Persamaan diferensial biasa:Persamaan diferensial orde-pertama

Dwi Prananto

June 1, 2015

Daftar isi

1 Pemodelan sistem fisis 1

2 Persamaan diferensial 22.1 Bentuk umum persamaan diferensial biasa (PDB) . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Orde persamaan diferensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Solusi persamaan diferensial biasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4 Eksponensial sebagai solusi PDB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.5 Solusi persamaan diferensial dengan metode pemisahan variabel . . . . . . . . . 4

3 Persamaan diferensial homogen 4

4 Persamaan diferensial eksak 54.1 Syarat persamaan diferensial eksak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.2 Solusi implisit persamaan diferensial eksak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.3 Faktor integrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 Pemodelan sistem fisis

Dalam menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan dunia fisis, insinyur dan ilmuwanbiasa mempresentasikan sistem fisis yang dihadapi dalam bentuk persamaan matamatika un-tuk kemudian menyelesaikan persamaan tersebut dengan metode matematis untuk memper-oleh solusi atas permasalahan yang dihadapi. Aktivitas seperti ini disebut dengan pemodelanmatamatis atau biasa hanya disebut pemodelan. Alur yang biasa dilalui dalam pemodelanmatematis digambarkan dalam diagram berikut:

Kebanyakan dari model matematis adalah dalam bentuk persamaan yang di dalamnya men-gandung turunan dari satu atau lebih variabel atau fungsi. Model seperti ini dinamakanpersamaan diferensial. Oleh karena itu, sangat penting bagi insinyur dan ilmuwan untukmengetahui dan memahami persamaan diferensial dan bagaimana cara menemukan solusinya.Dalam matematika, solusi berarti fungsi yang memenuhi persamaan diferensial. Dalam babini kita akan mempelajari persamaan diferensial, khususnya persamaan diferensial biasa, danbagaimana mencari solusi dari persamaan diferensial.

1

Gambar 1: Alur dalam pemodelan matematis

Gambar 2: Sistem fisis dan model matematisnya

2 Persamaan diferensial

Persamaan diferensial dideskripsikan sebagai persamaan yang mengandung turunan dari vari-abel tak bebas dan beberapa variabel bebas. Persamaan diferensial dapat juga mengandungvariable tak bebas itu sendiri.

2.1 Bentuk umum persamaan diferensial biasa (PDB)

Persamaan diferensial biasa dapat dituliskan dalam dua bentuk, yaitu bentuk implisit danbentuk eksplisit.

F (x, y, y′) = 0→ bentuk implisit (1)

y′ = f(x, y)→ bentuk eksplisit (2)

Dalam persamaan diferensial ,turunan dari sebuah variabel biasa digantikan dengan tandapetik tunggal.

y′ =dy

dx

y′′ =d2y

dx2

2

2.2 Orde persamaan diferensial

Orde persamaan diferensial ditentukan dari turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaantersebut.

y′ = cosx→ persamaan diferensial orde-pertama

y′′ + 9y = e−2x → persamaan diferensial orde-kedua

2.3 Solusi persamaan diferensial biasa

Solusi persamaan diferensial adalah fungsi yang memenuhi persamaan diferensial. Bentukumum solusi persamaan diferensial biasa adalah

y = h(x). (3)

Solusi persamaan diferensial dapat dicari dengan beberapa cara. Salah satu cara yang palingmudah melibatkan integral kalkulus.

Contoh 2.1 Tentukan solusi dari persamaan diferensial

y′ =dy

dx= cosx

Solusi Untuk mencari solusi persamaan diferensial tersebut, pertama kita kalikan sisi kiridan kanan tanda sama dengan dx sehingga menghasilkan

dy = cosxdx.

Pengintegralan kedua sisi akan menghasilkan∫dy =

∫cosxdx.

Sehingga solusi persamaan diferensial y′ = cosx adalah:

y = sinx + c.

2.4 Eksponensial sebagai solusi PDB

Jika ada fungsi eksponensialy = Ce0,2t,

turunan dari fungsi tersebut terhadap t adalah

y′ = 0, 2Ce0,2t

atauy′ = 0, 2y.

Dapat kita simpulkan bahwa y = Ce0,2t adalah merupakan solusi dari persamaan diferensialy′ = 0, 2y. Dalam hal ini, C dinamakan solusi umum dan nilainya dapat dicari jika diketahuikondisi awal y(x0) = y0.

3

2.5 Solusi persamaan diferensial dengan metode pemisahan variabel

Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial adalahmetode pemisahan variabel. Dalam menggunakan metode ini, persamaan diferensial dirombaksedemikian hingga sehingga membentuk

g(y)y′ = f(x), (4)

untuk kemudian diselesaikan dengan kalkulus integral.

Contoh 2.2 Tentukan solusi dari persamaan diferensial

xdy + ydx = 0

Solusi Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel den-gan pertama merombak persamaan dalam bentuk variabel terpisah

1

ydy = −1

xdx.

Integralkan kedua sisi akan menghasilkan∫1

ydy = −

∫1

xdx

ln y = −(lnx)

ln y = ln

(1

x

)y =

1

x

Persamaan pada baris terakhir adalah solusi dari persamaan diferensial xdy + ydx = 0.Kita dapat mengonfimasi kebenaran solusi ini dengan melakukan substitusi solusi y = 1

x

dan turunannya terhadap y, dy = −x2dx, ke dalam persamaan diferensial

x(−x2dx) + x−1dx = 0.

3 Persamaan diferensial homogen

Persamaan diferensial homogen adalah persamaan diferensial yang dapat dibentuk ke dalambentuk

dy

dx= f

(yx

)(5)

Persamaan diferensial dengan bentuk seperti ini dapat diselesaikan dengan cara mewakilkan yx

dengan variable lain, untuk kemudian didelesaikan dengan metode pemecahan variable.

Contoh 3.1 Tentukan solusi persamaan diferensial berikut

2xyy′ = y2 − x2 (6)

4

Solusi Persamaan tersebut adalah persamaan diferensial yang dapat dibentuk ke dalambentuk persamaan (5)

y′ =y

2x− x

2y

gantikan yx

dengan v

v =y

x⇒ y = vx

. Menurunkan y = vx terhadap x, dengan memanfaatkan sifat perkalian dari turunan,menghasilkan

y′ = v + xv′. (7)

Substitusi persamaan (7) ke dalam persamaan (6) menghasilkan

2x(vx)(v + xv′) = (vx)2 − x2

2v(v + xv′) = v2 − 1

2v2 + 2xvv′ = v2 − 1

2xvv′ = −(v2 + 1).

Perasamaan terakhir dapat diselesaikan dengan metode pemecahan variabel

2v

v2 + 1v′ = −1

x

. Penyelesaian dengan kalkulus integralmenghasilkan∫2v

v2 + 1= −

∫1

x

ln(v2 + 1) = ln

(1

x

)v2 =

1

x− 1

v2 =1− x

x.

menggantikan kembali v, akan menghasilkan solusi persamaan diferensial(yx

)2=

1− x

xy2 = x− x2

4 Persamaan diferensial eksak

Jika terdapat sebuah fungsi u(x, y) yang memiliki turunan parsial, turunannya dapat ditulissebagai

du =∂u

∂xdx +

∂u

∂ydy. (8)

Jika fungsi u(x, y) = C, turunannya adalah du(x, y) = 0.

5

Contoh 4.1 Turunan parsial dari fungsi u(x, y) = x + x2y3 = C, adalah

du = (1 + 2xy3)dx + 3x2y(x, y)2dy = 0 (9)

Bentuk persamaan diferensial seperti persamaan (9) disebut sebagai persamaan diferensialeksak. Bentuk umumnya dituliskan sebagai berikut

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (10)

Jika persamaan (10) dituliskan kembali berdasarkan persamaan (8), diperoleh

du = 0,

mengintegrasikannya akan menghasilkan solusi implisit persamaan diferensial eksak

u(x, y) = C.

Membandingkan persamaan (10) dangan persamaan (8), kita dapatkan bahwa

M =∂u

∂xdan N =

∂u

∂y(11)

4.1 Syarat persamaan diferensial eksak

Turunan parsial dari M dan N pada persamaan (11) akan menghasilkan syarat/kondisi suatupersamaan diferensial dapat disebut persamaan diferensial eksak atau non-eksak.

∂M

∂y=

∂2u

∂x∂y

dan∂N

∂x=

∂2u

∂x∂y,

dengan demikian∂M

∂y=

∂N

∂x(12)

menjadi syarat persamaan diferensial eksak.

4.2 Solusi implisit persamaan diferensial eksak

JIka suatu persamaan diferensial memenuhi syarat sebagai persamaan diferensial eksak, so-lusinya dapat ditemukan dengan mengintegrasikan persamaan (11).

u(x, y) =

∫Mdx + k(y) (13)

atau

u(x, y) =

∫Ndy + l(x). (14)

Konstan k(y) dan l(x) dapat dicari dengan menurunkan u terhadap y, dudy

, dan menurunkan u

terhadap x, dudx

. Baik persamaan (13) atau (14) dapat digunakan mencari solusi dari persamaandiferensial eksak. Penggunaan salah satu dari dua persamaan tersebut akan menghasilkan hasilsolusi yang sama.

6

Contoh 4.2 Tentukan solusi persamaan diferensial

cos(x + y)dx + [3y2 + 2y + cos(x + y)]dy = 0

Solusi Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan pertama melakukan pengujianapakah keeksakan, apakah persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial eksak ataunon-eksak. Dalam persamaan,

M = cos(x + y)

danN = 3y2 + 2y + cos(x + y).

Turunan parsialnya adalah∂M

∂y= − sin(x + y)

dan∂N

∂x= − sin(x + y).

Dengan demikian persamaan tersebut memenuhi syarat sebagai persamaan diferensial ek-sak. Solusi persamaan tersebut dapat dicari dengan menggunakan persamaan (13) atau(14). Untuk ini kita gunakan persamaan (13)

u =

∫Mdx + k(y)

=

∫cos(x + y)dx + k(y)

u = sin(x + y) + k(y). (15)

k(y) dicari dengan menurunkan u terhadap y

du

dy= cos(x + y) +

dk(y)

dy. (16)

Berdasarkan persamaan (11), ∂u∂y

= N , kita persamakan persamaan (15) dengan persamaan

(11). Dengan N = 3y2 + 2y + cos(x + y).

cos(x + y) +dk(y)

dy= 3y2 + 2y + cos(x + y). (17)

Dari persamaan (16) kita dapati

dk(y)

dy= 3y2 + 2y,

dan dengan kalkulus integral kita peroleh nilai k(y)

k(y) = y3 + y2.

Substitusikan k(y) ke dalam persamaan (15) menghasilkan solusi implisit persamaan difer-ensial eksak

u(x, y) = sin(x + y) + y3 + y2

7

4.3 Faktor integrasi

Jika kita berhadapan dengan persamaan yang tidak memenuhi syarat persamaan diferensial(PD) eksak, atau disebut juga persamaan diferensial non-eksak, kita dapat menjadikan per-samaan tersebut menjadi PD eksak dengan mengalikannnya dengan sebuah faktor yang dina-makan Faktor Integrasi.

Suatu persamaan diferensial non-eksak

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, (18)

dapat diubah menjadi persamaan diferensial eksak dengan mengalikannya dengan fungsi F

FPdx + FQdy = 0. (19)

Fungsi F di sini disebut Faktor Integrasi.Karena persaaan (19) adalah persamaan diferensial eksak, persamaan (19) memenuhi syarat

persamaan diferensial eksak

∂FP

∂y=

∂FQ

∂x

F∂P

∂y+ P

∂F

∂y= F

∂Q

∂x+ Q

∂F

∂x. (20)

Faktor Integrasi F dapat dicari melalui persamaan (20) dengan memilih salah satu dari duavariabel x atau y. Ketika variabel x dipilih, turunan terhadap y sama dengan nol. Begitu pulasebaliknya ketika variabel y dipilih, turunan terhadap x sama dengan nol.

Kemungkinan I: Faktor integrasi sebagai fungsi x

Dengan

F = F (x),∂F

∂y= 0, (21)

substitusi ke dalam persamaan (20) kita peroleh

F∂P

∂y= F

∂Q

∂x+ Q

∂F

∂x.

Pengalian dengan 1FQ

menghasilkan

1

Q

∂P

∂y=

1

Q

∂Q

∂x+

1

F

∂F

∂x

1

F

∂F

∂x=

1

Q

(∂P

∂y− ∂Q

∂x

)1

F

∂F

∂x= R(x) , dimana R(x) =

1

Q

(∂P

∂y− ∂Q

∂x

)(22)

Dengan menerapkan kalkulus integral terhadap persamaan (22), Faktor Integrasi adalah

F (x) = e∫R(x)dx (23)

8

Kemungkinan II: Faktor integrasi sebagai fungsi y

Dalam hal ini

F = F (y),∂F

∂x= 0. (24)

Dengan menerapkan cara yang sama dengan Kemungkinan I, dapat diperoleh Faktor Integrasisebagai fungsi y

F (y) = e∫R(y)dy. (25)

dengan

R(y) =1

P

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

). (26)

Contoh 4.3 Tentukan solusi persamaan diferensial berikut

(ex+y + yey)dx + (xey − 1)dy = 0. (27)

Solusi Kita lakukan pengujian keeksakan terhadap persamaan tersebut

∂P

∂y= ex+y + yey + ey

dan∂Q

∂x= ey.

Jadi∂P

∂x6= ∂Q

∂y.

Dikarenakan persamaan diferensial dalam contoh ini adlah persamaan diferensial non-eksak,kita diharuskan untuk mencari Faktor Integrasi untuk mengubahnya menjadi persamaandiferensial eksak. Unruk dapat memperoleh Faktor Integrasi kita akan mencari nilai R(x)dan R(y) dari persamaan (22) dan (26)

R(x) =ex+y + yey

xey − 1

danR(y) = −1.

Kita akan gunakan R(y) dikarenakan dalam R(x) terdapat dua variabel sekaligus, x dan y.Faktor Integrasi sebagai fungsi y kita dapatkan

F (y) = e∫(−1)dy = e−y.

Persamaan diferensial eksak dapat kita bentuk dengan mengalikan persamaan (27) denganFaktor Integrasi

(ex + y)dx + (x− e−y)dy = 0. (28)

Kita dapat lakukan pengujiuan keeksakan seperti biasa untuk membuktikan apakah per-samaan (28) benar persamaan diferensial eksak.

Setelah terbentuk persamaan diferensial eksak kita tinggal menyelesaikan dengan solusiimplisit persamaan diferensial eksak

u =

∫x− e−ydy + l(x)

u = xy + e−y + l(x).

9

Turunan terhadap x∂u

∂x= y +

dl(x)

dx

Penyamaan dengan ex + y, menghasilkan

dl(u)

dx= ex.

yang jika diselesaikan akan didapatkan

l(x) = ex.

Jadi, solusi persamaan diferensial non-eksak tersebut adalah

u(x, y) = xy + e−y + ex = C.

Referensi

[1] E. Kreyszig, Advanced engineering mathematics, (John Willey & Sons, Inc., USA, 2011)

10