1

Matematika Ekonomi

Pertemuan 8 : Hitung Integral

2

1. Pengertian Integral

Definisi Integral

( ) ( )y dy f x dx F x c

Himpunan/kumpulan dari semua anti-turunan dari f(x) disebut : integral tak tentu dari f (x) terhadap x.Jadi Operasi Hitung Integral adalah mencari Fungsi yang turunannya diketahui

2. Notasi

F ’(x) = f(x) dan c = bilangan konstan

3

 

Rumus-rumus Dasar Integral

dx x c 1.

2.

3.

4.

5.

adx ax c

1ln , 0dx x c x

x

1 . 1

1. 1

ncxn

dxx nn

1

cea

dxecedxe xaxxx ...

1ln( )

dxax b c

ax b a

;

4

 

Rumus-rumus Dasar Integral-lanjutan 1

ln( )

xx aa dx c

a 6.

7.

8.

9.

10.

sin( ) cos( )x dx x c

cos( ) sin( )x dx x c

1sin( ) cos( )ax dx ax c

a

1cos( ) sin( )ax dx ax c

a

5

 

Rumus-rumus Dasar Integral-lanjutan 2

u v dx udx vdx 11.

12.

13.

14.

( ) ( ) , konstantaaf x dx a f x dx c a

2 2

1ln

2

dx a xc

a x a a x

2arctan( )

1

dxx c

x

caxxax

dx

cxarcx

dx

16

1

15

22

22

2

||ln.

sin.

6

Cara menyelesaikan Soal Integral :

1. Langsung gunakan rumus dasar

2. Lakukan dulu cara Substitusi, yakni ada bentuk x dari soal yang dimisalkan u dan cari hubungan dx dengan du, sehingga menjadi bentuk dalam u dan du, lalu gunakan rumus.

3. Gunakan Rumus Integral Parsial :

dUVUVdVU ..

Pilih dari soal, mana yang jadi U dan mana dV, lalu hitung dulu V = Integral dV (tanpa c)

7

Contoh solusi soal Integral :

ln.53)./563(

: Rumus memakai Langsung ).1 232 cxxxdxxxx

6.4)64.(

.4.1)2/1(

1.2

..2.2

6

.4

.2.4.26Misalkan

?6

.4 : Substitusi Cara 2).

22/12

2/11)2/(

2/1

2

2

2

cxcx

cucu

duuu

du

x

dxx

dudxxdxxduux

x

dxx

8

3). Cara Integral Parsial :

22

122

2242

1

2

14

4 : Jadi

c) (tanpa 2

1

dan 4 4 :misalkan kita

2222

2222

2

222

ceexceex

dxeexdxeex

duvvudvudxex

edxevdxedv

dxduxu

xxxx

xxxx

x

xxx

.).(.

......

.....

...

.

?? ..4 2 dxex x

Soal ini tidak dapat diselesaikan dengan cara Substitusi,

harus dengan cara Integral Parsial :

9

Integral Tertentu

12916145x2)425x4(5

443( :1)Contoh

x) dimana

33

5

2 3

5

2

2

b

a

()

)().

)(('

)()()().(

xxdxx

xfF

aFbFxFdxxf ba

10

Sifat-sifat Integral Tertentu

3.

4.

5.

( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

( ) ( ) , konstantab b

a a

kf x dx k f x dx k

( ) ( ) ( )b c c

a b a

f x dx f x dx f x dx

a

b

b

a

a

a

dxxfdxxfdxxf 2). ; 0 1 ).().().().

11

Aplikasi Integral

2). Menghitung fungsi total dari fungsi marginal

3). Surplus konsumen (SK) dan Surplus produsen (SP)

1). Untuk menghitung Luas bidang

4). Untuk menyelesaikan Persamaan Differensial

12

1). Luas Bidang Datar

1. Dibatasi sumbu x dan kurva y = f(x)

( ) ( ) ( )b

a

L f x dx F b F a y = f(x)Ilustrasi luas bidang

datar yang dibatasi oleh:

Atas: kurva y = f(x)

Bawah: sumbu x

Kiri: garis x = 1

Kanan: garis x = 2,5

13

Luas Daerah Dibatasi 2 Kurva

x = -1 x = 1,8

y = x2

y = 4 - x2

Daerah hitam dibatasi oleh:

Atas: y = 4 -x2

Bawah: y = x2

Kiri: garis x =-1Kanan:garis x = 1,8

maka Luas bidang ini =

Contoh : Luas daerah yang dibatasi grafik y = 4-x2

dan y = x2 dan garis : x = -1 dan x = 1,8

??).().)((, ,

81

1

81

1

222 244 dxxdxxx

14

2). Menghitung Fungsi Total kalau diketahui fungsi Marginal

Contoh :

MC (marginal cost) untuk x unit barang ialah :MC = 6x + 300 dan untuk x = 200 unit, makaTC (total cost) = Rp. 450.000, dapatkan : a). Fungsi TC sebagai fungsi x b). Hitung TC kalau x = 500

dxxfdxxf .)( MC. TC maka , )( MCKalau

15

Surplus konsumen (SK) dan Surplus produsen (SP)

)( : Sdan )( : D dimana

).(. SP

.).( SK

.

.

0

.

0

.

xgpxfp

dxxgxp

xpdxxf

eq

eq

x

eqeq

x

eqeq

16

3).Contoh perhitungan SK dan SP :Diketahui D : p = 1020-4x dan S : p=0,5x2+10x+150Hitung SK dan SP pada saat ME.

90030.41020dan 30peroleh kita

0870145,0 150105,041020

S Dsaat terjadiME ini soal Dari 22

eqeq

SD

px

xxxxx

pp

18002700028800 27000)30.2(1020.30

27000 )]21020(30) x 900().4(1020 SK

2

300

230

0

xxdxx

135001350027000)30.15030.5306

1(27000

)]15056

1( 27000

).15010(0,5 30) x 900( SP

23

300

23

30

0

2

xxx

dxxx

17

Diketaahui fungsi D : p = 1440 - 4x dan S : p = 0,25x2 + 4x + 60 a). Dapatkan ME b). Hitung SK dan SP pada saat ME

18

4). Persamaan Diferensial =PD1. Pengertian : persamaan yang mengandung turunan-turunan fungsi atau differensial; Turunan tertinggi pada PD disebut orde PD dan pangkat PD ialah pangkat dari orde dalam PD

2. Klasifikasi : * PD biasa * PD parsial * PD linier

3. Penyelesaian : * dapat dipisah variabel lalu di Integral * menggunakan Rumus * menggunakan metode tertentu

a. Sulusi umum

b. Solusi khusus

19

Soal Integral dan Aplikasinya

Soal-soal dari buku Matematika Ekonomi dan Aplikasinya edisi 7 hal 227 – 229.