2.1. Metode Euler

Persamaan diferensial berbentuk :

);t(yy' ==== untuk bta ≤≤≤≤≤≤≤≤ dengan nilai awal α)a(y ====

dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Salah satu metode untuk penyelesaian yang paling

fundamental adalah Metode Euler.

Penyelesaian persamaan deferensial biasa (ordinary differential equation) dengan metode

Euler adalah proses mencari nilai fungsi y(x) pada titik x tertentu dari persamaan deferensial

biasa )y,x(f yang diketahui dengan menggunakan persamaan umum persamaan 2.

Dengan menggunakan turunan numerik bahwa :

)h(O)y,x('fh

)y,x(f)y,hx(f ++++==== −−−−++++

Dengan transformasi ke domain waktu t dan besaran y, maka :

)h(O)y,t('fh

)y,t(f)y,ht(f ++++==== −−−−++++

atau

)h(O)y,t('fh)y,t(f)y,ht(f ++++++++====++++ (1)

Dengan demikian persamaan diferensial dapat diselesaikan melalui iterasi, di mana :

1n.,..,2,1,0iuntuk)y,t(fhff

α)a(yy

i'

i1i

0

−−−−====++++====

========

++++ (2)

dengan

hiat

n/)ab(h

i ++++====−−−−====

Penyelesaian persamaan deferensial biasa dengan metode Euler sangat sederhana, akan tetapi

hasil penyelesaiannya sering merupakan penyelesaian pendekatan dengan nilai error yang

cukup besar. Biasanya untuk mengurangi nilai errornya diambil ∈x yang cukup kecil, akan

tetapi hal ini akan menambah jumlah iterasinya.

Contoh 1:

Gunakan Metode Euler untuk mengintegrasi numerik

5,8x20x12x2'y 23 ++++−−−−++++−−−−====

dari x = 0 hingga x = 4 untuk tiap titik data dengan selang h = 0,5. kondisi awal pada saat x =

0 adalah y = 1. tentukan y(3)?

Jawab :

dari persamaan 1 : )x('yh)x(y)hx(y ++++====++++ maka

untuk x = 0;

)0('y5,0)0(y)5,0(y ++++==== dengan

5,8

5,8)0(20)0(12)0(2)0('y 23

====++++−−−−++++−−−−====

Sehingga

25,5

5,8*5,01

)0('y5,0)0(y)5,0(y

====++++====

++++====

untuk x = 0,5; )5,0('y5,0)5,0(y)1(y ++++====

dengan

25,1

5,8)5,0(20)5,0(12)5,0(2)5,0('y 23

====++++−−−−++++−−−−====

Sehingga

875,5

25,1*5,025,5

)5,0('y5,0)5,0(y)1(y

====++++====++++====

Hitungan selanjutnya ditabelkan sebagai berikut :

x y’(i) y(i) Eksak 0,0 8,5000000 1,0000000 1,0000000 0,5 1,2500000 5,2500000 3,2187500 1,0 -1,5000000 5,8750000 3,0000000 1,5 -1,2500000 5,1250000 2,2187500 2,0 0,5000000 4,5000000 2,0000000 2,5 2,2500000 4,7500000 2,7187500 3,0 2,5000000 5,8750000 4,0000000 3,5 -0,2500000 7,1250000 4,7187500 4,0 -7,5000000 7,0000000 3,0000000

Contoh 2 :

Carilah nilai y(0,3) dari persamaan diferensail di bawah ini dengan metode euler untuk

h=0,05 dengan y(0) = 3.

3yx'ydxdy −−−−++++========

Jawab :

x y'(i) y(x) Eksak 0 0,0000000 3,0000000 3,0000000

0,05 0,0500000 3,0000000 3,0012711 0,1 0,1025000 3,0025000 3,0051709

0,15 0,1576250 3,0076250 3,0118342 0,2 0,2155063 3,0155063 3,0214028

0,25 0,2762816 3,0262816 3,0340254 0,3 0,3400956 3,0400956 3,0498588

0,35 0,4071004 3,0571004 3,0690675 0,4 0,4774554 3,0774554 3,0918247

0,45 0,5513282 3,1013282 3,1183122 0,5 0,6288946 3,1288946 3,1487213

2.2. Metode Runge Kutta

Seperti yang telah diketahui persamaan diferensial orde pertama berbentuk ( ) 0,, ' =yytf

dan dapat ditulis dalam bentuk ( )ytfy ,' = . Masalah nilai awal terdiri atas sebuah persamaan

diferensial dan sebuah syarat atau kondisi yang harus dipenuhi oleh solusinya. Masalah nilai awal

yang berbentuk:

( )ytfy ,' = , ( ) 00 yty =

dengan f diasumsikan sedemikian rupa sehingga masalah ini mempunyai solusi tunggal

pada selang tertentu yang mengandung 0y . Prinsip metode Runge-Kutta orde-4 untuk persamaan

diferensial biasa adalah menentukan solusi pada titik-titik, [ ]1, +nn tt . nt merupakan batas awal

interval dan 1+nt merupakan batas atas interval dengan nhttn += 0 untuk ∞= ...,,2,1n dan h

adalah jarak interval.

Diberikan metode Runge-Kutta orde-4 sebagai berikut:

( )43211 22

6kkkk

hyy nn ++++=+ ( )

4321n1n kk2k2k61

yy ++++=+

dengan: dengan:

( )nn y,tfk =1 ( )nn ythfk ,1 =

)kh

y,h

t(fk nn 12 22++=

++= 12 2

1,

2ky

hthfk nn

)kh

y,h

t(fk nn 23 22++=

++= 23 2

1,

2ky

hthfk nn

( )34 k*hy,htfk nn ++= ( )34 , kyhthfk nn ++=

Contoh :

Carilah nilai )1,0(y dari persamaan deferensial di bawah ini dengan metode Runge Kutta

orde empat.

5.1)0(y,yx)y,x(fdxdy ====++++========

Penyelesaian

Langkah pertama

Mencari nilai h, misalnya diambil h =0,05, disini x0 = 0, kemudian mencari nilai k1, k2, k3

dan k4, yaitu:

1. Misalnya h = 0.05. disini x0 = 0, kemudian mencari nilai k1, k2, k3 dan k4 yaitu :

628203125.1)564025.1*05.05.1()05.00(

)k.hy()hx()k.hy,hx(f4k

5640625.1).05.05.1()0(

).hy()x().hy,x(fk

5625.1).05.05.1()0(

.hy,x).hy,x(fk

5.15.10yx)y,x(fk

300300

25625.1

205.0

22k

02h

022k

02h

03

25.1

205.0

21k

02h

021k

02h

02

00001

====++++++++++++====++++++++++++====++++++++====

====++++++++++++====

++++++++++++====++++++++====

====++++++++++++====

++++++++====++++++++====

====++++====++++========

maka )05.0(yy1 ==== dengan persamaan (3), yaitu:

)kk2k2k(yy 43216h

01 ++++++++++++++++====

578177734.1

)628203125.15640625.1*25625.1*25.1(5.1y605.0

1

====

++++++++++++++++====

2. Melakukan iterasi kedua untuk mencari y(0,1), dengan mencari nilai k1, k2, k3 dan k4

yang baru, yaitu:

7762953973.1

)695524788.1*05.057817773.1()05.005.0()k.hy,hx(f4k

695524788.1

)*05.057817773.1()05.0().hy,x(fk

693882177.1

)*05.057817773.1()05.0().hy,x(fk

628177734,1578177734.105.0)y,x(fk

311

2693882177.1

205.0

22k

12h

13

262817773.1

205.0

21k

12h

12

111

====++++++++++++====++++++++====

====

++++++++++++====++++++++====

====

++++++++++++====++++++++====

====++++========

sehingga didapatkan )1,0(yy2 ==== , yaitu :

)kk2k2k(yy 43216h

12 ++++++++++++++++====

66292728.1)7762953973.16955247885.1*2

693882177.1*2628177734,1(578177734.1y605.0

2

====++++++++

++++++++====

Latihan :

Carilah nilai )4,0(y dari persamaan deferensial di bawah ini dengan metode Runge Kutta

orde empat dengan h = 0.05.

3)0(y,3yxdxdy

)y,x(f =+==