Modul ke:

Fakultas

Program Studi

MATEMATIKA BISNISModel Perkembangan Usaha

(Kaidah-Kaidah Deret Hitung)

Sitti Rakhman, SP., MM.FEB

Manajemenwww.mercubuana.ac.id

PENDAHULUAN

Matematika salah satu ilmu dasar, yang semakin dirasakan interaksinya dengan bidang-bidang ilmu lainnya seperti Ekonomi dan Teknologi. Dibidang Bisnis dan Ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret seringkali diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret hitung ataupun deret ukur. Model perkembangan usaha merupakan penerapan teori baris dan deret.

Pengertian Deret Hitung

• Deret merupakan rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaida-kaidah tertentu. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret dinamakan suku.

• Deret Hitung adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu.

• Deret Ukur adalah Deret yang suku-sukunya dibedakan dengan perbandingan suku per urutan yang memiliki nilai tetap yang sering dinamakan dengan pembanding atau rasio

Jenis-Jenis Deret Hitung

– Berdasarkan Suku Pembentuknya deret hitung dibagi menjadi deret berhingga dan deret tak terhingga.Deret hitung berhingga adalah deret hitung dengan jumlah suku tertentuDeret hitung tak berhingga adalah jumlah suku deret mempunyai jumlah yang tak berhingga.

– Berdasarkan beda (b)Deret hitung naik adalah dengan deret hitung dengan b positifDeret hitung turun adalah deret hitung dengan b negatif

Bentuk Umum Deret Hitung

• Suku pertama : S1= a• Suku kedua : S2= a+b• Suku ketiga : S3= a+2b• Suku ke-n : Sn= a+(n-1)b

BARISAN

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan di antara sukusuku berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan tertentu.Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap,maka barisan ini disebut barisan aritmetika. Misal:a. 2, 5, 8, 11, 14, ……………. ditambah 3 dari suku di depannyab. 100, 95, 90, 85, 80, …….. dikurangi 5 dari suku di depannya

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan tetap, maka disebutbarisan geometri. Misal:a. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ………. dikalikan 2 dari suku di depannya

\b. 80, 40, 20, 10, 5, 2½, ………… dikalikan ½ dari suku di depannya

DERET

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Misal:

Deret aritmetika (deret hitung) : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Deret geometri (deret ukur) : 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62

SUKU

Suku adalah Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret

DERET Deret ukur

Deret hitung

Deret harmoni

DERET

Deret berhingga

Deret tak terhingga

Deret dilihat dari jumlah suku Deret dilihat dari segi pola perubahan bilangan pada suku

Definisi Deret Terhingga & Tidak Terhingga

• DERET TERHINGGA adalah jumlah yang suku-sukunya tertentu

• DERET TAK HINGGA adalah deret yang jumlah suku-sukunya tidak terbatas.

DERET HITUNGDeret hitung (DH)

Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu.

Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda, yaitu selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan.

Contoh:1) 7, 12, 17, 22, 27, 32 (pembeda = 5)2) 93, 83, 73, 63, 53, 43 (pembeda = - 10)3) 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 (pembeda = 2)

DERETSuku ke-n dari deret hitung

Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah deret hitung dapat dihitung melalui sebuah rumus.

a : suku pertama atau S1b : pembedan : indeks suku

Sebagai contoh, nilai suku ke-10 (S10) darideret hitung 7, 12, 17, 22, 27, 32 adalah

S10 = a + (n - 1)b S10 = 7 + (10 - 1)5 S10 = 7 + 45 S10 = 52.

Suku ke-10 dari deret hitung 7, 12, 17, 22, 27, 32 adalah 52.

Sn = a +(n-1)b

Menghitung dan menentukan Deret Hitung• Beda : b = Sn – S (n-1)• Jumlah bilangan sampai suku ke – n :

Dn = n/2 (2+Sn)= n/2 {a+a+(n-1)b}= n/2 {2a+(n-1)b}

• Suku ke – n :Sn = a + (n-1) bSn = Dn – D (n-1)

Ket :a = suku pertamab = beda (selisih suku tertentu dengan suku sebelumnya)n = banyaknya suku

Contoh Perhitungan Deret Hitung

• Diketahui : Deret Hitung 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15• Ditanya : S1, S2, b, Sn, Dn ?• Jawab :

S1 = a = 1S2 = a + b = 3b = S2 – S1 = 3 – 1 = 2Sn = 15Dn = n/2 (a + Sn)

= 8/2 (1 + 15) = 4 (16) = 64

Penerapan Deret Hitung dalam Perkembangan Usaha

Berkaitan dengan Produksi, biaya Pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal menggunakan deret hitung, karena variable yang bersangkutan bertambah secara konstan dari suatu periode ke periode lain.

Deret dalam Penerapan EkonomiModel Perkembangan Usaha

Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha (produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal) bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya.

Model Bunga MajemukModel bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus simpan-pinjam dan kasus investasi. Dengan model ini dapat dihitung; misalnya, besarnya pengembalian kredit di masa datang berdasarkan tingkat bunganya. Atau sebaliknya, untuk mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima di masa datang.

Model Pertumbuhan PendudukPenerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal penaksiran jumlah penduduk. Sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur.

Deret dalam Penerapan EkonomiModel Perkembangan UsahaContoh

Sebuah perusahaan jamu “roso" menghasilkan 3.000 bungkus jamu pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas, perusahaan mampu meningkatkan produksinya sebanyak 500 bungkus setiap bulan. Jika perkembangan produksinya tetap, berapa bungkus jamu yang dihasilkannya pada bulan kelima? Berapa bungkus yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut?

Diketahui:a = 3.000 S5 = 3.000 + (5 - 1)500 = 5.000 b = 500n = 5

Jumlah produksi pada bulan kelima adalah 5.000 bungkus, sedangkan jumlah seluruh jamu yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut 20.000 bungkus.

( ) 20.0005.0003.00025J 5 =+=

Sn = a +(n-1)b { }nn Sa2nJ +=

Kasus 1

Perusahaan Matrial “ABC” menghasilkan 3000 buah pavingblock pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan produktivitasnya, “ ABC “ memperoleh peningkatan produksi 500 buah bata merah per bulan. Jika perkembangan produksi ini konstan, berapa bata merah yang diproduksi pada bulan ketujuh, berapa buah yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut?

– Diketahui : a = 3000 b = 500 n = 7

– Ditanya : Sn ? Dn ?– Jawab :

Sn = a + (n-1) b= 3000 + ( 7-1 ) 500= 3000 + 3000= 6000

Jn = n/2 (a + Sn)= 7/2 (3000 + 6000)= 3,5 (9000)= 31.500

Kasus 2

• Besarnya penerimaan PT Cemerlang dari hasil penjualan barangnya Rp 720 juta pada tahun kelima dan Rp 980 juta pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung. Berapa perkembangan penerimaannya pertahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaan sebesar Rp 460 juta?

Pembahasan Kasus 2

– Penerimaan Tahun ke 5 : S5 = 720S5 = a + (5 – 1) b720 = a + 4b

– Penerimaan tahun ke 7 : U7 = 980S7 = a + (7 – 1) b980 = a + 6b

– a + 4b = 720a + 6b = 980

- 2b = - 260b = 130

– Penerimaan tahun Ke – n = 460Sn = a + (n-1) b460 = 200 + (n-1) b260 = 130n – 130390 = 130nn = 3

a + 4b = 720a + 4.130 = 720a = 720 – 520a = 200

Jadi penerimaan pada tahun pertama adalah Rp 200 juta

Jadi Jumlah penerimaan sebesar Rp 460 juta terjadi pada tahun ketiga

Kasus 3

• Perusahaan Keramik menghasilkan 5000 buah keramik pada bulan pertama produksinya. Dengan adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah produk yang dihasilkan juga ditingkatkan. Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan, berapa jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12? Berepa buah jumlah keramik yang dihasilkannya selama tahun pertama produksinya?

Pembahasan Kasus 3

• Jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12S12 = a + (n-1)b

= 5000 + (12-1) 300= 5000 + (11) 300= 5000 + 3300= 8300

• Jumlah keramik yang dihasilkan dalam satu tahun pertamaJ12 = n/2 (a + S12)

= 12/2 (5000 + 8300)= 6 (13300)= 79800

Kasus 4

•Penerimaan Perusahaan Bagus dari hasil Penjualannya sebesar Rp 1,2 Miliar pada tahun kelima dan sebesar Rp 1,8 miliar pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan perusahaan tersebut konstan dari tahun ke tahun, berapakah perkembangan penerimaannyaper tahun, berapakah penerimaannya pada tahun pertama dan pada tahun ke berapa penerimaannya mencapai Rp 2,7 miliar?

Pembahasan Kasus 4– S7 = 1.8 miliar 1,8 = a + (7-1)b– S5 = 1,2 miliar 1,2 = a + (5-1)b– 1,8 = a + 6b

1,2 = a + 4b0,6 = 2bb = 0,3 miliarSehingga perkembangan penerimaan perusahaan tersebut per tahun Rp 300 jt adapun penerimaan pada tahun pertama adalah :a + 4b = 1,2a + 4(0,3) = 1,2a + 1,2 = 1,2

a = 0Pada tahun pertama perusahaan tersebut belum memperoleh penerimaan. Adapun penerimaan sebesar 2,7 miliar diterimanya pada tahun :Sn = a + (n-1)b2,7 = 0 + (n-1) 0,32,7 = 0 + 0,3n – 0,32,7 + 0,3 = 0,3nn = 3/0,3n = 10Jadi penerimaan sebesar Rp 2,7 miliar diterima perusahaan pada tahun ke 10

KESIMPULAN

Deret merupakan rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Deret terdiri dari deret hitung dan deret ukur.Terdapat 3 rumus untuk menentukan Deret Hitungbeda (b)mencari suku ke – n

Jumlah bilangan sampai suku ke - nDeret hitung dalam perkembangan usaha dapat diterapkan dalam

produksi, biaya pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal, karena variabel yang bersangkutan bertambah secara konstan dari suatu periode ke periode lain.

Terima KasihSitti Rakhman, SP., MM