06 persamaan euler dan bernoulli.pdf

PERSAMAAN BERNOULLI

Ir. Suroso Dipl.HE, M.Eng

Chapter 6: Persamaan Bernoulli

Pendahuluan

Pada zat cair diam, gaya hidrostatis mudah dihitung karena hanya bekerja gaya tekanan.Pada zat cair mengalir, diperhitungkan kecepatan, arah partikel, kekentalan yang menyebabkan gesekan antar partikel maupun dinding batas. Persamaan energi gerak partikel diturunkan dari persamaan gerak.Persamaan energi → persamaan Euler untuk 3-D, persamaan Bernoulli untuk 1-D.


Persamaan Bernoulli

Persamaan Bernoulli adalahhubungan pendekatan antara tekanan, kecepatan dan elevasi dan berlaku dalam aliran mantap, tak termampatkan dimana gaya geseran netto diabaikan.Persamaan berguna dalam daerah aliran di luar lapis batas (boundary layers), dimana gerak fluida ditentukan efek gabungan gaya tekanan dan gaya berat.


Persamaan Bernoulli

Anggapan:Zat cair ideal, tidak mempunyai kekentalanZat cair homogen, tidak termampatkanAliran kontinu dan sepanjang garis arus(irrotational flow)Kecepatan merataGaya yang bekerja hanya gaya berat dan tekanan.


Garis aliran


Gaya-gaya yang Bekerja

Ditinjau elemen zat cair pada garis arus,


Penurunan Persamaan Bernoulli

Go to Hydrodynamic Analysis


Gaya-gaya yang Bekerja

dAdsspp ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

Gaya tekan dari up stream: p.dAdari down stream:

Berat zat cair: W = ρ.g.dA.dsKomponen berat arah s : ρ.g.dA.ds.cosθ

:ρ.g.dAds.∂z/∂sResultan gaya:

szdsdAgdsdA

spF

∂∂

−∂∂

−= .... ρ


Keseimbangan Gaya

Menurut hukum Newton II:F = M.a

Bila v = f(s,t) →

Sehingga pers menjadi:→ pers. Euler

adsdAszdsdAgdsdA

sp ...... ρρ =

∂∂

−∂∂

−

( ) azps

ργ =+∂∂

−

svv

tv

ts

sv

tv

dtdva

∂∂

+∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

==

( ) 0. =+∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂ zp

ssvv

tv γρ


Persamaan Bernoulli

Dari pers. Euler

Untuk aliran tetap 1-D, dv/dt =0 maka

atau → pers. Bernoulli

dimana : H = total head (tinggi tekan total)z = potential head (tinggi tempat)p = pressure head (tinggi tekan)

v2/2g = velocity head (tinggi kecepatan)

( ) 0. =+∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂ zp

ssvv

tv γρ

( ) 0. =++ zpdvdv γρ

Czpv =++ γρ 2

21

constHg

vpz ==++2

2

γ


Garis Energi Zat Cair Ideal

Persamaan energi:g

vpzH2

2

++=γ


Persamaan Bernoulli

Tanpa memperhitungkan kehilangan energi, dua titik pada garis arus yang sama memenuhi

dimana P/ρ : energi aliran, V2/2 : energi kinetis, dan gz :energi potensial, semua per unit mass.Persamaan Bernoulli dapat dilihat sebagai pernyataankeseimbangan energi mekanis (mechanical energybalance)Dinyatakan dalam kata-kata oleh ahli matematik Swiss Daniel Bernoulli (1700–1782) dalam teks ditulis pada tahun 1738.

2 21 1 2 2

1 21 22 2P V P Vz zg g g gρ ρ+ + = + +


Persamaan Bernoulli

Keseimbangan gaya tegak lurus garis arus

Keseimbangan gaya dalam arah-n tegak lurus garis arusuntuk aliran mantap, tak termampatkan:

untuk aliran sepanjang garis lurus, R → ∞, maka persamaan menjadi:

adalah pernyataan untuk variasi tekanan hidrostatissebagaimana sama dengan dalam fluida diam


Persamaan Bernoulli

Persamaan Bernoulli untuk aliran tidak mantap, termampatkan adalah:


Tekanan Statis, Dinamis, dan Stagnasi

Persamaan Bernoulli

P adalah tekanan statis; ini merepresentasi tekanan termodinamika aktual dari fluida.ρV2/2 adalah tekanan dinamis; ini merepresentasikenaikan tekanan bila fluida dalam gerak.ρgz adalah tekanan hidrostatis, tergantung pada bidang referensi yang ditetapkan.


Tekanan Statis, Dinamis, dan Stagnasi

Jumlah tekanan statis, dinamis, dan hidrostatisdisebut tekanan total(konstan sepanjang garis arus).Jumlah tekanan statis dan dinamis disebut tekanan stagnasi,

Kecepatan fluida pada titik itu dapat dihitung dari :


Aplikasi Persamaan Energi

Titik 2 : titik stagnasiDari pers energi didapat: p2 = p1 + ½ ρv1

2

Tekanan dinamis = ½ ρv12

Tekanan stagnasi = p2


Tabung Stagnasi

glV

ddl

ppV

pg

Vp

gVzp

gVzp

2

))((2

)(22

22

1

122

1

22

11

22

22

21

11

=

−+=

−=

=+

++=++

γγρ

ρ

γγ

γγ


Tabung Stagnasi dalam Pipa

γp

gV2

2

z

Flow

Pipe

0=z

gVzpH2

2++=

γ

1

2


Pipa Pitot-statis

Kecepatan fluida pada titik itu dapat dihitung dari:

Piezometer mengukur tekanan statis.


Alat Pengukur Kecepatan (Pitot)

Dari pers energi : p2 = p1 + ½ ρv12

ρgh2 = ρgh1 + ½ ρv12

( )121 2 hhgv −=


Venturi meter

Total energi titik 1 = total energi titik 2Dari persamaan tsb dapat dihitung debit aliran

22

21

21

12

AA

ghAACQ

man

dact −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=ρ

ρ


Garis Energi dan Garis Tekanan

Sering lebih enak untuk menggambar energi mekanis nenggunakan tinggi.

P/ρg adalah tinggi tekanan; ini merepresentasikan tinggi kolom fluida yang menghasilkan tekanan statis P.V2/2g adalah tinggi kecepatan; ini merepresentasikan elevasi yang diperlukan untuk fluida mencapai kecepatan V selama jatuh bebas tanpa gesekan.z adalah tinggi elevasi; ini merepresentasikan energi potensial dari fluida.H adalah tinggi total.


Garis Energi dan Garis Tekanan

Garis Tekanan (HGL)

Garis Energy (EGL) (atau tinggi total)

PHGL zgρ

= +

2

2P VEGL zg gρ

= + +


Garis Energi Aliran Zat Cair Riil


HGL dan EGL

Untuk benda diam seperti waduk atau danau, EGL dan HGL berimpit dengan permukaan bebas zat cair, sepanjang kecepatannya nol dan tekana statis (gage) = nol.EGL selalu berjarak V2/2g di atasHGL. Dalam idealized Bernoulli-type flow, EGL horisontal dan tingginya tetap konstan. Ini juga untuk HGL bila kecepatan aliran konstan.Untuk aliran saluran terbuka (open-channel flow), HGL berimpit dengan permukaan bebas zat cair, dan EGL berjarak V2/2g di atas permukaan bebas.


HGL dan EGL

Tekanan fluida (gage) adalah nol pada titik dimana HGL memotong fluida.Tekanan dalam bagian aliran yang terletak di atas HGL negatif, dan tekanan bagian yang terletak di bawah HGL positif.


Garis Energi Aliran Pipa-Waduk

Kecepatan aliran dalam pipa = 0



Aliran zat cair ideal



Aliran zat cair riil


Contoh Diketahui: kecepaian dalam outlet pipa dari reservoir adalah 6 m/s dan h = 15 m.Hitung : Tekanan di A.Penyelesaian : persamaan Bernoulli

kPapg

Vhp

gVp

gh

gVzp

gVzp

A

AA

AA

AA

A

2.129

)81.9

1815(9810)2

(

20

200

22

2

2

221

11

=

−=−=

++=++

++=++

γ

γγ

γγ

titik 1

Titik A


Contoh Diketahui: D=30 in, d=1 in, h=4 ftHitung: VA

Penyelesaian: persamaan Bernoulli

Point A

Point 1

sftghV

gV

gh

gVzp

gVzp

A

A

AA

A

/162

200

200

222

221

11

=

=

++=++

++=++

γγ

γγ


Contoh – Tabung VenturiDiketahui: air 20oC, V1=2 m/s, p1=50 kPa, D=6 cm, d=3 cmHitung : p2 dan p3

Penyelesaian : persamaan kontinuitas.

Persamaan Bernoulli

2

12

112

2211

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

=

dDV

AAVV

AVAVD Dd

1

2

3

( )

( )

kPap

Pa

VdDp

VVpp

gVzp

gVzp

120

2]3/61[2

1000000,150

]/1[2

)(2

22

2

24

21

41

22

2112

22

22

21

11

=

−+=

−+=

−+=

++=++

ρ

ργγ

kPap 1503

Nozzle: kecepatan meningkat, tekanan turun

Diffuser: kecepatanturun, tekanan meningkat

Sama halnya untuk 2 3, atau 1 3

=

Penurunan tekanan terjadi, selama dianggap tidak ada kehilangan karena gesekan

( ) ]/1[)(24

212 Dd

ppV−

−=

ρTahu penurunan tekanan 1 2 dan d/D, dapat dihitung kecepatan dan debit


Analisis Energi Aliran Mantap

Jika tidak ada kehilangan energi mekanis dan tidak ada peralatan kerja mekanis, maka persamaan Bernoulli menjadi:

Faktor koreksi energi kinetis, αMenggunakan kecepatan aliran rata-rata dalam persamaan dapat menyebabkan kesalahan dalam perhitungan energi kinetis; oleh karenanya, α, faktor koreksi energi kinetis,digunakan untuk mengkoreksi kesalahan dengan mengganti term energi kinetis V2/2 dalam persamaan energi dengan αVavg

2 /2.

2 21 1 2 2

1 21 22 2P V P Vz zg g g gρ ρ+ + = + +

α = 2.0 untuk aliran laminer dalam pipa, dan antara 1.04 dan 1.11 untuk aliran turbulen dalam pipe bulat.


Faktor Koreksi Energi Kinetik

Kecepatan rata-rata pada penampang v, energi kinetik v2/2gKenyataan kecepatan tidak merata, sehingga energi kinetik rata-rata α.v2/2gDimana α = koefisien Coriolis

= koreksi energi kinetik


Analisis Energi Aliran Mantap

α sering diabaikan, sepanjang mendekati 1 untuk aliran turbulen dan kontribusi energi kinetis kecil.persamaan energi untuk aliran mantap, tak termampatkan, menjadi


Harga Faktor Koreksi α

Harga faktor koreksi

Harga α tegantung distribusi kecepatanAliran dalam pipa : laminer α = 2

turbulen α = 1,01 – 1,15Setelah dikoreksi persamaan energi menjadi :

∫=A

dAvAv

33

1α

gvpz

gvpz

22

22

22

2

21

11

1 αγ

αγ

++=++

06 persamaan euler dan bernoulli.pdf

Documents