bilangan euler filsafat sains

8/19/2019 Bilangan Euler Filsafat Sains

1/45

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e

3. Identitas Euler4. Referensi

Bilangan Euler(e )

Rukmono Budi Utomo30115301

Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat

March 5, 2016

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat

Bilangan Euler(e )

http://find/


2/45



Asal Usul Bilangan Euler e

1 1. Bilangan Euler

2 2. Asal-Usul Bilangan e

3 3. Identitas Euler

4 4. Referensi


Bilangan Euler(e )

http://find/


3/45




Bilangan Euler atau e = 2, 7182818284... merupakan suatukonstanta dalam matematika dan merupakan basis dari logaritmaNatural.


Bilangan Euler(e )

http://find/http://goback/


4/45





Bilangan e ini sering juga disebut sebagai konstanta Napier,

seorang atas ahli matematika Skotlandia yang merumuskankonsep logaritma untuk pertama kali.

Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e )

1 Bil E l



5/45





Bilangan e ini sering juga disebut sebagai konstanta Napier,

seorang atas ahli matematika Skotlandia yang merumuskankonsep logaritma untuk pertama kali.

Sama seperti bilangan Pi (π) dan golden rasio (φ), bilangan e adalah bilangan tak berhingga desimal. Hal ini dikarenakan

bilangan e merupakan hasil limit tak hingga dari fungsif (x ) = (1 + x )

1

x atau secara matematis dapat dituliskansebagai

e = limx →∞1 +

1

x x


1 Bil E l

http://find/


6/45



Asa-Usul Bilangan e

Bilangan e awalnya ditemukan oleh John Napier padatahun1918, seorang ahli matematika berkebangsaanSkotlandia ketika ia merumuskan konsep logaritma


1 Bilangan Euler



7/45



Asa-Usul Bilangan e


Pada tahun 1647 Saint-Vincent menghitung daerah di bawah

hiperbola persegi panjang. Saint-Vincent berusahamerumuskan hubungan antara daerah di bawah hiperbolapersegi panjang dengan logaritma hasil penelitian John Napier.


1 Bilangan Euler

http://find/


8/45



Asa-Usul Bilangan e


Pada tahun 1647 Saint-Vincent menghitung daerah di bawah

hiperbola persegi panjang. Saint-Vincent berusahamerumuskan hubungan antara daerah di bawah hiperbolapersegi panjang dengan logaritma hasil penelitian John Napier.

Pada 1661 Huygens memahami hubungan antara hiperbolapersegi panjang dan logaritma. Huygen memeriksa secaraeksplisit hubungan antara daerah di bawah persegi panjanghiperbola yx = 1 dan logaritma.


1 Bilangan Euler

http://find/


9/45



lanjutanHuygens menemukan suatu konstanta sedemikian rupasehingga daerah di bawah hiperbola persegi panjang dari 1sampai konstanta tersebut sama dengan 1. Bilangan tersebutmerupakan cikal bakal munculnya bilangan e


1. Bilangan Euler

http://find/


10/45



lanjutanHuygens menemukan suatu konstanta sedemikian rupasehingga daerah di bawah hiperbola persegi panjang dari 1sampai konstanta tersebut sama dengan 1. Bilangan tersebutmerupakan cikal bakal munculnya bilangan e

Pada 1683 Jacob Bernoulli memandang masalah bungamajemuk kontinyu. Bernoulli mencoba untuk menemukanbatas dari suatu fungsi f (x ) = (1 + 1

x )x untuk x cenderung

membesar dan menuju tak hingga

e = limx →∞

1 +

1

x

x


1. Bilangan Euler



11/45

. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e


lanjutanBernoulli menggunakan teorema binomial untuk menunjukkanbahwa batas dari nilai limit tersebut harus terletak antara 2dan 3 sehingga dan merupakan pendekatan atas bilangan e pertama kalinya


1. Bilangan Euler



12/45

g2. Asal-Usul Bilangan e



Jacob Bernoulli juga merupakan orang pertama kalimemahami bahwa fungsi log adalah kebalikan dari fungsieksponensial.


1. Bilangan Euler

http://find/


13/45

g2. Asal-Usul Bilangan e



Jacob Bernoulli juga merupakan orang pertama kalimemahami bahwa fungsi log adalah kebalikan dari fungsieksponensial.

Pada tahun 1683 Leibniz menulis surat kepada Huygens danmemberikan suatu notasi atas konstanta dari penelitianHuygens yakni b (dan bukan e )


1. Bilangan Euler

http://find/


14/45

2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler

4. Referensi

lanjutan

Notasi b Leibniz bertahan sampai dengan tahun1731 sampaiakhirnya notasi e muncul dan menggantikan b dalam sebuahsurat Euler kepada Goldbach.


1. Bilangan Euler2 A l U l Bil

http://find/


15/45


4. Referensi

lanjutan

Notasi b Leibniz bertahan sampai dengan tahun1731 sampaiakhirnya notasi e muncul dan menggantikan b dalam sebuahsurat Euler kepada Goldbach.

Pada tahun 1748 Euler menerbitkan salah satu karya

fenomenalnya yang berjudul Introductio di analysininfinitorum. Dalam karya tersebut Euler menunjukkan bahwa

e = 1 + 1

1! +

1

2! +

1

3! + · · ·

atau dalam bentuk limit dapat dituliskan sebagai

e = limx →∞

1 +

1

x

x


1. Bilangan Euler2 A l U l Bil

http://find/


16/45


4. Referensi

lanjutan

Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengemukakansimbol e untuk menggantikan notasi b Libniz.


http://find/


17/45


18/45

1. Bilangan Euler2 Asal-Usul Bilangan e


19/45


4. Referensi

lanjutan

Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengemukakansimbol e untuk menggantikan notasi b Libniz.

Ada yang berpendapat bahwa notasi e yang dikemukakan olehEuler merupakan huruf awal dari namanya, namun ada jugayang berpendapat bahwa huruf e yang dikemukakan oleh

Euler merupakan singkatan dari eksponensial .Faktanya notasi e lebih dikenal dengan bilangan Euler baikkarena notasi e tersebut muncul dari surat yang ditulisnyakepada Golbach tahun 1731 atau karena Euler yang pertama

kali merumuskan bentuk matematis e dalam karya Introductio di analysin infinitorum miliknya

Jikapun ada yang mengenalnya sebagai bilangan JohnNapieritu, hal demikian dikarenakan atas jasanyamemperkenalkan konsep logaritma pertama kali.



http://find/


20/45

2. Asal Usul Bilangan e 3. Identitas Euler

4. Referensi

Identitas EulerEuler merumuskan suatu hubungan persamaan fenomenal yakni

e i θ = cos θ + i sin θ



http://find/


21/45

g3. Identitas Euler

4. Referensi



Bukti Menurut Euler

e = limx →∞

1 +

1

x

x



http://find/


22/45

g3. Identitas Euler

4. Referensi



Bukti Menurut Euler

e = limx →∞

1 +

1

x

x

Analog dengan hal tersebut

e x = limn→∞

1 +

x

n

n



http://find/


23/45


lanjutan



http://find/


24/45


lanjutan

Untuk x = z diperoleh

e z = limn→∞

1 +

z

n

n



3 Id i E l

http://find/


25/45


lanjutan


e z = limn→∞

1 +

z

n

nkarena z = x + iy adalah suatu fungsi imaginer , maka diperolehbentuk

e x +iy = limn→∞

1 +

x + iy

n

n



3 Id tit E l

http://find/


26/45


lanjutan


e z = limn→∞

1 +

z

n

nkarena z = x + iy adalah suatu fungsi imaginer , maka diperolehbentuk


1 +

x + iy

n

natau dapat ditulis


1 +

x

n

+ i

y

n

n· · · (∗1)



3 Identitas Euler

http://find/


27/45


lanjutan



3 Identitas Euler

http://find/


28/45


lanjutanDari (∗1) dapat diperoleh


1 +

x

n

+ i

y

n

n

atau dapat dituliskan kembali sebagai


http://find/


29/45


3. Identitas Euler


30/45




1 +

x

n

+ i

y

n

n



1 +

2x

n +

x 2

n2 +

y 2

n2

n2

pada akhirnya akan diperoleh

e x +iy = e limn→∞1+

2x n +

x 2

n2 +

y 2

n2

n2



3. Identitas Euler



31/45

4. Referensi



1 +

x

n

+ i

y

n

n



1 +

2x

n +

x 2

n2 +

y 2

n2

n2

pada akhirnya akan diperoleh

e x +iy = e limn→∞1+

2x n +

x 2

n2 +

y 2

n2

n2

atau |e x +iy | = e



3. Identitas Euler

http://find/


32/45

4. Referensi

lanjutan

Dengan mengingat kordinat polar z n = r n(cos θ + i sin),tanθ = y

x atau θ = arctan y

x dan berdasarkan Teorema De

Moivre diperoleh z n = r n(cos nθ + i sin nθ), dan arg (z n) = nθatau arg (z n) = n arctan y

x



3. Identitas Euler

http://goforward/http://find/http://goback/


33/45

4. Referensi

lanjutan





x

berdasarkan hal tersebut, persamaan (∗1) dapat dituliskan

kembali sebagai

arg

e x +iy

= limn→∞

n

arctan

y n

1 + x

n



3. Identitas Euler4 f

http://find/


34/45

4. Referensi

lanjutan





x

berdasarkan hal tersebut, persamaan (∗1) dapat dituliskan

kembali sebagai

arg

e x +iy

= limn→∞

n

arctan

y n

1 + x

n

atau

arg

e x +iy

= limn→∞

n

arctan y

n+x y

n+x

y n+x

· · · (∗2)


http://find/


35/45

1. Bilangan Euler2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler

4 Referensi


36/45

4. Referensi

lanjutan

karena

limt →∞

arctan 1

t 1

t

= lim

t →∞

1

1 + 1t 2

yang menghasilkan nilai 1, maka diperoleh

arg

e x +iy

= limn→∞

ynn+x


http://find/


37/45


4 Referensi


38/45

4. Referensi

lanjutanDengan mengingat bahwa z = r (cos θ + i sin θ) dengan r = |z |dan θ = arg (z ), diperolehz = |z |[cos(arg (z ) + i sin(arg (z ))]...(∗4)



4. Referensi

http://find/


39/45

4. Referensi


ambil z = e x +iy

, sehingga (∗4) dapat dituliskan kembalisebagai z = |e x +iy |[cos(arg (e x +iy ) + i sin(arg (e x +iy ))]...(∗5)



4. Referensi

http://find/


40/45

4. Referensi


ambil z = e x +iy


substitusikan (∗2) dan (∗3) pada (∗5), sehingga diperolehe x +iy = e x (cos y + i sin y ) atau e iy = (cos y + i sin y )



4. Referensi

http://find/


41/45


ambil z = e x +iy


substitusikan (∗2) dan (∗3) pada (∗5), sehingga diperolehe x +iy = e x (cos y + i sin y ) atau e iy = (cos y + i sin y )

Dengan mengingat bahwa y

= θ

, maka diperolehe i θ = (cos θ + i sin θ)Q.E.D



4. Referensi

http://find/


42/45

Akibat Identitas EulerAkibat dari Identitas Euler menghasilkan persamaan

e i π + 1 = 0



4. Referensi

http://find/


43/45


e i π + 1 = 0

Bukti



4. Referensi

http://find/


44/45


e i π + 1 = 0

BuktiDari identitas Euler, dapat ditemukan hubungan sebagai berikute i π = cos π + i sin π= −1 + 0= −1

Dengan demikian e i π + 1 = 0Q.E.D



4. Referensi

http://find/


45/45

Referensi

www.id.wikipedia.org(Bilangan Euler )Dikutip tanggal 3 maret 2016 pukul 14.15 wib

www.id.wikipedia.org(Identitias Euler )Dikutip tanggal 3 maret 2016 pukul 14.16 wib

www.mathematics.blogspot.comDikutip tanggal 5 maret 2016

Gazali, Wikaria. Penurunan Rumus Euler, makalah

http://find/

bilangan euler filsafat sains

Documents