20BAB.III
KINEMA TIKA FLUIDA
III I. Metode Lagrange dmlMctode euler
Mctodc ini menguraikan hubungan 3ntara kedudukan berbagai partikel fluida
dengall waktu, dimana fluida dianggap sebagai kontinuum. Hal ini berJaku selama ukuran
dari partikel fluida yall,ll;diamati jrnlh lebih besar dari jarak 1i11tasanbebasrata-rata dari
molekul.
Ada dUBem-a d~\lammenenmgkan gerak fluida moo bentuk persamaan medan
da1amfluida, yaitu metode Lagrange dan metode Euler. Perbedaannya terletak pOOacara
p~nentu8n kedudukan .llaJnmmedan, yang 8atu bers811gkntandengwJ apa yang terjadi
pOOapartikel lluida' dengall identitas tetap selama waktu yang tertentu, bagaimana
lintasannya, berapa besar kecepatan dan percepatannya.
Mt~l()delagnuJgeyang bers3ngkut3n den~an partikel fluida dengan identitas letap.
Dalam meode ini, vru'iabcl sep~rti lintasan, kecepatan, perccpatan dan variabel fisika
13illllyaciilulislmnuntuk partikel fJnida dengan identitas tetap. Ko~rdinat (x,y, z) adaJah
koordinat dari elemen fluida, dan karena elemen fluida yang ditinjau jdentitasnya tctap
£Ianbergerak pada lintasanQYa,maka koordinat tersebut terg~tung pada waktu. Dengan
kata laill koordinat tersebut mempakal1variabel depe12d~ndalanl bentuk Lagrange. Suatu
clemen fluida dikonali dari kedudukannya medan fluida pada aoatuwaktu sebarang. yang
bias~Ulyadipilih sebagai t =0. Gorak dari partikel fJuida ini tertentu bila kita ketahui
persrummn kcdudukannya terhadap waldu.. Jadi jika r menyatakan kedudukan suatu
par1ikeJtluida dellgan identitas tetap, maka:
R = r (a, b, c, t)
i\tmr
x ,~,X (~J,b, c. l)
y c' y (a, b, c. f)
;1,::::/. (a, b, c. t)
Dan luedaH kecepatan dinya1akall sebagai:
V ,c:-v (a, b, c. t)
21
Dengan koordinat (a, b, c) menyataJmn kedudukan ~waJ dari partikel fluida dengan
identitas tetap. Variabel aJiran l1uida yang lain, yang merupakan fungsi-fungsi dari
kordinat tadi, dapat dit.uliskan dengall canl yang sama. Metode Lagrange Jarang
dipe-rgunakandalam .mekanika fluida, karena jt>nis infl'nnasi yang diinginkall bukannlah
harga vw-iubel fluida yang dialami smuu partikel fluida sepB1:l:.ianglintasannya, letapi
hanya variabel fluida pad~ suatu t.itik tetap dalarn mango Meskipun demikian mdode
Lagrange dapat dihubungkan den,lI;andengan metode rnmlisaberdasark3l1 sistem.
Metode Euler' memcberikan harga variabel fluida pada snatu titik pacta suatu
waktu. Da}ambentuk fnngsjonil, meoan kecepatan dnpat ditulisknn sebagai herikllt:
V =v ( x. y, z, t)
Dimana x, y, z, clan t semuanya merupakan variabel beban untuk smdu titik tertentu (XI,
yJ, ZI) dan waktu tl . metode Euler clapat dihubullgkall dellgal1metode analisa dengan
volume atur.
Ill.2. Sistim dan ,'oll1nte atul'
Sualu sislim yang kadang-kadang disebut benda terisolasi, didefenisikan sebagai
kumpulan zat sebarnng yang mernpllnyai identitas teiap. Segala sesuatu yang ada di Illar
sistilJIdisebut lingkungan. Balas dm-isistn~ didJnisikan sebagai snatu perrnukaan, yang
dapat berbentuk riil (nyafa) al~1Uirnaginer (khayaJ), yang IIll~misabkansistim dari
lingkungannya.
Persamaan kOlltinuitas mengungkapkall persyaratan bahwa suaLu t1uida harns
kontinu serta bahwa massa f1uida b~rgjfat kekaJ- yakni tidak dapat djciptak~ atau
dimusnahkan.
Sednng kekekaJan massa fluida mernpersyaratkan bahwa da1am8uatu volume zat
massa selalu konst.an)dan karena itu laju perubahan massanya.sarna rlengan nol. Berbagai
bentuk persamaali kontinuitas untuk suafu volume atur (volume konn-ot) diturungkan
dengan menyatakan secara matematik bahwa I~u netto influks rnassa ke dalam suatu
daerah tertentu sanIa dengan l~u perubahan massa di daerah tersebul Gambar 3.1a
memperlihatkan sebuah volume kontrol yang dibatasi oleh dinding-dinding tangki
pengosong, yaitu tangki yang massa di daJamnyaberkurang terhadap waktu. Oleb karena
22
itu, yang dibutuhkan disini adaJah bentuk persamaan kontinuitas yang tidal<steady, Jika
volume konb'ol ditetapkan seperti ganlbar 3-1b, pengosongan tangki lebih I3I!iut
menyebabkan adanya aliran masuk (inflov"r)melalui batas volume kontr61 se bel3h atas,
akan tetapj aliran itll steady asalkan laju aliran keluar (out How) tidak bemba11.Ini
memll~iukkanbahwa penetapan volume kontrol serta hal-hal lain yang bersal1gkutan
harus ditakukan d~ngan teliti, 'wahmpunbila masing-masing kac;usjlu ditaf.c;irkanseeara
benar, semua men~jn ke h~juanyang sarna.
Bentuk umum untuk kontinuitas dimana, ruas di sebelah kiri sarna dengan nol
(karena massa dari voJum zat yan,gtidak berubah) dan dengan kt".fapntantluida p sebagai
fun~Hititik YaJl~bernilai tunggal, maimteorema t~rseb.utmenjadi :
jo-= ~ J p dV + (. p 0". d3)at""""" 1<""'"'1 }p<n11IlI: bmboJ .
, Volume kon!rolrIIIIIIII1=IIII Za! cairIIL________
Udara Udara
Aliran keluar r---1 jI II II II II II IL J
(a) (b)
Gambar: 3.1 DlIacara pengandaian volume kontrol untt~{ scbuah tangki pengosong
PerSi1maanini menyatakal1ballwa l~iu peliambahan masa di dalam volume kontrol plus
etluks massa neUoyang rnernintas pennuk3311kontrol sarna dengan nol. .Tadilaju influks
massa lletto yang melalui permukaall kontrol maupun dari sumber-sulIlber yang berada
di daJamvolume konlrol.
Ill.3. Medan Kecepatan dan Percepatan dalam flllida
Bila r ( X,y, Z ) menyatakan koordinat pmiikel fluid~ maim 1Ilcdan keeepatan
dinyatakan sebagai.
23
dr (x, v, z, t)
V(v(u,v,w)=dt
atan:II =dx/dt v =dy/dt w = dzldt
selanjutnya kecepatan daJam urah x dihlfun,tkan sebagai berikut ~
au au au audu = -dx = ---dy + -dz + -dt
ox 3y QZ at
du. du d"l: du dy ,du. dz duax :7 ,-;' --, --- -+--- + ( ) + --
dt dr. rft dy dt dz dt" dt/'}lI. du. au OU OU. all.
ax == --::: -- --I-u -- + "- + w - + -at dt ax ~y az at
demikian puta:
Dv dv av av avay == - == - ::::U - + '"- + -Dt dt ax at at
[)w dw 8'1-11 O~11 ow OWaz. ==--== - ==u-+ v-+ w--+--
Dt dt I~- t';!y ()z AX
jadi dalam nolasi vektor
p~-;;.: ~+ (\I + !::.)\.Dt at - ,
yang menyatakan babwa percepatan pada sualu titik dalal)) ruan.~ ( yaitu tW1.IIUUltotal dari
kecepatan pada titik yang bersangkutan) adalah sama dengan pel1lbahan kecepatan pada
titik terset>ut ( suku pertama pada ruas kamJ) clan peruhahan kaTena adanya konveksi (
suku kedua pada 11Ja."3kanan). Untukaliran yang staiioner
ov/ot= 0
Ill.4. Pcngguuaan suatu sistim referensi dalam menginterpretasikan bentukgerakan.
Pemilihan sistim koordinat se~agai referensi terhadap gerakm~fluida mempunyaii
manfaf yang besar. Dalam keadaan tertentn kita dapat mengubah snatu a1iralltak stationer
menjadi stationer clansebaliknya.
24
Hal ini dapat dimJaJisa dengan memperthatikan aliran melalui tiang jembatan
dengan sistim referensi (atau pen,gamat) diam, atau ju.ejaterjadi pada morrong pesaw31
yang terbang dengan kecep31antetap seperti yang dilihat oleh seorang pengamat dalam
pr.sawat fe-rbang.Kedua contoh tersebut merupakan gerakan stationer. Gambar 3-2.
Mentt1Ukkan~aris lintasan yang berimpitan dengan garis gores dan garis ams.
A
Gambar. 3-2; garis an.ISpada aliran stationer
Benda k (w8ma hitwn) dianggap sanga! l?~jallg sehingga pengaruh aliran di
bagian beJakangbenda pada aliran di bagian depan dapat diabaikan.
Bila pOOatitik A diteteskan su31u cairan belWama, maka tetesan belWama
tersebut akan terletak pOOagaris artIs.
Seba.liknyajika aJiran tidal<stationer, keadaan berbeda. lni dap31terjadi bila kita
memperhatikan aliran t1uida melalui suatu pesawat terbang dari suatu kedudukan yang
cHamterhadapfluidayangmasihterganggu.Gambar3-3 memperJihatkangaris arus,garis
IiJltasan dan garis gores sekarang mempullyai belltuk yang berbeda-beda. Benda
memindahkan partikel f1uida sedemikian sehingga partikel di depan di dorong ke depan,
sedallgkanpartikel pada hap sisi didorongserempak ke depan dan k~ samping. Garis ams
lertihat bergerak bersama-sama dengan benda.
\ r /garis-Un tasa
... n.
Gambm'; 3-3. Garis ,U1JS,garis linlasan clangaris gores dalam aliranl.idak stationer.