1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Saat ini banyak sekali penyakit menular yang cukup

membahayakan, penyakit menular biasanya disebabkan oleh faktor

lingkungan yang cukup baik untuk perkembangbiakan virus, penyakit

akan mewabah melalui kontak langsung dengan individu yang telah

terinfeksi virus, udara, batuk, bersin, maupun makanan dan minuman. [2]

Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi di bidang

kedokteran memiliki peranan penting dalam mencegah penyebaran

penyakit agar tidak meluas, yaitu dengan cara pemberian vaksin.

Perkembangan ilmu pengetahuan di bidang Matematika juga memberikan

peranan penting dalam pencegahan mewabahnya suatu penyakit. Peranan

matematika ini berupa model matematika, yang disebut model epidemi.

Model matematika memiliki aplikasi yang cukup penting dalam

berbagai ilmu. Dengan menggunakan berbagai asumsi, permasalahan yang

ada dalam lingkungan kehidupan dapat ditransformasikan dalam model

matematika. Dalam model matematuka yang ada selanjutnya dapat

dianalisis perilaku-perilaku yang ada didalamnya. Salah satu kejadian yang

terjadi dalam kehidupan manusia dan dapat ditransformasikan dalam

model matematika adalah kejadian epidemi, yaitu bentuk model

matematika yang digunakan dalam melihat tingkat penyebaran suatu

penyakit menular. Secara umum, model epidemic yaitu Susceptible (S),

Infected (I), dan Recovered (R). Yang dimana Susceptible (S) sebagai sub

kelas populasi yang rentan terinfeksi, Infected (I) sebagai sub kelas

populasi yang terinfeksi, dan Recovered (R) sebagai sub kelas yang telah

sembuh dari penyakit menular dan memiliki kekebalan tubuh. Model ini

disebut sebagai model SIR.

2

Model SIR digunakan untuk melihat perubahan pada setiap subbab-

nya untuk mereka yang membutuhkan perhatian medis selama penyebaran

penyakitnya. Model SIR juga dapat menjelaskan bahwa seseorang yang

telah sembuh dari suatu penyakit, maka orang tersebut akan memiliki

kekebalan dalam tubuhnya. Sehingga dalam tubuhnya memiliki daya tahan

untuk tidak terjangkit penyakit dengan jenis yang sama. Hanya saja model

SIR ini tidak bekerja pada semua penyakit, ketika seseorang terjangkit

penyakit menular, ada kemungkinan suatu saat orang tersebut akan

terjangkit lagi.

1.2. Rumusan Masalah

1. Bagaimana penggunaan model matematika epidemi SIR pada

penyakit menular ?

2. Apakah yang dimaksud dengan Basic Reproductive Ratio, Herd

Immunity Threshold, Effective Reproductive Number, dan Control

Vaccination Number ?

3. Bagaimana cara pengontrolan pemberian vaksin pada suatu populasi

yang terkena wabah penyakit menular.

1.3. Batasan Masalah

Batasan masalah pada studi literatur ini meliputi :

1. Pengunaan model matematika endemik SIR.

2. Hanya pada penyakit yang bersifat endemik.

3. Laju kelahiran yang terjadi dalam populasi diasumsikan sama dengan

laju kematian.

4. Penyebaran penyakit terjadi pada populasi tertutup, sehingga pengaruh

dari luar diabaikan.

5. Jumlah populasi diasumsikan konstan dan tidak memperhatikan masa

inkubasi.

3

1.4. Tujuan Penelitian

1. Mengetahui penggunaan model matematika epidemi SIR pada

penyakit menular.

2. Mengetahui penggunaan Basic Reproductive Ratio, Herd Immunity

Threshold, Effective Reproductive Number, dan Control Vaccination

Number.

3. Mengetahui tingkat vaksinasi yang efektif yang diberikan kepada

individu yang terinfeksi penyakit menular.

1.5. Metode Penelitian

Dilakukan dengan pendekatan teoritis mengenai teori-teori pendukung

yang berkaitan dengan model epidemi SIR.

1.6. Sistematika Penulisan

Penyusunan studi literatur ini, berdasarkan sistematika penulisan adalah

sebagai berikut :

BAB I : Pendahuluan

Berisi mengenai latar belakang materi pokok studi literatur, rumusan

masalah, tujuan pembahasan materi, metode penelitian, sistematika

penelitian, dan kerangka berfikir dari materi yang dibahas dalam penulisan

ini.

BAB II : Landasan Teori

Berisi mengenai uraian teori-teori yang mendukung penulisan ini, dan hal-

hal yang melandasi pembahasan pada materi pokok studi literatur yang

meliputi, model matematika, model epidemi, Basic Reproductive Ratio,

Herd Immunity Threshold, Effective Reproductive Number, Control

Vaccination Number, sistem persamaan diferensial, metode Euler, dan

metode Euler pada Persamaan Diferensial.

4

BAB III : Analisis Model Epidemi SIR Pada Penyakit Cacar Air

(Varicella)

Berisi mengenai pembahasan dari model epidemi SIR, penggunaan Basic

Reproductive Ratio, Herd Immunity Threshold, Effective Reproductive

Number, dan Control Vaccination Number pada model SIR. Dan

penggunaan model SIR pada penyakit cacar air.

BAB IV : Penutup

Berisi kesimpulan sebagai hasil dari rumusan masalah pada kajian model

epidemi ini, dan saran untuk pengembangan kajian ini dengan

permasalahan yang berbeda.

Daftar Pustaka

1.7. Kerangka Berfikir

Model epidemi pertama kali dipublikasikan oleh Daniel Bernoulli,

dan model epidemi modern dikembangkan oleh A.G. McKendrick dan

W.O. Kermarck (1927).[2]

Pada model SIR, individu yang awalnya berpotensi tidak terinfeksi

akan menjadi individu rentan terinfeksi jika ia ada dalam suatu populasi

tertutup yang didalamnya memiliki individu yang telah terinfeksi oleh

suatu penyakit menular, maka penyebaran penyakit tersebut kemungkinan

besar akan mewabah dalam populasi tersebut, dengan adanya Basic

Reproductive Ratio maka akan diketahui seberapa cepat infeksi tersebut

akan mewabah. Dan dengan adanya pemberian vaksin terhadap individu

yang terinfeksi, maka individu tersebut akan lebih cepat pulih dari

penyakit tersebut, disinilah peran Control Vaccination Number untuk

mengetahui tingkat pemberian vaksin terhadap populasi yang telah

terinfeksi tersebut, dan pada umumnya suatu penyakit menular, akan

menghasilkan kekebalan tubuh terhadap individu tersebut. Sehingga

individu yang telah terinfeksi, kemungkinan untuk tertular kembali dengan

jenis penyakit yang sama sangatlah kecil, contohnya penyakit cacar air.

5

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1.Model Matematika

Secara umum pengertian model adalah suatu usaha untuk

menciptakan suatu replika/tiruan dari suatu peristiwa alam. Salah satu

modelnya yaitu model matematika. Pada model matematika, replika/tiruan

tersebut dilaksanakan dengan mendeskripsikan peristiwa alam dengan satu

set persamaan. Kecocokan model terhadap peristiwa alamnya tergantung

dari ketepatan formulasi persamaan matematis dalam mendeskripsikan

peristiwa alam.

Langkah pertama dalam pemodelan matematika adalah menyatakan

problem dunia nyata kedalam pengertian matematika, yang meliputi

identifikasi variabel-variabel pada problem dan membentuk beberapa

hubungan antara variabel-variabelnya. Selanjutnya adalah mengkonstruksi

kerangka dasar model.

Dengan asumsi dan pemahaman hubungan antara variabel-variabel,

selanjutnya akan melibatkan suatu usaha memformulasikan persamaan

atau sekumpulan persamaan untuk menyatakan hubungannya. Ketika

model diformulasi, langkah berikutnya adalah menyelesaikan persamaan.

Untuk mendapatkan solusinya yaitu salah satu langkah yang akan

menghubungakan terakhir formulasi matematika kembali ke probem dunia

nyata.

Dengan kata lain, pemodelan matematika adalah proses membangun suatu

model matematika untuk menggambarkan dinamika suatu sistem.

2.2.Model Epidemi

Ilmu yang membahas mengenai penyebaran penyakit disebut

epidemiologi. Epidemiologi merupakan cabang ilmu yang mempelajari

penyebaran penyakit dan faktor yang menentukan terjadinya penyebaran

6

penyakit pada manusia. Istilah penyebaran penyakit yang dimaksud adalah

penyebaran penyakit menurut sifat orang, tempat, dan waktu.

Epidemi adalah penyakit yang timbul sebagai kasus baru pada

suatu populasi tertentu, dalam suatu periode waktu tertentu, dengan laju

yang melampaui perkiraan. Dengan kata lain, epidemi adalah wabah yang

terjadi secara lebih cepat daripada yang diduga. Penyakit yang umum yang

terjadi pada laju yang konstan namun cukup tinggi pada suatu populasi

disebut endemik.

Suatu infeksi dikatakan sebagai endemik pada suatu populasi jika

infeksi tersebut berlangsung di dalam populasi tersebut tanpa adanya

pengaruh dari luar. Suatu infeksi penyakit dikatakan sebagai endemik bila

setiap orang yang terinfeksi penyakit tersebut menularkannya kepada tepat

satu orang lain. Bila infeksi tersebut tidak hilang dan jumlah orang yang

terinfeksi tidak bertambah secara eksponensial, suatu infeksi dikatakan

berada dalam keadaan tunak endemik (endemic steady state). Suatu infeksi

yang dimulai sebagai suatu epidemi pada akhirnya akan hilang atau

mencapai keadaan tunak endemik, bergantung pada sejumlah faktor,

termasuk virulensi dan cara penularan penyakit bersangkutan.

Model epidemi merupakan model matematika yang digunakan

untuk melihat laju penyebaran penyakit. Kondisi epidemi terjadi ketika

ada salah satu individu rentan pada populasi tersebut, maka populasi

tersebut memiliki peluang menjadi populasi rentan, dan kemungkinan

besar infeksi tersebut akan mewabah pada populasi tersebut. Sehingga

pada akhirnya seluruh individu dalam populasi berpeluang terinfeksi. Pada

dasarnya, model epidemic pada infeksi penyakit memiliki 3 epidemologi,

yaitu dari fase Susceptibles, Infected, dan Removed, yang didefinisikan :

- Individu yang sehat dapat terinfeksi;

- Individu yang terinfeksi memungkinkan untuk menularkan penyakit;

- Seseorang memiliki kekebalan karena telah terinfeksi, dan dapat

sembuh.

7

2.3.Basic Reproductive Ratio

Basic Reproductive Ratio adalah potensi penularan penyakit pada

populasi rentan yang merupakan jumlah rata-rata individu yang akan

terinfeksi secara langsung oleh seorang yang telah terinfeksi selama masa

penularannya pada populasi yang seluruhnya dalam rentan. Menurut

Hethcote, rasio reproduksi merupakan rasio yang menunjukkan jumlah

individu susceptible yang dapat menderita penyakit yang diakibatkan oleh

satu individu infected.

Basic Reproductive Ratio disebut sebagai laju reproduksi dasar

atau rasio repoduksi dasar dari suatu infeksi. Umumnya, semakin besar

nilai Basic Reproductive Ratio (BR) maka semakin sulit untuk

mengendalikan mewabahnya suatu penyakit. Untuk model sederhana,

proporsi populasi yang perlu divaksinasi untuk mencegah penyebaran

yang berkelanjutan. Tingkat reproduksi dasar dipengaruhi oleh beberapa

faktor termasuk jangka waktu infektivitas individu yang terinfeksi [4].

Yang dimana, ketika BR > 1 maka seseorang yang telah terinfeksi dapat

menyebabkan lebih dari 1 orang untuk terinfeksi penyakit tersebut dengan

kata lain wabah penyakit meningkat, ketika BR = 1 maka tidak ada

penyebaran penyakit (konstan), dan ketika BR < 1 maka sesorang yang

terinfeksi tidak menyebabkan orang lain terkena penyakit yang sama,

dengan kata lain tidak terjadi wabah pada populasi tersebut.

Basic Reproductive Number setara dengan :

- Lamanya waktu penularan penyakit.

- Jumlah kasus dari populasi rentan per satuan waktu.

- Kemungkinan transmisi infeksi dalam suatu pertemuan dengan

sejumlah individu yang rentan.

2.4.Herd Immunity Threshold

Immunity merupakan kekebalan yang biasanya dihubungkan

dengan adanya antibody atau hasil aksi sel-sel yang spesifik terhadap

mikro-organisme penyebab atau racunnya, dan yang dapat menimbulkan

penyekit menular tertentu.

8

Herd Immunity adalah tingkat kemampuan atau daya tahan suatu

populasi tertentu terhadap serangan atau penyebaran penyakit menular

tertentu didasari pada daya tahan suatu populasi pada ukuran yang tinggi

di setiap individu dalam suatu kelompok. Perlawanan adalah suatu hasil

pada jumlah rentan dan kemungkinan bahwa individu yang rentan akan

mengalami kontak dengan individu yang telah terinfeksi. Perlawanan pada

suatu populasi untuk penyerangan dan penyebaran pada perantara infeksi,

didasari pada kekebalan perantara tertentu pada ukuran yang tinggi pada

suatu populasi. Ukuran pada suatu populasi yang membutuhkan untuk

mengubah kekebalan tubuh melalui perantara, karakter penyebaran,

penyaluran kekebalan dan kondisi rentan, dan faktor lainnya [2].

Herd immunity dianggap sebagai faktor utama dalam proses

kejadian wabah dalam masyarakat serta kelangsungan penyakit pada suatu

kelompok tertentu, seperti campak dan cacar air yang mewabah pada

setiap periode tertentu sebelum adanya usaha imunisasi. Keadaan tersebut

terjadi karena selama berlangsungnya wabah penyakit tertentu dalam

masyarakat, maka sejumlah mereka yang rentan akan jatuh sakit dan

merupakan sumber penularan untuk anggota kelompok lainnya yang tidak

kebal. Akan tetapi karena setiap penderita akan membentuk kekebaan aktif

dalam tubuhnya, maka selama wabah berlangsung banyak bekas penderita

yang akan menjadi kebal, sehingga proporsi anggota masyarakat yang

kebal menjadi meningkat sehingga prroses penularan menjdai lebih

lambat. Dalam menilai pengaruh herd immunity pada masyarakat secara

umum adalah proporsi tingkat kekebalan suatu kelompok yang dapat

dianggap mempunyai cukup daya tangkal untuk mencegah terjadinya

wabah. Secara teori, dapat dikatakan bahwa untuk suatu masyarakat

tertentu maka tingkat kekebalan yang dibutuhan secara merata adalah 70%

- 80% atau dengan kata lain tingkat kekebalan masyarakat tidak harus

100 % untuk mencegah terjadinya wabah penyakit tertentu dalam suatu

kelompok [9].

Herd immunity hanya berlaku pada penyakit menular. Teori

kekebalan kelompok mengusulkan bahwa dalam penyakit menular yang

9

ditularkan dari individu ke individu lain, rantai infeksi kemungkinan akan

terganggu ketika banyak penduduk yang kebal atau kurang rentan terhadap

penyakit.

Keely mendefinisikan Herd Immunity sebagai proses dimana

“untuk setiap orang yang divaksinasi beresiko terinfeksi selama dalam

populasi rentan terinfeksi” [4].

Salah satu tujuan dari vaksinasi adalah untuk menciptakan

kekebalan kelompok sementara kepada orang yang yang terinfeksi. Herd

Immunity merupakan faktor utama dalam proses kejadian wabah di

masyarakat serta kelangsungan penyakit pada suatu kelompok penduduk

tertentu.

Herd Immunity Threshold adalah presentase penduduk yang

membutuhkan kekebalan untuk mengendalikan penularan penyakit, yaitu

sama dengan satu. Dengan kata lain, Herd Immunity Threshold

merupakan ukuran dari kekebalan pada suatu populasi, yang timbul pada

peningkatan infeksi. Ketika penyakit mewabah, pada individu yang telah

terinfeksi, maka individu tersebut akan memiliki kekebalan tubuh,

semakin tinggi proporsi dari populasi maka populasi tersebut akan

memiliki kekebalan. Ketika proporsi yang cukup tinggi dari populasi, akan

menjadi kebal terhadap infeksi, maka wabah mereda dan akhirnya

berhenti. Fungsi dari Herd Immunity yaitu mencegah penyebaran infeksi

dalam komunitas dimana cakupan imunisasi cukup tinggi, sehingga wabah

dapat dicegah dengan vaksin.

2.5.Effective Reproductive Number

Dinotasikan dengan 𝐸𝑅 , merupakan jumlah rata-rata dari tempat

sekunder selama masa endemik. Effective Reproductive Number dapat

digunakan untuk memantau dampak dari vaksinasi. Jika 𝐸𝑅 < 1, maka

transmisi endemik infeksi tidak akan terjadi. Nilai Effective Reproductive

Number biasanya lebih kecil daripada nilai laju reproduksi dasar, dan

mencerminkan dampak tindakan pengendalian dan pengurangan orang

yang rentan dengan infeksi.

10

Jumlah reproduksi yang efektif akan berubah, misalnya orang akan

menjadi kebal terhadap penyakit. Biasanya nilai Effective Reproductive

Number lebih kecil daripada nilai Basic Reproductive Ratio, dan dapat

mencerminkan dampak tindakan pengendalian dan penipisan orang yang

rentan terinfeksi.

2.6.Control Vaccination Number

Model epidemi SIR dengan pengaruh vaksinasi merupakan

pengembangan dari model epidemi SIR klasik yang berupa persamaan

diferensial nonlinear orde satu.

Control Vaccination Number dinotasikan dengan 𝐶𝑉 merupakan

jumlah rata-rata dari tempat kedua dari tempat infeksi selama masa

endemik dengan pengendalian tindakan, contohnya vaksinasi. Vaksinasi

merupakan salah satu cara untuk mencegah terjadinya penyebaran

penyakit lebih tinggi.

Ketika 𝐶𝑉 < 1 , dapat mengetahui seseorang pada suatu populasi yang

membutuhkan vaksinasi.

Berdasarkan data dari World Health Organization (WHO),

program vaksinasi dipercaya sebagai cara yang efektif dalam menghindari

penyebaran penyakit.

Vaksin memiliki tingkat efektivitas yang sangat tinggi, namun

vaksin tidak sepenuhnya efektif 100% pada individu yang menerima

vaksin. Bagi individu yang belum menerima vaksin kemungkinannya

sangat tinggi untuk terinfeksi.[4]

2.7.Metode Euler pada Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan diferensial adalah persamaan matematika untuk suatu

fungsi tak diketahui dari satu atau beberapa peubah yang menghubungkan

nilai dari fungsi tersebut dengan turunannya sendiri pada berbagai derajat

turunan [11].

11

Dalam model SIR ini, untuk mendapatkan solusi persamaan

diferensial yaitu dengan menggunakan metode Euler. Melalui pendekatan

numerik, kita tidak akan memperoleh solusi fungsi yang kontinu, yang

mungkin kita dapat adalah solusi diskrit dalam bentuk mesh points di

dalam interval [a,b]. Persamaan diferensial dapat dinyatakan sebagai

berikut : [13]

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑦 𝑎 = 𝛼

Metode euler diturunkan dari deret Taylor,

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑦𝑖 ′ ∆𝑥

1!+ 𝑦𝑖"

∆𝑥

2!+ …

Deret Taylor diatas dengan melihat bahwa suku yang mengandung

pangkat lebih tinggi dari 2 memiliki nilai yang sangat kecil, maka dapat

diabaikan, sehingga dapat ditulis

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑦𝑖 ′ ∆𝑥

𝑦𝑖′ = 𝑓 𝑥𝑖 ,𝑦𝑖

Maka didapat persamaan metode Euler :

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑓 𝑥𝑖 ,𝑦𝑖 ∆𝑥

12

BAB III

ANALISIS MODEL EPIDEMI SIR PADA PENYAKIT CACAR AIR

(VARICELLA)

3.1.Model Epidemi SIR

Suatu infeksi penyakit dikatakan endemik apabila setiap orang

yang terinfeksi penyakit akan menularkannya ke individu lain. Ketika

infeksi tersebut tidak hilang dan jumlah orang yang terinfeksi bertambah,

maka infeksi tersebut dikatakan berada dalam keadaan endemik. Model

SIR merupakan model penyakit yang memperoleh kekebalan permanen

dan keadaan pulih dari penyakit tersebut. Model SIR menggambarkan alur

penyebaran penyakit dari individu yang rentan (Susceptibles) menjadi

individu terinfeksi penyakit menular (Infected) melalui kontak langsung

maupun perantara lain, misal batuk, bersin, melalui makanan dan

minuman. Selanjutnya, individu dalam kelompok Infected yang mampu

bertahan terhadap penyakit akan sembuh dan masuk ke kelompok individu

pulih dari penyakit dan memiliki kekebalan (Recovered).

Model epidemi SIR, pada suatu populasi dibagi menjadi tiga

kelompok, yaitu [7] :

Susceptible (S), yaitu kelompok individu yang sehat tapi rentan terinfeksi.

Infected (I), yaitu kelompok individu yang terinfeksi penyakit menular.

Recovered (R), yaitu kelompok individu yang telah pulih dan memiliki

kekebalan permanen untuk tidak tertular penyakit yang sama.

Model epidemi SIR dibangun berdasarkan asumsi-asumsi : [4]

Populasi konstan.

Satu-satunya cara orang dapat meninggalkan kelompok rentan yaitu

dengan cara terinfeksi penyakit, satu-satunya cara orang yang

terinfeksi ingin sembuh, yaitu dengan proses pemulihan. Setelah itu,

seseorang dapat sembuh, dan memiliki kekebalan tubuh.

13

Umur, seks, status sosial, dan ras tidak berpengaruh untuk terkena

infeksi.

Tidak ada kekebalan tubuh yang turun temurun.

Suku dari populasi campuran memiliki interaksi yang sama dengan

orang lain pada tingkat yang sama.

Jumlah individu untuk masing-masing kelompok pada waktu 𝑡

dinyatakan sebagai 𝑆 𝑡 , 𝐼 𝑡 , dan 𝑅(𝑡). Total populasi 𝑁 diasumsikan

konstan karena kelahiran dan kematian diasumsikan memiliki laju yang

sama, dan pengaruh luar tidak diperhatikan. Maka,

𝑁 = 𝑆 𝑡 + 𝐼 𝑡 + 𝑅(𝑡) (3.1)

Yang dimana N merupakan jumlah populasi total dari suatu keloompok

masyarakat.

Model Matematika SIR

𝒅𝑺

𝒅𝒕= −𝜷𝑺 𝒕 𝑰 𝒕 (3.2)

𝒅𝑰

𝒅𝒕= 𝜷𝑺 𝒕 − 𝒌 𝑰 𝒕 (3.3)

𝒅𝑹

𝒅𝒕= 𝒌𝑰(𝒕) (3.4)

Ket :

𝑑𝑆

𝑑𝑡 = jumlah individu rentan terhadap waktu.

𝑑𝐼

𝑑𝑡 = jumlah individu terinfeksi terhadap waktu.

𝑑𝑅

𝑑𝑡 = jumlah individu yang telah pulih terhadap waktu.

𝑘 = laju pemulihan (𝑘 ≥ 0).

𝛽 = laju rata-rata penularan penyakit (𝛽 ≥ 0).

α = kemungkinan terjadi infeksi.

14

Individu yang sembuh dari penyakit akan bergabung pada

kelompok 𝑅. kelompok 𝐼 menerima perpindahan dari kelompok 𝑆 sebesar

𝛽𝑆 𝑡 𝐼(𝑡) dan melepaskan menuju kelompok 𝑅 sebesar 𝑘.

Dalam model SIR, dapat diselesaikan menggunakan persamaan

diferensial dengan menggunakan metode Euler. Diketahui persamaan

diferensial dalam model SIR (3.2), (3.3), (3.4). Dengan menggunakan

solusi metode Euler :

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑦𝑖 ′ ∆𝑥

1!+ 𝑦𝑖"

∆𝑥

2!+ … (3.5)

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑓 𝑥𝑖 ,𝑦𝑖 ∆𝑥 (3.6)

Dari persamaan (3.1)

𝑑𝑆

𝑑𝑡= 𝑓(𝑡, 𝑆)

𝑆𝑛+1 − 𝑆𝑛

𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛= 𝑓(𝑡, 𝑆)

𝑆𝑛+1 − 𝑆𝑛 = 𝑓 𝑡, 𝑆 (𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛)

𝑆𝑛+1 = 𝑆𝑛 + 𝑓 𝑡, 𝑆 ∆𝑡

𝑆𝑛+1 = 𝑆𝑛 + (−𝛽𝑆𝑛𝐼𝑛)∆𝑡

𝑆𝑛+1 = 𝑆𝑛− 𝛽𝑆𝑛𝐼𝑛 ∆𝑡

Solusi metode Euler untuk kelompok Infected,

Dari persamaan (3.3)

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝑓(𝑡, 𝐼)

𝐼𝑛+1 − 𝐼𝑛𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛

= 𝑓(𝑡, 𝐼)

Gambar 3.1 Model Epidemi SIR

(3.7)

15

𝐼𝑛+1 − 𝐼𝑛 = 𝑓 𝑡, 𝐼 (𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛)

𝐼𝑛+1 = 𝐼𝑛 + 𝑓 𝑡, 𝐼 ∆𝑡

𝐼𝑛+1 = 𝐼𝑛 + 𝛽𝑆𝑛𝐼𝑛 − 𝑘𝐼𝑛∆𝑡

𝐼𝑛+1 = 𝐼𝑛 1+𝛽𝑆𝑛 − 𝑘 ∆𝑡 (3.8)

Solusi metode Euler untuk kelompok Recovered,

Dari persamaan (3.4)

𝑑𝑅

𝑑𝑡= 𝑓(𝑡, 𝑅)

𝑅𝑛+1 − 𝑅𝑛

(𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛)= 𝑓 𝑡, 𝑅

𝑅𝑛+1 − 𝑅𝑛 = 𝑓 𝑡, 𝑅 (𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛)

𝑅𝑛+1 = 𝑅𝑛 + 𝑓 𝑡, 𝑅 ∆𝑡

𝑅𝑛+1 = 𝑅𝑛 + 𝑘𝐼𝑛 ∆𝑡 (3.9)

Dari persamaan diferensial model matematika SIR, dengan

menggunakan metode Euler didapatkan solusi dari persamaan diferensial

diatas yaitu :

𝑆𝑛+1 = 𝑆𝑛 − 𝛽𝑆𝑛𝐼𝑛∆𝑡 (3.7)

𝐼𝑛+1 = 𝐼𝑛 1 + 𝛽𝑆𝑛 − 𝑘 ∆𝑡 (3.8)

𝑅𝑛+1 = 𝑅𝑛 + 𝑘𝐼𝑛∆𝑡 (3.9)

Yang dimana 𝑆𝑛+1, 𝐼𝑛+1, 𝑅𝑛+1 adalah bilangan dari populasi rentan,

terinfeksi, dan pulih dengan waktu (n+1), dan ∆𝑡 adalah perubahan waktu

terkecil dengan ∆𝑡 = 1.

16

3.2.Model SIR dengan Basic Reproductive Ratio

Basic Reproductive Ratio atau Bilangan Reproduksi Dasar,

dinotasikan dengan 𝐵𝑅 digunakan ketika suatu populasi beresiko tertular

penyakit dan berfungsi untuk memperkirakan penyebaran infeksi dan laju

perpindahan penyakit dari satu individu ke individu lain selama masa

endemik. Maka berlaku 𝐵𝑅 = 𝛽

𝑘 𝑆0 …………. (3.10).

Jika 𝐵𝑅 > 1, maka penyakit akan meningkat.

Jika 𝐵𝑅 = 1, maka penyakit akan konstan.

Jika 𝐵𝑅 < 1, maka penyakit akan berkurang dan penyakit akan hilang.

3.3.Model SIR dengan Herd Immunity Threshold

Herd Immunity Threshold (𝐻𝐼) merupakan bentuk kekebalan yang

terjadi ketika vaksinasi, sebagian besar populasi memberikan ukuran

perlindungan bagi individu yang belum memiliki kekebalan.

Teori kekebalan Herd mengusulkan pada penyakit menular yang

ditularkan dari individu ke individu, ketika sejumlah besar populasi kebal

terhadap penyakit maka rantai infeksi terganggu. Semakin besar proporsi

individu yang kebal, semakin kecil kemungkinan bahwa individu rentan

akan datang ke dalam kontak dengan individu menular [4].

Herd Immunity Threshold merupakan bagian dari populasi yang

membutuhkan kekebalan untuk mengontrol penyebaran penyakit.

𝐻𝑡 = 𝐵𝑅−1

𝐵𝑅= 1 −

1

𝐵𝑅 (3.11)

Apabila jumlah dari vaksinasi meningkat, maka Herd Immunity Threshold

juga meningkat. Ketika jumlah orang yang rentan terinfeksi berkurang,

maka Herd Immunity Threshold menurun.

17

3.4.Model SIR dengan Effective Reproductive Number

Effective Reproductive Number (ER) merupakan jumlah rata-rata

kasus infeksi sekunder yang timbul akibat dari kasus infeksi primer selama

masa endemik. Untuk menghitung nilai ER, digunakan persamaan berikut,

𝐸𝑅 = 𝐵𝑅𝑆𝑡

𝑁 (3.12)

Sebagai wabah endemik, orang akan mati atau menjadi kebal

terhadap penyakit, ketika 𝑆𝑡

𝑁 menurun, dan akhirnya 𝐸𝑅 bernilai < 1.

Effective Reproductive Number berlaku ketika menentukan kebijakan yang

efektif dalam pengontrolan suatu penyakit. Ketika 𝐸𝑅 < 1, kebijakan

mengenai penyakit adalah efektif.

Untuk lebih jelasnya, pada gambar dapat dilihat ilustrasi 𝐸𝑅

Gambar 3.2 Ilustrasi 𝐸𝑅

18

3.5.Model SIR dengan Control Vaccination Number

𝐶𝑉 merupakan jumlah rata-rata kasus infeksi sekunder yang timbul

akibat dari kasus infeksi primer selama masa endemik dengan

pengendalian tindakan.

𝑪𝑽 = 𝑩𝑹[𝟏 − 𝒉𝒇] (3.13)

Ket :

ℎ = keberhasilan vaksin

𝑓 = cakupan vaksinasi (bagian dari populasi yang tervaksinasi)

Diketahui bahwa untuk mengetahui individu yang terinfeksi

membutuhkan vaksinasi yaitu ketika 𝐶𝑉 < 1. Untuk mendapatkan 𝐶𝑉 < 1,

dibutuhkan banyaknya individu yang terinfeksi (𝑓) dengan menggunakan

dasar aljabar untuk memanipulasi persamaan 𝐶𝑉 .

𝐶𝑉 < 1

𝐵𝑅 1 − ℎ𝑓 < 1

1 − ℎ𝑓 <1

𝐵𝑅

−ℎ𝑓 < 1

𝐵𝑅− 1

𝑓 > −

1

𝐵𝑅−1

ℎ

𝑓 > 1−

1

𝐵𝑅

ℎ

Dengan demikian didapat

𝑓 > 1−(

1

𝐵𝑅)

ℎ (3.14)

Ketika didapat 𝑓 maka akan didapatkan nilai ℎ. Setelah itu, kita dapat

mengetahui jumlah individu yang membutuhkan vaksinasi dengan tingkat

vaksinasi yang efektif.

19

3.6.Model SIR dengan Proses Kepulihan dan Kematian

Ketika pulih, seseorang akan menerima kekebalan tubuh, sehingga

tidak mudah rentan terinfeksi penyakit, akan tetapi tidak menjamin bahwa

seseorang yang sudah pulih, dapat menerima kekebalan tubuh, karena ada

kemungkinan juga orang tersebut akan mati. Oleh karena itu, kita dapat

mengubah persamaan 𝑑𝑅

𝑑𝑡, dengan satu persamaan bagi orang yang hidup

dan satu persamaan bagi orang yang mati.

Dengan mengubah parameter 𝑘 kedalam dua point, yaitu 𝑘𝑉 (telah

pulih dan memiliki kekebalan tubuh) dan 𝑘𝐷 (mati) untuk persamaannya,

didapat :

𝑑𝑉

𝑑𝑡= 𝑘𝑉𝐼 𝑡 (3.15)

𝑑𝐷

𝑑𝑡= 𝑘𝐷𝐼 𝑡 (3.16)

Ket :

𝑘𝑉 = tingkat kesembuhan dan memiliki kekebalan tubuh.

𝑘𝐷 = tingkat kematian individu terinfeksi.

𝑉 = kekebalan tubuh

𝐷 = kematian

Solusi metode Euler untuk memperhitungkan tingkat kepulihan dan

kekebalan tubuh individu

Dari persamaan (3.15)

𝑑𝑉

𝑑𝑡= 𝑓(𝑡, 𝑉)

𝑉𝑛+1 − 𝑉𝑛

𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛= 𝑓(𝑡, 𝑉)

𝑉𝑛+1 − 𝑉𝑛 = 𝑓 𝑡, 𝑉 (𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛)

𝑉𝑛+1 = 𝑉𝑛 + 𝑓 𝑡, 𝑉 ∆𝑡

𝑉𝑛+1 = 𝑉𝑛 + 𝑘𝐼𝑛 ∆𝑡 (3.17)

Solusi metode Euler untuk memperhitungkan tingkat kematian individu

20

Dari persamaan (3.16)

𝑑𝐷

𝑑𝑡= 𝑓(𝑡, 𝐷)

𝐷𝑛+1 − 𝐷𝑛

𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛= 𝑓(𝑡, 𝐷)

𝐷𝑛+1 − 𝐷𝑛 = 𝑓 𝑡, 𝐷 (𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛)

𝐷𝑛+1 = 𝐷𝑛 + 𝑓 𝑡, 𝐷 ∆𝑡

𝐷𝑛+1 = 𝐷𝑛 + 𝑘𝐼𝑛 ∆𝑡 (3.18)

Dengan menggunakan metode Euler, didapat :

𝑉𝑛+1 = 𝑉𝑛 + 𝑘𝐼𝑛∆𝑡 (3.17)

𝐷𝑛+1 = 𝐷𝑛 + 1 − 𝑘 𝐼𝑡∆𝑡 (3.18)

Yang dimana 𝑉𝑛+1 𝑑𝑎𝑛 𝐷𝑛+1 adalah bilangan dari kekebalan dan kematian

seseorang dengan waktu (n+1) ∆𝑡, dan ∆𝑡 = 1.

3.7.Model SIR dan Cacar Air (Varicella)

Cacar air dikenal juga sebagai Varicella, cacar air adalah penyakit

menular ciri-cirinya yaitu banyak menimbulkan rasa gatal dan kemerah-

merahan pada kulit. Cacar air menyebar dari satu indivdu ke individu yang

lainnya, melalui bersin, batuk, makanan atau minuman, bersentuhan

melalui cairan dan udara, dan menular dalam waktu 5 menit atau lebih.

Masa inkubasi dari cacar air yaitu selama 14 sampai 16 hari. Seseorang

akan terinfeksi 1 atau 2 hari sebelum terkena virus cacar air sampai cacar

air di kulit hilang (selama 8 hari).

Cacar air biasanya menyerang anak dibawah 10 tahun meskipun

dapat juga menyerang orang dewasa. Pada anak dengan daya tahan tubuh

cukup, penyakit ini bersifat ringan dan jarang menimbulkan komplikasi,

tetapi pada anak dengan immunodefisiensi, maka penyakit inidapat

menimbulkan komplikasi bahkan kematian.

21

Virus yang masuk ke dalam tubuh umumnya melalui saluran

pernapasan, kemudian masuk ke sirkulasi darah dan kelenjar getah bening

dan akan berahir dengan manifestasi dengan kulit. Mula-mula akan

membentuk peradangan pada folikel kult dan glandula sebasea, kemudian

membentuk makula (bentuknya hampir rata dengan sekitarnya) yang

berkembang cepat menjadi papula (bentuknya lebih menonjol) dan

berubah lagi menjadi vesikula (papula yang berisi cairan) dan ahirnya

mengering menjadi krusta. Pada lapisan mukosa, terbentuknya makula,

papula dan vesikula tidak akan menjadi krusta , namun biasanya vesikula

akan pecah membentukluka yang terbuka, tetapi luka tersebut aka sembuh

dengan cepat.

Cacar air merupakan penyakit yang menular dengan kemungkinan

akan menular sekitar 65%-85%, dan 90% ketika kontak langsung. Cacar

air menghasilkan kekebalan bagi tubuh, kecuali bagi yangkekurangan

kekebalan tubuh dapat menyebabkan komplikasi bahkan kematian.

Penyakit cacar air dapat dimodelkan menggunakan Model epidemi

SIR. Contohnya, populasi dari 100 orang secara acak. Ketika penyakit

menular cepat, setiap orang akan cepat terinfeksi. Akan dihitung, dimana

kita dapat melihat berapa banyak orang yang akan berada pada keadaan

yang berbeda pada periode waktu [4].

Dimulai dengan setiap orang yang rentan terkena penyakit, lalu

satu orang tiba-tiba terinfeksi. Dan begitu seterusnya sampai terakhir di

hari ke-8. pada keadaan ini, kita memiliki setiap orang yang telah pulih

22

pada 1 periode, dalam arti bahwa angka kesembuhan, 𝑘 = 1. Dalam

perhitungan tiap grupnya dengan mengalikan antar grup dengan α [4].

Dari tabel (3.1) dapat memperhitungkan β untuk mengetahui laju

penyebaran penyakit, dengan memanipulasi persamaan

𝑆𝑛+1 = 𝑆𝑛 − 𝛽𝑆𝑛𝐼𝑛∆𝑡 (3.7)

𝛽𝑆𝑛𝐼𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛+1 , dimana ∆t = 1.

Menjadi,

𝛽 = 𝑆𝑛− 𝑆𝑛+1

𝑆𝑛 𝐼𝑛 (3.19)

Dengan menggunakan persamaan diatas, maka didapat nilai β ditiap

periodenya. Dengan menggunakan persamaan (3.19),

untuk α = 0.65

𝛽2 = 𝑆1− 𝑆2

𝑆1𝐼1=

99−35

99.1 = 0.646465

Ketika 𝛼 = 0.65, didapat nilai β = 0.1391

Ketika α = 0.85, didapat nilai β = 0.155954

Tabel 3.1 Kelompok S, I, R Pada Populasi Tertutup

Untuk α = 0.65

Untuk α = 0.85

23

Salah satu bagian terpenting dari pemodelan pada suatu penyakit

yaitu laju infeksi. Nilai ini mempengaruhi jumlah kelompok individu

rentan, terinfeksi, dan sehat, dan seberapa lama laju penyebaran terjadi

hinga setiap orang dalam suatu populasi terinfeksi penyakit menular. Pada

gambar diatas ditunjukkan bagaimana laju infeksi mempengaruhi jumlah

individu rentan, terinfeksi, dan sehat, mengendalikan nilai awal dari

jumlah individu yang terinfeksi untuk dua kasus (𝛼 = 0.65 dan 𝛼 = 0.85).

Nilai rata-rata β untuk α = 0.85

Nilai rata-rata β untuk α = 0.65

Tabel 3.2 Laju Penyebaran Penyakit (β)

Gambar 3.3 Laju Penyebaran Infeksi Pada Kelompok Rentan

24

Populasi dengan alfa yang lebih besar, kelompok yang telah sembuh

meningkat dengan cepat dibandingkan dengan alfa yang lebih kecil.

Populasi dengan alfa yang lebih besar akan lebih cepat mencapai

puncak, ketika suatu populasi pada kelompok yang terinfeksi mencapai

puncaknya, dimana kelompok yang terinfeksi memiliki laju yang lebih

cepat dengan alfa yang lebih besar dibandingkan dengan alfa yang lebih

kecil. Dapat dilihat juga bahwa dengan alfa yang lebih kecil, populasi yang

terinfeksi lebih lambat untuk mencapai nilai 0.

Gambar 3.4 Laju Penyebaran Infeksi Pada Kelompok Bebas Penyakit

Gambar 3.6 Jumlah Individu Terinfeksi Pada Kelompok Rentan

Gambar 3.5 Laju Penyebaran Infeksi Pada Kelompok Terinfeksi

25

Faktor yang lebih penting pada pemodelan penyakit adalah jumlah

awal orang yang terinfeksi. Selanjutnya, ditunjukkan bagaimana nilai ini

berpengaruh terhadap jumlah individu pada kelompok rentan, terinfeksi,

dan sehat, ketika laju infeksi tetap 0.65 untuk dua populasi.

Dapat dilihat dengan meningkatnya jumlah awal individu yang

terinfeksi, waktu yang dibutuhkan untuk kelompok rentan untuk saling

bertemu sangat rendah. Dengan meningkatnya jumlah awal dari individu

yang terinfeksi, garis tersebut menunjukkan populasi akan lebih membelok

dan kurang bergerigi.

Dengan meningkatnya jumlah awal individu yang terinfeksi,

kelompok yang terinfeksi menuju nilai 0 dengan cepat. Menariknya bahwa

dengan menurunnya jumlah awal individu yng terinfeksi, puncaknya

meningkat. Selain itu, ketika jumlah awal dari individu yang terinfeksi,

adalah setengahnya dari populasi, puncak kelompok yang terinfeksi hingga

sebelum puncak dari kelompok dengan jumlah awal individu yang

terinfeksi kurang dari setengan populasi.

Gambar 3.7 Jumlah Individu Terinfeksi Pada Kelompok Terinfeksi

Gambar 3.8 Jumlah Individu Terinfeksi Pada Kelompok Bebas Penyakit

26

Dengan kelompok sehat, dapat dilihat ketika jumlah awal individu

yang terinfeksi meningkat dengan waktu yang dibutuhkan kelompok sehat

untuk bertemu sangat rendah. Dengan jumlah awal individu yang

terinfeksi meningkat, garis tersebut menunjukkan populasi akan membelok

dan kurang bergerigi.

3.7.1. Varicella Basic Reproductive Ratio

Dari table 3.2, akan dicari nilai 𝐵𝑅 untuk memperkirakan suatu

populasi yang beresiko tertular infeksi. Dengan memperkirakan

penyebaran infeksi dan laju penyebaran.

Dengan menggunakan persamaan (3.10), ketika α = 0.65 maka

𝐵𝑅 = 0.1391

1 * 100 = 13.91, didapat nilai β = 0.1391. Ketika 𝛼 = 0.85,

maka 𝐵𝑅 = 0.15595

1 * 100 = 15.595, didapat nilai β = 0.15595.

Secara umum, nilai 𝐵𝑅 pada penyakit cacar air (Varicella) antara 10

dan 12.

3.7.2. Varicella Herd Immunity Threshold

Dari Basic Reproductive Ratio, dapat dihitung Herd Immunity

Threshold (𝐻𝐼) yang merupakan bagian dari populasi yang

membutuhkan kekebalan untuk mengontrol penyebaran suatu

penyakit.

Apabila jumlah dari vaksinasi meningkat, maka Herd Immunity

Threshold juga meningkat. Karena berkurangnya jumlah orang yang

rentanterinfeksi, Herd Immunity Threshold menurun. Dengan

menggunakan persamaan (3.11),

Ketika probabilitas orang yang terinfeksi 65%

𝐻𝐼 = 𝐵𝑅− 1

𝐵𝑅=

13.91−1

13.91 = 0.928

Ketika probabilitas orang yang terinfeksi 85%

𝐻𝐼 = 𝐵𝑅− 1

𝐵𝑅=

15.595−1

15.595 = 0.936

27

Apabila kita menggunakan nilai Basic Reproductive Ratio yang tetap

untuk Varicella yaitu 10 - 12, maka Herd Immunity Threshold bernilai

0.90 – 0.9167.

3.7.3. Varicella Effective Reproductive Number

Merupakan jumlah rata-rata dari hasil kasus kedua dengan keadaan

yang menular selama masa endemik. Sebagai wabah epidemi, dan

orang akan mati atau menjadi kebal terhadap penyakit, ketika 𝑆𝑡

𝑁

menurun, dan akhirnya ER bernilai < 1. Dengan menggunakan

persamaan (3.12),

Ketika probabilitas orang yang terinfeksi 65%

𝐸𝑅 = 𝐵𝑅𝑆𝑡

𝑁= 13.91.

99

100 = 13.7709, untuk t = 1

Ketika probabilitas orang yang terinfeksi 85%

𝐸𝑅 = 𝐵𝑅𝑆𝑡

𝑁= 15.595.

99

100 = 15.43905, untuk t = 1

Ketika 𝐵𝑅 = 10, maka 𝑆𝑡

𝑁=

𝐸𝑅

𝐵𝑅 =

1

10= 0.1

Ketika 𝐵𝑅 = 12, maka 𝑆𝑡

𝑁=

𝐸𝑅

𝐵𝑅 =

1

12= 0.083

Tabel 3.3 Nilai efektif 𝐸𝑅

Nilai 𝐸𝑅 dengan α = 0.65

Nilai 𝐸𝑅 dengan α = 0.85

28

3.7.4. Varicella Control Vaccination Number

Merupakan jumlah rata-rata dari hasil kasus kedua dengan keadaan

yang menular selama masa endemik dengan pengendalian tindakan,

contohnya vaksinasi. Peneliti menunjukan bahwa pemberian vaksinasi

99 % efektif pada tahun pertama, tetapi delapan tahun kemudian

keefektifan menurun hingga 87 %.

Dengan pemberian 2 dosis yang berbeda diantara remaja pada

tahun 2007 yaitu 75.7 % untuk dosis pertama dan 18.8 % untuk dosis

kedua. Dengan menggunakan persamaan (3.13)

Contoh, untuk melihat keefektifan pemberian vaksinasi dengan

ℎ = 99 % dan 𝑓 = 75.7 %.

ℎ = 99 % = 0.99

𝑓 = 75.7 % = 0.757

𝐶𝑉 = 𝐵𝑅 1 − ℎ𝑓 = 10 1 − 0.99 𝑋 0.757 = 2.5057

Contoh, untuk melihat keefektifan pemberian vaksinasi dengan

ℎ = 87 % dan 𝑓 = 18.8 %.

ℎ = 87 % = 0.87

𝑓 = 18.8 % = 0.188

𝐶𝑉 = 𝐵𝑅 1 − ℎ𝑓 = 11 1 − 0.87 𝑋 0.188 = 9.20084

Pada table 3.4, nilai 𝐶𝑉 tidak memenuhi ketentuan, yaitu 𝐶𝑉 < 1, maka

selanjutnya akan dicari nilai 𝑓 yang memenuhi 𝐶𝑉 < 1 dari tiap 𝐵𝑅.

Tabel 3.4 Nilai Pengendalian Vaksinasi

ℎ = 87 % ℎ = 99 %

Tabel 3.5 Nilai Efektif Pemberian Vaksin

29

Dengan menggunakan persamaan (3.14),

untuk ℎ = 87 %, 𝑓 > 1−

1

𝐵𝑅

ℎ=

1−1

10

0.99= 0.90909

untuk ℎ = 99 %, 𝑓 > 1−

1

𝐵𝑅

ℎ=

1−1

11

0.87= 0.10449

Pada tabel 3.6 tingkat keberhasilan vaksin (Vaccination Coverage)

sebagai 𝑓, dan yang dicari dari tabel 3.6 adalah nilai ℎ, yaitu

keberhasilan vaksin.

untuk 𝑓 = 10% = 0.1,

𝑓 > 1−(

1

𝐵𝑅)

ℎ

ℎ > 1−(

1

𝐵𝑅)

𝑓

ℎ > 1−(

1

10)

0.1

ℎ > 0.9

0.1

ℎ > 9 ≈ ℎ > 900%

untuk 𝑓 = 100% = 1

𝑓 > 1−(

1

𝐵𝑅)

ℎ

ℎ > 1−(

1

𝐵𝑅)

𝑓

ℎ > 1−(

1

10)

1

ℎ = 87 % ℎ = 99 %

Tabel 3.6 Nilai Efektif yang dibutuhkan ketika 𝐶𝑉 < 1

30

ℎ > 0.9

1

ℎ > 0. 9 ≈ ℎ > 90%

Dapat dilihat bahwa untuk penyakit cacar air dengan 𝐵𝑅 10 hingga

12 ketika suatu populasi terinfeksi 100%, maka vaksinasi yang

dibutuhkan untuk individu yang terinfeksi pada populasi tersebut

sebanyak 90%-91.6667%.

Tabel 3.7 Pemberian Vaksinasi yang Efektif untuk berbagai 𝐵𝑅

31

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. Kesimpulan

Model epidemi SIR, pada suatu populasi dibagi menjadi tiga kelompok,

yaitu :

Susceptible (S), yaitu kelompok individu yang sehat tapi rentan terinfeksi.

Infected (I), yaitu kelompok individu yang terinfeksi penyakit menular.

Recovered (R), yaitu kelompok individu yang telah pulih dan memiliki

kekebalan permanen untuk tidak tertular penyakit yang sama.

Total populasi 𝑁 diasumsikan konstan karena kelahiran dan kematian

diasumsikan memiliki laju yang sama, dan pengaruh luar tidak diperhatikan.

Maka,

𝑁 = 𝑆 𝑡 + 𝐼 𝑡 + 𝑅 𝑡

Yang dimana N merupakan jumlah populasi total dari suatu keloompok

masyarakat.

𝒅𝑺

𝒅𝒕= −𝜷𝑺 𝒕 𝑰 𝒕

𝒅𝑰

𝒅𝒕= 𝜷𝑺 𝒕 − 𝒌 𝑰 𝒕

𝒅𝑹

𝒅𝒕= 𝒌𝑰(𝒕)

Basic Reproductive Ratio atau Bilangan Reproduksi Dasar, dinotasikan

dengan 𝐵𝑅 digunakan ketika suatu populasi beresiko tertular penyakit.

Digunakan juga untuk memperkirakan penyebaran infeksi dan laju

perpindahan penyakit dari satu individu ke individu lain. Maka berlaku

𝐵𝑅 = 𝛽

𝑘 𝑆0 .

32

Jika 𝐵𝑅 ≥ 1, maka penyakit akan meningkat.

Jika 𝐵𝑅 = 1, maka penyakit akan konstan.

Jika 𝐵𝑅 ≤ 1, maka penyakit akan berkurang dan penyakit akan hilang.

Herd Immunity Threshold (𝐻𝐼) merupakan bentuk kekebalan yang terjadi

ketika vaksinasi, sebagian besar populasi memberikan ukuran perlindungan

bagi individu yang belum memiliki kekebalan. Fungsi dari Herd Immunity

yaitu mencegah penyebaran infeksi dalam komunitas dimana cakupan

imunisasi cukup tinggi, sehingga wabah dapat dicegah dengan vaksin.

Effective Reproductive Number (𝐸𝑅) merupakan jumlah rata-rata kasus

infeksi sekunder yang timbul akibat dari kasus infeksi primer selama masa

endemik. Effective Reproductive Number berlaku ketika menentukan

kebijakan yang efektif dalam pengontrolan suatu penyakit.

Control Vaccination Number (𝐶𝑉) merupakan jumlah rata-rata kasus

infeksi sekunder yang timbul akibat dari kasus infeksi primer selama masa

endemik dengan pengendalian tindakan. Vaksinasi merupakan salah satu cara

untuk mencegah terjadinya penyebaran penyakit lebih tinggi.

Ketika 𝐶𝑉 < 1 , dapat mengetahui seseorang pada suatu populasi yang

membutuhkan vaksinasi. Program vaksinasi dipercaya sebagai cara yang

efektif dalam menghindari penyebaran penyakit. Dengan menggunakan

persamaan (3.13),

𝑪𝑽 = 𝑩𝑹[𝟏 − 𝒉𝒇]

Ket :

ℎ = keberhasilan vaksin

𝑓 = cakupan vaksinasi (bagian dari populasi yang tervaksinasi)

Diketahui bahwa untuk mengetahui individu yang terinfeksi membutuhkan

vaksinasi yaitu ketika 𝐶𝑉 < 1. Ketika didapat 𝑓 maka akan didapatkan nilai ℎ.

Setelah itu, kita dapat mengetahui jumlah individu yang membutuhkan

vaksinasi dengan tingkat vaksinasi yang efektif.

33

4.2. Saran

Pada pembahasan studi literature ini telah dijelaskan analisis dari model

epidemi SIR pada penyakit cacar air. Perlu dikembangkan lagi penerapan

model epidemi SIR ini pada kasus penyakit menular seperti campak (measles)

untuk penelitian selanjutnya.

34

DAFTAR PUSTAKA

[1] Sarrayu, Anggareni Eka, Penyelesaian Numerik dan Analisis Perilaku Model

SIR Dengan Vaksinasi Untuk Pencegahan Penularan Penyakit, ITS.

[2] Brachman, Philip S., and Abrutyn, Elias, Bacterial Infections of Humans -

Epidemiology and Control, Fourth Edition, Springer

[3] http://ebookdatabase.net/epidemic-models-113583575 (diakses tanggal 26 Mei

2012)

[4] Johnson, Teri, Mathematical Modeling of Diseases : SIR Model, University

of Minnesota, Morris : 2009

[5] Jumadi, Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue,

Institut Pertanian Bogor, 2008.

[6] http://www.healthknowledge.org.uk/public-health-textbook/research-

methods/1a-epidemiology/epidemic-theory (diakses tanggal 02 Juni 2012)

[7] Luknanto, Djoko, Model Matematika, UGM Yogyakarta, 2003.

[8] Murray, J. D., Mathematical Biology : An Introduction, Third Edition,

Springer, 1993.

[9] Nasry, Noor Nur, Dr, Prof., 2006, Pengantar Epidemiologi Penyakit Menular,

Rineka Cipta : Jakarta.

[10] Nugroho, Susilo, Pengaruh Vaksinasi Terhadap Penyebaran Penyakit

Dengan Model Endemi SIR, Universitas Sebelas Maret Surakarta, 2009.

[11] Ragan, Rahel, The SIR Model, 2009.

[12] Riyanto, Zaki, Model SI Penyakit Tidak Fatal, UGM Yogyakarta, 2007.

[13] Persamaan Diferensial Biasa, Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta.