MATERI

SISTEM PERSAMAAN NIRLANJAR METODE TERBUKA

Metode terbuka tidak memerlukan selang yang mengurung akar. Yang diperlukan

hanyalah sebuah tebakan awal akar atau dua buah tebakan yang tidak perlu mengurung

akar. Oleh karena itu metodenya dinamakan metode terbuka.

Yang termasuk dalam metode terbuka adalah:

A. Metode lelaran titik tetap (fixed-point iteration)

B. Metode Newton-Raphson

C. Metode secant

A. Metode Lelaran Titik Tetap

Metode ini disebut juga metode lelaran sederhana, metode langsung atau metode sulih

beruntun. Pembentukan prosedur lelarannya adalah sebagai berikut:

1. Menyusun persamaan f(x)=0 menjadi bentuk x = g(x).

2. Kemudian membentuk menjadi prosedur lelaran

xr+1 = g(xr);r = 1, 2, 3, …

dan menebak sebuah nilai awal x0, kemudian menghitung nilai x1, x2, x3, … yang

mudah-mudahan konvergen ke akar sejati s sedemikian hingga

f(s) = 0 dan s = g(s)

3. Kondisi berhenti lelaran dinyatakan bila

|xr+1−xr|<ε

atau bila menggunakan gelat relatif hampiran

|xr+1−xr

xr+1|<δ

dengan ε dan δ telah ditetapkan sebelumnya.

Kriteria Konvergensi Metode Lelaran Titik-Tetap

Diberikan prosedur lelaran

xr+1=g(xr)

Misalkan x = s adalah solusi f(x) = 0 sehingga f(s) = 0 dan s = g(s). Selisih antara

dan xr+1 dan s adalah

xr+1−s=g ( xr )−s

¿g ( xr )−s

( xr−s )(xr−s)

Terapkan teorema nilai rata-rata sehingga

xr+1−s=g ' (t)(xr−s)

yang mana xr+1< t<s. Misalkan galat pada lelaran ke-r dan lelaran ke-(r+1) adalah

ε r=xr−s dan εr+1=xr+1−s

dan dapat kita tulis menjadi

ε r+1=g ' (t)εr

atau dalam tanda mutlak

|εr+1|=|g '( t)||εr|≤ K|ε r| dimana g' (x ) ≤ K<1.

TEOREMA 3.2. Misalkan g(x) dan g'(x) menerus di dalam selang [a,b] = [s-h,

s+h] yang mengandung titik tetap s dan nilai awal x0 dipilih dalam selang tersebut.

Jika |g'(x)| < 1 untuk semua x ∊ [a, b] maka lelaran xr+1 = g(xr) akan konvergen ke s.

Pada kasus ini s disebut juga titik atraktif. Jika |g'(x)| > 1 untuk semua x ∊ [a, b]

maka lelaran xr+1 = g(xr) akan divergen dari s.

Teorema 3.2 dapat diringkas sebagai berikut:

Di dalam selang I = [s-h, s+h], dengan s titik tetap,

jika 0 < g'(x) < 1 untuk setiap x ∊ I, maka lelaran konvergen monoton;

jika -1< g'(x) < 0 untuk setiap x ∊ I, maka lelaran konvergen bersosilasi;

jika g'(x) > 1 untuk setiap x ∊ I, maka lelaran divergen monoton;

jika g'(x) < -1 untuk setiap x ∊ I, maka lelaran divergen berosilasi

Konvergen monoton: 0 < g’(x) < 1 Konvergen berosilasi: –1 < g’(x) < 0

Divergen monoton: g’(x) > 1 Divergen berosilasi: g’(x) < -1

B. Metode Newton-Raphson

Metode ini paling sering dipakai dan disukai karena konvergensinya paling

cepat diantara metode lainnya.

1. Pendekatan dalam menurunkan rumus metode Newton-Raphson

Ada dua pendekatan dalam menurunkan rumus metode Newton-Raphson, yaitu:

a. Penurunan rumus Newton-Raphson secara geometri

Dari gambar grafik gradient garis singgung di xi adalah

m=f ' ( xr )=∆ y∆ x

=f ( xr )−0

xr−xr+1

Atau

f ' ( xr )=f (xr)

xr−xr+1

Sehingga prosedur lelaran metode Newton-Raphson adalah

xr+1=xr−f ( xr )f ' ( xr )

, f '(xr)≠ 0

b. Penurunan rumus Newton-Raphson dengan bantuan deret Taylor

Menguraikan f (xr+1) di sekitar xr ke dalam deret Taylor:

f ( xr+1 ) ≈ f ( xr )+( xr+1−xr ) c+( xr+1−xr )2

2f ' ' (t ) , xr<t< xr+1

Yang bila dipotong sampai suku order-2 saja menjadi

f ( xr+1 ) ≈ f ( xr )+( xr+1−xr ) f ' (xr)

Karena mencari akar, maka f ( xr+1 )=0 , sehingga

0=f ( xr )+( xr+1−xr ) f ' (xr)

Atau

xr+1=xr−f ( xr )f ' ( xr )

, f '(xr)≠ 0

Yang merupakan metode Newton-Raphson

Kondisi berhenti lelaran Newton-Raphson adalah bila:

|xr+1−xr|<ε

Atau bila menggunakan gelat relatif hampiran

|xr+1−xr

xr+1|<δ

Dengan ε dan δ adalah toleransi galat yang diinginkan.

Catatan:

- Jika terjadi f’(xr) = 0, diulangi kembali perhitungan lelaran dengan x0 yang lain.

- Jika persamaan f(x) = 0 memiliki lebih dari satu akar, pemilihan x0 yang

berbeda-beda dapat menemukan akar yang lain.

- Dapat pula terjadi lelaran konvergen ke akar yang berbeda dari yang diharapkan

(seperti halnya pada metode lelaran titik-tepat).

2. Algoritma Newton-Raphson

a. Definisikan fungsi f(x) dan f’(x)

b. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)

c. Tentukan nilai pendekatan awal x0

d. Hitung f(x0) dan f’(x0)

e. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xr)|> e

Hitung f(xr) dan f’(xr)

xr+1=xr−f ( xr )f ' ( xr )

, f '(xr)≠ 0

f. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh

3. Kriteria konvergensi metode Newton-Raphson

Bentuk umum prosedur lelaran metode terbuka, xr+1=g(xr)

Karena metode Newton-Raphson termasuk metode terbuka, maka dalam hal ini,

g ( x )=x−f (x )f '( x)

Dengan mengingat syarat perlu agar lelaran konvergen adalah

g' (x )=1−¿¿

Karena itu, metode Newton-Raphson akan konvergen bila

¿, dengan syarat f '( x)≠ 0.

C. Orde Konvergensi Metode Terbuka

Prosedur lelaran pada setiap metode terbuka dapat ditulis dalam bentuk: xr+1=g(xr)

1. Misalnya pada metode Newton-Raphson g ( xr )=xr−f (xr)f '(xr)

. Misalkan xr adalah

hampiran tetap akar sejati s sehingga s = g(s). maka, berdasarkan konsep galat

s= xr+εr dengan εr adalah galat dari xr.

2. Menguraikan g(s) disekitar xr.

g (s )=g ( xr )+g ' ( xr ) ( s−xr )+12

g ( xr ) (s−xr )2+…

¿ g ( xr )+g' ( xr ) εr+12

g ( xr ) εr2+…

3. Kemudian mengurangi dengan xr+1=g(xr) sehingga diperoleh:

g (s )−xr+1=g' ( xr ) εr+12

g ( xr ) ε r2+…

4. Karena s = g(s), maka

s− xr+1=g' ( xr ) εr+12

g ( xr ) εr2+…

5. Misalkan s− xr+1=εr+1, sehingga

ε r+1=g ' ( xr ) ε r+12

g ( xr ) εr2+…

6. Bilangan pangkat dari εr menunjukkan orde (atau laju) konvergensi prosedur

lelaran:

a. ε r+1 ≈ g' ( t ) εr , xr<t< xr+1: Prosedur lelaran orde satu

b. ε r+1 ≈12

g ( xr ) εr2 , xr< t<xr+1: Prosedur lelaran orde dua

Orde konvergensi metode Newton-Raphson

Pada netode Newton-Raphosn, g ( xr )=xr−f (xr)/ f '(xr). Turunan pertama dari g(xr)

adalah:

g ' ( xr )=f ( xr ) f ( {x} rsub {r} )} over {{left [{f} ^ {'} left ({x} rsub {r} right ) right ]} ^ {2} ¿

Jika xr adalah akar persamaan f(x) = 0, maka f(xr) = 0, sehingga g'(xr) = 0

Ini berarti metode Newton-Raphson paling sedikit berorde dua. Turunan kedua dari

g(xr) adalah

g' ( xr )=f ( {x} rsub {r} )} / {f'( {x} rsub {r} )¿

Subtitusikan persamaan di atas dengan persamaan: ε r+1 ≈12

g ( xr ) εr2 , xr< t<xr+1

Diperoleh hasil:

ε r+1=f ' ' (xr)εr

2

2 f ' (xr)

Persamaan ini mempunyai tiga arti:

1. Galat lelaran sekarang sebanding dengan kuadrat galat lelaran sebelumnya. Jika

galat lelaran sekarang misalnya 0.001, maka pada leleran berikutnya galatnya

sebanding dengan 0.000001. Hal inilah yang menyebabkan metode Newton-

Raphson sangat cepat menemukan akar (jika lelarannya konvergen).

2. Jumlah angka bena akan berlipat dua pada tiap lelaran. Ini merupakan konsekuensi

dari hal nomor 1 di atas.

3. Orde konvergensi metode Newton-Raphson adalah kuadratik. sehingga ia

dinamakan juga metode kuadratik.

Cara lain untuk menemukan orde konvergensi metode Newton-Raphson adalah dengan

meneruskan penurunan rumus Newton-Raphson dari dari deret Taylornya sebagai

berikut:

Perhatikan persamaan berikut:

f ( xr+1 )=f ( xr )+( xr+1−xr ) c+( xr+1−xr )2

2f ' ' (t ) , xr<t<xr+1

Bila xr+1=s sehingga f (xr+1)=f (s )=0, dalam hal ini s adalah akar sejati, maka didapat:

0=f ( xr )+( s−xr ) f ' (xr)+( s−xr )2

2f ' ' (t )

Kurangi dengan 0=f ( xr )+( xr+1−xr ) f '(xr), didapat:

0=(s−xr ) f '(xr)+( s−xr )2 f ' ' ( t )

2

Misalkan s− xr+1=εr+1 dan s− xr=ε r, maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi:

ε r+1 f ' (x¿¿ r)+εr2 f (t)} over {2} =¿¿

Atau

ε r+1=εr2 f (t)} over {2 {f'(x} rsub {r} )¿

Pada proses pencarian akar dengan metode Newton-Raphson, muncul kesulitan jika

|f '(x )| terlalu dekat ke nol, dan kita harus menggunakan bilangan berketelitian ganda

untuk memperoleh f(x) dan f’(x) cukup teliti. Persamaan nirlanjar f(x) = 0 yang

mempunyai kasus seperti ini dinamakan kondisi buruk.

D. Metode Secant

Prosedur lelaran metode Newton-Raphson memerlukan perhitungan turunan

pertama fungsi, yaitu f'(x). Tidak semua fungsi mudah dicari turunannya, terutama

fungsi yang bentuknya rumit. Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan cara

menggantinya dengan bentuk lain yang ekuivalen. Modifikasi metode Newton-

Raphson ini dinamakan Metode Secant.

Berdasarkan grafik di atas dapat dihitung gradien:

f ' ( xr )=∆ y∆ x

=f ( xr )−f (xr−1)

xr−xr−1

Mensubstitusikan persamaan tersebut ke

xr+1=xr−f (xr)f ' (xr)

Sehingga diperoleh

xr+1=xr−f (xr)(xr−xr−1)f ( xr )−f (xr−1)

yang merupakan prosedur lelaran metode secant. Dalam hal ini diperlukan dua buah

tebakan awal akar, yaitu x0 dan x1.

Kondisi berhenti lelaran adalah bila

|xr+1−xr|<ε(galat mutlak)

atau

|xr+1−xr

xr+1|<δ (galat hampiran)

Dengan ε dan δ adalah toleransi galat.

Algoritma secant

- Definisikan fungsi f(x)

- Definisikan torelansi error (e) dan iterasi maksimum (n)

- Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu x0

dan x1, sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik

pendekatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar

persamaan yang diharapkan.

- Hitung f(x0) dan f(x1) sebagai y0 dan y1

- Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)|>0

hitung yi+1 = F(xi+1)

y i+1=xi− y i

x i−x i−1

y i− y i−1

- Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.

Perbandingan Metode newton Raphson dengan Metode Secant

Karena kemiripan formulanya, mungkin disini perlu ditinjau secara ringkas beberapa

aspek penggunaan dari kedua metode ini.

Metode Kelebihan Kelemahan

Newton-Raphson - Memerlukan sedikit iterasi

- Tidak membutuhkan waktu

lama untuk mencapai

konvergen

- Memerlukan fungsi turunan

f(x)

- Lebih banyak komputasi

per-langkah iterasi yang

dilakukan

Secant Tidak perlu menghitung fungsi

turunan (f’(x))

Membutuhkan waktu lama

untuk mencapai konvergen

E. AKAR GANDA

Akar ganda (multiple roots) terjadi bila kurva fungsi menyinggung sumbu-x,

misalnya:

a. f ( x )=x3−5x2+7 x−3=( x−3 ) ( x−1 ) (x−1 )memiliki akar ganda dua di x = 1

b. f ( x )=x 4−6 x3+12 x2−10 x+3=(x−3)(x−1)(x−1)(x−1) memiliki akar ganda

tiga di x = 1.

Akar ganda menimbulkan sejumlah kesukaran untuk banyak metode numerik:

1. Kenyataan bahwa fungsi tidak berubah tanda pada akar ganda genap menghalangi

penggunaan metode-metode tertutup. Metode terbuka, seperti metode Newton-

Raphson, sebenarnya dapat diterapkan di sini. Tetapi, bila digunakan metode

Newton Raphson untuk mencari akar ganda, kecepatan konvergensinya berjalan

secara linear, tidak lagi kuadratis sebagaimana aslinya.

2. Permasalahan lain yang mungkin berkaitan dengan fakta bahwa tidak hanya f(x)

tetapi juga f’(x) menuju ke nol pada akar. Ini menimbulkan masalah untuk metode

Newton-Raphson maupun metode secant (tali busur), yang dua-duanya

mengandung turunan (atau taksirannya) pada penyebut rumus mereka masing-

masing. Ini dapat menghasilkan pembagian oleh nol pada waktu penyelesaian

konvergen sangat dekat ke akar. Pembagian dengan nol ini dapat dihindari dengan

melihat fakta bahwa f(x) lebih dulu nol sebelum f’(x).

Ralston dan Rabinowitz (1978) telah menunjukkan bahwa perubahan sedikit

dalam perumusan mengembalikannya ke kekonvergenan kuadrat, seperti dalam

xr+1=xr−mf ( xr )f ' ( xr )

……… (i)

dengan m adalah bilangan multiplisitas akar, misalnya m=1 untuk akar tunggal,

m=2 untuk akar ganda dua, m=3 untuk akar ganda tiga, dan seterusnya. Tentu saja, ini

mungkin merupakan alternative yang tidak memuaskan karena bergantung pada

pengetahuan sebelumnya tentang multiplisitas akar.

Alternatif lain yang juga disarankan oleh Ralston dan Rabinowitz(1978) adalah

mendefinisikan suatu fungsi baru u(x), yaitu rasio (hasil bagi) fungsi terhadap

turunannya seperti dalam

u ( x )= f (x )f '(x )

……… (ii)

Perhatikan, bentuk u(x) ini memiliki akar yang sama dengan f(x), sebab, jika

u(x) = 0 maka f(x) = 0. Selanjutnya,

xr+1=xr−u ( xr )u' ( xr )

……… (iii)

Yang dalam hal ini,

u' (x )=[ f ( x )f ' (x ) ]

'

=f ' ( x ) f ' ( x )−f (x)f(x)} over {{left [f'(x) right ]} ^ {2}} = {{left [{f} ^ {'} left (x right ) right ]} ^ {2} -f (x ) f (x)

[ f ' (x) ]2………(iv)

Persamaan (ii) dan (iv) dapat disubstitusikan ke dalam Persamaan (iii) dan

hasilnya disederhanakan untuk menghasilkan

xr+1=xr−f ( xr ) f '(xr)

[ f ' ( xr ) ]2−f ( {x} rsub {r} )f( {x} rsub {r} ) ¿

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Carilah akar persamaan f ( x )=x2−2x−3=0 dengan metode lelaran titik-tetap.

Gunakan ε = 0.000001.

Penyelesaian:

a. x2−2 x−3=0

x2=2 x+3

x=√2 x+3

Dalam hal ini, g(x )=√2x+3. Prosedur lelarannya adalah xr+1=√2 xr+3.

Terkaan awal x0 = 4

Tabel lelarannya:

r xr |xr+1−xr|0 4,000000 -1 3,316625 0,6833752 3,103748 0,2128773 3,034385 0,0693624 3,011440 0,0229455 3,003811 0,0076296 3,001270 0,0025417 3,000423 0,0008478 3,000141 0,0002829 3,000047 0,000094

10 3,000016 0,00003111 3,000005 0,00001012 3,000002 0,00000313 3,000001 0,00000114 3,000000 0,000000

Himpunan akar x=3,000000 (konvergen monoton)

b. x2−2 x−3=0

x (x−2)=3

x=3 /(x−2)

Dalam hal ini, x=3 /(x−2). Prosedur lelarannya adalah xr+1=3/(xr−2).

Ambil terkaan awal x0 = 4

Tabel lelarannya:

r xr |xr+1−xr|0 4,000000 -1 1,500000 2,5000002 -6,000000 7,5000003 -0,375000 5,6250004 -1,263158 0,8881585 -0,919355 0,3438036 -1,027624 0,1082697 -0,990876 0,0367488 -1,003051 0,0121759 -0,998984 0,004066

10 -1,000339 0,00135511 -0,999887 0,00045212 -1,000038 0,00015113 -0,999987 0,00005014 -1,000004 0,00001715 -0,999999 0,00000616 -1,000000 0,00000217 -1,000000 0,000001

Hampiran akar x = -1,000000 (konvergen berosilasi)

c. x2−2 x−3=0

x=(x2−3)/2

Prosedur lelarannya adalah xr+1=(xr2−3)/2. Terkaan awal x0 = 4

Tabel lelarannya:

r xr |xr+1−xr|0 4,0000001 6,500000 2,5000002 19,625000 13,1250003 191,070313 171,4453134 18252,432159 18061,361847… … …

Lelarannya divergen.

2. Hitunglah akar f(x) = ex – 5x2 dengan metode Newton-Raphson. Gunakan ε = 0.00001.

Tebakan awal akar x0 = 1.

Penyelesaian:

f ( x )=ex−5 x2

f ' ( x )=e x−10x

Prosedur lelaran Newton-Raphson:

xr+1=xr−ex−5 x2

ex−10 x

Tebakan awal x0 = 1

Tabel lelarannya:

r xr |xr+1 – xr|0 0,500000 -1 0,618976 0,1189762 0,605444 0,0135323 0,605267 0,0001774 0,605267 0,000000

Hampiran akar x = 0.605267

3. Hitunglah akar f(x) = ex – 5x2 dengan metode secant. Gunakan ε = 0.0001. Tebakan

awal akar x0 = -0.5 dan x1 = 0.

Penyelesaian:

f ( x )=ex−5 x2

Metode Secant:

xr+1=xr−f (xr)(xr−xr−1)f ( xr )−f (xr−1)

Tebakan awal x0 = -0.5 dan x1 = 0

Tabel lelarannya:

r f(x) xr |xr+1-xr|0 -0,643469 -0,500000 -1 1,000000 0,000000 0,5000002 0,274895 -0,304234 0,3042343 -0,222880 -0,419573 0,1153384 0,015304 -0,367930 0,0516435 0,00075 -0,371248 0,0033186 0,00000 -0,371418 0,00017

Hampiran akar x = -0.371418Ternyata lelarannya mengarah ke akar yang lain, yaitu x= -0.371418.

4. Gunakan baik metode Newton-Raphson yang baku maupun yang dimodifikasi

untuk menghitung akar ganda dari f ( x )=x3−5x2+7 x−3, dengan terkaan awal

x0=0

Penyelesaian:

f ( x )=x3−5x2+7 x−3

f ' ( x )=3 x2−10 x+7

f ' ' (x )=6 x−10

a. Dengan metode Newton-Raphson yang baku

xr+1=xr−f (xr)f ' (xr)

¿ xr−( xr

3−5 xr2+7 xr−3)

(3 xr2−10 xr+7)

b. Dengan metode Newton-Raphson yang dimodifikasi

xr+1=xr−f ( xr ) f '(xr)

[ f ' ( xr ) ]2−f ( {x} rsub {r} )f( {x} rsub {r} ) ¿

¿ xr−(xr

3−5 xr2+7 xr−3)(3 xr

2−10 xr+7)

(3 xr2−10xr+7 )2−(6 xr−10)(xr

3−5 xr2+7 xr−3)

c. Tabel lelarannya adalah:

Metode Newton-Raphson Yang

Baku

Metode Newton-Raphson Yang

Dimodifikasi

r xr r xr

0 0.000000000 0 0.000000000

1 0.428571429 1 1.105263158

2 0.685714286 2 1.003081664

3 0.832865400 3 1.000002382

4 0.913328983

5 0.955783293

6 0.977655101

Lelaran konvergen ke akar x = 1. Terlihat dari tabel di atas bahwa metode

Newton-Raphson yang dimodifikasi memiliki jumlah lelaran lebih sedikit.

SOAL KELOMPOK 2

1. y=x 4−28 x3+9 x2−3

Jawab:

- Menggunakan Newton-Raphson

y=x 4−28 x3+9 x2−3; toleransi eror = 0,00001; n = 20; tebakan x0 = -1

no x y y'0 -1,00000 35,00000 -106,000001 -0,66981 9,65336 -50,945002 -0,48033 2,23252 -28,468983 -0,40191 0,29759 -21,062384 -0,38778 0,00865 -19,844415 -0,38734 0,00001 -19,807416 -0,38734 0,00000 -19,80738

Hampiran akarnya = -0,38734

- Menggunakan Metode Secant

y=x 4−28 x3+9 x2−3

toleransi eror = 0,00001; n = 20; tebakan x0 = 0 dan x1 = 2

no x y0 0,00000 -3,000001 2,00000 -175,000002 -0,03488 -2,987863 -0,07023 -2,945894 -2,55111 562,811485 -0,08315 -2,921636 -0,09589 -2,892477 -1,35978 87,457998 -0,13635 -2,761349 -0,17380 -2,5802310 -0,70730 11,6601411 -0,27046 -1,7823112 -0,32838 -1,0263313 -0,40701 0,4063214 -0,38471 -0,0517615 -0,38723 -0,0021416 -0,38734 0,0000117 -0,38734 0,00000

Hampiran akarnya = -0,3874

2. Tahun 1225 Leonardo da Pisa mencari akar persamaan f(x) = x3 + 2x2 + 10x - 20 = 0

dan menemukan x = 1.368808107. Tidak seorang pun yang mengetahui cara Leonardo

menemukan nilai ini. Sekarang, rahasia itu dapat dipecahkan. Bentuklah semua

kemungkinan prosedur lelaran titik-tetap dari f(x) = 0, lalu dengan memberikaan

sembarang tebakan awal (misalnya x = 1), tentukan prosedur lelaran mana yang

menghasilkan akar persamaan yang ditemukan Leonardo itu.

Jawab:

x3 + 2x2 + 10x – 20 = 0

10 x=20−x3−2 x2

x=20−x3−2 x2

10

Toleransi eror = 0,00000001; n = 20; x0 = 1

no x f(x)0 1 -71 1,7 7,6932 0,9307 -8,154423 1,746142 8,8834524 0,857797 -9,319225 1,789719 10,036016 0,786117 -10,41717 1,827823 11,066758 0,721148 -11,37349 1,858486 11,9119410 0,667291 -12,139411 1,881231 12,5481212 0,62642 -12,705213 1,896939 12,9920414 0,597735 -13,094515 1,907186 13,2837116 0,578816 -13,347917 1,913603 13,4671518 0,566888 -13,5062

Lelerannya divergen

x3 + 2x2 + 10x – 20 = 0

x3+2 x2+10 x=20

x ( x2+2 x+10 )=20

x= 20

( x2+2 x+10 )

Toleransi eror = 0,00000001; n = 30; x0 = 1

tabel iterasi

no x y0 1 -7,000000001 1,538461538 3,759672282 1,295019157 -1,523815443 1,401825309 0,703228314 1,354209390 -0,306678275 1,375298092 0,137171106 1,365929788 -0,060670877 1,370086003 0,026968648 1,368241024 -0,011961329 1,369059812 0,0053103710 1,368696398 -0,0023565811 1,368857689 0,0010459812 1,368786103 -0,0004642213 1,368817874 0,0002060414 1,368803773 -0,0000914415 1,368810032 0,0000405916 1,368807254 -0,0000180117 1,368808487 0,0000079918 1,368807940 -0,0000035519 1,368808182 0,0000015720 1,368808075 -0,0000007021 1,368808123 0,0000003122 1,368808101 -0,0000001423 1,368808111 0,0000000624 1,368808107 -0,0000000325 1,368808108 0,0000000126 1,368808108 -0,0000000127 1,368808108 0,00000000

Lelaran akarnya = 1,368808108

Lelaran 1,368808107 sudah terlihat tapi belum sesuai dengan toleransi eror yang

ditetapkan.

x3 + 2x2 + 10x – 20 = 0

2 x2+10 x=20−x3

x (2 x+10 )=2 0−x3

x=2 0−x3

2 x+10

Toleransi eror = 0,00000001; n = 50; x0 = 1

No X Y No X Y0 1 -7,00000000 26 1,368802151 -0,000125671 1,583333333 4,81655093 27 1,368812017 0,000082462 1,217519339 -3,05530607 28 1,368805543 -0,000054113 1,463220711 2,04701409 29 1,368809791 0,000035514 1,304862040 -1,32430686 30 1,368807003 -0,000023305 1,409884708 0,87693027 31 1,368808833 0,000015296 1,341480180 -0,57197381 32 1,368807632 -0,000010037 1,386577996 0,37680986 33 1,368808420 0,000006588 1,357077858 -0,24662436 34 1,368807903 -0,000004329 1,376475478 0,16211135 35 1,368808242 0,0000028410 1,363763804 -0,10626008 36 1,368808020 -0,0000018611 1,372112643 0,06977966 37 1,368808166 0,0000012212 1,366637249 -0,04576797 38 1,368808070 -0,0000008013 1,370231609 0,03004276 39 1,368808133 0,0000005314 1,367873551 -0,01971022 40 1,368808091 -0,0000003415 1,369421180 0,01293575 41 1,368808119 0,0000002316 1,368405723 -0,00848779 42 1,368808101 -0,0000001517 1,369072121 0,00557008 43 1,368808112 0,0000001018 1,368634845 -0,00365499 44 1,368808105 -0,0000000619 1,368921797 0,00239849 45 1,368808110 0,0000000420 1,368733501 -0,00157388 46 1,368808107 -0,0000000321 1,368857064 0,00103281 47 1,368808109 0,0000000222 1,368775982 -0,00067773 48 1,368808107 -0,0000000123 1,368829189 0,00044473 49 1,368808108 0,0000000124 1,368794274 -0,0002918425 1,368817186 0,00019151

Lelaran akarnya = 1,368808107

Jadi Leonardo Pisa menggunakan y=2 0−x3

2 x+10 sebagai prosedur lelarannya.

KESIMPULAN

A. Kesimpulan

Metode terbuka tidak memerlukan selang yang mengurung akar. Yang diperlukan

hanyalah sebuah tebakan awal akar atau dua buah tebakan yang tidak perlu mengurung

akar. Oleh karena itu metodenya dinamakan metode terbuka.

Yang termasuk dalam metode terbuka adalah:

1. Metode lelaran titik tetap (fixed-point iteration)

2. Metode Newton-Raphson

3. Metode secant

Berikut tabel perbandingan berbagai metode terbuka

Perbandingan

Metode

Lelaran Titik-

Tetap

Newton-

RaphsonSecant

Modifikasi

Newton-Raphson

Tebakan awal 1 1 2 1

Laju konversi Perlahan Cepat Sedang hingga

cepat

Sedang bagi akar

tunggal; cepat bagi

akar ganda.

Stabilitas Bisa divergen Bisa divergen Bisa divergen Bisa divergen

Akurasi Baik Baik Baik Baik

Luas aplikasi Umum Umum,

dibatasi jika

f’(x)=0

Umum Umum, didesain

khusus bagi akar

ganda

Komentar Memerlukan

tabel lelaran

yang lebih

banyak

Memerlukan

evaluasi f’(x)

Tebakan awal

tak harus

mengurung akar

Memerlukan

evaluasi f’(x) dan

f”(x)

B. Saran

Berdasarkan latihan-latihan soal yang penulis lakukan, penulis menyarankan untuk

menggunakan metode iterasi titik-tetap karena lebih mudah dan hanya memerlukan

rumus-rumus sederhana, meskipun memerlukan tabel lelaran yang lebih banyak.

DAFTAR PUSTAKA

http://asimtot.files.wordpress.com/2011/11/solusi-persamaan-non-linear.pdf, diakses pada tanggal 6 Maret 2013.

http://abdurrahim65.files.wordpress.com/2008/05/irfan_metode_numerik1.pdf, diakses pada tanggal 28 Februari 2013.

http://www.balidigest.com/pbw2012/Kelompok11/uploads/BAb-%2003%20Solusi%20Persamaan%20Nirlanjar.pdf, diakses tanggal 12 Maret 2013.

http://www.mdp.ac.id/materi/2011-2012-1/TI213/052103/TI213-052103-532-6.ppt, diakses tanggal 12 Maret 2013.