1PENURUNAN RUMUS EULERWikaria GazaliAbstrak :Makalah ini membahas tentang penurunan Rumus Euler. Untuk memperoleh model tersebut penulis menurunkan rumus Euler dari ex+iy dengan mencari terlebih dahulu norm dan argumen dari ex+iy. Dalam penurunan ini kita mensubstitusi norm dan argumen dari ex+iy pada bilangan kompleks dalam koordinat polar, hingga diperoleh penurunan Rumus Euler.PendahuluanRumus Euler banyak digunakan dalam penyelesaian matematika atau kalkulus terutama pada penyelesaian bilangan kompleks. Rumus Euler juga dipakai padaThe Exact Iterative Riemann Solver, The Approximate Riemann Solver of Roe,The HLLE Riemann Solver. Untuk memperoleh model tersebut, maka penulislim1xmenggunakan penurunan yang berasal dari1+= e . Dalamxx penurunan ini kita mensubstitusi norm dan argumen dari ex+iy pada bilangan kompleks dalam koordinat polar, hingga diperoleh penurunan Rumus Euler.Penurunan MatematikaDalam hal ini untuk mendapatkan penurunan Rumus Euler penulis menguraikan norm dan argumen dari ex+iy .Terlebih dahulu kita mencari norm dariex+iy .lim1xKita telah mengetahui bahwa1+= e,xx analog n lim+1n1= e,n sehingga lim+x n= ex,1n nataux=lim+x ne1.n nMengingat rumusdiatas berlakuuntukbilangan kompleks z, maka denganez=lim+z nmensubstitusi x = z, didapat1,n Ndi mana z = x + iy ( bilangan kompleks dalam koordinat Cartesius),sehinggax + iy=lim+x + iy ne1,nn x + iylimxy ne=1 ++ i(1)n nnNorm dariex+iyadalah :ex + iy=lim+x2y 2n,n1n+ nx + iylim2xx2y212ne=+2+2,n1 + nnnlim2xx2+ y212nex + iy=1 ++,n2 nnlim2xx2 +y21ex + iy+2(2n)= en nn,3limx2 + y2ex + iyx+= en 2n,limx2 + y2x+ex + iy= en 2,lim( x+0)ex + iy= en ,Jadiex + iy= e x..(2)Untuk mencari argumen dari ex+iy, terlebih dahulu kita membahas bilangan kompleksdalam koordinat Polar z = r(cos + i sin ) , maka tg =y, sehingga = arc tgy,xxdan z n = r n (cos + i sin )n .Di mana (cos + i sin )n= (cos n + i sin n ) berdasarkan Teorema De Moivre,makaz n= r n (cos n + i sin n ) , sehingga arg(z n ) = n , atau arg(z n ) = n arc tgy.xKemudian kita menentukan argumen dariex+iy, di manadari persamaan (1) telahx + iylimxynDiperolehe=n 1 ++ i,nnylimmakaarg(ex + iy ) =narc tgn,n x+1nylimarg(ex + iy) =narc tgnn,n +x n1nx + iylimyarg(e) =n narc tg,n + xarc tgylimyn+ xarg(ex + iy ) =n.n yn + xn + x1limarc tgtKarena=1tt t lim 11'12t1+t1 ' t lim1= t = 1 ,1+1t 2maka arg(ex + iy ) =lim yn, atau arg(ex + iy ) =y.n n + x1Jadi arg(ex + iy ) = y .(3)Bilangan kompleks dalam koordinat Polarz = r(cos + i sin ) , di mana r =zdan = arg( z ) , sehingga z = z [cos {arg(z)}+ i sin {arg(z)}].(4)Ambil z = ex + iy , maka persamaan (4) akan berubah menjadi :ex + iy = ex + iy [cos {arg(e x + iy )}+ i sin {arg(ex + iy )}] (5)Substitusi(2) dan (3) pada (5), sehingga persamaan (5) menjadi :ex + iy = e x (cos y + i sin y) ,ex eiy = e x (cos y + i sin y) ,sehinggaeiy = cos y + i sin y (6)Substitusiy = pada persamaan (6), maka persamaan (6) berubah menjadi :ei = cos + i sin SimpulanPada penurunan ini telah dilakukan penurunan dengan mencari terlebih dahuluNorm dari ex+iy , yaituex + iy= e x dan argumen dari ex+iy, yaituarg(ex + iy ) = y ,kemudian dengan mensubstitusinya pada bilangan kompleks dalamkoordinat polar , yaituex + iy=ex + iy[cos {arg(ex + iy )}+ i sin {arg(ex + iy )}] .Penurunan penurunan Rumus Euler telah diuraikan di atas dan diperoleh penurunannya :ei = cos + i sin di mana = arc tgy.xDaftar PustakaPriestley, HA (1993).Pengantar Analisis Kompleks, . Terjemahan Suryanto, Penerbit ITB, Bandung.Purcell, EJ, Varberg,D (1997). Calculus. Prentice-Hall,Inc., USA.Soedojo, P (1995). Matematika Fisika dan Teknik, Gadjah Mada, University Press, Yogyakarta.Spiegel, MR (1997).Kalkulus Lanjutan,. Penerbit Erlangga, Jakarta.