mekanika bahan bab i 2

7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2

1/44

BAB I

TEGANGAN DAN REGANGAN

1.1. Tegangan Dalam mekanika bahan, pengertian tegangan tidak sama dengan

vektor tegangan. Teganganmerupakan tensor derajat dua, sedangkanvektor, vektor apapun, merupakan tensor derajat satu. Besaran skalarmerupakan tensor derajat nol. Tensor ialah besaran fisik yang

keadaannya pada suatu titik dalam ruang, tiga dimensi, dapatdideskripsikan dengan 3n komponennya, dengan n ialah derajat tensor

tersebut. Dengan demikian, untuk persoalan tegangan tiga dimensi

pada suatu titik dalam ruang dapat dideskripsikan dengan 32

komponennya. Pada sistem koordinat sumbu silang, tegangan tersebut

adalah xx

, yy

, zz

, txy

, tyx

, txz

, tzx

, tyz

, dan tzy

seperti ditunjukkan

pada ambar !.!"a#. $amun demikian, karena txy% t

yx, t

xz % t

zx dan

tyz % t

zy , maka keadaan tegangan tersebut dapat dinyatakan dengan

enam komponennya, xx ,

yy ,

zz , t

xy , t

xz , t

yz. &edangkan untuk

tegangan bidang, dua dimensi, pada suatu titik dapat dideskripsikan

dengan 22

komponennya, ambar !.!"b#, dan karena tij% tji untuk makatiga komponen telah dapat mendeskripsikan tegangan bidang pada titik


2/44

Pada dasarnya, tegangan se'ara garis besar dapat diklasi(ikasikan

menjadi dua, yakni tegangan normal, dengan notasi sij , i % j, serta

tegangan geser dengan notasi tij , . Perhatikan penulisan pada

paragrap di atas. )arakter indek yang pertama menyatakan bidang

tempat bekerjanya gaya, sedangkan karekter indek yang kedua

menyatakan arah bekerjanya vektor tegangan tersebut. Tegangannormalialah tegangan yang bekerja tegak lurus terhadap bidang


3/44

pembebanan. &edangkan tegangan geserialah tegangan yang bekerjasejajar dengan bidang pembebanan. *adi keenam tegangan yang

mendeskripsikan tegangan pada suatu titik terdiri atas tiga tegangan

normal, xx, yy, dan zz, serta tiga tegangan geser, txy, tyz, dant

zx. $ilai tegangan bisa positi( dan bisa pula negati(. Tegangan

bernilai positif bila tegangan tersebut bekerja pada bidang positi(dengan arah positi(, atau bekerja pada bidang negati( dengan arah

negati(. &elain itu, nilainya negati(.

Besar tegangan rata+rata pada suatu bidang dapat dide(inisikan sebagaiintensitas gaya yang bekerja pada bidang tersebut. &ehingga se'ara

matematis tegangan normal rata+rata dapat dinyatakan sebagai

i % j "!a#

% tegangan normal rata+rata "N/mm2%MPa#

n % gaya normal yang bekerja "N#

- % luas bidang "mm2#

i, j % sumbu koordinat pada sistem sumbu silang, x, y, z

ij

ijnF

A

=


4/44

&edangkan tegangan geser rata+rata dapat dinyatakan sebagai

"!b#

% tegangan geser rata+rata "N/mm2%MPa#

t % gaya tangensial atau sejajar bidang yang bekerja "N#

- % luas bidang "mm2#

i, j % x, y, z

ij

tF

Ai j

= ,

ij

Bila bidang yang menerima pembebanan tersebut dipersempit sampai

akhirnya mendekati nol, dalam artian limit maka akan didapat tegangan

pada suatu titik. &ehingga se'ara matematis tegangan normal pada

suatu titik dapat dinyatakan

i % j "2a#ijA

n nF

A

d F

dA = =

0

lim


5/44

&edangkan tegangan geser pada suatu titik, se'ara matematis dapat

dinyatakan sebagai

"2b#

ijA

t tF

A

d F

dA i j = = 0lim ,

1.2. Regangan


6/44

&eperti halnya tegangan, regangan juga merupakan tensorderajat dua. Dengan demikian keadaan regangan ruang, tiga dimensi,pada suatu titik dapat dideskripsikan dengan kesembilan komponennya.

Pada sistem koordinat sumbu silang, regangan tersebut adalah exx ,e

yy , e

zz , g

xy , g

yx , g

xz , g

zx , g

yz , dan g

zy, sebagaimana ditunjukkan

pada ambar !.2"a#. egangan juga dapat diklasi(ikasikan menjadi

dua, yakni regangan normal, dengan notasi eij, i % j, serta regangan

geserdengan simbul ij, . &ebagaimana dengan tegangan, g

xy% g

yx,

gxz % gzx dan gyz % gzy, maka keadaan regangan ruang pada suatu titikdapat dinyatakan oleh enam komponen, yakni e

xx, e

yy, e

zz, g

xy, g

yz,

gzx. &edangkan regangan bidang, dua dimensi, dapat dideskripsikan

dengan 22 komponennya, dan karena gij % g

ji maka regangan bidang

pada suatu titik dapat dideskripsikan dengan hanya tiga komponen,ambar !.2"b#.


7/44

Regangan normal merupakan perubahan panjang spesi(ik. egangan

normal rata+rata dinyatakan oleh perubahan panjang dibagi denganpanjang a/al, atau se'ara matematis dapat dituliskan

, i % j "3#

iji

i

i

i

l

l

u

l = =


8/44

% regangan normal rata+rata

l % u % perubahan panjang pada arah "mm#

l % panjang a/al pada arah "mm#

i, j % sumbu koordinat pada sistem sumbu silang, x, y, z.

&edangkan regangan gesermerupakan perubahan sudut dalam radial.Regangan geser bernilai positif bila sudut pada kuadran 0 dan atau

kuadran 000 pada sistem koordinat sumbu silang menge'il, ambar

!.3"a#, sedangkan selain itu bernilai negati(.

ij

1.3.Transformasi Tegangan Bidang

1egangan dapat ditrans(ormasi dari suatu set sumbu koordinat ke

set sumbu koordinat lainnya. Dengan trans(ormasi pula dapat di'ari set

sumbu koordinat pada suatu titik yang memberikan tegangan utamadari kondisi tegangan yang telah diketahui di titik itu. ang dimaksud

dengan tegangan utamaialah tegangan yang hanya memiliki nilai tidaknol untuk tegangan normal saja, sedangkan nilai tegangan gesernya nol.

Dengan demikian juga dimungkinkan trans(ormasi tegangan dari sistem

koordinat sumbu silang "x, y, z#, ambar !."a#, ke sistem koordinat

polar "r, 4, z#, ambar !."b#.


9/44

1rans(ormasi tegangan bidang berdasarkan pada keseimbangan gaya+

gaya yang bekerja pada elemen. Perhatikan ambar !.5"b# berikut.


10/44

"!.a#

xF '= 0

x x xy yy xyA A A A' ' . ( . sin ) cos ( . sin ) sin ( . cos ) sin

( ) =xx A . cos cos 0

x x xx yy xy' ' cos sin sin cos = + +2 2 2


11/44

Dengan memasukkan harga "67o 8 # untuk harga pada

persamaan "!.a#, sehingga dengan identitas+identitas9

2 2 29 0 90 90cos ( ) (cos cos sin sin )o o o si n+ = =

2 2 29 0 9 0 9 0sin ( ) (sin cos cos sin )o o o co s+ = + =

sin( ) cos( ) (sin cos cos sin )(cos cos sin sin )9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0o o o o o o+ + = +

sin cos %

akan didapat "!.b#y y yy xx xy' ' cos sin sin cos = + 2 2 2

"!.'#

yF '= 0

x y xy yy xyA A A A' ' . ( . sin ) sin ( . sin ) cos ( . cos ) cos +

( )+ =xx A . cos sin 0

x y xy xx yy' ' (cos sin ) ( ) sin cos = 2 2


12/44

Dengan substitusi identitas trigonometri, persamaan "!.a, b, '# bisa

ditulis

"!.5a#

"!.5b#

"!.5'#

2sin2cos22'' xy

yyxxyyxx

xx +

++

=

2sin2cos22

'' xy

yyxxyyxx

yy

+

=

2cos2sin

2'' xy

yyxx

yx +

=

1.4.Transformasi Regangan Bidang

Perhatikan ambar !.:"a# pada halaman berikut. ;lemen B>=> akibat mendapat beban s

xx, s

yy dan t

xy.

-nalisis trans(ormasi regangannya ditunjukkan pada ambar !.:"b, ',

d# yang berturut+turut untuk regangan normal arah sumbu x, regangan

normal arah sumbu y serta regangan geser pada bidang xy. Dari

ambar !.:"b# didapat


13/44

Dari ambar !.:"'# akan didapat

Dan dari ambar !.:"d# diperoleh

dx dx dy

'cos sin

,= =

1x x' .cos ,=

2x y' .sin ,=

3x dyxy' . .cos ,=


14/44

Dengan demikian total perubahan panjang dx> akibat adanya reganganpada sistem koordinat a/alnya adalah

x> % x!> 8 x

2> 8 x

3>

&edangkan


15/44

&ehingga

"!.:a#

&elanjutnya, y> dapat diperoleh dengan mensubstitusikan harga "67o8

# untuk harga pada persamaan "!.:# di atas, kemudian menerapkanidentitas trigonometri. &ehingga akan didapat

x x

xyx

dx

x

dx

y

dy

dy

dy' ''

'

.cos

cos

.sin

sin

. .cos

sin

= = + +

x x xx yy xy' ' .cos .sin .cos .sin = + +2 2

y y xxo

yyo

xyo o

' ' .cos ( ) .sin ( ) .cos( ).sin( ) = + + + + + +2 29 0 9 0 9 0 9 0

y y yy xx xy' ' .cos .sin .cos .sin = + 2 2

-nalisis trans(ormasi regangan gesernya ditunjukkan pada ambar

!.? di ba/ah. &ebagaimana pada regangan normal, dalam hal ini

perubahan regangan geser oleh masing+masing regangan yang terjadi

ditinjau satu per satu. Pada analisis ini, panjang dx dibagi dua oleh

sumbu y menjadi dx! dan dx2.

"!.:b#


16/44

Dari ambar !.? didapat dan

&elanjutnya perhatikan ambar !.?"a#, akibat terjadinya de(ormasi

normal pada arah sumbu x saja.

d y d x dy

11

'sin cos

= =

d xdx dy

2'cos sin

= =2

1

1

1

1

1

1

12

2

2

2

2

1 1 1 2

a xx

b xx

x y a b xx

AD

dy

xd x

x

d x

CE

dx

x

d x

x

d x

''

.cos

sin

sin .cos .sin .cos

''

.sin

cos

sin .cos .sin .cos

' .sin .cos' '

= =

=

=

= =

=

=

= + =


17/44

ambar. !.?. 1rans(ormasi egangan eser

-kibat de(ormasi normal arah sumbu y saja seperti ditunjukkan pada

ambar !.?"b# akan diperoleh


18/44

&edangkan dari ambar !.?"'#, akibat terjadinya regangan geser saja,

akan didapat

2

1

2 2

2 2 2 2

a yy

b yy

x y a b yy

AD

dy

y

dy

y

dy

CE

dx

y

dy

y

dy

''

.sin

cos

.sin .cos .sin .cos

''

.cos

sin

.sin .cos .sin .cos

' .sin .cos' '

= = = =

= = = =

= + =

3

1

2 2a

xy

xy

A D

d y

AA

dy

dy

dy

= = = =

'

'

'.cos

cos

..cos .cos

3

2

2 2

3 3 3

2 2

b

xy

x y a b xy

CE

d x

CC

dy

dy

dy xy

= = = =

= + =

'

''.sin

sin

..sin .sin

(cos sin )' '


19/44

Dengan demikian akan diperoleh besarnya regangan geser pada set

sumbu koordinat yang baru, sebagai berikut

x y x y x y x y xx yy xy' ' ' ' ' ' ' ' ( ) sin .cos (cos sin ) = + + = + 1 2 32 2

..."!.:'#

&elanjutnya, dengan menggunakan identitas trigonometri persamaan+

persamaan "!.:a, b, '# dapat ditulis dalam bentuk lain sebagai berikut

( ) ( )x x

xx yy xx yy xy

' ' cos .sin

= +

+

+2 2

22

2

( ) ( )y y

xx yy xx yy xy

' ' cos .sin

=

+

+

2 2 2 2 2

( )x y

x y xx yy xy

' '

' 'sin .cos

= =

+

2 22

22

"!.?a#

"!.?b#

"!.?'#


20/44

1.5. Tegangan dan Regangan Utama !rin"i#al $tress and $train%serta Tegangan dan Regangan Geser &aksim'm

Tegangan Utama (Principal Stress) dan Tegangan Geser Maksimum

Tegangan Utama "principal stress# adalah tegangan normal

yang terjadi pada set sumbu koordinat baru setelah trans(ormasi yang

menghasilkan tegangan geser nol. 1egangan+tegangan tersebut

ditunjukkan sebagai s! dan s2 pada ambar !.!7. Perlu di'atat

bah/a s! selalu diambil lebih besar dari s

2. &udut trans(ormasi yang

menghasilkan tegangan utama tersebut dengan sudut utama "principal

angle#. &e'ara analitik, besar tegangan utama dan sudut utama dapat

diturunkan dari persamaan+persamaan "!.5a, b, '#.

@enurut pengertian tentang tegangan utama, dari persamaan

"!.5'# akan didapat

02

2 2=

+xx yy xy .sin .cos


21/44

atau

"!.A#

Dari persamaan di atas dapat dilukiskan segitiganya sebagai berikut

sin

cos

tan2

2

2 2

xy

xx yy

= =

Dengan substitusi harga+harga sin 24 dan 'os 24 pada gambar di

atas ke persamaan "!.5a# akan didapat


22/44

&ehingga

&ubstitusi dan penerapan prosedur yang sama terhadap persamaan

"!.5b#, akan didapat

x x

xx yy xx yy xx yy

xx yy xy

xy

xx yy xy

' '

( ) ( )

=

++

++

+2 2 !

2

!2 2

2

2 2

}{x x xx yyxx yy xy

xx yy xy' '

. ( )( )

= + +

+ +

2

1

2 !!

2 2

2 2

}{x xxx yy

xx yy xy' '.

( ) = + + +2

12

!2 2

}{y yxx yy

xx yy xy' '.

( ) = + +2

12

!2 2

Dengan mengingat bah/a se'ara matematik haruslah ! > 2 , maka

kedua persamaan tersebut di atas dapat dituliskan menjadi satu dengan


23/44

"!.6#

&elanjutnya, perhatikan persamaan "!.5'#. ntuk suatu titik dan jenis

pembebanan tertentu dari suatu bagian konstruksi, harga+harga xx ,

yy dan

xy adalah tetap atau konstan, sehingga

x>y> merupakan suatu

(ungsi , atau x>y>

% ("#.Carga ekstrim (ungsi tersebut akan

diperoleh bila turunan pertama (ungsi tersebut terhadap sama

dengan nol. *adi

}{1 2 2 22

1

2!,

.( )

=

+ +xx yy xx yy xy

atau

"!.!7#

Dari persamaan di atas dapat dilukiskan segitiganya sebagai berikut9

x y xx yy

xy

d

d

' '.sin .cos

= + =2

2 2 0

sin

cos tanmax

max

max

2

2 2 2

= = xx yy

xy


24/44

Dengan substitusi harga+harga sin 2 dan 'os 2 pada gambar di atas

ke persamaan "!.5'# akan didapat

}{

x yxx yy xx yy

xx yy xy

xy

xx yy xy

xx yy xy

xx yy xy

' ' ( )( ) ( )

. ( )( )

= ++ +

= +

+

2 !2

!

1

2 !!

2 2

2

2 2

2 2

2 2


25/44

&ehingga

Persamaan "!.!7# juga dipenuhi bila panjang sisi di depan sudut 2adalah "

xx

yy# dan panjang sisi di sampingnya adalah +2

xy. )ondisi

ini akan memberikan

}{x y xx yy xy' '.

( ) = +1

2!

2 2

}{x y xx yy xy' '.

( ) = +1

2!

2 2

Dengan demikian kedua persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi

satu sebagai

"!.!!#

Regangan Utama dan Regangan Geser Maksimum

}{max

.( )

= +

1

2!

2 2

xx yy xy


26/44

&ebagaimana pengertian tentang tegangan utama, maka regangan

utama"principal strain# adalah regangan normal yang terjadi pada set

sumbu koordinat baru setelah trans(ormasi yang menghasilkan

setengahregangan geser nol. egangan+regangan tersebut ditunjukkansebagai

! dan

2 pada ambar !.!!. Demikian juga,

! selalu

diambil lebih besar dari 2 , serta sudut trans(ormasinya juga disebut

sudut utama "principal angle#. &e'ara analitik, dengan penerapan

prosedur yang sama dengan yang diterapkan untuk persamaan+

persamaan "!.?a, b, '#, maka akan didapat hasil+hasil berikut.

"!.!2a#

"!.!2b#

4p% sudut utama

e!,2

% regangan+regangan utama

gxy

% 2exy% regangan geser

sin

costan

2

22

xy

xx yy

= =

}{1 2

2 2

2

1

2, .( )

=

+ +xx yy xx yy

xy


27/44

"!.!3a#

"!.!3b#

max

% sudut regangan geser maksimum

xy% 2

xy% regangan geser

sin

costan

max

max

max

2

22

= =

xx yy

xy

}{max

. ( )

21

2

2 2

= +xx yy xy

1.(.)ingkaran &o*r 'nt'k Tegangan Bidang dan Regangan Bidang

ingkaran @ohr diperkenalkan oleh seorang insinyur *erman,


28/44

ingkaran Mohr untuk Tegangan !idang

Pada persamaan "!.5a#, bila suku dipindahkan ke ruas

kiri dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat

EEE"!.!a#

&edangkan pada persamaan "!.5'#, bila dikuadratkan akan didapat

EEE"!.!b#

Penjumlahan persamaan+persamaan "!.!a# dan "!.!b# menghasilkan

"!.!5#

Persamaan "!.!5# merupakan persamaan lingkaran pada bidang st yang

pusatnya di dengan jari+jari . ingkaran tersebut ditunjukkan pada

ambar !.A di ba/ah ini, yang dilukis dengan prosedur sebagai berikut9

x y +

2

( )2 2

2 2 2

2 22 2 2 2

x

x y x yxy x y xyco s si n' sin cos

+

=

+ +

( )2 2 2

2

222

2 2 2x y xyx y

x y xyco s sin' ' sin cos = +

2

2

2

2

2 2x

x yx y

x yxy' ' ' +

+ =

+


29/44

!. Buatlah sumbu ij, horisontal.

2. Periksa harga tegangan normal, xx atau

yy, yang se'ara

matematis lebih ke'il. Bila bernilai negati( jadikanlah

tegangan tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kiri batasmelukis, sedangkan bila positi( maka titik yang mendekati

batas kiri adalah titik ij% 7.

3. Periksa harga tegangan normal, xx atau

yy , yang se'ara

matematis lebih besar. Bila bernilai positi( jadikanlah tegangan

tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kanan batas melukis,

sedangkan bila negati( maka titik yang mendekati batas kanan adalah

titik ij% 7.

. 1entukan skala yang akan digunakan sehingga tempat melukis bisa

memuat kedua titik tersebut dan masih tersisa ruangan di sebelah kiridan kanannya. 1entukan titik+titik batas tersebut sesuai dengan skala

yang telah ditentukan.


30/44

5. 1entukan letak titik+titik ij% 7 dan sumbu , serta

ijterke'il

dan ijterbesar bila belum terlukis pada sumbu

ij.

:. Bagi dua jarak antara tegangan terke'il dan tegangan terbesar

sehingga diperoleh pusat lingkaran, P.

?. 1entukan letak titik - pada koordinat "ijterbesar ,

xy#.

A. ukis lingkaran @ohr dengan pusat P dan jari+jari P-.

6. 1arik garis dari - melalui P sehingga memotong lingkaran @ohr di

B. @aka titik B akan terletak pada koordinat "ijterke'il , xy#.aris -B menunjukkan sumbu asli, % 7, elemen tersebut.

$ontoh %.%9 &ebuah elemen dari bagian konstruksi yang dibebani,

menerima tegangan tarik pada arah sumbu x sebesar 2A7 @Pa,

tegangan tekan pada arah sumbu y sebesar 7 @Pa serta tegangan

geser pada bidang tersebut sebesar !27 @Pa.


31/44

Diminta9 a. ukisan lingkaran @ohr.

b. Besar rotasi mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan

tegangan geser maksimum, menurut lingkaran @ohr.

Periksa hasil tersebut dari persamaan "!.!7#.'. Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran @ohr.

Periksa hasil tersebut dengan rumus "!.!!# dan hasil

yang didapat pada b. di atas.

d. Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk

mendapatkan tegangan geser bernilai nol, menurutlingkaran @ohr. Periksa hasil ini dengan persamaan "!.A#.

e. Besar tegangan+tegangan utama menurut lingkaran @ohr.

Periksa hasil tersebut dengan persamaan+persamaan "!.6#

dan dari hasil pada pada d. di atas.


32/44

Penyelesaian9

a. ingkaran @ohr9

!# Buat sumbu sij, horisontal.

2# 1egangan normal terke'il, syy% +7 @Pa, negati(, sehinggadigunakan sebagai titik di dekat batas kiri.

3# 1egangan normal terbesar sxx% 2A7 @Pa, positi(, sehingga

digunakan sebagai titik di dekat batas kanan.

# Diambil skala !'m % 7 @Pa. )emudian ditentukan titik syy % +7 @Pa di sebelah kiri, dan s

xx% 2A7 @Pa di sebelah kanan yang

berjarak "sxx8 s

yy# dari titik s

yydi sebelah kiri.

5# ukis sumbu t yang berjarak 7 @Pa di sebelah kanan titik syy .

:# Dengan membagi dua sama panjang jarak syy

ke sxxakan

didapat titik P.

?# @enentukan letak titik - pada koordinat "sxx ,

txy

# % "2A7,!27#.

A# Dengan mengambil titik pusat di P dan jari+jari sepanjang P-,

lingkaran @ohr dapat dilukis.

6# Dengan menarik garis dari - le/at P yang memotong lingkaran


33/44

ambar !.A. ingkaran @ohr untuk 1egangan Bidang

b. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran @ohr, dengan

mengukur, didapat

max

% 7,5 x 2max

% 7,5 x "+53o# % 2:o37>.

&edangkan menurut persamaan "!.!7# didapat

tan 2max

% "2A7 8 7# F "2 x !27# % 4/3

2max

% 53o7A> atau max

% 2:o3>


34/44

'. Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran @ohr

max

% 5 x 7 @Pa % 277 @Pa.

&edangkan menurut persamaan "!.!!# akan didapat

d. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran @ohr, dengan

mengukur, didapat

p% 7,5 x 2

p% 7,5 x 3?o % !Ao37>.


tan 2p% "2 x !27# F "2A7 8 7# % 3/4

2p % 3:o52> atau

max % !Ao2:>

e. Besar tegangan+tegangan utama menurut lingkaran @ohr

!% A x 7 @Pa % 327 @Pa.

2% +2 x 7 @Pa % +A7 @Pa.


( )

( )

12 2

2

2

2

2"0 !0

2

1

22"0 !0 120 320

2"0 !0

2

1

2 2"0 !0 120 "0

=

+ + + =

=

+ + =

#$a

#$a


35/44

ingkaran Mohr untuk Regangan !idang

Pada persamaan "!.?a#, bila suku dipindahkan ke ruas kiri

dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat

EEE"!.!:a#

&edangkan pada persamaan "!.?'#, bila dikuadratkan akan didapat

EEE"!.!:b#

Penjumlahan persamaan+persamaan "!.!:a# dan "!.!:b# menghasilkan

xx yy +

2

( )2 2

2

2

2

2 22

22

22 2

x x

xx yy xx yy xyxx yy

xy

' ' cos sin sin cos

+

=

+

+

( )

2 2

2

2

2

2 2 2 2 2 2 2 2

x y xy xx yy

xx yy

x y' ' ' '

cos sin sin cos

=

+


36/44

"!.!?#

Persamaan "!.!?# merupakan persamaan lingkaran pada bidang

yang pusatnya di dengan jari+jari

ingkaran tersebut ditunjukkan pada ambar !.6 di ba/ah ini, yang

dilukis dengan prosedur sebagaimana melukis lingkaran @ohr untuktegangan dengan mengganti

xx,

yy dan

xy berturut+turut menjadi

xx,

yy dan

xyF 2. Penerapannya, lihat =ontoh !.2 pada halaman 2!.

2 2 2 2

2 2 2 2x x

xx yy x y xx yy x y

' '

' ' ' '

+

+

=

+

2xx yy

20,

2 2

2 2

xx yy xy

+

1.+. ,'-'ngan Antara Tegangan Dengan Regangan

ntuk de(ormasi normal, geser maupun gabungan keduanya, hubungan

antara tegangan dan regangan untuk bahan+bahan isotropis pada

pembebanan dalam batas proporsional diberikan oleh hukum &ooke.

*adi hukum Cooke tidak berlaku untuk pembebanan di luar batas

proporsional. Cukum Cooke diturunkan dengan berdasarkan pada

analisis tentang energi regangan spesifik.


37/44

-pabila besar tegangan+tegangannya yang diketahui, maka hukum

Cooke untuk persoalan+persoalan tiga dimensi, hubungan antara

tegangan normal dengan regangan normal dapat dituliskan se'ara

matematis sebagai berikut9

"!.!A#

Dengan ' dan v berturut+turut adalah modulus alastis atau modulus

oung dan angka perbandingan Poisson. &edangkan pada de(ormasi

geser untuk ( adalah modulus geser , hubungannya adalah9

"!.!6#

( )

( )

( )

xx xx yy %%

yy yy xx %%

%% %% xx yy

E

E

E

=

=

=

1

1

1

( )

( )

( )

xyxy xy xy

x%x% x% x%

y%

y% y% y%

& E

& E

& E

= = = +

= = = +

= = = +

2 21

2 2

1

2 2

1


38/44

&edangkan untuk men'ari tegangan normal yang terjadi bila regangan

normal dan si(at+si(at mekanis bahannya diketahui, digunakan

persamaan+persamaan9

"!.27#

&elanjutnya untuk de(ormasi geser, bentuk hukum Cooke adalah9

"!.2!#

( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( ){ }

xx xx yy %%

yy yy xx %%

%% %% xx yy

E

E

E

= + + +

=+

+ +

=+

+ +

1 1 21

1 1 21

1 1 21

( )

( )

( )

xy xy xy xy

x% x% x% x%

y% y% y% y%

E E&

E E&

E E&

=+

=+

=

=+

=+

=

=+

=+

=

1 2 1

1 2 1

1 2 1


39/44

Persamaan+persamaan "!.!A# sampai dengan "!.2!# dapat juga

diberlakukan untuk persoalan+persoalan dua dan satu dimensi, yakni

dengan memasukkan harga nol untuk besaran+besaran di luar dimensi

yang dimaksud.

$ontoh "9 Pembebanan seperti pada =ontoh !, untuk bahan dengan

si(at+si(at mekanis9 modulus oung, ; % 277 Pa dan angka

perbanding+an Poisson, n % 7,26. @odulus geser ditentukan dengan,

% ; F 2"! 8 n#.

Diminta9 a. Citunglah regangan+regangan yang terjadi.

b. ukisan lingkaran @ohr untuk regangan yang terjadi.

'. Besar rotasi mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan

regangan geser maksimum, menurut lingkaran @ohr.

Periksa hasil tersebut dari persamaan "!.!7#.

d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran

@ohr. Periksa hasil tersebut dengan rumus "!.!!# dan

hasil yang didapat pada b. di atas.

e Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk


40/44

e. Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk

mendapatkan regangan geser bernilai nol, menurut

lingkaran @ohr. Periksa hasil ini dengan persamaan

"!.A#.

(. Besar regangan+regangan utama menurut lingkaran@ohr. Periksa hasil tersebut dengan persamaan+

persamaan "!.6# dan dari hasil pada pada d. di atas.

Penyelesaian9

a# Dari persamaan "!.!A# dan "!.!6# akan didapat9

b. ingkaran @ohr9

!# Buat sumbu eij horisontal.

2# egangan normal terke'il, eyy % +:7:me, sehinggamerupakan titik di dekat batas kiri.

( )

( )

xx

yy

=

=

+ = =

= =

1

2000002"0 0,29.!0 0,29.0 0,001!" 1!"

1

200000!0 0,29.2"0 0,29.0 0,0000 0

( )xy atauxy xy = = + = = =21 0,29 120

2000000,000! ! 1!".


41/44

3# egangan normal terbesar exx% !5Ame, sehingga

merupakan titik di dekat batas kanan.

# Diambil skala !'m % 257me. )emudian ditentukan titik

eyy % +:7:me di sebelah kiri, exx% !5Ame di sebelahkanan dan berjarak "e

xx8 e

yy# dari titik e

yydi sebelah

kiri.

5# ukis sumbu t yang berjarak :7:me di sebelah kanan

titik eyy .

:# Dengan membagi dua sama panjang jarak eyy

ke exx

akan didapat titik P.

?# @enentukan letak titik - pada koordinat "exx ,

exy

# %

"!5A,??#.

A# Dengan mengambil titik pusat di P dan jari+jarisepanjang P-, lingkaran @ohr dapat di+lukis.

6# Dengan menarik garis dari - le/at P yang memotong

lingkaran @ohr di B, akan di dapat kedudukan titik "eyy ,

exy

# % "+:7:,+??#.


42/44

B i lili i b li k @ h


43/44

'. Besar rotasi mengelilingi sumbu z menurut lingkaran @ohr,

dengan mengukur, didapat

max

% 7,5 x 2max

% 7,5 x "+53o# % 2:o37>.

&edangkan menurut persamaan "!.!7# didapattan 2

max % "!5A 8 :7:# F "2 x ??# % 4/3

2max

% 53o7A> atau max

% 2:o3>

d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran @ohr

xy+max % 5,2 x 257 % !377.&edangkan menurut persamaan "!.!!# akan didapat

e. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran @ohr,dengan mengukur, didapat

p% 7,5 x 2

p% 7,5 x 3?o % !Ao37>.


tan 2p

% "2 x !27# F "2A7 8 7# % 3/4

2 % 3:o52> atau % !Ao2:>

maxmax (

2

1

221!" 0) 21!" 1290= = + + = xy


44/44

(. Besar regangan+regangan dasar menurut lingkaran @ohr

!% :,6 x 257 % !?25.

2% +3,5 x 257 % +A?5


( )

( )

1

2

1!" 0

2

1

2

21!" 0 21!" 11

1!" 0

2

1

2

21!" 0 21!" "!

=

=

+ + + =

+ + =

mekanika bahan bab i 2

Documents