FUNGSI TRIGONOMETRI

Keterangan gambar segitiga siku siku diatas ialah menjelaskan tentang hubungan Sin, Cos, dan Tan dengan sudut yang dibentuk oleh segitiga siku-siku. Adapun letak masing masing sisi hadap, miring dan dekatan tidaklah tetap seperti pada contoh gambar diatas, melainkan menyesuaikan dimana letak sudut ditentukan.

Sisi miring

Sis

i depan

Sisi samping

Dari contoh gambar diatas, bisa kita simpulkan bahwa sinus bisa kita peroleh dengan persamaan :

sampingsisi

depansisi

miringsisi

sampingsisi

miringsisi

depansisi

tan

cos

sin

t Sin t Cos t

0 0 1

π/6 1/2 √3/2

π/4 √2/2 √2/2

π/3 √3/2 1/2

π/2 1 0

2π/3 √3/2 -1/2

3π/4 √2/2 -√2/2

5π/6 1/2 -√3/2

π 0 -1

Untuk menggambarkan grafik y = sin t dan y = cos t, dengan prosedur yang telah baku (buat table nilai), table nilai sudah tersedia. Salah satu tabelnya ialah Tabel II dari Apendiks; table ringkas untuk bilangan khusus, dari table diatas kita dapat menggambarkan grafik.

-1

1

-2π

-π π 2π

y = sin t

y = cos t

t

Bahkan dengan pengamatan sekilas saja, dapat dilihat 4 hal tentang grafik ini :Sin t dan cos t keduanya berkisar dari -1 sampai 1.Kedua grafik berulang dengan sendirinya pada selang yang berdampingan sepanjang 2π.Grafik y = sin t simetri terhadap titik asal, dan y = cos t terhadap sumbu y.Grafik y = sin t sama seperti y = cos t, tetapi digeser π/2 satuan ke kanan.

tt

tt

t

tt

t

tt

sin

1csc

cos

1sec

sin

coscot

cos

sintan

Contoh 1. Buktikan bahwa tangen adalah fungsi ganjil.Penyelesaian

Contoh 2. Periksa kebenaran identitas - identitas berikut

tt

t

t

tt tan

cos

sin

)cos(

)sin()tan(

tt

tt22

22

csccot1

sectan1

ttt

tt

t

tt

ttt

tt

t

tt

222

22

2

22

222

22

2

22

cscsin

1

sin

cossin

sin

cos1cot1

seccos

1

cos

sincos

cos

sin1tan1

Sudut biasanya diukur dalam derajat atau dalam radian. Sudut yang berpadanan terhadap satu putaran penuh berukuran 360˚, tetapi hanya 2π radian. Demikian pula, sudut lurus berukuran 180˚ atau π radian, kenyataan yang bermanfaat untuk diingat

180˚ = π radian ≈ 3,1415927 radian Ini menuju pada konversi biasa yang

diperlihatkan pada Gambar.8 dan pada fakta-fakta berikut,

1 radian ≈ 57,29578˚ 1˚ ≈ 0,0174533 radian

Pembagian suatu putaran menjadi 360 bagian dilakukan demikian saja (menurut bangsa Babylon kuno, yang menyenangi kelipatan 60). Pembagian kedalam 2π bagian adalah lebih mendasar dan berlatar belakang pada pemakaian ukuran radian yang umum dalam kalkulus. Khususnya, perhatikan bahwa panjang busur “s” dari potongan busur sebuah lingkaran radius “r” dengan sudut pusat “t” radian memenuhi

Yaitu, s = r t

Bilamana r = 1, ini memberikan s = t. Dengan kalimat, panjang busur pada potongan lingkaran satuan dengan sudut pusat” t” radian adalah “ t”. Ini benar walaupun jika t negatif, asalkan kita menafsirkan panjang adalah negatif bilamana diukur dalam arah putaran jarum jam.

2

1

2r

s

Derajat Radian

0 0

30 π/6

45 π/4

60 π/3

90 π/2

120 2π/3

135 3π/4

150 5π/6

180 π

t rad

s

r

s = rt

Contoh: Cari jarak yang ditempuh oleh sebuah sepeda dengan roda yang mempunyai radius 30 cm, bila roda itu berputar sampai 100 putaran.

Penyelesaian.Dengan mengenali bahwa 100 putaran berpadanan dengan 100.(2π) radian.s = ( 30 ) ( 100 ) ( 2π ) = 6000π ≈ 18849,6 cm

Jika θ adalah sudut yang berukuran t radian, maka:

tt coscossinsin

Dalam kalkulus, jika kita temui sebuah sudut yang diukur dalam derajat, kita biasanya mengubahnya kedalam radian sebelum melakukan perhitungan. Misalkan,sin 31,6˚ = sin ﴾ 31,6. radian ﴿ ≈ sin ( 0,552 )

Kesamaan ganjil-genapsin (-x) = -sin xcos ﴾-x﴿ = cos xtan ﴾-x) = - tan x

Kesamaan fungsi kosin ﴾π/2 - x﴿ = cos xcos ﴾ π/2 – x﴿ = sin xtan ﴾ π/2 – x ﴿= cot x

Kesamaan Pythagorassin² x + cos² x = 11 + tan² x = sec² x1 + cot² x = csc² x

Kesamaan penambahansin (x + y) = sin x cos y + cos x sin ycos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y

tan (x + y) =yx

yx

tantan1

tantan

Kesamaan sudut – gandasin 2x = 2 sin x cos xcos 2x = cos² x - sin² x = 2 cos² x – 1

= 1 – 2 sin²x Kesamaan setengah sudut

2

cos1

2cos

2

cos1

2sin

x

x

Kesamaan jumlah

Kesamaan hasil kalisin x sin y = - ½ [cos (x + y) – cos(x – y)]cos x cos y = ½ [cos (x + y) + cos(x – y)]sin x cos y = ½ [sin (x + y) + sin(x – y)]

2cos

2cos2coscos

2cos

2sin2sinsin

yxyxyx

yxyxyx

1. Konversikan ukuran derajat berikut menjadi radian (gunakan π dalam jawaban):a. 300

b. -600

c. 450

d. 2400

2. Konversikan ukuran radian berikut menjadi derajata. 7 π/6 c. 9 π/8b. 4 π/3 d. -35 π/18

3. Buktikan bahwa kesamaan berikut ini adalah benar:a. (1+ sin z)(1- sin z) =

b. (sec t – 1)(sec t + 1) = tan2 tc. sin t (csc t – sin t) = cos2 t

d.

z2sec

1

tt

t

tttan

sin

cos

cossin

1