20BAB.III

KINEMA TIKA FLUIDA

III I. Metode Lagrange dmlMctode euler

Mctodc ini menguraikan hubungan 3ntara kedudukan berbagai partikel fluida

dengall waktu, dimana fluida dianggap sebagai kontinuum. Hal ini berJaku selama ukuran

dari partikel fluida yall,ll;diamati jrnlh lebih besar dari jarak 1i11tasanbebasrata-rata dari

molekul.

Ada dUBem-a d~\lammenenmgkan gerak fluida moo bentuk persamaan medan

da1amfluida, yaitu metode Lagrange dan metode Euler. Perbedaannya terletak pOOacara

p~nentu8n kedudukan .llaJnmmedan, yang 8atu bers811gkntandengwJ apa yang terjadi

pOOapartikel lluida' dengall identitas tetap selama waktu yang tertentu, bagaimana

lintasannya, berapa besar kecepatan dan percepatannya.

Mt~l()delagnuJgeyang bers3ngkut3n den~an partikel fluida dengan identitas letap.

Dalam meode ini, vru'iabcl sep~rti lintasan, kecepatan, perccpatan dan variabel fisika

13illllyaciilulislmnuntuk partikel fJnida dengan identitas tetap. Ko~rdinat (x,y, z) adaJah

koordinat dari elemen fluida, dan karena elemen fluida yang ditinjau jdentitasnya tctap

£Ianbergerak pada lintasanQYa,maka koordinat tersebut terg~tung pada waktu. Dengan

kata laill koordinat tersebut mempakal1variabel depe12d~ndalanl bentuk Lagrange. Suatu

clemen fluida dikonali dari kedudukannya medan fluida pada aoatuwaktu sebarang. yang

bias~Ulyadipilih sebagai t =0. Gorak dari partikel fJuida ini tertentu bila kita ketahui

persrummn kcdudukannya terhadap waldu.. Jadi jika r menyatakan kedudukan suatu

par1ikeJtluida dellgan identitas tetap, maka:

R = r (a, b, c, t)

i\tmr

x ,~,X (~J,b, c. l)

y c' y (a, b, c. f)

;1,::::/. (a, b, c. t)

Dan luedaH kecepatan dinya1akall sebagai:

V ,c:-v (a, b, c. t)

21

Dengan koordinat (a, b, c) menyataJmn kedudukan ~waJ dari partikel fluida dengan

identitas tetap. Variabel aJiran l1uida yang lain, yang merupakan fungsi-fungsi dari

kordinat tadi, dapat dit.uliskan dengall canl yang sama. Metode Lagrange Jarang

dipe-rgunakandalam .mekanika fluida, karena jt>nis infl'nnasi yang diinginkall bukannlah

harga vw-iubel fluida yang dialami smuu partikel fluida sepB1:l:.ianglintasannya, letapi

hanya variabel fluida pad~ suatu t.itik tetap dalarn mango Meskipun demikian mdode

Lagrange dapat dihubungkan den,lI;andengan metode rnmlisaberdasark3l1 sistem.

Metode Euler' memcberikan harga variabel fluida pada snatu titik pacta suatu

waktu. Da}ambentuk fnngsjonil, meoan kecepatan dnpat ditulisknn sebagai herikllt:

V =v ( x. y, z, t)

Dimana x, y, z, clan t semuanya merupakan variabel beban untuk smdu titik tertentu (XI,

yJ, ZI) dan waktu tl . metode Euler clapat dihubullgkall dellgal1metode analisa dengan

volume atur.

Ill.2. Sistim dan ,'oll1nte atul'

Sualu sislim yang kadang-kadang disebut benda terisolasi, didefenisikan sebagai

kumpulan zat sebarnng yang mernpllnyai identitas teiap. Segala sesuatu yang ada di Illar

sistilJIdisebut lingkungan. Balas dm-isistn~ didJnisikan sebagai snatu perrnukaan, yang

dapat berbentuk riil (nyafa) al~1Uirnaginer (khayaJ), yang IIll~misabkansistim dari

lingkungannya.

Persamaan kOlltinuitas mengungkapkall persyaratan bahwa suaLu t1uida harns

kontinu serta bahwa massa f1uida b~rgjfat kekaJ- yakni tidak dapat djciptak~ atau

dimusnahkan.

Sednng kekekaJan massa fluida mernpersyaratkan bahwa da1am8uatu volume zat

massa selalu konst.an)dan karena itu laju perubahan massanya.sarna rlengan nol. Berbagai

bentuk persamaali kontinuitas untuk suafu volume atur (volume konn-ot) diturungkan

dengan menyatakan secara matematik bahwa I~u netto influks rnassa ke dalam suatu

daerah tertentu sanIa dengan l~u perubahan massa di daerah tersebul Gambar 3.1a

memperlihatkan sebuah volume kontrol yang dibatasi oleh dinding-dinding tangki

pengosong, yaitu tangki yang massa di daJamnyaberkurang terhadap waktu. Oleb karena

22

itu, yang dibutuhkan disini adaJah bentuk persamaan kontinuitas yang tidal<steady, Jika

volume konb'ol ditetapkan seperti ganlbar 3-1b, pengosongan tangki lebih I3I!iut

menyebabkan adanya aliran masuk (inflov"r)melalui batas volume kontr61 se bel3h atas,

akan tetapj aliran itll steady asalkan laju aliran keluar (out How) tidak bemba11.Ini

memll~iukkanbahwa penetapan volume kontrol serta hal-hal lain yang bersal1gkutan

harus ditakukan d~ngan teliti, 'wahmpunbila masing-masing kac;usjlu ditaf.c;irkanseeara

benar, semua men~jn ke h~juanyang sarna.

Bentuk umum untuk kontinuitas dimana, ruas di sebelah kiri sarna dengan nol

(karena massa dari voJum zat yan,gtidak berubah) dan dengan kt".fapntantluida p sebagai

fun~Hititik YaJl~bernilai tunggal, maimteorema t~rseb.utmenjadi :

jo-= ~ J p dV + (. p 0". d3)at""""" 1<""'"'1 }p<n11IlI: bmboJ .

, Volume kon!rolrIIIIIIII1=IIII Za! cairIIL________

Udara Udara

Aliran keluar r---1 jI II II II II II IL J

(a) (b)

Gambar: 3.1 DlIacara pengandaian volume kontrol untt~{ scbuah tangki pengosong

PerSi1maanini menyatakal1ballwa l~iu peliambahan masa di dalam volume kontrol plus

etluks massa neUoyang rnernintas pennuk3311kontrol sarna dengan nol. .Tadilaju influks

massa lletto yang melalui permukaall kontrol maupun dari sumber-sulIlber yang berada

di daJamvolume konlrol.

Ill.3. Medan Kecepatan dan Percepatan dalam flllida

Bila r ( X,y, Z ) menyatakan koordinat pmiikel fluid~ maim 1Ilcdan keeepatan

dinyatakan sebagai.

23

dr (x, v, z, t)

V(v(u,v,w)=dt

atan:II =dx/dt v =dy/dt w = dzldt

selanjutnya kecepatan daJam urah x dihlfun,tkan sebagai berikut ~

au au au audu = -dx = ---dy + -dz + -dt

ox 3y QZ at

du. du d"l: du dy ,du. dz duax :7 ,-;' --, --- -+--- + ( ) + --

dt dr. rft dy dt dz dt" dt/'}lI. du. au OU OU. all.

ax == --::: -- --I-u -- + "- + w - + -at dt ax ~y az at

demikian puta:

Dv dv av av avay == - == - ::::U - + '"- + -Dt dt ax at at

[)w dw 8'1-11 O~11 ow OWaz. ==--== - ==u-+ v-+ w--+--

Dt dt I~- t';!y ()z AX

jadi dalam nolasi vektor

p~-;;.: ~+ (\I + !::.)\.Dt at - ,

yang menyatakan babwa percepatan pada sualu titik dalal)) ruan.~ ( yaitu tW1.IIUUltotal dari

kecepatan pada titik yang bersangkutan) adalah sama dengan pel1lbahan kecepatan pada

titik terset>ut ( suku pertama pada ruas kamJ) clan peruhahan kaTena adanya konveksi (

suku kedua pada 11Ja."3kanan). Untukaliran yang staiioner

ov/ot= 0

Ill.4. Pcngguuaan suatu sistim referensi dalam menginterpretasikan bentukgerakan.

Pemilihan sistim koordinat se~agai referensi terhadap gerakm~fluida mempunyaii

manfaf yang besar. Dalam keadaan tertentn kita dapat mengubah snatu a1iralltak stationer

menjadi stationer clansebaliknya.

24

Hal ini dapat dimJaJisa dengan memperthatikan aliran melalui tiang jembatan

dengan sistim referensi (atau pen,gamat) diam, atau ju.ejaterjadi pada morrong pesaw31

yang terbang dengan kecep31antetap seperti yang dilihat oleh seorang pengamat dalam

pr.sawat fe-rbang.Kedua contoh tersebut merupakan gerakan stationer. Gambar 3-2.

Mentt1Ukkan~aris lintasan yang berimpitan dengan garis gores dan garis ams.

A

Gambar. 3-2; garis an.ISpada aliran stationer

Benda k (w8ma hitwn) dianggap sanga! l?~jallg sehingga pengaruh aliran di

bagian beJakangbenda pada aliran di bagian depan dapat diabaikan.

Bila pOOatitik A diteteskan su31u cairan belWama, maka tetesan belWama

tersebut akan terletak pOOagaris artIs.

Seba.liknyajika aJiran tidal<stationer, keadaan berbeda. lni dap31terjadi bila kita

memperhatikan aliran t1uida melalui suatu pesawat terbang dari suatu kedudukan yang

cHamterhadapfluidayangmasihterganggu.Gambar3-3 memperJihatkangaris arus,garis

IiJltasan dan garis gores sekarang mempullyai belltuk yang berbeda-beda. Benda

memindahkan partikel f1uida sedemikian sehingga partikel di depan di dorong ke depan,

sedallgkanpartikel pada hap sisi didorongserempak ke depan dan k~ samping. Garis ams

lertihat bergerak bersama-sama dengan benda.

\ r /garis-Un tasa

... n.

Gambm'; 3-3. Garis ,U1JS,garis linlasan clangaris gores dalam aliranl.idak stationer.