persamaan diferensial orde-1

Pengertian-Pengertian

Pengertian

Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:

1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan satu peubah bebas.

2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan.

3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

xex

ydx

yddx

yd

12

5

2

22

3

3Contoh:

Persamaan Diferensial, Pengertian-Pengertian

adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat satu atau lebih turunan fungsi.

Solusi

Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi

dengan digantikannya y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

0 xx keke

xkey 0 ydtdy

adalah solusi dari persamaan

xkey xke

dtdy karena turunan adalah

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan akan kita peroleh

Contoh:

Persamaan terpenuhi.

Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang mengandung n tetapan sembarang.

Persamaan Diferensial, Pengertian-Pengertian

Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang

Dapat Dipisahkan

Persamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat Dipisah

Pemisahan Peubah

Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk

0)()( dxxgdyyf

Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

Kdxxgdyyf ))()(

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda

yxedxdy

0 dxedye xy

y

x

ee

dxdy

Persamaan ini dapat kita tuliskan

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai persamaan dengan peubah terpisah

Kee xy Kee xy sehingga atau

Contoh:

Kdxedye xy Integrasi kedua ruas memberikan:


Contoh:xydx

dy 1

0x

dxydy

Kx

dxydy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk

Kxy

ln2

2

Kxy 2ln

atau

xdxydy atau

Integrasi kedua ruas:


Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu

Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde Satu

Persamaan Diferensial Homogen Orde SatuSuatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan dalam bentuk

xy

Fdxdy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah bebas baru

xy

v

vxy

dxdv

xvdxdy

)(vFdxdvxv

0)(

vFvdv

xdx

Pemisahan peubah:

yang akan memberikan

dan

vvFdxdvx )(

xdx

vvFdv

)(

atau:

Contoh: 02)( 22 xydydxyx

02)1( 2

22 xydydx

x

yxUsahakan menjadi homogen

dyxy

dxx

y2)1(

2

2

)/()/(2)/(1 2

xyFxyxy

dxdy

Peubah baru v = y/x

vxy

dxdvxv

dxdy

vv

dxdv

xv2

1 2

vv

vv

vdxdv

x231

21 22

xdx

vvdv

2312 0

312

2

v

vdvx

dx Peubah terpisah atau

)(2

1 2vF

vv

dxdy


Kita harus mencari solusi persamaan ini untuk mendapatkanv sebagai fungsi x.

031

22

vvdv

xdx

dxxd

x)(ln1

)6(311 )31(

)31()31ln()31ln(

2

2

2

22v

vdvvd

vdvd

dvvd

Kita coba hitung

KKvx ln31

)31ln(31

ln 2

0)31ln(31 2

dvdv

vdx

dx

KKvx ln)31ln(ln3 2

Kvx )31( 23

Kxyx 23 )/(31 Kyxx 22 3

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x dan kita tahu bahwa

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah bentuk persamaan menjadi

Integrasi ke-dua ruas:


Persamaan Diferensial Linier Orde Satu

Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu

Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan

Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.

Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum sebagai

)(tfbydtdy

a

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi. Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal

utama yang hanya ada tiga, yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia merupakan bentuk

komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.

QPydxdy

Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk


Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik. Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara pendugaan

Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan homogen

0 bydtdy

a

Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian.

Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi penggerak.


Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen, maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan, sebab

0

)(

11

22

11

2121

bfdtdf

abfdt

dfabf

dtdf

a

ffbdt

ffdaby

dtdya

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen.


Solusi Homogen

Persamaan homogen 0 bydtdy

a

Jika ya adalah solusinya maka

0 dtab

ydy

a

a

Integrasi kedua ruas memberikan

Ktabya ln

sehingga

Ktabya ln

taba

Ktab

a eKey )/(

Inilah solusi homogen


)(tfbydt

dya p

p

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.

tKtKytAtftAtf

KeyAetf

KyAtf

ytf

scp

tp

t

p

p

sincos cos)(atau , sin)( Jika

aleksponensi al,eksponensi)( Jika

konstan konstan,)( Jika

00)( Jika

Jika solusi khusus adalah yp , maka

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi

Jika dugaan solusi total adalah tabaptotal eKyy )/(

Masih harus ditentukan melalui kondisi awal.

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan

01000 vdtdv

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.


Contoh:

Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi khusus bernilai nol.

01000 dtvdv

Ktv 1000ln

ta

Kt eKev 10001000

Penerapan kondisi awal: aK12

Solusi total: V 12 1000tev


Contoh: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan

1210 3 vdtdv

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah tanggapan lengkap.

Solusi homogen: 010 3 a

a vdt

dv 0103 dtvdv

a

a

taa eKv 1000

Solusi khusus: 12pv karena f(t) = 12

Solusi total (dugaan): tatotal eKv 100012

Penerapan kondisi awal: aK120 12aK

Solusi total: V 1212 1000ttotal ev


Contoh:tv

dtdv

10cos1005

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien

menghasilkan persamaan

Carilah solusi total.

Solusi homogen: 05 aa v

dtdv

05 dtvdv

a

a

Ktva 5ln taa eKv 5

Solusi khusus: tAtAv scp 10sin10cos

ttAtAtAtA scsc 10cos10010sin510cos510cos1010sin10

ttAtA cs 10cos10010cos510cos10 100510 cs AA

010sin510sin10 tAtA sc 0510 sc AA

8sA 4cA

Solusi total (dugaan): taeKttv 510sin810cos4

Penerapan kondisi awal: aK40 4aK

Solusi total : tettv 5410sin810cos4

Course Ware

Persamaan DiferensialOrde-1

Sudaryatno Sudirham

persamaan diferensial orde-1

Documents