y – x + 2 = 0

E. –3x + y – 2 = 0

7. Lingkaran yang berpusat di (3, –2) dan berjari–jari 4 diputar dengan R[O, 90º], kemudian

dicerminkan terhadap sumbu X. persamaan bayangan lingkaran adalah …

A. x2 + y2 + 4x – 6y + 3 = 0

B. x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0

C. x2 + y2 + 6x – 4y – 3 = 0

D. x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0

E. x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0

8. Koordinat bayangan titik (–2, 3) karena rotasi sebesar 60º dan dilanjutkan refleksi

terhadap garis y = –x adalah …

A. (√3− 32 ,1+

32 √3)

B. (− 32−√3 ,1−3

2 √3)

C. (−√3 ,−1−32 √3)

D. ( 32−√3 ,1−3

2 √3)

E. (√3+ 32 ,1−

32 √3)

9. Transformasi (a a+11 −2 ) yang dilanjutkan dengan transformasi

( 2 1−1 −3 ) terhadap titik A(2,

3) dan B(4, 1) menghasilkan bayangan A’(22, –1) dan B’(24, –17). Oleh komposisi

transformasi yang sama, bayangan titik C adalah C’(70, 35). Koordinat titik C adalah …

A. (2, 15)

B. (2, –15)

C. (–2, 15)

D. (15, –2)

E. (15, 2)

10. Lingkaran (x + 1)2 + (y – 2)2 = 16 ditransformasikan oleh matriks (0 −11 0 )

dan dilanjutkan

oleh matriks (1 00 1 ) . Persamaan bayangan lingkaran tersebut adalah …

A. x2 + y2 – 4x – 2y – 11 = 0

B. x2 + y2 + 4x – 2y – 11 = 0

C. x2 + y2 – 2x – 4y – 11 = 0

D. x2 + y2 + 2x – 2y – 11 = 0

E. x2 + y2 + 4x + 2y – 11 = 0

SOAL ESSAY

1. Diketahui garis k : 2x + 3y = 2. Tentukan persamaan bayangan garis k oleh :

a. Translasi

(−2 ¿) ¿¿

¿¿

b. Refleksi terhadap garis y = -4

c. Refleksi terhadap garis x + y = 0

2. Tentukan bayangan kurva y = x² – 3 jika dicerminkan terhadap sumbu x yang dilanjutkan

dengan dilatasi pusat O dan factor skala 2.

3. Tentukan bayangan garis 4x – y + 5 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks

( 2 0−1 3 ) dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu y.

4. Tentukan persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat O bersudut ½ , dilanjutkanπ

dilatasi [ 0,2 ] adalah x = 2 + y - y². Persamaan kurva semula.

5. Tentukan persamaan bayangan garis 2x + 3y + 1 = 0 karena refleksi terhadap sumbu y

dilanjutkan rotasi pusat O sebesar ½ .π

TURUNAN (DERIVATIF)

A. Rumus–Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri

Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka:

1. y = u + v, y’ = u’+ v’

2. y = c·u, y’= c· u’

3. y = u·v, y’= v· u’ + u· v’

4. y =

uv , y’= (v· u’ – u· v’) : v2

5. y = un, y’= n·un – 1 · u’

Keterangan:

y' : turunan pertama dari y

u’ : turunan pertama dari u

v’ : turunan pertama dari v

B. Aplikasi turunan suatu fungsi

Turunan suatu fungsi dapat digunakan dalam penafsiran geometris dari suatu fungsi,

diantaranya:

1) Gradien garis singgung kurva f(x) di titik x = a , yaitu m = f’(a)

Rumus persamaan garis singgung kurva yang melalui titik (a, b) dan bergradien m

adalah:

y – b = m(x – a)

2) Fungsi f(x) naik, jika f’(x) > 0, dan turun, jika f’(x) < 0

3) Fungsi f(x) stasioner jika f’(x) = 0

4) Nilai stasioner f(x) maksimum jika f’’(x) < 0, dan minimum jika f’’(x) > 0

CONTOH SOAL

1. Pada selang -1 ≤ x ≤ 2, fungsi y = x3 – 3x2 + 3 mempunyai nilai maksimum …

Jawab:

– 1 ≤ x ≤ 2

y = x3 – 3x2 + 3

y’ = 3x2 – 6x

0 = 3x (x – 2) → x = 0 atau x = 2

o x = - 1 → y = (-1)3 – 3 (-1)2 + 3 = - 1

o x = 0 → y = (0)3 – 3(0)2 + 3 = 3

o x = 2 → y = (2)3 – 3(0)2 + = - 1

nilai maksimum = 3

2. Jumlah dari bilangan pertama dan kuadrat bilangan kedua adalah 75. Nilai terbesar dari

hasil kali kedua bilangan tersebut adalah ….

Jawab:

a + b2 = 75 → a = 75 – b2

f = a . b = (75 – b2)b = 75b – b3

f maksimum bila f’(b) = 0

f’(b) = 75 – 3b2

0 = 3 (5 – b) (5 + b) → b ± 5

b = - 5 → f = 75 (-5) – (5)3 = -250

b = 5 → f = 75 (5) – (5)3 = 250

3. Turunan dari y = (1 – x)2 (2x + 3) adalah .…

Jawab:

y = (1 – x)2 (2x + 3)

y’ = 2(1 – x) (-1) (2x + 3) + (1 – x)2 (2)

= 2(x – 1) (3x + 2)

4. Turunan fungsi y = 4√(2 x2−3 )3 adalah …

Jawab:

y=4√(2x2−3)3

y=(2x2−3 )34

y '= 34(2 x2−3 )

−14 (4 x )

= 3x4√(2 x2−3 )

5. Jika f (x) = x2 √4−6 x , maka nilai f’ (-2) = …

Jawab:

f ( x )=x2√4−6 x=x2 (4−6 x )12

f ' ( x )=2 x (4−6 x )12+ x2 . 1

2( 4−6 x )

−12 .(−6)

=2 x √4−6 x− 3 x2

√4−6 xf ' (−2)=2(−2 )(4 )−3(−2)2

4=−19

LATIHAN SOAL

SOAL PILIHAN GANDA

1. Diketahui f(x) = 3x3 + 4x + 8. Jika turunan pertama f(x) adalah f’(x), maka nilai f’(3) = ….

A. 85

B. 101

C. 112

D. 115

E. 125

2. Turunan dari f ( x )= 32√x adalah . . . .

A.−3x√ x

B.−3

2x √x

C.3

x√ x

D.6

x√ x

E.−3

4 x √x

3. Diketahui fungsi h(x)=x ²+3 x , maka h(i+t )−h(t ) adalah . . . . A. 2 i+3B. t ²+3 t

C. 2 t+4D. t ²+5 t

E. 5 t ²

4. Rumus untuk f ’(x ) jika f (x)=x – x ² adalah . . . . A. 1−xB. x ²−xᵌC. 1−2 xD. x−2 x ²

E. 1−2 xᵌ

5. Turunan fungsi y = 4√(2 x2−3 )3 adalah …

A.− x

4√2 x2−3

B.

3 x4√2 x2−3

C.−16 x

3 4√2 x2−3

D. −34√2x2−3

E. 3 x4√2 x2−3

6. Jika f (x) = x2 √4−6 x , maka nilai f’ (-2) = …

A. -13

B. -16

12

C. -17

12

D. – 19

E. – 22

7. Diketahui f(x) = 3x2 – 5x + 2

g(x) = x2 + 3x – 3

Jika h(x) = f(x) – 2g(x), maka h’(x) adalah ....

A. 4x – 8

B. 4x – 2

C. 10x – 11

D. 2x – 11

E. 2x + 1

8. Jika kurva y = 2x5 – 5x4 + 20 mencapai nilai minimum di titik (x0’ y0) maka x0 = …

A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

E. 3

9. Rusuk suatu kubus bertambah panjang dengan kelajuan 7 cm per detik. Elajuan

bertambahnya volume pada saat rusuk panjangnya 15 cm adalah …

A. 675 cm3/detik

B. 1.575 cm3/detik

C. 3.375 cm3/detik

D. 4.725 cm3/detik

E. 23.625 cm3/detik

10. Persamaan garis singgung di titik dengan x = 2 pada kurva y=27

√5 x−1 adalah …

A. 5x + 2y – 28 = 0

B. x + 2y – 20 = 0

C. 5x – 2y – 8 = 0

D. x – 2y + 16 = 0

E. 2x – y + 5 = 0

SOAL ESSAY

1. Dengan definisi turunan tentukan nilai turunan berikut:

a. f(x) = 6 – 2x

b. f ( x )=√ x2. Tentukan turunan dari:

a. f(x) = 2x -3

b. f(x) =

( x+2)2

√ x3. Dengan rumus turunan y = f ( g(x)) adalah f’ (x) = f’(g(x) ). g’(x)

Tentukan turunan dari fungsi y = ( 4x + 5)

32

4. Dengan notasi Leibniz tentukan turunan fungsi y = ( 6 – x2

)3

5. Diketahui fungsi f(x) = 4√(2 x2−3 )3 . Tentukan :

a. Turunan pertama f(x).

b. Nilai f’(3).

INTEGRAL (ANTI DIVERENSIAL)

A. Integral Tak Tentu

1) Rumus–Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri

1. dx = x + c

2. a dx = a dx = ax + c

3. xn dx = 1

n+1 xn+1

+ c

4. sin ax dx= – 1a cos ax + c

5. cos ax dx = 1a sin ax + c

6. sec2 ax dx = 1a tan ax + c

7. [ f(x) g(x) ] dx = f(x) dx g(x) dx

Catatan

1. Identitas trigonometri yang biasa digunakan

a. 2sinAcosB = sin(A + B) + sin(A – B)

b. –2sinAsinB = cos(A + B) – cos(A – B)

c. sin2A =12 {1−cos2 A}

d. cos2A =12 {1+cos2 A }

e. sin 2A = 2sin A cos A

2. Teknik Penyelesain Bentuk Integran

Jika bentuk integran : u v dx, dengan u dan v masing–masing adalah fungsi dalam variabel xTeknik pengintegralan yang bisa digunakan adalah:a. Metode substitusi

jika u dan v memiliki hubungan, yaitu v dx = du

b. Metode Parsial dengan TANZALIN

Jika u dan v tidak memiliki hubungan, yaitu v dx ≠ du

2) Penggunaan Integral Tak Tentu

Integral tak tentu di gunakan untuk mencari persamaan suatu kurva y = f(x) apabila diketahui turunan pertama dan sebuah titik pada kurva tersebut yaitu:

f(x) = f’(x) dx, dengan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x) atau:

y = dydx dx

, dengan dydx adalah turunan pertama y

B. INTEGRAL TENTU

1) Pengertian Integral Tentu

Misalkan kurva y = f(x) kontinu pada interval tertutup [a, b], maka luas daerah L yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, ditentukan dengan rumus:

L = a

b

f ( x )dx=[F ( x ) ]ab=F(b )−F (a )

, dengan F(x) adalah integral (antidiferensial)

dari f(x)

2) Penggunan Integral Tentu

a) Untuk Menghitung Luas Daerah

a. Luas daerah L pada gb. 1

L = a

b

f ( x )dx,

untuk f(x) 0

b. Luas daerah L pada gb. 2

L = –a

b

f ( x )dx, atau

L = |a

b

f ( x )dx| untuk f(x) 0

c. Luas daerah L pada gb. 3

L = a

b

{f (x )−g( x )}dx,

dengan f(x) g(x)

b) Untuk Menghitung Volume Benda Putar

V =π

a

b

( f (x ))2dx atau V =

πa

b

y2dxV =

πc

d

( g( y ))2dy atau V =

πc

d

x2dy

V =π

a

b

{( f 2(x )−g2 (x )}dx atau V =

πa

b

( y12− y2

2)dxV =

πc

d

{f 2( y )−g2( y )}dy atau V =

πc

d

( x12−x2

2 )dy

CONTOH SOAL

1. Tentukan (x2−3 x+5 ) dx

Jawab :

= = + 5x + C

2. Tentukan

Jawab :

= (x−√ x−x√x+x ) dx

= (−√x−x √x+2 x ) dx = (-x12− x

32+2 x ) dx

= −2

3 x32−2

5 x52+x2+C=- 2

3 x √x−25 x2 √x+x2+C

3.

4.

5. Tentukan x sin x dx

Jawab :

Misalkan u = x dan dv = sin x dx, maka didapat du=dx dan v = cos x

x sin x dx = x cos x (−cos x )dx = …….. dst.

6. Hitung

Jawab :

= 1/3 x3 – ½ x2

20 =

7. Hitung

Jawab :

= ½ .sin (2t )

π0 = ½ [sin (2 ) – sin (0 )]

= ½ [sin – sin ( )] = 0

8. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dengan garis y = x + 8

Jawab :

y = x2 ……... (1)

y = x + 6 ……… (2)

Dari (1) dan (2) didapat

x2 = x + 6

x2 – x – 6 = 0

x1 = 3 ; x2 = 2

Luas daerah, L =( x+6−x2 ) dx= 12 x

2+6 x−( 13 )x

3|−23

= (92 + 18 – 9) (2 – 12 +

83 ) = 4 ½ + 51/3 = 21

12

9. Tentukan volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dan garis y = x + 2

diputar mengeliling sumbu x

Jawab :

Batas integral

y=x2 ¿}¿¿¿ x2 = x + 2

x2 – x – 2 = 0 didapat x1 = 1 dan x2 = 2. Volume benda putar yang terjadi :

I= −1

2

( x+2 )2−( x2)2 dx=π−1

2

[( x2+4 x+4 )−x4 ] dx

= π ( 1

3x3+2 x2+4 x−1

5x5 )|−1

2

=

17415

π

LATIHAN SOAL

SOAL PILIHAN GANDA

1. Hasil dari (x – 3)(x2 – 6x + 1)–3 dx = …

A. − 18 ( x

2−6 x+1)−4+c

B. − 14 ( x

2−6 x+1 )−4+c

C. − 12 ( x

2−6 x+1)−4+c

D. − 14 ( x

2−6 x+1 )−2+c

E. − 12 ( x

2−6 x+1)−2+c

2. Hasil dari 3 x−1(3 x2−2 x+7 )7 dx =…..

A.

13(3 x2−2 x+7)7

+C

B.

14 (3x2−2 x+7 )6

+C

C.

16(3 x2−2 x+7)6

+C

D.

−112(3 x2−2 x+7)6

+C

E.

−112(3 x2−2 x+7)7

+C

3. Hasil dari 2x2

7√(2 x3−5 )5dx

= ...

A. 37

7√(2 x3−5)3 + C

B. 67

6√(2x3−5)7 + C

C. 67

7√(2x3−5)6 + C

D. 76

7√(2 x3−5)2 + C

E. 76

2√(2x3−5)7 + C

4. Hasil sin3 3x cos 3x dx = …

A. 14 sin43 x+c

B. 34 sin4 3 x+c

C. 4 sin4 3x+c

D. 13 sin4 3 x+c

E. 112 sin43 x+c

5. Hasil x √x+1dx= …

A.25 ( x+1 )√ x+1− 2

3 ( x+1 )2√x+1+c

B.215 (3 x2+x−2)√ x+1+c

C.215 (3 x2+x+4 )√x+1+c

D.215 (3 x2−x−2 )√x+1+c

E.25 ( x

2+x−2)√ x+1+c

6. Hasil dari ( x2+1)cos x dx= …

A. x2 sin x + 2x cos x + c

B. (x2 – 1) sin x + 2x cos x + c

C. (x2 + 3) sin x – 2x cos x + c

D. 2x2 cos x + 2x2 sin x + c

E. 2x sin x – (x2 – 1)cos x + c

7. Gradien garis singgung suatu kurva adalah m = dydx = 2x – 3. kurva itu melalui titik (3,2).

Persamaan kurva tersebut adalah …

A. y = x2 – 3x – 2

B. y = x2 – 3x + 2

C. y = x2 + 3x – 2

D. y = x2 + 3x + 2

E. y = x2 + 3x – 1

8. Hasil dari 1

2

(x2− 1x2 )dx

= …

A. 95

B. 96

C. 116

D. 176

E. 196

9. Luas daerah yang dibatasi parabola y = 8 – x2 dan garis y = 2x adalah …

A. 36 satuan luas

B. 4113 satuan luas

C. 4123 satuan luas

D. 46 satuan luas

E. 4623 satuan luas

10. Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dengan y =

2x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 adalah ...

A. 2 satuan volume

B. 3 115 satuan volume

C. 4 415 satuan volume

D. 12 415 satuan volume

E. 14 215 satuan volume

SOAL ESSAY

1. Selesaikan integral berikut.

a. (√x−1)(√ x+1 ) dx

b. [√ x+2√x2−x

√x ] dxc. (√x−1)2 dx

2. Selesaikan integral berikut.

a. (cos2θ−sin2θ )dθ

b. x5√1+2x3 dx

c.sin xdx

3√1+cos x

3. Hitung luas daerah tertutup D yang dibatasi oleh parabola f(x) = 4x x2, garis x=1 dan

sumbu X.

4. Tunjukkan bahwa

13π √2≤

0

π /3

√1+sec xdx≤13π √3

5. Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dan garis y = x + 2

diputar mengeliling sumbu x