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Metodos Numericos, Metodo de Euler para ecuaciones diferenciales, teoria, deduccion.

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  • Metodo de Euler

    El mtodo de Euler aunque es algo

    Los mtodos numricos para resolver EDO tienen dos caractersticas que se han de tener

    en cuenta:

    1. Slo permiten hallar soluciones particulares. Por lo tanto, para poderlos aplicar, har

    falta dar un conjunto completo de condiciones iniciales

    2. Necesitamos que las EDO o el conjunto de EDO que se les pasa sean todas de primer

    orden

    Siendo as consideremos resolver un problema de valor inicial:

    ( )

    ( )

    Integrando Tenemos:

    ( )

    1

    ( )

    (1 1)

    ()

  • 1 ( )

    1 ( )

    ( )

    ( )

    , esta integral resulta desconocida para nosotros, pero esta es obtenida

    a travs del mtodo de Euler haciendo una aproximacin explicada de la siguiente

    manera.

    Para poder aproximar la solucin de ( )

    , graficaremos f(x,y) que no es mas que la derivada de la funcin a encontrar:

    Sea 1

    ()

    ( )

    1

  • Lo que se hace es aproximar la integral a un valor constante, pero al hacer esto el valor no

    ser exacto y habr un error, el error esta representado por la parte de rojo, este error

    puede ser positivo y negativo, y depende si donde se evalua la funcin si es cncava o si es

    convexa (trataremos del error mas adelante).

    Al hacer esta aproximacin de la solucin de la integral debemos saber que mientras

    menor sea el valor de h menor ser el error en el que se incurrir, esto es totalmente

    lgico de acuerdo a la grafica.

    De esta manera aproximamos el valor de la ecuacin (1) a:

    1 ( )

    1 ( )

    1 ( )( 1 )

    1 ( )

    Y de esta manera podemos seguir estableciendo que,

    1 ( 1 1)

    ( )

    En general podemos decir que:

    1 ( ) ( )

    1 ( )

    Asi mediante un mtodo recurrente podremos obtener soluciones particulares de una

    EDO.

    Ejemplo: (Steven C. Chapra 5ta edicin, Ejemplo 25.1 pagina 721)

  • Con el mtodo de Euler integre numricamente la ecuacin:

    desde x = 0 hasta x = 4 con un tamao de paso 0.5. La condicin inicial en x = 0 es y = 1.

    Recuerde que la solucin exacta est dada por la ecuacin:

    Se utiliza la ecuacin (2) para implementar el mtodo de Euler:

    Primer paso

    y(0.5) = y(0) + f(0, 1)0.5 donde;

    y(0) = 1

    f(0, 1) = -2(0)3 + 12(0)2 - 20(0) + 8.5 = 8.5 Por lo tanto,

    y(0.5) = 1.0 + 8.5(0.5) = 5.25

    La solucin verdadera en x = 0.5 es:

    y = -0.5(0.5)4 + 4(0.5)3 - 10(0.5)2 + 8.5(0.5) + 1 = 3.21875

    As, el error es:

    Et = valor verdadero - valor aproximado = 3.21875 - 5.25 = -2.03125

    o, expresada como error relativo porcentual, et = -63.1%.

    Segundo paso

    y(1) = y(0.5) + f(0.5, 5.25)0.5

    = 5.25 + [-2(0.5)3 + 12(0.5)2 - 20(0.5) + 8.5]0.5 = 5.875

    La solucin verdadera en x = 1.0 es 3.0 y, entonces, el error relativo porcentual es -95.8%.

    El clculo se sigue repitiendo de esta manera, para un desarrollo mas rpido nos

    ayudaremos de la siguiente tabla:

  • x Y(verdadero) Y(Euler) Error global E. Local

    0.0 1.00000 1.00000

    0.5 3.21875 5.25000 -63.1 -63.1

    1.0 3.00000 5.87500 -95.8 -28.0

    1.5 2.21875 5.12500 131.0 -1.41

    2.0 2.00000 4.50000 -125.0 20.5

    2.5 2.71875 4.75000 -74.7 1 7.3

    3.0 4.00000 5.87500 46.9 4.0

    3.5 4.71875 7.12500 -51.0 -11.3

    4.0 3.00000 7.00000 -133.3 -53.0

  • Observe que aunque el clculo capta la tendencia general de la solucin verdadera, el

    error resulta considerable. Como se explic, es posible reducir tal error usando un tamao

    de paso menor.

    Error en el mtodo de Euler

    La nocin de error es fundamental en cualquier tcnica numrica, asociado al hecho de

    hacer muchas operaciones si es grande, tambin est el problema del error de redondeo

    los nmeros reales no pueden representarse exactamente en un ordenador y se han de

    redondear. Eso quiere decir que, cada vez que se hace una operacin, es posible que se

    pierdan dgitos del resultado, y en principio, cuantas ms operaciones ms informacin se

    va perdiendo. Adems, el mtodo de Euler, introduce por s mismo un error, que se llama

    error de truncamiento. Los dos tipos de errores se mezclan, y de hecho, el error total se

    puede amplificar.

    Analicemos a continuacin el error que se comete al aproximar aplicando el mtodo de

    Euler.

    El error de truncamiento local en el n-simo paso se define como

    ( )

    Donde ( ) es el valor exacto en la de la ecuacin diferencial e es la aproximacin de Euler.

    Podemos emplear la frmula de Taylor para obtener una aproximacin til de este

    trmino de error.

    ( ) ( )

    ( 1)

    para algn valor 1 entre y .

    Sabemos por la EDO que ( ) ( ) reemplazando esto en la expresin que obtuvimos de la formula de Taylor

    ( ) ( )

    ( 1)

    Asimismo tenemos que:

  • ( 1) ( ) ( )

    ( 1) 1

    ( 1)

    De esto podremos concluir que nuestro error es:

    1

    ( 1) ( 1)

    El error es proporcional a y siendo tambin ( 1) ( )

    El error total de truncamiento para ir de a en pasos del mtodo de Euler ser:

    ( 1) ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( ( 1) ( ) ( ))

    Donde K es la media de los ( ) y ( ) . Por lo tanto, el error total

    de truncamiento al aplicar el mtodo de Euler es proporcional al paso .

    Conclusiones:

    - Aunque el mtodo de Euler es sencillo de aplicar este tiende a tener errores

    grandes ya que los errores de truncamiento se van sumando en cada paso que se

    hace.

    - Para obtener resultados mas precisos se deber tomas un h pequeo, pero cuando

    h tiene a ser mas pequeo tendemos a hacer muchas operaciones por lo cual es un

    mtodo practico para un ordenador.

    - Existen mtodos que mejoran la estimacin de la pendiente del mtodo de Euler,

    promedindola, este mtodo se llama mtodo de Euler mejorado o tambin

    mtodo de heun.

  • Diagrama de flujo del mtodo de Euler

    (F,x0,x1,y0,n)

    h= (x1-x0)/n;

    x(1)=x0;

    y(1)=y0;

    For i=1:n

    x(i+1) = x(i)+h;

    y(i+1) = y(i)+h*f(x(i),y(i))

    x,y

  • Programacion en matlab mtodo de Euler

    function resp=euler(f,x0,x1,y0,n) h=(x1-x0)/n; xs=x0:h:x1; y1=y0; fprintf('\n''it x0 x1 y1'); for i=1:n it=i-1; x0=xs(i); x=x0; x1=xs(i+1); y=y0; y1=y0+h*eval(f); fprintf('\n%2.0f%10.6f%10.6f%10.6f\n',it,x0,x1,y1); y0=y1; end fprintf('\n El punto aproximado y(x1) es = %10.6f\n',y1); resp=y1; end

    Problemas Resueltos

    Ejercicios 2.6 Libro Dennis G. Zill (Problema 1)

    y = 2x -3y +1 , y(1) = 5 , y(1.2) = Paso h = 0.1

    Resolucion:

    i) Escribimos la ED en la forma

    ( ) , para extraer su segundo

    miembro

    ii) Definimos

    iii) Planteamos las ecuaciones de Euler para obtener y desarrollamos hasta

    obtener el valor buscado en x.

    1 ( ) ( )

    1 ( )

  • Para n=0

    1 ( )

    1 ( )

    1 ( ( ) ( ) )( )

    1 ( ( ) ( ) )( )

    1

    1

    Seguimos:

    1 1 1 ( 1 1)

    ( )

    1 1 1

    Entonces nuestro y(1.2) = 2.98

    Ahora intentemos con un h = 0.05

    Pero para que hacer mas practico y rpido de nuestro mtodo nos ayudaremos de una

    tabla para asi poder trabajar mas efectivamente:

    n h xn yn y' x(n+1) y(n+1)

    0 0.05 1 5 -12 1.05 4.4

    1 0.05 1.05 4.4 -10.1 1.1 3.895

    2 0.05 1.1 3.895 -8.485 1.15 3.47075

    3 0.05 1.15 3.47075 -7.11225 1.2 3.1151375

    4 0.05 1.2 3.1151375 -5.9454125 1.25 2.81786688

  • Ahora nuestro y(1.2)=3.1151375

    Ahora intentemos con un h = 0.02

    n h xn yn y' x(n+1) y(n+1)

    0 0.02 1 5.000000 -12.000000 1.020000 4.760000

    1 0.02 1.02 4.760000 -11.240000 1.040000 4.535200

    2 0.02 1.04 4.535200 -10.525600 1.060000 4.324688

    3 0.02 1.06 4.324688 -9.854064 1.080000 4.127607

    4 0.02 1.08 4.127607 -9.222820 1.100000 3.943150

    5 0.02 1.1 3.943150 -8.629451 1.120000 3.770561

    6 0.02 1.12 3.770561 -8.071684 1.140000 3.609128

    7 0.02 1.14 3.609128 -7.547383 1.160000 3.458180

    8 0.02 1.16 3.458180 -7.054540 1.180000 3.317089

    9 0.02 1.18 3.317089 -6.591267 1.200000 3.185264

    10 0.02 1.2 3.185264 -6.155791 1.220000 3.062148

    Ejercicios 2.6 Libro Dennis G. Zill (Problema 2)

    ( ) ( )

    n h xn yn y' x(n+1) y(n+1)

    0 0.05 0 0.000000 0.000000 0.050000 0.000000

    1 0.05 0.05 0.000000 0.050000 0.100000 0.002500

    2 0.05 0.1 0.002500 0.100006 0.150000 0.007500

    3 0.05 0.15 0.007500 0.150056 0.200000 0.015003

    4 0.05 0.2 0.015003 0.200225 0.250000 0.025014

    5 0.05 0.25 0.025014 0.250626 0.300000 0.037546

    6 0.05 0.3 0.037546 0.301410 0.350000 0.052616

    7 0.05 0.35 0.052616 0.352768 0.400000 0.070255

    8 0.05 0.4 0.070255 0.404936 0.450000 0.090501

    ( )