pertemuan 8 metode integrasi
TRANSCRIPT
METODE INTEGRASI
Integral dari Bentuk Fungsi Goniometri
Pembuktian Rumus-Rumus
1xcosxsin 22 =+
222 cba =+
c
axsin =
c
bxcos =
Pitagoras =
;
;
1c
c
c
ba
c
b
c
axcosxsin
2
2
2
22
2
2
2
222 ==+=+=+
Pembuktian Rumus-Rumus
( )x2cos12
1xsin2 −=
xsinxcosx2cos 22 −=
( ) xsin21xsinxsin1x2cos 222 −=−−=
Bukti :
→ bukti cari diinternet
( )x2cos12
1xsin2 −=
Latihan…….
• Buktikan bahwa
( ) ( )[ ]yxsinyxsin2
1xcosxsin ++−=
Jawab:
( ) yxyxyx sincoscossinsin +=+( ) ysinxcosycosxsinyxsin −=−
+( ) ( ) ycosxsin2yxsinyxsin =++−
Integral dari Bentuk : dxxcosxsin nm∫dimana m dan n bulata) m bulat positif dan ganjil → misal :
1k2m +=xxxxxxx nknknm sincossincossincossin 212 == +
xdxsinxcosxsinxdxcosxsin nk2nm =Jadi
[ ] ( )[ ]xcosdxcosxcos1 nk2 −−=
[ ] ( )xcosdxcosxcos1 nk2−−=
1k2n +=Jika n bulat positif dan ganjil → misal :
( ) xcosxcosxsinxcosxsinxcosxsin k2m1k2mnm == +
( ) [ ] xcosxsin1xsinxcosxcosxsink2mk2m −==
[ ] dxxcosxsin1xsindxxcosxsink2mnm −=
Jadi :
[ ] ( )xsindxsin1xsink2m −=
Contoh soal
...dxxcosxsin 32 =∫Cos x mempunyai pangkat ganjil → yaitu : n = 3 → jadi :
( ) ( ) ( )∫∫∫ −== xsindxsin1xsinxsindxcosxsindxxcosxsin 222232
( ) ( ) cxsin5
1xsin
3
1xsindxsinxsin 5342 +−=−= ∫
Contoh soal
...2sin2cos 34 =∫ dxxx
Sin 2x mempunyai pangkat ganjil → yaitu : m = 3 → jadi :
( )∫∫ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= x2d2
1x2sinx2sinx2cosdxx2sinx2cos 2434
( )∫−= x2cosdx2sinx2cos2
1 24
( ) ( )∫ −−= x2cosdx2cos1x2cos2
1 24
[ ] ( )∫ −−= x2cosdx2cosx2cos2
1 64
cx2cos10
1x2cos
14
1 57 +−=
Coba selesaikan integrasi berikut ini:
...dxx3cosx3sin 53 =∫
Coba selesaikan integrasi berikut ini:
1.
....sin 5 =∫ dxx2.
Jawabannya adalah:
cx3cos18
1x3cos
24
1 68 +−=1.
cxcos5
1xcos
3
2xcos 53 +−+−=2.
Jika m dan n bulat positif dan genap
xcosxsin nmdiubah memakai rumus :
( )x2cos12
1xsin2 −=
( )x2cos12
1xcos2 +=
x2sin2
1xcosxsin =
[ ]∫∫ = dxx3sinx3sinx3cosdxx3sinx3cos 2242
Contoh soal
[ ]∫ −⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= dxx6cos1
2
1x6sin
2
12
[ ]∫ −= dxx6cosx6sinx6sin8
1 22
( )∫ ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −−= dxx6cosx6sinx12cos1
2
1
8
1 2
( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−= ∫∫∫ x6sindx6sin
6
1x12dx12cos
24
1dx
2
1
8
1 2
cx6sin18
1x12sin
24
1
2
x
8
1 3 +⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−=
Coba selesaikan integrasi berikut ini:
.......cos4 =∫ dxx
Jawabannya:
( ) [ ]∫ ∫∫ ++=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ += dxx2cosx2cos21
4
1dxx2cos1
2
1dxxcos 2
24
cx4sin8
1x2sinx
2
3
4
1 +⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++=
Jika m dan n bulat negatif, misal : m = -k, n = -h
∫∫∫ == dxxsecxeccosxcosxsin
dxdxxcosxsin hk
hknm
∫ −= dxxsecxsecxeccos 22hk
( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
xcos
1dxsinxsind
xcos
1
xcos
xsindtgxd
( )dxxsinxcos
1xsindx
xcos
xcos2
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+=
dxxsecdxxcos
1dx
xcos
xsin1 2
22
2
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
Ingat…
∫ −= dxxsecxsecxeccos 22hk
( )∫ −= tgxdxsecxeccos 2hk
( )2
k
2
22k
22
k2k
xsin
xcos1
xsin
1xeccosxeccos ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡==
2k
2
22k
2 xtg
xtg1
xtg
11 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
( )( ) ( )( )2
2h22
2h22h xtg1xsecxsec
−−− +==
( )( )( )∫
−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ += tgxdxtg1xtg
xtg1 22h
22
k
2
2
Jadi
( ) ( )tgxdxtg
xtg1k
12
h
2
k2
∫−++=
( )( )
( )tgxdxtg
xtg1k
12
hk2
∫−
+
+=
∫∫∫ == dxx2secx2secx2eccosdxx2secx2eccosx2cosx2sin
dx 2224242
[ ][ ] ( )∫ ++= xtgdxtgxg 2212cot12
1 22
[ ] ( )xtgdxtgxtg
2212
11
2
1 22∫ +⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
( )∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++= xtgdxtg
xtg22
2
12
2
1 22
cxtgxtg
xtg ++−= )23
1
2
122(
2
1 3
Contoh soal
Integral dalam bentuk ∫ dxxsecxtg nm
dxxeccosxctg nm∫
1xsecxtg 22 −=
m dan n bulat, positifmanipulasi dengan rumus :
:
1xeccosxctg 22 −=
Contoh soal
[ ]∫∫ = dxxecxctgxctgdxxecxctg 2cos222cos2 23
.........2cos23 =∫ dxxecxctg
Latihan soal
......sec53 =∫ dxxxtg
=∫ dxxxtg 3sec3 43
Integral dalam bentuk
Gunakan rumus
:
∫ dxnxcosmxsin
∫ dxnxsinmxsin
∫ dxnxcosmxcos
( ) ( )[ ]xnmsinxnmsin2
1nxcosmxsin −++=
( ) ( )[ ]xnmcosxnmcos2
1nxsinmxsin +−−=
( ) ( )[ ]xnmcosxnmcos2
1nxcosmxcos ++−=
Contoh soal
Latihan soal
...........sin9sin =∫ dxxx
[ ]∫∫ −= dxxxdxxx 10cos8cos2
1sin9sin
cx10sin20
1x8sin
16
1 +−=
..........5cos3sin.1 =∫ dxxx
( ) ......5cos1.2 23
=+∫ dxx
INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI
Susah diintegralkan( ) ...dxxf =∫Ubah bentuk integrannya ke suatu bentuk denganjalan mengubah peubah x (diganti dengan peubahbaru misalnya u)
( )ux ϕ= ( )duu'dx ϕ=
( ) ( )[ ] ( )∫∫∫ == duuduuufdxxf ψϕϕ '
( ) cuF +=
• jika integran memuat pangkat pecahan dari bentuk bxa +
( )
SUBSTITUSI FUNGSI ALJABAR
nm
bxa +bxau n +=
( ) ( ) mnm
nnm
uubxa ==+sehingga :
misal
disubsitusi :
Contoh soal
x32u 3 += ( )2u3
1x 3 −=
( ) ( )x32dud 3 +=
substitusi
( ).....
32 32
2
=+∫ dx
x
x
dx3duu3 2 =
duudx 2=
Sehingga
( )
( )[ ]
( )∫∫∫
−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
=+
duuu
2u
9
1duu
u
2u3
1
dxx32
x 22
232
32
3
23
32
2
[ ]∫ +−= du4u4u9
1 36
cu4uu7
1
9
1 47 +⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−=
( ) ( ) ( ) cx324x32x327
1
9
13
13
43
7+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +++−+=
( ) ( ) ( )[ ] c28x327x32x3263
1 231
+++−++=
• jika integran memuat pangkat pecahan dari bentuk
misal
disubsitusi :
nbxa +( )
SUBSTITUSI FUNGSI ALJABAR
m1
nbxa +nm bxau +=
Contoh soal( )
...dxx
ax 23
22
=−∫
222 axu −= dxx2duu2 =22 aux +=
Misal :
22 au
duu
x
duudx
+==
( ) ( )...
au
duu
au
duu
au
udx
x
ax22
4
2222
23
223
22
=+
=++
=−∫∫∫
( ) ( ) 222222222224 auauuaauuuuu −+=−+==
( ) ( ) ( ) ( ) 42222222222222 aauaauuaauaauu ++−+=−+−+=
( ) ( ) ( )∫∫ +
++−+=−du
au
aauaauudx
x
ax22
422222223
22
∫∫ ++−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+−=22
42322
422
au
duauau
3
1du
au
aau
Jadi :
SUBSTITUSI DENGAN TRIGONOMETRI
222 xba − usinb
ax =
222 xba + utgb
ax =
222 axb − usecb
ax =
Jika integran memuat bentuk :
→ substitusi :
→ substitusi :
→ substitusi :