BAB IIDASAR TEORI2.1Pengertian Metode NumerikMetode Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformulasikan masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan.

Metode Numerik2.1.1Tujuan Metode NumerikSebelum komputer digunakan untuk penyelesaian komputasi, dilakukan dengan berbagai metode yang memiliki kendala-kendala. Metode yang digunakan antara lain : Metode Analitik, Solusi ini sangat berguna namun terbatas pada masalah sederhana. Sedangkan Masalah real yang komplek dan non linier tidak dapat diselesaikan. Metode Grafik, metode ini digunakan Sebagai pendekatan penyelesaian yang kompleks. Kendalanya bahwa metode ini tidak akurat, sangat lama, dan banyak membutuhkan waktu. Kalkulator dan Slide Rules, Penyelesaian numerik secara manual. Cara ini cukup lama dan mungkin bisa terjadi kesalahan pemasukan data. Penggunaan metode numerik diharapkan dapat mengatasi berbagai kelemahan-kelemahan metode yang ada sebelumnya. Dapat dipahami pula bahwa pada umumnya permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika. Persamaan ini sulit diselesaikan dengan model analitik sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan numerik. Dengan metode numerik, manusia terbebas dari hitung menghitung manualyang membosankan . Sehinggga waktu dapat lebih banyak digunakan untuk tujuan yang lebih kreatif, seperti penekanan pada formulasi problem atau interpretasi solusi dan tidak terjebak dalam rutinitas hitung menghitung.

2.1.2Manfaat Mempelajari Metode NumerikAda beberapa alasan mengapa mempelajari metode numerik, yaitu:1) Metode numerik merupakan alat untuk memecahkan masalah matematika yang sangat handal. Banyak permasalahan teknik yang mustahil dapa diselesaikan secara analitik, karena kita sering dihadapkan pada sistem-sistempersamaan yang besar, tidak linear dan cakupan yang kompleks, dapat diselesaikan dengan metode numerik.2) Program paket numerik, misalnya MATLAB, MAPLE, dan sebagainya yang digunakan untuk menyelesaikan masalah matematika dengan metode numerik dibuat oleh orang yang mempunyai dasar-dasar teori metode numerik.3) Banyak masalah matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan memakai program paket atau tidak tercakup dalam program paket. Oleh karena itu kita perlu belajar metode numerik untuk dapat membuat program paket (software) untuk masalah sendiri.4) Metode numerik merupakan suatu sarana yang efisien untuk mempelajari penggunaan komputer. Belajar pemrograman secara efektif adalah menulis program komputer. Metode numerik mengandung bagian yang dirancang untuk diterapkan pada komputer, misalnya membuat algoritma.5) Metode numerik merupakan suatu sarana untuk lebih memahami matematika. Karena fungsi metode numerik adalah menyederhanakan matematika yang lebih tinggi dengan operasi-operasi hitungan dasar. Metode numerik sudah baku dan telah luas pemakaiannya. Metode numerik yang baru pada hakekatnya bertujuan menemukan cara perhitungan yang dapat membuat galat (error) sekecil mungkin.

2.1.3Penyelesaian Masalah MatematikaAda dua macam penyelesaian masalah matematika, yaitu:1)Secara analisis, dengan menggunakan kaidah-kaidah operasi matematika dengan cara yang formal, yaitu dengan menggunakan rumus-rumus yang sudah lazim dan konvensional sehingga diperoleh solusi eksak. Solusi eksak yaitu solusi dengan galat sama dengan nol.2)Secara numeris, yaitu dengan menggunakan metode numerik untuk memperoleh nilai solusi hampiran dari solusi eksak. Cara ini biasanya dilakukan jika nilai eksak sukar dicari dengan cara analisis.Tahap-tahap dalam menyelesaikan masalah matematika secara numerik dengan memakai alat bantu komputer secara umum adalah:1) Pemodelan, Pemetaan model matematis, yakni merumuskan masalah dalam istilah matematis, mendefinisikan peubah-peubah bebas dan tak bebas, dan persamaan-persamaan yang terlibat (persamaan linear atau tak linear, integral, sistem persamaan, persamaan diferensial, dan sebagainya); dengan memperhitungkan jenis komputer yang ingin dipakai.2) Pemilihan metode (algoritma) numerik, perumusan secara matematis dilanjutkan dengan rancang bangun algoritma; bersama dengan analisis galat pendahuluan (taksiran galat, penentuan ukuran langkah, dan sebagainya).3) Pemrograman (koding), biasanya dimulai dengan pembuatan diagram alir yang memperlihatkan diagram blok dari prosedur yang harus dilaksanakan oleh komputer dan kemudian penulisan program dalam bahasa komputer (koding); pencarian dan perbaikan kesalahan dan pengujian.4) Dokumentasi: pemberian keterangan (penjelasan). Penyimpanan: disket, hard-disk, dan lain-lain. Perawatan: proteksi, penyesuaian dengan perkembangan yang baru.5) Penafsiran hasil, menjalankan ulang dengan data yang lebih jauh dan bervariasi.

2.1.4Algoritma dan Pemrograman (Koding)Algoritma adalah prosedur yang terdiri atas himpunan berhingga aturan yang tidak lebih dari satu penafsiran yang merinci suatu rangkaian berhingga operasi yang menyediakan penyelesaian atas suatu masalah atau suatu kelas masalah. Setiap algoritma mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:1) Tiap langkah dalam algoritma didefinisikan secara tepat sehingga tidak menimbulkan lebih dari satu penafsiran (ambiguous). Aksi yang harus dilaksanakan dirinci secara jelas untuk tiap kasus.2) Algoritma harus berhenti setelah mengerjakan sejumlah langkah terbatas.3) Masukan (input) boleh ada, boleh tidak. Keluaran (output) harus ada.4) Dibuat untuk dapat diterapkan dalam menyelesaikan sebarang masalah atau dibuat seumum mungkin.Cara menyatakan algoritma memakai kode-pseudo, yakni kalimat-kalimat yang kata-katanya sudah mempunyai makna tertentu atau dapat juga dengan cara menggambarkan dalam bentuk suatu diagram alir. Notasi untuk menuliskan algoritma disebut notasi algoritmik. Notasi algoritmik bukan notasi bahasa pemrograman, karena itu program dalam notasi algoritmik tidak dapat dijalankan oleh komputer. Agar dapat dijalankan oleh komputer, program dalam notasi algoritmik harus diterjemahkan ke dalam notasi bahasa pemrograman yang dipilih. Pemrograman (koding) adalah pengubahan bentuk algoritma ke program komputer menggunakan bahasa komputer. Bahasa komputer yang digunakan dalam menulis program dinamakan bahasa pemrograman. Sampai sekarang terdapat puluhan bahasa pemrograman seperti BASIC, FORTRAN, Pascal, Cobol,Prolog, dan lain-lain.

BAB IIICONTOH SOAL DALAM TEKNIK KIMIA

1. Persamaan pada persamaan Sistem Linier Anggap konduksi panas di dinding sebuah pipa ketika di dalam dinding pipa temperaturnya adalah 200oC dan temperatur di luar dinding adalah 80oC dan ketebalan dinding itu adalah 0,05 m. Jari-jari di dalam pipa 0,05 m(ro) dan jari-jari luarnya 1,0 m. Persamaan diferensialnya yakni : + r() = 0Perbedaan gambaran finite dari persamaan diferensial secara umum di atur menjadi seperti bentuk berikut :( ) Ti+1 - Ti + (- + ) Ti-1 = 0i= 2,3,....,10dimana :r = ro + = 0,05 +0,005 (i-1)dan T1 =200oC dan T11=80oC. Hitung temperatur menggunakan metode Thomas (r tidak konstan) Hitung matriks invers untuk data berikut pada sebuah penelitian dalam mencari variabel yang digunakan pada viskositas cairan etil asetatx1 + 7x2 4x3 = -514x1 x2 + 9x3 = 6212x1 x2 + 3x3 = 8 Sistem persamaan yang digambarkan untuk menghitung konsentrasi (c dalam g/m3) dalam series sepasang reaktor sebagai fungsi penghitungan massa yang masuk pada setiap reaktor (the right-hand side dalam g/d)17c1 -2c2 -3c3 = 500-5c1+21c2-2c3 = 200-5c1-5c2+22c3 = 30Selesaikan dengan metode Gauss-Seidel s = 5% Dengan menggunakan pendekatan pada distribusi suhu sebuah batang yang dipanasi pada kedua ujungnya. Berikut penerapan suatu kerugian panas dalam persamaan : rT = 0Dimana r, koefisien kerugian panas adalah 0,01cm-2 dan panjang batang adalah 10 cm. Buatlah plot T terhadap x. Seorang praktikan melakukan identifikasi terhadap bakteri yang ada di dalam sampel air sumur yang dipengaruhi oleh 3 faktor, yaitu x, y, dan z. Hasil dari identifikasi tersebut memberikan 3 buah persamaan sebagaimana berikut;4x-10y+6z=303x-7z=156x-8y+6z=-8Tentukanlah niali dari setiap variabel yang ingin digunakan untuk laporan praktikan tersebut. 2. Persoalan untuk Persamaan Sistem Non Linier Karakteristik pompa sentrifugal yang digunakan untuk membantu proses pengaliran cairan dari sebuah tangki (L1) ke tangki lain (L2) melalui sebuah pipa berdiameter D adalah terletak pada hubungan antara Head pompa (Hm) dalam satuan centimeter dengan Debit (Q) dalam satuan centimeter kubik per detik. Model matematika untuk karakteristik pompa demikian diberikan dalam bentuk

Suhu (dalam Kelvin) dari sebuah sistem berubah sepanjang hari pengamatan menurut :T =400 + 200 cos Dimana t dinyatakan dalam menit. Tekanan dihilangkan dari sistem sesuai dengan p = e t/1,440. Kembangkan sebuah program untuk mencari volume molekul dari oksigen pada menit interval sepanjang hari. Plotlah hasilnya. Bila Anda mempunyai kemampuan grafis komputer, plotlah semua data. Jika tidak, plotlah hasil-hasil pada interval 60 menit.

Dalam suatu proses teknik kimia, uap air (H2O) dipanasi sampai suhu yang cukup tinggi sehingga suatu bagian air yang berarti terdisosiasi, atau pecah, menjadi bagiannya membentuk oksigen (O2) dan Hidrogen (H2) :kp = Dimana kp adalah konstanta kesetimbangan reaksi dan pt adalah tekanan total dari campuran. Jika pt = 2 atm dan kp = 0,04568, tentukan harga x yang memenuhi persamaan di atas.

Kesetimbangan massa untuk polutan yang tercampur di danau dituliskan sebagai berikut :V = W Qc - kVNilai dari setiap parameter V = 1 x 106 m3, Q = 1 x 105 m3/ft, W = 1 x 106g/ft, dan k = 0,2 m0,5/g0,5/ft gunakan metode Secant untuk menyelesaikanpersamaan tersebut pada konsentrasi steady-state. Dengan menggunakan dasar perkiraan c = 4 g/m3 dan = 0,5. Tunjukkan dengan 2 iterasi dan hitunglah pesentase kesalahan relatif pada iterasi kedua.

Proses teknik reaksi kimia, air menguap (H2O), dipanaskan dengan temperatur tinggi dan beberapa bagian air terdisosiasi, atau bagian yang terpisah ke bentuk oksigen (O2) dan hidrogen (H2) : H2O H2 + O2Jika diasumsikan bahwa hal ini hanya reaksi yang melibatkan, fraksi mol x dari H2O yang terdisosiasi ditunjukkan sebagai berikut :K = Dimana K = konstanta reaksi kesetimbangan dan pt = total tekanan dalam campuran. Jika pt = 3 atm dan K = 0,05, hitung nilai x.

Mengikuti persamaan yang menyinggung konsentrasi dari reaktor kimia yang tercampur secara sempurna :c= cin (1- e-0,04t) + c0e-0,04t jika konsentasri awalnya co = 4 dan konsentrasi aliran yang masuk cin = 10, hitung waktu yang dibutuhkan untuk c 93 % dari cin.

Suatu reaksi kimia reversibel :2A + B CDapat diketahui hubungan kesetimbangan K = Dimana nomenklatur cn ditunjukkan pada konsentrasi konsituen N. Dengan didukung bahwa kita gunakan variabel x untuk menunjukkan nomor dari Mol C yang diproduksi. Konservatif massa dapat digunakan rumus hubungan kesetimbangan :K = dimana subscript o digambarkan sebagai konsentrasi awal dari setiap konstituen. Jika K = 0,015, ca,0 = 42 dan cb,o = 30 dan cc,0 =4. Hitung nilai x.

3. Persoalan untuk Interpolasi Interpolasi LinearDengan menggunakan metode interpolasi linear, perkirakan nilai entalpi pada suhu 246 oF. Diketahui data entalpi pada suhu 240 dan 260 oF sebagai berikut:Temperatur (oF)Entalpi (Btu/lb)

2301181.8

2601188.5

Interpolasi KubikDiketahui data hubungan antara temperatur dan kedalaman suatu CSTR :Temperatur (oC)Kedalaman (cm)

19.10

19.1-1

19-2

18.8-3

18.7-4

18.3-5

18.2-6

17.6-7

11.7-8

9.9-9

9.1-10

Tentukan temperatur CSTR pada kedalaman -7.5 cm dengan menggunakan Interpolasi Kubik!

Seorang ilmuwan melakukan eksperimen dan tentukan harga-harga yang berikut untuk kapasitas panas (c) pada berbagai suhu (T) untuk sebuah logam.

T-50-201070100120

C0,1250,1280,1340,1440,1500,155

Gunakan regresi untuk menentukan sebuah model untuk memprediksikan c sebagai fungsi T.

Tabel Ketergantungan konsentrasi oksigen terlarut pada suhu dan konsentrasi kloridaLarutan Oksigen (mg/L) untuk konsentrasi klorida

Suhu oCKlorida = 0 mg/LKlorida = 10.000 mg/LKlorida = 20.000 mg/L

512,811,610,5

1011,310,39,2

15109,18,2

2098,27,4

258,27,46,7

307,46,86,1

Konsentrasi saturasi (jenuh) oksigen terlarut dalam air sebagai fungsi suhu dan konsentrasi klorida. Gunakan interpolasi untuk menaksir tingkat larutan oksigen pada T = 22,4 dengan klorida = 10.000 mg/L Untuk data yang didapat dari tabel, gunakan interpolasi polinominal untuk menurunkan persamaan prediktif bagi konsentrasi larutan oksigen sebagai fungsi suhu untuk kasus dimana konsentrasi klorida adalah 20.000 mg/L Kita ambil contoh soal dari buku Element of Chemical Reaction Engineering , contoh soal 5.5, tentukan konstanta laju rekasi dan orde reaksi dari persamaan : -rHBr = kCHBraDengan data :Cao ( mol HBr/dm3)0.10.5124

-rao ( mol HBr/m2.h ) x1020.0730.71.844.8612.84

4. Persamaan pada Integrasi Dengan menggunakan steam tabel, hitunglah nilai dengan integral pada 700oF untuk superheated steam :

Dimana S adalah entropi dan adalah densitas, dengan menggunakan :a. Metode trapezoidalb. Simpson rule

Suatu masalah yang sering ditemui adalah penentuan jumlah panas yang diperlukan untuk menaikkan suhu suatu materi (benda). Karakteristik yang diperlukan adalah guna menentukan kapasitas panas c. Parameter ini menunjukkan jumlah panas yang dibutuhkan untuk menaiikan satu satuan massa oleh satu satuan temperatur. Jika c adalah konstan sepanjang bentangan temperatur yang diperiksa, panas yang diperlukan H (dalam kalori) dapat dikalkulasikan dengan :H = mc TDimana c mempunyai satuan kalori per gram per derajat Celcius, m adalah massa (dalam gram) dan T adalah perubahan temperatur (oC). Kapasitas panas dapat bertambah terhadap suhu sesuai dengan hubungan :c(T) = 0,132 + 1,56 x 10 -4 T + 2,64 x 10-7 T2dalam keadaan ini anda diminta untuk menghitung panas yang diperlukan guna menaikkan suhu 1000 gram materi ini -100o 200oC.Persamaan yang diberikan untuk menghitung harga rata-rata c(T) :(T) =

Sehingga persamaannya menjadi :H = m

Gunakan integrasi Romberg untuk menghitung dxUntuk ketelitian orde h8.

Berikut ini disajikan integrasi untuk menghitung berapa banyak massa yang masuk dan keluar dari reaktor pada waktu yang spesifik :M = Q Gunakan integral numerik untuk menghitung data berikut ini :Tabel Nilai pengukuran Konsentrasi pada pipa keluar reaktor t, minc, mg/m3

010

522

1035

1547

2055

2558

3052

3540

4037

4532

5034

Aliran keluar konsentrasi kimia dari campuran sempurna pada reaktor ditunjukkan sebagai berikut :t,min02468121620

c,mg/m31020304060727050

Untuk Q = 12 m3/min, perkirakan massa pada reaksi kimia keluar reaktor dari t = 0 ke t = 20 min 5. Persamaan Differensial Suatu keseimbangan bahan kimia dalam sebuah reaktor yang tercampur secara sempurna dapat ditulis sebagai :V = F Qc kVc2Akumulasi = Dimana V adalah volume (10 m3), c adalah konsentrasi, F adalah laju masukan (200 g/min), Q adalah laju aliran (1 m3/menit), dan k adalah laju reaksi (0,1 m3/g/menit). Jika c(0) = 0, selesaikan PDB sampai konsentrasi mencapai tingkat kestabilan. Plotlah hasil-hasil yang diperoleh.

Contoh sederhana mengenai energi balance, seperti pada gambar dibawah.

Tentukan respon dinamik temperatur tank trehadap step change dalam coolant flow. Data. F =0.085 m3/minV = 2.1 m3Ts =85.4 oC = 106 g/m3Cp = 1 cal/(goC)To = 150oCTcin = 25oCFcs = 0.5 m3/minCpc = 1 cal/(goC)c = 106 g/m3a =1.41 x105 cal/minoCb = 0.50

={Ho}-{H1}+Q-WsEnergi internal dan entalpy, dengan menggunakan relasi termodinamika=V Cp dT/dt V Cp dT/dtHi= Cp Fi(Ti-Tref)Kapasitas panas pada volum konstan diaproksimasi sebagai kapasitas panas padatekanan konstan, sehingga didapatkan:

energi balance untuk cooling coil menjadi:Tcout =Tcin-

heat transfer diekspresikan sebagai:

Koefisien inner film dihubungkan dengan flow , oleh bentuk empiris:

Sehingga heat transfernya menjadi:

Model final untuk stirred-tank exchanger:

Untuk mengevalusi linearitas model, jika semua konstan disubsitusikan ke persamaan

Kinerja sebuah reaktor batch nonisotermal dapat digambarkan melalui 2 persamaan berikut: = -exp(-) CA

= 1000 exp(-) CA (T-20)

dengan CA menyatakan konsentrasi reaktan (dalam gmol/L) dan T menyatakan suhu di dalam reaktor (dalam oC) pada setiap saat t (dalam jam). Kondisi awal sistem reaksi ini (pada t = 0): CA0 = 1 gmol/liter dan T0 = 25oC. Berapakah CA dan T pada t = 0,5 jam?Gunakan dan bandingkan penggunaan metode:(a) Euler, dan(b) Runge-Kutta orde 4

Persamaan van der Pol yang mrp salah satu model rangkaian listrik vacuum tubes dinyatakan sbg: (1-y2) +y =0

dengan kondisi awal: y(0) = y(0) = 1. Selesaikan persamaan ini dari x = 0 hingga x = 10 menggunakan metode Euler, dengan step size sebesar: (a) 0,2, dan (b) 0,1.

Keadaan steady- state pada kesetimbangan panas untuk sebuah persamaan ditunjukkan sebagai berikut : - 0,1 T = 0Untuk memperoleh penyelesaian analitik pada 10-m dengan T(0) = 200 dan T(10) = 100

Perhitungan distribusi suhuDistribusi suhu pada sebuah masukan balik berbentuk hidung kerucut dan suhu dalam sebuah sungai di bawah sebuah pembangkit tenaga memakai pendinginan air. Distribusi suhu spasial 2 dimensi dalam keadaan mantap didefinisikan oleh persamaan Laplace : + = 0Dimana T adalah suhu, serta x, y adalah arah koordinat.

BAB IVPENUTUP4.1Kesimpulan1. Metode Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformulasikan masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan. 2. Manfaat mempelajari metode numerik adalah metode numerik merupakan alat untuk memecahkan masalah matematika yang sangat handal, banyak masalah matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan memakai program paket atau tidak tercakup dalam program paket, suatu sarana yang efisien untuk mempelajari penggunaan komputer, suatu sarana untuk lebih memahami matematika.3. Ada dua macam penyelesaian masalah matematika yaitu secara analisis, secara numeris.4. Tahap-tahap dalam menyelesaikan masalah matematika secara numerik dengan memakai alat bantu komputer secara umum pemodelan, pemilihan metode (algoritma) numerik, pemrograman (koding),dokumentasi, penafsiran hasil5. Penyelesaian numerik pada persamaan linier ada beberapa yakni metode matrik invers, eliminasi Gauss, iterasi Jacobi, dsb. 6. Penyelesaian numerik terdapat dalam berbagai macam persamaan seperti persamaan linier, non linier, sistem linier, sistem non linier, integrasi, interpolasi, differensial, dsb.

17