persamaan diferensial orde 1

Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE-1Cara Penyelesaiannya dengan:#A#PENJUMLAHAN JAWABAN “HOMOGEN DAN PARSIAL/PARTIKULER”;#B#METODE PEMISAHAN;#C#METODE REDUKSI;#D#METODE FAKTOR INTEGRAL; atau#E#PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLI.

A#PENJUMLAHAN JAWABAN “HOMOGEN DAN PARSIAL/PARTIKULER”

Jawaban: y= yh+ y p

# yh = jawaban homogen ≫≫ yh=A ∙esx

Persamaan menggunakan yh dan dipersamakan dengan nol.

1


# y p = jawaban parsial/partikulerPermisalan y p mengikuti ketentuan-ketentuan berikut.

(1) Untuk f ( x )=eax ∙Pn ( x ), dengan Pn ( x ) = polynomial berderajat n.(a) Jika a bukan akar-akar persamaan karakteristik, maka y p=eax ∙Qn ( x ) dengan Qn ( x ) =

polynomial berderajat n dengan koefisien-koefisien tidak ditentukan.(b) Jika a akar-akar persamaan karakteristik, maka y p=xr ∙ eax ∙Q n ( x ) dengan r adalah

jumlah akar yang bernilai a (r=1 atau r=2).

(2) Untuk f ( x )=eax ∙ [Pn ( x ) ∙cosbx+Qn ( x ) ∙ sinbx ], (a) φ (a±bi )≠0

y p=eax ∙ [SN ( x ) ∙cosbx+T N ( x ) ∙sinbx ], dengan SN ( x ) dan T N ( x ) adalah polinomial-polinomial berderajat Nmaksimum {n ,m }.

(b) φ (a±bi )≠0

y p=xr ∙ eax ∙ [SN ( x ) ∙cos bx+T N ( x ) ∙ sinbx ], dengan r adalah jumlah akar yang sama dengan (a±bi ) #untuk persamaan-persamaan orde-2, r=1.

CONTOH#1#penjumlahan jawaban homogen dan parsialSelesaikan persamaan diferensial berikut!

2


ddx

y+ y=ex

PENYELESAIAN “CONTOH#1#penjumlahan jawaban homogen dan parsial”Jawaban HomogenBentuk persamaan homogenya, adalah: yh

' + yh=0

Dimisalkan: yh=A esx >>>>>> yh'=s ∙ A esx

Substitusikan yh dan yh' ke persamaan homogen-nya, diperoleh:

Aesx+s ∙ A esx=0≫≫≫ (1+s ) ∙ A esx=0

Dicari nilai s dari (1+s) ∙ A esx=0, maka:

1+s=0≫≫≫ s=−1

Catatan:1+s=0 ≫≫ persamaan karak teristik

3


s=−1 ≫≫ akar persamaan karakteristik

⋰⋯⋱Jawaban homogen:yh=A e−x

Jawaban ParsialBentuk persamaan untuk jawaban parsial, adalah:

y p' + y p=ex

f ( x )=ex=eax ∙Pn ( x ), maka: a=1 dan Pn ( x )=1. Berarti n=0 #tidak terdapat fungsi x.

y p=ex [B x0+0 ]≫≫≫ y p=Be x≫≫≫ y p'=B ex

Substitusikan y p dan y p' ke persamaan parsial-nya, diperoleh:

Bex+Bex=ex≫≫≫2Be x=ex

Dicari nilai B dari 2Be x=ex, maka:2B=1≫≫≫B=1

2

4


⋯⋱Jawaban parsial:y p=

12ex

⋰⋯⋱Jawaban keseluruhan (total):y= yh+ y p=Ae− x+ 1

2ex


4ddx

y+12 y=10x e−5x

PENYELESAIAN “CONTOH#2#penjumlahan jawaban homogen dan parsial”Jawaban HomogenBentuk persamaan homogennya, adalah:

4 yh' +12 yh=0



5


4 sA esx+12 Aesx=0≫≫≫ (4 s+12 ) ∙ A esx=0

Dicari nilai s dari (4 s+12 ) ∙ A esx=0, maka:

4 s+12=0≫≫≫4 s=−12≫≫≫ s=−3

Catatan:4 s+12=0 ≫≫ persamaan karak teristik

s=−3 ≫≫ akar persamaan karakteristik

⋯⋱Jawaban homogen:yh=A e−3 x

Jawaban ParsialBentuk persamaan untuk jawaban parsial, adalah:

4 y p' +12 y p=10 xe

−5x

6


f ( x )=10 x e−5x=eax ∙ Pn ( x ), maka: a=−5≠ akar persamaan karakteristik dan Pn ( x )=10 x. Berarti n=1 #terdapat fungsi x.

y p=e−5x [ Bx+C ]≫≫≫ y p'=−5e−5 x [Bx+C ]+Be−5x

≫≫4 y p' +12 y p, maka:

4 ∙ [−5e−5 x (Bx+C )+B e−5 x ]+12 ∙ [e−5x (Bx+C ) ]=10 xe−5x

4 ∙ [ (−5e−5x ∙ Bx )+(−5 e−5 x ∙C )+Be−5x ]+12e−5xBx+12e−5xC=10 x e−5x

−20e−5x ∙Bx−20Ce−5x+4 Be−5x+12Bxe−5x+12Ce−5 x=10x e−5x

−20 Bxe−5 x+12 Bxe−5 x+4 Be−5x−20Ce−5x+12Ce−5x=10 x e−5x

−8 Bxe−5 x+4 Be−5x−8Ce−5x=10 x e−5x

[−8 Bx+(4 B−8C ) ] ∙ e−5x=10 x e−5x

−8 Bx+(4 B−8C )=10 x

−8 B=10≫≫≫ B=−54

7


4 B−8C=0≫≫ 4B=8C≫≫C=12B≫≫C=1

2 (−54 )

C=−58

⋯⋱Jawaban parsial:y p=e−5x [ Bx+C ]≫≫≫ y p=e−5x [−54 x−5

8 ]≫≫≫

y p=−( 54 x+58 )e−5x

⋰⋯⋱Jawaban keseluruhan (total):y= yh+ y p=Ae−3x−( 54 x+ 5

8 )e−5x


5ddx

y−15 y=20 x3 e3 x

8


PENYELESAIAN “CONTOH#3#penjumlahan jawaban homogen dan parsial”Jawaban homogenBentuk persamaan homogennya, adalah:

5 yh' −15 yh=0



5 sA esx−15 A esx=0≫≫≫ (5 s−15 ) ∙ A esx=0

Dicari nilai s dari (5 s−15 ) ∙ A esx=0, maka:

5 s−15=0≫≫≫5 s=15≫≫≫ s=3

Catatan:5 s−15=0 ≫≫ persamaan karak teristik

s=3 ≫≫ akar persamaan karakteristik

9


⋯⋱Jawaban homogen:yh=A e3 x

⋯⋱Jawaban parsialBentuk persamaan untuk jawaban parsial, adalah:

5 y p' −15 y p=20x

3 e3x

f ( x )=20x3 e3x=xr ∙ eax ∙ Pn ( x ), maka: a=3=¿ akar persamaan karakteristik (r=1) dan Pn ( x )=20 x3. Berarti n=3 #terdapat fungsi x.

y p=xr ∙Bxn ∙eax

y p=x1 ∙Bx3 ∙ e3 x≫≫ y p=Bx4 ∙ e3 x

≫≫ y p'=Bx4 ∙3e3x+4 Bx3∙ e3x

Substitusikan y p dan y p' ke persamaan parsial-nya (5 y p

' −15 y p), maka diperoleh:

5 ∙ (Bx4 ∙3e3x+4Bx3 ∙ e3x )−15∙ Bx4 ∙ e3x=20 x3 e3 x

10


(15 Bx4−15Bx4 ) ∙ e3x+4 Bx3 ∙ e3 x=20 x3e3x

4 Bx3 ∙ e3x=20 x3 e3 x

4 Bx3=20 x3

4 B=20≫≫ B=5

Substitusikan B=5 ke y p=Bx4 ∙ e3 x=5x4 e3x, maka:

⋯⋱Jawaban parsial:y p=5 x

4 e3x

⋰⋯⋱Jawaban keseluruhan (total):

y= yh+ y p=Ae3x+5 x4 e3 x

B#METODE PEMISAHAN11


Untuk kondisi dimana terdapat bentuk:

g ( y ) ∙ ddx

y+ f ( x )=0 atau g ( y ) ∙ ddx

y=f ( x ), maka diubah menjadi:

g ( y ) ∙ dy=f ( x ) ∙ dx.

Selanjutnya diselesaikan dengan pengintegralan terhadap kedua ruas.CONTOH#1#metode pemisahanSelesaikan persamaan berikut!

x (2 y−3 )+(x2+1 ) ddx

y=0

PENYELESAIAN#CONTOH#1#metode pemisahan

Diubah dalam bentuk: g ( y ) ∙ dy=f ( x ) ∙ dx, sehingga diperoleh:

(x2+1 ) ddx

y=−x (2 y−3 )

1(2 y−3 )

dy= −x

(x2+1 )dx

12


∫ 1(2 y−3 )

dy=−∫ x ∙dx

(x2+1 )

12∫

1(2 y−3 )

dy=−∫ x

(x2+1 )dx

12ln (2 y−3 )=−1

2ln (x2+1 )

(2 y−3 )12=( x2+1 )

−12 ≫≫2 y−3= 1

x2+1

≫≫2 y= 1x2+1

+3≫≫2 y= 1x2+1

+3 ∙ x2+1

x2+1

≫≫2 y= 1x2+1

+ 3x2+3

x2+1≫≫2 y=1+3 x

2+3x2+1

≫≫2 y=3 x2+4

x2+1≫≫ y= 3 x2+4

2 (x2+1 )

∴ y=3 x2+4

2 x2+2

13


CONTOH#2#metode pemisahanSelesaikan persamaan berikut!

(1−ex ) sec2 y dy+3 ex tan y dx=0

PENYELESAIAN#CONTOH#2#metode pemisahan

Diubah dalam bentuk: g ( y ) ∙ dy=f ( x ) ∙ dx, sehingga diperoleh:

(1−ex ) sec2 y dy=−3ex tan y dx

sec2 ytan y

dy= −3ex

(1−ex )dx

sec2 ytan y

dy= −3ex

(1−ex )∙( 1−ex ) ∙ d (1−ex )

sec2 y ∙1tan y

dy=−3ex

−ex ∙d (1−ex )(1−e x)

∙

14


1cos2 y

∙cos ysin y

dy=3 ∙d (1−ex )(1−ex )

1cos y ∙sin y

dy=3 ∙d (1−ex )(1−ex )

dysin y ∙cos y

=3 ∙d (1−ex )(1−e x)

dy12

[sin ( y+ y )+sin ( y− y ) ]=3 ∙

d (1−ex)(1−ex )

dy12

[sin 2 y+sin 0 ]=3 ∙

d (1−ex)(1−ex )

dy12∙ sin 2 y

=3 ∙d (1−ex )(1−ex )

2dy

sin 2 y=3 ∙

d (1−ex)(1−ex )

2 ∙12∙d (2 y )sin 2 y

=3 ∙d (1−ex)(1−ex )

15


csc 2 y d (2 y )=3 ∙ d(1−ex )

(1−e x)

∫ csc2 y d2 y=3∙∫ d (1−ex )(1−ex )

ln|tan y|=3 ∙ ln (1−ex )≫≫ tan y=(1−ex )3

∴ y=tan−1 (1−ex )3

C#METODE REDUKSIUntuk kondisi dimana terdapat persamaan diferensial dalam bentuk yang mengandung y

x

(karena y ' dikalikan dengan x), maka digunakan metode reduksi dengan permisalan yx=u.

yx=u≫≫≫ y=u ∙ x≫≫≫ y'= d

dxy

≫≫≫ y '=u+x ∙ddx

u≫≫≫ y '=u+x ∙u'

16


kemudian, substitusikan bentuk y ' dan y yang baru ke persamaan. Selanjutnya, diselesaikan dengan metode pemisahan.

CONTOH#1#metode reduksiSelesaikan persamaan diferensial berikut!

x y'= y+ x2 sec ( yx )

PENYELESAIAN#CONTOH#1#metode reduksi

x y'= y+ x2 sec ( yx )≫≫ y '= yx+ x2

xsec( yx )

Diubah ke bentuk dasar: y '=u+x ∙u '.

y '= yx+x sec( yx )≫≫u+ x ∙u'=u+x ∙ secu

17


≫≫x ∙ddx

u=u−u+x ∙ sec u≫≫ x ∙ddx

u=x ∙ sec u

≫≫ ddx

u=sec u≫≫ dsec u

u=dx≫≫cosu ∙du=dx

≫≫∫cos u∙du=∫ dx≫≫ sinu=x

≫≫u=sin−1 x≫≫ yx=sin−1 x

∴ y=x ∙ sin−1 x

CONTOH#2#metode reduksiSelesaikan persamaan berikut!

(x2+1 ) ∙ y ∙ ( x y '− y )=x3

PENYELESAIAN#CONTOH#2#metode reduksi

(x2+1 ) ∙ y ∙ ( x y '− y )=x3(dikalikandengan 1x)

18


(x2+1 ) ∙ y ∙( y '− yx )=x2

y ∙( y '− yx )= x2

(x2+1 )

Diketahui (dalam penjelasan teorema):

∴ yx=u∴ y=ux∴ y '=u+x u'

ux ∙ (u+x u'−u )= x2

( x2+1 )

u ∙ ( xu' )= x

(x2+1 )≫≫u ∙u'= 1

(x2+1 )

u ∙ddx

u= 1

(x2+1 )≫≫u ∙du= dx

(x2+1 )

u ∙du=12d (x2+1 )(x2+1 )

≫≫∫u ∙du=12∫ d (x2+1 )

(x2+1 )

19


12∙u2=1

2∙ ln ( x2+1 )≫≫u2=ln (x2+1 )

∴u=√ ln (x2+1 )

D#METODE FAKTOR INTEGRALUntuk kondisi dimana terdapat bentuk:

y '+f ( x ) y=r ( x )

maka penyelesaiannya:

y=e−h [∫ eh ∙ r ( x ) ∙ dx+C ]

h=¿ faktor integral ≫≫≫h=∫ f ( x )+C.

CONTOH#1#metode faktor integralSelesaikan persamaan berikut!

(x2+1 ) ∙ y '=xy−x

20


PENYELESAIAN#CONTOH#1#metode faktor integral

(x2+1 ) y '−xy=−x

y '− x

(x2+1 )y= −x

(x2+1 )

Sesuai teorema sebelumnya, bahwa bentuk dasar: y '+f ( x ) y=r ( x ), sehingga:

∴ f ( x )= −x

(x2+1 )∴ r ( x )= −x

(x2+1 )

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++Digunakan teorema dasar:y=e−h [∫ eh ∙ r ( x ) ∙ dx+C ]. h=¿ (faktor integral) h=∫ f ( x )+C.++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

h=∫ −x

(x2+1 )dx≫≫h=−1

2ln (x2+1 )

21


∴h=−ln (x2+1 )12

Digunakan persamaan dasar:

y=e−h [∫ eh ∙ r ( x ) ∙ dx+C ]

y=e ln(x2+1 )12 [∫ e−ln (x2+1)

12

∙( −x(x2+1 ) )∙ dx+C ]

y=( x2+1 )12 [−∫ 1

(x2+1 )12

∙x

(x2+1 )∙ dx+C ]

y=( x2+1 )12 [−∫ x

(x2+1 )32

dx+C]y=( x2+1 )

12 [−∫ x (x2+1 )

−32 dx+C ]

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++Gunakan teorema bentuk integral:

∫ x (ax2+c )ndx= 12a

∙(ax2+c )n+1

n+1;n≠−1

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

22


Diperoleh:

y=( x2+1 )12 ∙(−12 ) (x2+1 )

12

−12

+(x2+1 )12 C

≫≫ y=1+ (x2+1 )12 ∙C≫≫∴ y=1+C ∙√x2+1

CONTOH#2#metode faktor integralSelesaikan persamaan berikut!

x2 y2+2 xy=sinh 3 x

PENYELESAIAN#CONTOH#2#metode faktor integral

x2 y2+2 xy=sinh 3 x {dikalikan dengan 1x2 }y2+ 2

xy= 1

x2sinh 3 x

Digunakan bentuk dasar: y '+f ( x ) y=r ( x ), sehingga:

23


∴ f ( x )=2x∴ r (x )= 1

x2sinh 3 x

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++Digunakan teorema dasar:y=e−h [∫ eh ∙ r ( x ) ∙ dx+C ]. h=¿ (faktor integral) h=∫ f ( x )+C.++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

h=∫ 2xdx≫≫h=2 ln x=ln x2

∴h=ln x2

Digunakan teorema dasar: y=e−h [∫ eh ∙ r ( x ) ∙ dx+C ].

y=e−ln x2[∫ e ln x2

∙1

x2sinh 3 x ∙dx+C ]

y= 1

x2 [∫ x2 ∙1

x2sinh 3 x ∙dx+C ]

y= 1

x2[∫sinh 3 x ∙dx+C ]

24


y= 1x2 [∫ 12 [e3x−e−3 x ] ∙ dx+C ]

y= 1x2 [ 12∫e3x ∙ dx−1

2∫ e−3 x ∙ dx+C]

y= 1x2 [ 12 ∙ 13 e3 x−1

2 (−13 )e−3x

+C ]y= 1

x2 [ 16 e3 x+ 16e−3x+C]

y= 1x2 [ 16 (e3 x+e−3x )+C]

y= 1

x2 [ 16 ∙( 12 sinh3 x )+C]≫≫ y= 1x2 [ 13 sinh3 x+C ]

∴ y=sinh 3 x3 x2

+ C

x2

25


E#PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLIUntuk kondisi dimana terdapat bentuk:

y '+f ( x ) y=g ( x ) ∙ ya, maka untuk penyelesaiannya, semua suku dikalikan dengan (1−a ) ∙ y−a; sehingga:

(1−a ) ∙ y−a ∙ y '+ f ( x ) y ∙ (1−a ) ∙ y−a=g ( x ) ∙ ya ∙ (1−a ) ∙ y−a

(1−a ) ∙ ya ∙ y '+ f ( x ) ∙ (1−a ) ∙ y1−a=(1−a ) ∙ g ( x )

Selanjutnya dimisalkan:

u ( x )= y1−a≫≫≫u '=(1−a ) ∙ y−a ∙ y1

Sehingga:u'+(1−a ) ∙ f ( x ) ∙u=(1−a ) ∙ g ( x )

Bentuk tersebut dapat diselesaikan dengan faktor integral dengan:

h=∫ f ( x ) ∙ dx dan r ( x )=g ( x ).

CONTOH#1#persamaan diferensial Bernoulli

26


Selesaikan persamaan berikut!y '+x−1 y=x y2

Penyelesaian:y '+x−1 y=x y2

≫≫a=2 ; f ( x )=1x; g ( x )=x ;u= y1−2= y−1= 1

y.

Disubstitusikan ke persamaan dasar:

u'+(1−a ) ∙ f ( x ) ∙u=(1−a ) ∙ g ( x )

Diperoleh:u'+(1−2 ) ∙ 1

x∙u=(1−2 ) ∙ x

u'−1x∙u=−x

h=−∫ 1x∙dx=−ln x

u=e−ln x [∫ e−ln x ∙−x ∙dx ∙+C ]

27


u=x [∫ 1x ∙−x ∙dx ∙+C]

u=x [−x+C ]≫≫u=−x2+cx⋰⋰⋰u= 1y

1y=−x2+cx≫≫∴ y= 1

−x2+cx

CONTOH#2#persamaan diferensial BernoulliSelesaikan persamaan berikut!

3 y '+ y=(1−2 x ) y4

Penyelesaian:

3 y '+ y=(1−2 x ) y4 {ruaskiri dibagidengan3 }

Menjadi bentuk lain:y '+13y=(1−2x ) y4

≫≫a=4 ; f ( x )=13; g ( x )=(1−2x ) ;u= y1−4= y−3= 1

y3

Disubstitusikan ke persamaan dasar:

28


u'+(1−a ) ∙ f ( x ) ∙u=(1−a ) ∙ g ( x )

Diperoleh:u'+(1−4 ) ∙ 1

3∙u=(1−4 ) ∙ (1−2x )

u'−3 ∙ 13∙u=−3 ∙ (1−2x ) ≫≫u'−u=−3 ∙ (1−2x )

≫≫u'−u=6 x−3

h=∫ dx=x

u=ex [∫ ex ∙ (6 x−3 ) ∙ dx+C ]

u=ex [∫ ex ∙6 x ∙dx−∫3e x ∙ dx+C ]

u=ex [6∫ x ∙dex−3∫ ex ∙ dx+C ]

u=ex [6 x ∙ ex−6∫ex ∙ dx−3∫ ex ∙ dx+C ]

u=ex [6 x ∙ ex−9ex+C ]

u=ex [ (6 x−9 ) ex+C ]

29


u=(6 x−9 ) e2x+Cex

∴u= 1y3

≫≫ 1y3

= (6x−9 ) e2x+Cex

∴ y=3√ 1(6 x−9 ) e2x+C ex

30

persamaan diferensial orde 1

Science