BAB IPENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Suatu variabel yang nilainya merupakan suatu bilangan yang ditentukan oleh terjadinya

hasil suatu percobaan disebut sebagai variabel random. Dalam sampel random semua unit dari

populasi mempunyai kesempatan yang sama untuk dijadikan sampel.

Variabel random terdiri dari distribusi diskrit dan kontinyu. Variabel random diskrit

nilainya hanya dapat diwujudkan dengan nilai-nilai yang terbatas jumlahnya dan dinyatakan

dengan bilangan bula, sedangkan variabel random kontinyu dapat diwujudkan dalam bentuk

sembarang nilai interval.

1. 2 Batasan Praktikum

Adapun batasan-batasan yang digunakan selama pelaksanaan praktikum ini adalah:

1. Data yang diambil berupa data primer.

2. Tipe data yang digunakan adalah numeric.

3. Untuk hasil probabilitas berupa bilangan desimal menggunakan lima angka di belakang

koma.

4. Aplikasi distribusi diskrit terbatas tiga macam yaitu binomial, hipergeometrik, dan poisson.

5. Aplikasi distribusi kontinyu terbatas dua macam yaitu normal dan eksponensial.

1.3 Tujuan Praktikum

Tujuan dari pelaksanaan praktikum ini adalah:

1. Dapat memahami dan menguasai konsep distribusi probabilitas.

2. Dapat mengetahui macam-macam distribusi probabilitas.

3. Dapat membedakan konsep dari masing-masing distribusi probabilitas.

4. Dapat mengaplikasikan konsep dari masing-masing distribusi probabilitas dalam

menyelesaikan suatu permasalahan.

1.4 Manfaat Praktikum

Manfaat yang diperoleh dari pelaksanaan praktikum ini adalah:

1. Praktikan mampu memahami dan menguasai konsep distribusi probabilitas.

2. Praktikan dapat mengetahui macam-macam distribusi probabilitas.

3. Praktikan mampu membedakan konsep dari masing-masing distribusi probabilitas.

4. Praktikan mampu mengaplikasikan konsep dari masing-masing distribusi probabilitas

dalam menyelesaikan masalah baik secara manual maupun dengan bantuan software.

BAB IITINJAUAN PUSTAKA

2.1 Definisi Probabilitas

Probabilitas merupakan suatu nilai yang dipergunakan untuk mengukur tingkat

kemungkinan terjadinya kejadian yang acak. Probabilitas menyatakan ukuran numerik dari

kemungkinan suatu kejadian yang akan terjadi.

Contohnya peluang munculnya mata dadu angka 3 dari pelamparan dadu satu kali, didapat

probabilitas n = 6, dengan P = 16

dari sekali pelemparan dadu.

2.2 Distribusi Probabilitas Diskrit

Penyajian distribusi probabilitas dapat berbentuk tabel atau kurva probabilitas. Untuk

suatu variabel random diskrit, semua nilai yang dapat terjadi dari variabel random dapat

didaftar dalam suatu tabel dengan menyertakan probabilitas-probabilitasnya.

2.2.1 Distribusi Binomial

Distribusi binomial merupakan distribusi dari suatu eksperimen atau percobaan statistik

yang memiliki ciri-ciri sebagai berikut:

1. Setiap percobaan memiliki 2 hasil yaitu sukses dan gagal.

2. Percobaan dilakukan sebanyak n kali, jumlah percobaan dalam binomial harus tertentu.

3. Probabilitas sukses tiap percobaan harus sama, Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p dan

kegagalan dengan q = 1 - p

4. Tiap percobaan bersifat independen atau dalam artian dilakukan pengembalian sehingga

tidak mempengaruhi percobaan selanjutnya.

Rumus distribusi binomial adalah:

P ( x=x )=b ( x ;n ; p )=c x° p x° qn−x

n (2-1)Sumber: Hasan (2004:57)

Dimana:

x = banyaknya peristiwa sukses

n = banyaknya percobaan

p = probabilitas peristiwa sukses

q = 1 – p = probabilitas gagal.

Gambar 2.1 Distribusi Binomial

Sumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt2.2.2 Distribusi Hipergeometrik

Distribusi hipergeometrik merupakan distribusi dari percobaan statistik dimana

digunakan untuk menentukan probabilitas kemunculan sukses jika sampling dilakukan tanpa

pengembalian atau dependen sehingga percobaan satu mempengaruhi probabilitas percobaan

selanjutnya.

Persamaan dengan distribusi binomial, keduanya menyatakan probabilitas sejumlah

tertentu percobaan masuk dalam kategori tertentu. Untuk perbedaannya, Hipergeometrik tidak

mengharuskan ketidakbergantungan, jadi sampling dilakukan tanpa pengembalian.

Berikut adalah persamaan dari fungsi distribusi hipergeometrik:

f ( k )=p ( x=k )=⌊ak⌋ ⌊N−1

n−1⌋

⌊Nn⌋

=h (k ;n ;a ; N ) (2-2)

Sumber: Murwani (2007 : 63)

Dimana:

x = 0, 1, 2, 3, … , a ; jika a<n

x = 0, 1, 2, 3, … , n ; jika n<a

Gambar 2.2 Distribusi HipergeometrikSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.2.3 Distribusi Geometrik

Dalam suatu Bernoulli Trials dengan probabilitas sukses p dan probabilitas gagal 1 – p

untuk setiap trialnya. Apabila kejadian sukses yang pertama kali terjadi pada trial ke-x yang

berarti bahwa pada (x–1) trial sebelumnya tidak sukses (gagal), maka distribusi variabel

random x bisa dinyatakan sebagai berikut:

f ( k )=p ( x=k )=(1−p )k−1 p=g (k ; p ) (2-3)Sumber: Murwani (2007 : 71)

Dimana:

x = 0, 1, 2, 3, … , ∞

Gambar 2.3 Distribusi GeometrikSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.2.4 Distribusi Pascal (Binomial Negatif)

Distribusi ini sering disebut sebagai distribusi binomial negatif karena dasar distribusi

Pascal adalah distribusi binomial. Misalnya, kita ingin mengetahui pada trial ke berapa untuk

mendapatkan hasil yang ke sekian dalam suatu percobaan Bernoulli. Bila kita ingin

mendapatkan hasil yang ke r pada kegiatan dengan x trial maka probabilitas x untuk

mendapatkan r sukses dapat dihitung dengan rumus Pascal.

P ( x=r )= (n−1 ) !(r−1 )! [ (x−1 )!−(r−1 )! ]

x pr x qx−r(2-4)

Sumber: Budiarto, Dr. Eko (2001:130)

Gambar 2.4 Distribusi Binomial NegatifSumber: Tim Penyusun. 2008.

http://www.boost.org/doc/libs/1_38_0/libs/math/doc/sf_and_dist/graphs/negative_binomial_pdf_2.png

2.2.5 Distribusi Multinomial

Dalam praktik, kita sering menjumpai suatu keadaan di mana dalam satu peristiwa

menghasilkan lebih dari dua event maka distribusi yang dihasilkan itu disebut distribusi

multinomial.

Bila trial dilakukan n kali maka probabilitas r sukses dapat dihitung dengan rumus

multinomial sebagai berikut:

P (r1 ,r 2 , r3 ,…, rk )= n !r1! r2!r3 !…r k !

x ( p11r )( p¿¿22¿¿ r)…( p¿¿kk¿¿ r )¿¿¿¿ (2-5)

r1 + r2 + r3 … rk = n

p1 + p2 + p3 .. pk = 1Sumber: Budiarto, Dr. Eko (2001:126)

2.2.6 Distribusi Poisson

Distribusi Poisson termasuk salah satu distribusi probabilitas dengan variabel random

diskrit. Distribusi ini digunakan pada n yang kecil. Oleh karena itu sering disebut sebagai hokum

nilai kecil.

Untuk menentukan probabilitas dengan menggunakan distribusi Poisson, harus mengikuti

beberapa syarat berikut:

1. Terjadinya event sangat jarang dalam periode pendek.

2. Probabilitas setiap periode selalu konstan.

3. Untuk terjadinya beberapa event dalam periode yang sangat pendek hampir mendekati nol.

4. Merupakan event yang independen.

P (X )= λx x e− λ

x ! (2-6)

Sumber: Budiarto, Dr. Eko (2001:127)

Dengan:

P(X) = Probabilitas terjadinya event

x! = x faktorial

λ = Rata-rata terjadinya event per periode tertentu

e = 2,71828

e− λ = Dapat dilihat pada tabel Poisson

Gambar 2.5 Distribusi PoissonSumber: Tim Penyusun. 2008.

http://www.boost.org/doc/libs/1_35_0/libs/math/doc/sf_and_dist/graphs/poisson.png

Pendekatan distribusi binomial ke distribusi poisson dapat terjadi dengan memuaskan

jika n sama dengan atau lebih besar dari 20 dan probabilitas lebih kecil atau sama dengan 0,05.

Pendekatan binomial ke poisson dilakukan dengan mengganti rata-rata λ menjadi np hingga

rumus poisson kini menjadi seperti berikut:

P (X ) (np )x (e−np)x !

(2-7)

Sumber: Budiarto, Dr. Eko (2001:128)

2.3 Distribusi Probabilitas Kontinyu

Variabel random kontinyu adalah salah satu variabel yang dapat memiliki nilai pecahan di

dalam range tertentu. Dengan demikian, untuk distribusi variabel ini tidak dapat disusun tabel

yang menyatakan nilai probabilitas. Nilai distribusi kontinyu dinyatakan dalam bentuk fungsi

matematis dan digambarkan dalam bentuk kurva.

2.3.1 Distribusi Normal (Gauss)

Distribusi probabilitas normal adalah distribusi probabilitas kontinyu yang simetrik dan

mesokurtik. Dua parameter yang menentukan suatu bentuk kurva normal adalah rata-rata dan

standar deviasi. Suatu pengujian sederhana terhadap normalitas dapat dilakukan dengan

menghitung persentase data observasi yang berada di dalam plus-minus satu atau plus-minus

dua standar deviasi dari rata-rata. Dengan cara ini, suatu distribusi disebut normal jika lebih

kurang dari 68% data observasi berada di dalam satu standar deviasi dan lebih kurang 95%

berada di dalam dua standar deviasi. Jika tidak, suatu distribusi tidak mengikuti suatu kurva

normal. Bentuk persamaan matematis distribusi probabilitas normal adalah:

f ( x )= 1

√2π σ 2e

−(x−μ)2

2σ2 (2-8)

Sumber: Anonim. 2011. Bagian2_distribusi_probabilitas.pdf

Dalam formula di atas X dapat benilai -∞ sampai dengan +∞. Dengan demikian nilai

distribusi normal tidak terbatas. Nilai π ≈ 3,1416 dan nilai e ≈ 2,7183. Luas total di bawah fungsi

probabilitas sama dengan 1. Probabilitas suatu observasi yang diambil secara random dari suatu

populasi normal yang ada di antara dua nilai a dan b, dapat disamakan dengan luas daerah di

bawah kurva probabilitas dengan nilai X sama dengan a dan b.

Gambar 2.6 Kurva Distribusi NormalSumber: Tim Penyusun. 2010.

elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/statistika2/bagian2_distribusi_probabilitas.pdf

Nilai-nilai X dapat dikonversikan ke dalam nilai-nilai standar normal Z dengan

menggunakan rumus:

Z= x−μσ

(2-9)

Sumber: Anonim. 2011. Bagian2_distribusi_probabilitas.pdf

Nilai harapan adalah E(X) = µ dan Var(X) = σ 2

2.3.2 Distribusi Uniform

Fungsi densitas dari distribusi uniform dinyatakan sebagai berikut:

f ( x )= 1β−α

; α ≤k≤ β (2-10)

Sumber: Murwani (2007:94)Dimana :

f(x) = 0 ; untuk x yang lain

α dan β adalah parameter yang berupa bilangan riil dengan α < β

x berdistribusi Uniform dengan parameter α dan β, sering ditulis dengan x ~ untuk (α;β)

Fungsi densitas kumulatif:

f ( k )=p (0≤x ≤k )=0; k<α (2-11)

f ( k )=p (0≤x ≤k )= k−αβ−α

;α ≤k≤ β (2-12)

f ( k )=p (0≤x ≤k )=1 ;k> β (2-13)Sumber: Murwani (2007:96)

Gambar 2.7 Distribusi UniformSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.3.3 Distribusi Gamma

Fungsi Densitas dari Distribusi Gamma dinyatakan sebagai berikut:

f ( x )= ❑(r )

(x )r I 1 e−x ; x≥0 (2-14)

Sumber: Murwani (2007:97)

Dimana:

f(x) = 0 ; untuk x yang lain.

r dan λ adalah parameter yang berupa bilangan riil dengan r > 0 dan λ > 0.

r biasanya disebut dengan parameter bentuk λ disebut parameter skala.

Fungsi Densitas Kumulatif:

f ( k )=p (0≤x ≤k )=0; k<0 (2-15)

f ( k )=p (0≤x ≤k )=1−∑i=0

r−1 e−x (k )i

i !;k ≥0 (2-16)

Sumber: Murwani (2007)

Nilai probabilitas kumulatif dari distribusi gamma ini bisa dihitung dengan menggunakan

bantuan tabel kumulatif poisson dengan rata rata λk.

Gambar 2.8 Distribusi GammaSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.3.4 Distribusi Beta

Fungsi densitas dari variabel random x (0 < x < 1) yang berdistribusi beta dinyatakan sebagai

berikut:

f ( x )=(α+β )(α )(β)

xα−1¿ (2-17)

Sumber: Murwani (2007:107)Dimana:

f(x) = 0 ; untuk x yang lain.

Fungsi Densitas Kumulatif:

f ( k )=p (0≤x ≤k )=0; k<0 (2-18)

f ( k )=p (0≤x ≤k )=∫x=0

k (α+β)(α )(β )

xα−1 ¿¿ (2-19)

Sumber: Murwani (2007:108)

Gambar 2.9 Distribusi BetaSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.3.5 Distribusi Eksponensial

Fungsi Densitas dari Distribusi Eksponensial dinyatakan sebagai berikut:

f ( x )= λe−x ; x≥0 (2-20)Sumber: Murwani (2007 : 101)

Dimana:

f(x) = 0 ; untuk x yang lain.

λ adalah parameter yang berupa bilangan riil dengan λ > 0.

Fungsi Densitas Kumulatif :

f ( k )=p (0≤x ≤k )=0; k<0 (2-21)

f ( k )=p (0≤x ≤k )=1−e−x ;k ≥0 (2-22)Sumber: Murwani (2007:101)

Gambar 2.10 Distribusi EksponensialSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.3.6 Distribusi Weilbull

Fungsi Densitas dari Distribusi Weibull dinyatakan sebagai berikut:

f ( x )=αβx β−1 e−αxβ; x>0 ;α>0 ; β>0 (2-23)Sumber: Murwani (2007:112)

Dimana:

f(x) = 0 ; untuk x yang lain.

Fungsi Densitas Kumulatif :

f ( k )=p (0≤x ≤k )=0; k<0 (2-24)

f ( k )=p (0≤x ≤k )=1−e−αkβ ;k ≥0 (2-25)Sumber: Murwani (2007:112)

Gambar 2.11 Distribusi WeibullSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.3.7 Distribusi Lognormal

Distribusi lognormal sama seperti distribusi normal memiliki dua distribusi parameter.

Probability density function dari distribusi normal dapat ditulis dengan:

f (t )= 1t σ √2π

exp [−(lnt−μ)2

2σ2 ] untuk t = 0 (2-26)

Sumber: Tim Penyusun. 2011. faktailmiah.com/2011/08/10/distribusi-log-normal.html

Gambar 2.12 Distribusi LognormalSumber: Siscawati, Evy. 2011. www.faktailmiah.com/wp-content/uploads/2011/08/lognormal.jpg

Dengan demikian maka random variabel X memiliki distribusi lognormal dengan parameter

s dan µ jika ln X terdistribusi normal dengan parameter s dan µ. Namun perlu dicatat bahwa

sekalipun s dan µ adalah standar deviasi dan nilai rata-rata dari ln X, kedua parameter tersebut

bukanlah standar deviasi dan nilai rata-rata dari X.

2.3.8 Distribusi Student (T)

Distribusi student (T) merupakan revolusi statitik untuk sampel kecil. Informasi tentang

hal ini dapat dilihat pada Snedecor (1982). Fungsi padat peluang distribusi t diberikan oleh:

f ( t )=Γ ( v+12 )Γ ( v2 )

.1

√vπ(1+ t

2

v)v+12 untuk−∞<t<∞

(2-27)Sumber: Tim Penyusun. 2007. permutasi_kombinasi.pdf

Dengan v (baca; nu) adalah parameter distribusi dan (.) menyatakan fungsi gamma yangΓ

didefinisikan dengan:

Γ ( v )=∫0

∞

xv−1dx (2-28)

Sumber: Tim Penyusun. 2007. permutasi_kombinasi.pdf

Beberapa sifat dasar fungsi gamma, antara lain sebagai berikut:

Γ (n )=(n−1 )Γ (n−1 ) ,n>1 (2-29)Sumber: Tim Penyusun.2007. permutasi_kombinasi.pdf

Γ (n) = (n-1) !, n = 1, 2, 3 ……

Γ ( 12 )=√ x (2-30)

Sumber: Tim Penyusun.2007.permutasi_kombinasi.pdf

Dimana = 3,1415…….Dengan sedikit pekerjaan matematis dapat dibuktikan bahwa fungsi

padat peluang distribusi t memenuhi:

∫−∞

∞

f ( t )dt=1 (2-31)

Sumber: Tim Penyusun.2007. permutasi_kombinasi.pdf

Pada fungsi distribusi ini adalah bilangan v yang disebut derajat kebebasan (dk).

Gambar 2.13 Distribusi Student TSumber: Dimas. 2008. blog.ub.ac.id/dimasemperor08/files/2012/06/t-test15.gif

2.3.9 Distribusi F

Distribusi f merupakan distribusi probabilitas kontinyu yang biasa disebut dengan

distribusi anova, yaitu suatu metode untuk menguraikan keragaman total data menjadi

komponen-komponen yang mengukur berbagai sumber keragaman.

Untuk melakukan uji F, kita harus menghitung angka banding kedua variansi yang

bersangkutan. Dalam hal ini variansi (S2) yang besar ditaruh pada pembilang (numerator) dan

variansi (S2) yang kecil ditaruh pada penyebut (denominator), yaitu:

f=S12

S22 (2-32)

Sumber: Tim Penyusun. 2007. permutasi_kombinasi.pdf

s2=¿¿ (2-33)Sumber: Tim Penyusun. 2007. permutasi_kombinasi.pdf

Kemudian dibandingkan antara F hasil hitungan dengan F dari tabel (pada dan df tertentu

kelompok 1 dan 2). Apabila F hitung < F tabel maka hipotesa nol benar, artinya tidak ada

perbedaan yang nyata dalam hal variansi atau keragaman antara kedua kelompok pengukuran

tersebut. Sebaliknya, bila F hitung > F hitung l maka hipotesa nol salah, artinya ada perbedaan yang

nyata dalam hal variansi atau keragaman antara kedua kelompok pengukuran tersebut.

Gambar 2.14 Distribusi FSumber: Tim Penyusun. 2012. http://www.statistics4u.info/fundstat_eng/img/hl_fdistri.png

2.3.10 Distribusi Chi Quadrat (x2)

Distribusi chi kuadrat adalah distribusi peubah acak malar yang mempunyai fungsi padat

peluang.

f ( x )= 1

2v2 Γ ( v2 )

x12v−1

e12x, x>0

(2-34)

Sumber: Walpole, Ronald E (1995:268)

Dengan v = derajat, kebebasan dan dapat dibuktikan secara matematis bahwa .

Selanjutnya grafik distribusi chi kuadrat umumnya merupakan kurva positif, yaitu miring ke

kanan, yaitu berekor panjang ke kanan. Kemiringan ini semakin berkurang jika derajat

kebebasan makin besar.

Gambar 2.15 Distribusi Chi-Square

Sumber: Tim Penyusun. 2011. upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/Chi-square_pdf.svg/325px-Chi-square_pdf.svg.png

BAB IIIMETODOLOGI PRAKTIKUM

3.1 Diagram Alir Praktikum

Gambar 3.1 Diagram Alir Praktikum Distribusi Hipergeometrik dan Distribusi Eksponensial

3.2 Alat dan Bahan Praktikum

Berikut ini adalah alat dan bahan yang digunakan dalam praktikum distribusi

hipergeometrik dan distribusi eksponensial.

3.2.1 Distribusi Hipergeometrik

Alat dan bahan yang digunakan dalam praktikum distribusi hipergeometrik adalah

sebagai berikut.

1. 35 buah kelereng berwarna hijau

2. 5 buah kelereng berwarna biru

3. 1 buah sendok untuk mengambil kelereng

4. 1 buah gelas untuk tempat kelereng

5. Lembar Pengamatan

6. Alat tulis

3.2.2 Distribusi Eksponensial

Alat dan bahan yang digunakan dalam praktikum distribusi eksponensial adalah sebagai

berikut.

1. Stopwatch

2. Lembar Pengamatan

3. Alat Tulis

3.3 Prosedur Praktikum

Berikut ini adalah prosedur praktikum yang diperlukan dalam praktikum distribusi

hipergeometrik dan distribusi eksponensial.

3.3.1 Distribusi Hipergeometrik

Prosedur praktikum distribusi hipergeometrik adalah sebagai berikut.

1. Persiapkan alat dan bahan

2. Terdapat 40 buah kelereng yang terdiri dari 5 buah kelereng berwarna biru dan 35 buah

kelereng berwarna hijau Ambil 5 buah kelereng tanpa pengembalian dengan 10 kali

pengambilan.

3. Menghitung jumlah kelereng berwarna biru di setiap pengambilan

4. Mencatat hasilnya ke dalam lembar pengamatan

5. Menyusun laporan

6. Selesai

3.3.2 Distribusi Eksponensial

Prosedur praktikum distribusi eksponensial adalah sebagai berikut.

1. Mempersiapkan alat dan bahan

2. Mengukur waktu yang dibutuhkan saat penjual tiket melayani pembeli

3. Mencatat waktu yang tertera di stopwatch

4. Melakukan pengukuran waktu sampai 40 kali

5. Menysun laporan

6. Selesai

BAB IVHASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Pengumpulan Data

Berikut ini adalah pengumpulan data untuk distribusi hipergeometrik dan distribusi

eksponensial.

4.1.1 Pengumpulan Data Distribusi Hipergeometrik

4.1.2 Pengumpulan Data Distribusi Eksponensial