Persamaan Eksponen Matematika Kelas 2 > Eksponen

395

< Sebelum Sesudah >

Adalah persamaan yang didalamnya terdapat pangkat yang berbentuk

fungsi dalam x (x sebagai peubah).

[Ket. : Usahakan setiap bilangan pokok ditulis sebagai bilangan berpangkat

dengan bilangan dasar 2, 3, 5, 7, dst].

BENTUK-BENTUK

A. af(x) = ag(x) f(x) = g(x)

Samakan bilangan pokoknya sehingga pangkatnya

dapat disamakan.

contoh :

2 SUKU SUKU DI RUAS KANAN, 1 SUKU DI RUAS KIRI

1. 82x-3) = (32x+1)1/4

(23)(2x-3)1/2 = (25)(x+1)1/4

2(6x-9)/2 = 2(5x-5)/4 (6x-9)/2 = (5x-5)/4

24x-36 = 10x+10 14x = 46

x = 46/14 = 23/7

2. 3x²-3x+2 + 3x²-3x = 10

3².3x²-3x+3x²-3x = 10

9. 3x²-3x + 3x²-3x = 10 10. 3x²-3x = 10

3x² - 3x = 30 x² - 3x = 0

x(x-3) = 0 x1 = 0 ; x2 = 3

3 SUKU GUNAKAN PEMISALAN

1. 22x + 2 - 2 x+2 + 1 = 0

22.22x - 22.2x + 1 = 0 Misalkan : 2x = p

22x = (2x)² = p² 4p² -4p + 1 = 0

(2p-1)² = 0 2p - 1 = 0

p =1/2 2x = 2-1

x = -1

2. 3x + 33-x - 28 = 10

3x + 33/3x - 28 = 10 misal : 3x = p

p + 27/p - 28 = 0 p² - 28p + 27 = 0

(p-1)(p-27) = 0

p1 = 1 3x = 30

x1 = 0

p2 = 27 3x = 33

x2 = 3

B. af(x) = bf(x) f(x) = 0

Bilangan pokok berbeda, pangkat sama. Pangkatnya = 0.

Contoh:

1. 3x²-x-2 = 7x²-x-2 x² - x -2 = 0

(x-2)(x+1) = 0 x1 = 2 ; x2 = -1

C. af(x) = bf(x) f(x) log a = g(x) log b

Bilangan pokok berbeda, pangkat berbeda. Diselesaikan dengan menggunakan logaritma.

Contoh:

1. 4x-1 = 3x+1 (x-1)log4 = (x+1)log3

xlog4 - log4 = x log 3 + log 3 x log 4 - x log 3 = log 3 + log 4

x (log4 - log3) = log 12

x log 4/3 = log 12 x log 4/3 = log 12

x = log 12/ log 4/3 = 4/3 log 12

D. f(x) g(x) = f(x) h(x)

Bilangan pokok (dalam fungsi) sama, pangkat

berbeda.Tinjau beberapa kemungkinan.

1. Pangkat sama g(x) = h(x)

2. Bilangan pokok f(x) = 1 ket: 1g(x) = 1h(x) = 1

3. Bilangan pokok f(x) = -1 Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x)=-1 , maka nilai

pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus genap atau kedua-duanya harus ganjil.

ket :

g(x) dan h(x) Genap : (-1)g(x) = (-1)h(x) = 1 g(x) dan h(x) Ganjil : (-1)g(x) = (-1)h(x) = -1

4. Bilangan pokok f(x) = 0 Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x) = 0, maka nilai

pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus positif.

ket : g(x) dan h(x) positif 0g(x) = 0h(x) = 0

Contoh:

(x² + 5x + 5)3x-2 = (x² + 5x + 5)2x+3

1. Pangkat sama 3x - 2 = 2x + 3 x1 = 5

2. Bilangan pokok = 1 x² + 5x + 5 = 1

x² + 5x + 4 = 0 (x-1)(x-4) = 0 x2 = 1 ; x3 = 4

3. Bilangan pokok = -1

x² - 5x + 5 = -1 x² - 5x + 6 = 0 (x-2)(x-3) = 0 x = 1 ; x = 4

g(2) = 4 ; h(2) = 7 ; x=2 tak memenuhi karena (-1)4 (-1)7

g(3) = 7 ; h(3) = 9 ; x4 = 3 memenuhi karena (-1)7 = (-1)9 = -1

4. Bilangan pokok = 0

x² - 5x + 5 = 0 x5,6 = (5 ± 5)/2

kedua-duanya memenuhi syarat, karena : g(2 1/2 ± 1/2 5) > 0

h(2 1/2 ± 1/2 5) > 0

Harga x yang memenuhi persamaan diatas adalah : HP : { x | x = 5,1,4,3,2 1/2 ± 1/2 5}

Bilangan Pokok a > 0 1

Tanda Pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya

a > 1 0 < a < 1

af(x) > ag(x) f(x) > g(x)

af(x) < ag(x) f(x) < g(x)

(tanda tetap)

af(x) > ag(x) f(x) < g(x)

af(x) < ag(x) f(x) > g(x)

(tanda berubah)

Catatan: Untuk memudahkan mengingat, bilangan pokok 0 < a < 1 diubah saja menjadi a = 1.

Misal : 1/8 = (1/2)3 = 2-3

Contoh:

1. (1/2)2x-5 < (1/4)(1/2x+1) (1/2)2x-5 < (1/2)2(1/2x+1)

Tanda berubah (0 < a < 1)

2x - 5 > x +2

x > 7

2. 32x - 4.3x+1 + 27 > 0

(3x)² - 4.31.3x + 27 > 0 misal : 3x = p

p² -12p + 27 > 0 (p - 9)(p - 3) > 0

p < 1 atau p > 9 3x < 31 3x > 3²

x < 1 atau x > 2

EKSPONEN

1. Pengertian Eksponen

Bentuk an (baca : a pangkat n) disebut bentuk eksponensial atau perpangkatan dengan a disebut

basis atau bilangan pokok dan n disebut eksponen atau pangkat.

Jika n adalah bilangan bulat positif, maka :

Berdasarkan penjelasan di atas maka berlaku rumus-rumus di bawah ini :

Misalkan dan m,n adalah bilangan positif, maka:

Contoh:

Ubahlah bentuk ini dalam bentuk pangkat positif :

Jawab:

2. Fungsi Eksponen dan Grafiknya

Fungsi eksponen merupakan pemetaan bilangan real x ke ax dengan a > 0 dan Jika a > 0

dan , maka disebut fungsi eksponen

mempunyai sifat-sifat :

Kurva terletak di atas sumbu x (definit positif)

Mempunyai asimtot datar y = 0 (sumbu x )

Monoton naik untuk a > 1

Monoton turun untuk 0 <>

Grafik fungsi eksponen y = ax

y = ax : a > 1

y = ax 0 <>

Contoh: Buatlah grafik dari y = 2

x!

Jawab:

Buatlah tabel yang menunjukkan hubungan antara x dan y = f (x) = 2x . Dalam hal ini pilih nilai

x sehingga y mudah ditentukan.

3. Persamaan fungsi Eksponen Ada beberapa bentuk persamaan eksponen, diantaranya adalah:

F ( x ) = 1

- Untuk f(x) 0 dan f(x) 1, maka f(x) = g(x)

- f ( x ) = -1 asalkan f (x) dan g (x) sama-sama genap atau sama-sama ganjil,

- f ( x ) = 0 asalkan f ( x ) > 0 dan g ( x ) > 0

Contoh :

Tentukan nilai x supaya

Jawab:

4. Pertidaksamaan Eksponen

f ( x ) > g ( x ), 0 > 1

f ( x ) <>

Contoh:

Himpunan bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan adalah....

Jawab:

Jadi HP = { x | x > 2 }