modul 2

Laboratorium OSI & K | Praktikum Pengendalian Kualitas 2014 Page 1

Modul 2 Distribusi Probabilitas

MODUL II

DISTRIBUSI PROBABILITAS



MODUL II

DISTRIBUSI PROBABILITAS

1.1 Tujuan Praktikum

Berikut ini adalah tujuan praktikum yang akan dilakukan:

1. Mampu menjelaskan perbedaan antara distribusi diskrit dengan distribusi kontinyu.

2. Mampu menghitung fungsi distribusi/kepadatan probabilitas (PDF) secara manual

dan dengan bantuan software minitab.

3. Mampu menghitung fungsi distribusi kumulatif (CDF) secara manual dan dengan

bantuan software minitab.

4. Mampu menghitung variabel acak x jika diketahui distribusi probabilitasnya.

1.2 Teori Singkat

A. Distribusi Diskrit

Distribusi probabilitas diskrit adalah distribusi probabilitas dimana semesta variabel

acaknya dapat dihitung atau berhingga, misalnya variabel acak sebuah lemparan dadu bernilai

1 hingga 6 (nilai variabel acaknya bernilai integer). Apabila himpunan pasangan terurut (x,

f(x)) merupakan suatu fungsi distribusi probabilitas, fungsi kepadatan probabilitas, atau

distribusi probabilitas variabel acak diskrit x maka untuk setiap kemungkinan hasil x berlaku:

a. f(x) > 0

b. f (x) = 1

c. P (X=x) = f(x)

1. Distribusi Hipergeometrik

Distribusi hipergeometrik sebenarnya amat mirip dengan distribusi binomial.

Perbedaannya hanya pada cara pengambilan sampelnya. Untuk kasus binomial

diperlukan kekebasan antar usaha. Misalnya pada pengambilan sampel dari sejumlah

barang, maka pengambilan harus dilakukan dengan pengembalian untuk setiap barang



yang telah diperiksa. Sedangkan pada distribusi hipergeometrik, tidak diperlukan

kebebasan dan didasarkan pada pengambilan sampel tanpa pengembalian.

Sifat-sifat dari distribusi hipergeometrik yaitu:

a. Digunakan dalam kegiatan sampling dari populasi terbatas tanpa pengembalian

(menaruh kembali sampel dalam populasi)

b. Hasil (outcome) dikategorikan menjadi sukses dan gagal.

c. Sukses artinya ditemukan cacat

d. Gagal artinya tidak ditemukan cacat.

Distribusi peluang peubah acak hipergeometrik , yaitu banyaknya sukses dalam

sampel acak berukuran n yang diambil dari benda yang mengandung bernama

sukses dan bernama gagal adalah

untuk

Mean,

Variance,

2. Distribusi Binomial

Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas yang mengamati keberhasilan

(peristiwa) dalam jumlah tetap percobaan independen. Data bilangan bulat lebih besar

atau sama dengan 0. Sifat-sifat dari distribusi binomial yaitu:

a. Digunakan dalam kegiatan sampling dari populasi terbatas tanpa pengembalian

(menaruh kembali sampel dalam populasi)

b. Digunakan dalam rangkaian kegiatan percobaan dengan hasilnya dua hasil (outcome)

yaitu sukses dan gagal



c. Probabilitas (p) dari sukses pada setiap percobaan diasumsikan konstan

Suatu percobaan Bernoulli dapat menghasilkan sukses dengan peluang dan gagal

dengan peluang , maka distribusi probabilitas variabel acak binomial yaitu

banyaknya sukses dalam usaha bebas adalah

b(x; n, p) = px q

n-x untuk x = 0, 1, 2, . . ., n

Mean,

Variance,

keterangan :

b : parameter distribusi binomial q : probabilitas kegagalan

p : probabilitas berhasil n : banyaknya pengulangan bebas

3. Distribusi Poisson

Menurut Walpole (1995), distribusi poisson adalah distribusi probabilitas acak poisson

X, yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau

daerah tertentu. Bilangan X yang menyatakan banyaknya hasil percobaan dalam suatu

percobaan poisson disebut variabel acak poisson dan sebaran probabilitasnya disebut

sebaran poisson. Berdasarkan suatu percobaan yang disebut proses poisson yang

memiliki sifat yaitu;

1. Banyaknya hasil yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu yang tidak

terpengaruh (bebas dari) apa yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang

terpisah. Proses poisson dikatakan memoryless (tidak punya ingatan).

2. Probabilitas terjadinya suatu hasil (tunggal) dalam selang waktu yang amat pendek

atau dalam daerah kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau besarnya daerah

dan tidak tergantung pada banyaknya hasil yang terjadi di luar selang waktu atau

daerah tersebut.

3. Probabilitas terjadinya lebih dari satu hasil dalam selang waktu yang pendek atau

daerah yang sempit tersebut dapat diabaikan.



Distribusi probabilitas variabel random poisson yaitu banyaknya sukses yang

terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu dinyatakan dengan adalah

Mean,

Variance,

B. Distribusi Kontinyu

Distribusi kontinyu adalah distribusi yang memiliki interval dari bilangan real dalam

intervalnya. Biasanya dinyatakan dalam suatu pengukuran yang memiliki dimensi atau satuan.

Fungsi f(x) adalah fungsi kepadatan (density) probabilitas untuk variabel kontinu X, jika

b

adxxfbXaP

dxxf

xf

)()( .3

1)( .2

0)( .1

-

1. Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan salah satu distribusi probabilitas yang populer dan

banyak digunakan dalam berbagai keperluan baik dalam ilmu sosial, ilmu alam atau teknik.

Dengan memanfaatkan distribusi normal maka kita dapat menghitung berapa probabilitas

variabel acak diantara nilai-nilai yang kita tetapkan. Variabel random X berdistribusi

normal dengan rata-rata dan varians 2 jika mempunyai fungsi densitas,

(x) =

x-e

x

, 2

1), n(x;

2

2

1

Dimana :

e = 2,71828, = 3,1416

Suatu distribusi dikatakan normal apabila sesuai dengan karakteristik distribusi yang

secara teoritis diturunkan dari apa yang disebut sebagai distribusi normal baku. Distribusi



ini empunyai nilai rata-rata 0 dan varians 1. Luas area untuk distribusi normal baku telah

disusun dalam sebuah tabel yang dikenal sebagai tabel normal baku (lihat lampiran).

Dengan adanya tabel ini maka kita dapat menghitung probabilitas variabel acak dari data

yang berdistribusi normal hanya dengan menggunakan transformasi Z yang rumusnya

adalah :

ii

XZ

Gambar 1. Area Distribusi Normal

Distribusi normal sangat sesuai dengan distribusi empiris, sehingga dapat dikatakan

bahwa semua kejadian alami akan membentuk distribusi ini. Karena alasan inilah sehingga

distribusi ini dikenal sebagai distribusi normal dan grafiknya dikenal sebagai kurva normal

atau kurva gauss.

APROKSIMASI TERHADAP DISTRIBUSI

Syarat-syarat aproksimasi:

a. Distribusi hipergeometrik dapat di aproksimasi menjadi distribusi binomial jika, 0,1

b. Distribusi binomial dapat di aproksimasi menjadi distribusi normal jika,

c. Distribusi binomial dapat di aproksimasi menjadi distribusi poisson jika,



d. Distribusi poisson dapat di aproksimasi menjadi distribusi normal jika,

1.3 Tugas Pendahuluan

1. Jelaskan perbedaan variabel acak diskrit dan variabel acak kontinyu!

2. Jelaskan perbedaan distribusi diskrit dengan distribusi kontinyu!

3. Sebutkan dan jelaskan macam-macam distribusi diskrit!

4. Sebutkan dan jelaskan macam-macam distribusi kontinyu!

5. Jelaskan hubungan aproksimasi antara distribusi hipergeometrik, binomial, poisson, dan

distribusi normal!

6. Sebutkan ciri-ciri dari distribusi normal dan gambarkan kurvanya!

7. Sebuah perusahaan ingin menilai cara pemeriksaan yang sekarang dalam pengiriman 50

barang yang sama dengan mengambil sampel sebesar 5. Jika dalam pengiriman

mengandung 20% cacat. Berapakah probabilitas:

a. Tidak lebih dari 2 barang yang cacat.

b. Tidak ditemukan barang yang cacat.

8. Dari tes berfungsinya sebuah chip dilakukan dengan memeriksa sebanyak 140 chip yang

dipilih sebanyak 20 chip secara acak tanpa pengembalian. Tentukan:

a. Jika ada 20 rusak, berapa kemungkinan paling sedikit 1 dalam sampel tersebut.



b. Jika ada 5 chip yang rusak, berapa probabilitas paling sedikit 2 dalam sampel tersebut.

9. Pemerintah daerah menduga terdapat beberapa perusahaan petrokimia di wilayahnya

telah melanggar aturan dengan membuang limbah yang mengandung polutan berbahaya

ke sungai. Jika ada 20 perusahaan yang diduga melakukan pelanggaran dengan asumsi

bahwa ada 3 perusahaan yang telah terbukti melanggar. Tentukan probabilitas

a. Dari pemeriksaan acak sebanyak 5 perusahaan, tidak ditemui perusahaan yang terbukti

melanggar.

b. Dari pemeriksaan acak sebanyak 5 perusahaan, akan ditemui 2 perusahaan yang

terbukti melanggar.

10. Bram mengikuti sebuah tes, dimana tes tersebut berisi 20 soal pilihan ganda dengan 4

alternatif jawaban dan hanya ada satu jawaban yang benar. Tentukan probabilitas:

a. Bram menjawab 10 soal dengan benar.

b. Bram menjawab paling banyak 5 soal yang salah.

11. Probabilitas produk yang diproduksi tidak cacat adalah 0,9. Bila 15 produk diketahui

cacat, berapa probabilitas bahwa :

a. Terdapat 5 produk cacat.

b. Terdapat tidak kurang dari 12 produk tidak cacat.

c. Terdapat 10 sampai 13 produk tidak cacat.

12. Seorang tukang tik rata-rata melakukan 2 kesalahan per halaman. Berapakah peluang dia

melakukan:

a. 4 atau lebih kesalahan pada halaman berikut yang dia ketik.

b. Tidak ada kesalahan.

13. Di suatu simpang jalan rata-rata terjadi kecelakaan seminggu. Berapakah peluang pada

suatu minggu tertentu:

a. Tepat 5 kecelakaan akan terjadi.

b. Kurang dari 3 kecelakaan akan terjadi.

c. Paling sedikit 2 kecelakaan akan terjadi.

14. Banyaknya pelanggan yang datang per jamnya di bengkel mobil diasumsikan mengikuti

distribusi poisson dengan rata-rata 7. Hitung probabilitas:

a. Lebih dari 10 pelanggan yang akan datang dalam periode 2 jam.



b. Paling banyak 8 pelanggan yang datang selama periode 1 jam.

15. Suatu jenis aki mencapai umur rata-rata 3 tahun, dengan simpangan baku 0,5 tahun. Bila

umur aki itu menyebar normal, hitunglah probabilitas bahwa sebuah aki tertentu

mencapai umur kurang dari 2,3 tahun.

16. Jika x adalah variable acak yang berdistribusi normal dengan mean 10 dan standar

deviasi 2. Tentukan nilai x yang memenuhi:

a. P (X > x) = 0,95

b. P (X < x) = 0,2

c. P (-x < X < x) = 0,99

17. Dari penelitian terhadap 150 orang laki-laki yang berumur 4060 tahun didapatkan rata-

rata kadar kolesterol () mereka 215 mg % dan simpangan baku = 45 mg %.

Hitunglah peluang mendapatkan seorang yang kadar kolesterolnya:

a. > 250 mg %

b. < 200 mg %

c. antara 200 275 mg %

18. Seorang karyawan tiap hari berkendaraan ke kantornya. Rata-rata tiap perjalanan

memerlukan waktu 24 menit dengan simpangan baku 3,8 menit. Misalkan waktu

perjalanan ini berdistribusi normal, tentukan:

a. Berapa peluangnya perjalanan tersebut melebihi setengah jam?

b. Bila kantornya buka pukul 07.00 dan ia berangkat ke kantor pukul 06.30 setiap

harinya, berapa peluang ia akan datang dan kantor belum buka?

c. Bila ia berangkat pukul 06.35 dan di kantor minuman kopi disajikan antara pukul

06.45 dan 07.00, berapa probabilitasnya ia tidak kebagian kopi?

19. Dari hasil riset di laboratorium, diketahui bahwa ketahanan lampu hemat energi

berdistribusi normal, rata - ratanya adalah 72 hari, dengan simpangan baku 8 hari. Jika

diambil secara random, hitunglah probabilitas ketahanan sebuah lampu, apabila : a. Menyala antara 63 - 78 hari.

b. Menyala lebih dari 82 hari.

c. Menyala kurang dari 70 hari.



20. Sebuah pabrik pipa air menghasilkan pipa-pipa dari ukuran panjang 6 meter. Dari pengukuran secara teliti ternyata pipa yang dihasilkan mempunyai panjang rata-rata

599,5 cm dengan standard deviasi 0,5 cm. ukuran pipa yang memenuhi syarat yaitu

paling pendek 599 cm dan paling panjang 601 cm. tentukan probabilitas:

a. Mempunyai panjang tidak lebih dari 600 cm.

b. Mempunyai panjang kurang dari 599 cm.

c. Memenuhi syarat.

modul 2

Documents