mekanika bahan i materi 1

Upload: okta-pariantoro-budi-setiawan

Post on 06-Jul-2015

5.833 views

Category:

Documents


20 download

TRANSCRIPT

MEKANIKA BAHAN I (Mechanics of Materials)Semester II (3 SKS)

1/27/2008

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

1

BUKU ACUANMechanics of Materials R C Hibeller Mechanics of Engineering Materials P P Benham & R J Crawford

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

2

Profil DosenNama Tempat, tgl lahir p , g Pendidikan tertinggi Jabatan Akademik Home Address Email : Prof. Ir. Jamasri, Ph.D : Kudus, 4 Juli 1961 , : Ph.D. in Mech Eng (1993) : Professor (2006) : Pogung Raya 272D Yk : jamasri@ugm ac id [email protected]

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

3

SISTEM PENILAIANTugas & Quiz Mid-Semester End-Semester Justifikasi : 30% : 30% : 40% : A 80 65 B < 80 55 C < 65 40 D < 55 E < 404

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

Sil b SilabusKonsep tegangan Beban aksial tegangan dan regangan g g g g Beban torsi (puntir) Beban Lengkung murni g g Beban transversal Transformasi tegangan dan regangan Defleksi KolomProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 5

G Gaya (b b ) (beban)Gaya aksial :menyebabkan y memanjang/memendek arah aksial

tarik (+) Gaya geser :menyebabkan tergeser searah bebanProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

tekan(-)

6

Momen = gaya x jarakMomen puntir : menyebabkan terpuntirT=Pxl l P

T

Momen Lengkung : menyebabkan melengkungP

MM = P/2 x l lProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

M

7

Konsep teganganGaya aksial tarikP A A = luas penampang yang menahan P l h intensitas gaya yang terbagi p g y y g g pada luasan seluas A disebut tegangan, (sigma) Maka : =

P A

P adalah resultante gaya internal di penampang AProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 8

Satuan TeganganP satuan gaya (N) A satuan luas (m2) = P/A satuan : N/m2

1 N/m2 = 1 pascal (disingkat Pa) 1 kN/m2 = 103 N/m2 = 103 Pa = 1 kPa (kilo newton) (kilo pascal) 1 MPa (mega pascal) = 106 Pa = 106 N/m2 1 GPa (giga pascal) = 109 Pa = 109 N/m2Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 9

Beban aksialTegangan normal : tegangan pada bidang yang tegak lurus dengan arah gaya. =P/A b k tegangan di suatu titik P/A bukan t t pada penampang A, tetapi tegangan rata-rata semua titik pada penampang A Pada umumnya tegangan di suatu titik g g g tidak sama dengan tegangan rata-rata. Dalam praktek, tegangan ini dianggap seragam, kecuali pada titik beban, atau adanya konsentrasi tegangan.Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

tegangan normalP A

P A X Y

Gaya ada di titik X teg di X = besar teg t di Y = 0 Teg. Rata-rata di Penampang A= P/A

10

Contoh Tegangan normalP = 100 ND1 = 10 mm

Hitung tegangan normal Hit t l pada batang 1 dan batang 2 A = D2/4 A1 = 0,0000785 m2 A2 = 0,0003141 m2

1

30o+100V3 2D2 = 20 mm

100

-200

1 = 100V3/0,0000785 = 2206434N/m2 = 2,206 MPa (tarik) 2 = -200/0,0003141 = -636739.89 N/m2 = -0,636 MPa (tekan)Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 11

QUIZ 1 (Waktu: 07.00-07.15) 07 00 07 15)D1 = 15 mm1

45o

F1 = 5 kN

2

F2 = 10 kND2 = 20 mm

Hitung tegangan normal pada batang 1 dan batang 2 dalam MPa gProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 12

Beban geser

Tegangan geserP

P rata2 = A

P A = luas penampang yang menahan beban P h b b Tegangan yang terjadi pada luasan A g g g ( ) disebut tegangan geser, (tau)

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

13

Contoh Tegangan geserP P P P P P

P/2 P/2

P

=

P A

=

P 2A14

Single shearProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

Double shear

Diagram benda bebasSuatu benda yang statis, jika dipotong harus tetap g y (F=0) ) statis resultante gaya = 0 (30+50 = 80 kN Diameter = 30 mm B A Diameter = 20 mm B 30 kN A 50 kN 50 kN

30 kN

30 kN

30 kN

30 A-A= 0,000314 kPaProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

80 B-B= 0,000707 kPa15

Tegangan pada bidang miringBeban aksial tidak hanya menyebabkan tegangan normal, juga tegangan geser jika bekerja pada bidang yang bersudut thd beban thd.P P P P A P A P P P A PA A

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

P A

16

P

P

P

P

P A0

F A V

P

F = P cos V=Ps sin

= F/A = (P cos )/(A0 /cos ) = (P/A0) cos2 pada = 0 = P/A0 (maks) = 90 = 0 Pada maks, maka = P/2A0Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

= V/A = (P sin )/(A0//cos ) = (P/A0) sin .cos = (1/2) (P/Ao) sin2 pada = 0 = 0 = 90 = 0 maksimum di = 45 maks = P/2A017

ContohSuatu pipa baja dimeter luar 300 mm dibuat dari plat setebal 8 mm dengan mengelas melingkar (helix) yang membentuk sudut 20o terhadap bidang tegak lurus sumbu pipa. Bila P = 250 kN tentukan tegak lurus dan sejajar bidang las kN, las. = P 20o 8 mm P Las

A - 250 kN = (do2-di2) 4 = - 34,083 MPa

= cos2 = - 30 1 MPa 30.1Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

= 0,5 sin2 = 10.95 MPa

18

Tegangan ultimate dan tegangan ijinTegangan (beban) ultimate adalah tegangan (beban) maksimum yang bisa terjadi pada bahan hasil pengujian Dalam desain, maka beban yang dikenakan p y g pada komponen mesin p harus lebih kecil dari beban ultimate bahan. Perbandingan antara keduanya disebut faktor keamanan (factor of safety, safety FS) beban _ ultimate FS = beban _ yang _ diijinkan y g j

tegangan _ ultimate FS = tegangan _ yang _ diijinkanProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 19

QUIZ 2 (Waktu: 07.00-07.15) 07 00 07 15)D = . ?

F = 100 kN

Sebuah batang terbuat dari baja dengan kekuatan 500MPa ditarik dengan gaya 100 kN. Jika factor of g g y safety adalah 2, hitung diameter minimal yang diperbolehkanProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 20

Tegangan dan reganganJika suatu benda diberi beban, akan mengalami perubahan bentuk (deformasi) memanjang, memendek, membesar, mengecil dsb.Perubahan panjang = . Semakin besar P, juga semakin besar.

LP

Jika dib t Jik dibuat grafik P - fik

A

P

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

21

Regangan normal karena beban aksialSemakin besar L, pertambahan panjangnya juga semakin besar

L 2L A P

Jika panjang mula mula = L dan luas mula-mula L, penampang konstan, maka deformasi per satuan panjang disebut regangan, , (epsilon) ,( p )

=A 2 P

L

= satuan panjang L=satuan panjang

>

, tanpa satuan

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

22

Satuan reganganTanpa satuan Persen (%) regangan = 10% (dari mula2) mm/m L=10 m = 20 mm m, = 2 mm/m In/in Contoh : Sebuah batang panjang 0,6 m dengan penampang seragam, mengalami deformasi sebesar = 150 m =150 x 10-6 m. Maka regangannya adalah :150 10 = = L 0 ,6

6

= 250 10

6

m / m = 250 10

6

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

23

Diagram tegangan - reganganDiagram yang menunjukkan hubungan antara tegangan dan regangan ( ) tidak sama untuk setiap material. Diagram ini merupakan sifat material yang penting penting. Untuk mendapatkan diagram dari suatu material harus dilakukan uji tarik Spesimen patah u P (M MPa) y B

Lo

Luas = Ao = P/Ao /Lo = /L P

0,004Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

0,2

24

Aluminium Paduan

Diagram tegangan regangan450

u (MP Pa) y

450

u y

(M MPa)

300

300

150

B

150

B

0,0012 0,02

0,2

0,25

0,004 0,2

Baja karbon rendah

Aluminium Paduan

u = tegangan ultimate = kekuatan ultimate y = tegangan yield (luluh) = kekuatan luluh B = tegangan patah = kekuatan patahProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 25

Bahan liat (ductile)450

u (M MPa)300

yluluh Pengerasan regangan necking

150

B

necking

45o

cup cone

0,0012 0,02

0,2

0,25

Bahan liat : baja karbon rendah, aluminium,

Bahan liat tidak tahan geser Patah pada tegangan geser terbesar (sudut 45o)Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

Proses patah spesimen dari material P t h i d i t i l yang liat26

450

u (MPa) y

450

u y

(MP Pa)

300

300

150

B

150

B

0,0012 0,02

0,2

0,25

0,004 0,2

Baja karbon rendah jPada tegangan luluh tegangan konstan walaupun regangan bertambah

Aluminium Paduan Titik luluh tidak jelas

Titik l l h j l Ti ik luluh jelas

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

27

Mencari k k t luluh dengan offset M i kekuatan l l h d ff tu y B

(MPa)

0,2% ofset Bahan yang titik luluhnya tidak jelas Tegangan luluh dicari dengan metode ofset T l l h di i d t d f t Kekuatan luluh pada offset 0,2% Titik potong antara kurva dengan garis yang sejajar dengan bagian lurus dari kurva yang ditarik dari nilai sebesar 0,2% 0 2%

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

28

Ukuran ke liatan (ductility) ke-liatanLB Lo 100 Lo

Persentase perpanjangan =LB: panjang patah Lo : panjang mula-mula

%cup cone

Baja struktur = 20%

Persentase pengurangan luas penampang lAB: luas penampang patah Ao : luas penampang mula-mula

Ao A B = 100 % AoBaja struktur = 60 - 70%

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

29

Bahan G t (b ittl ) B h Getas (brittle)450

u = B u = B

(M MPa)

300

150

0o

0,0012 0,02

Besi tuang, g g gelas, batu (keramik), ( ) bahan komposit, dsb

Bahan getas tidak tahan tarik Patah pada tegangan tarik h d ik terbesar (sudut 0o)Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

Proses patah spesimen dari material P t h i d i t i l yang getas30

Beban tekanBahan liat : kekuatan tekan dan tarik sama (pada tekan tidak ada necking) necking ) Bahan t B h getas : k k t ultimate tekan jauh lebih kekuatan lti t t k j h l bih tinggi daripada kekuatan tarik, karena retak-retak kecil k il yang ada mempengaruhi k k t t ik t t i d hi kekuatan tarik, tetapi tidak mempengaruhi kekuatan tekanProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 31

Tegangan dan regangan yang sesungguhnya Pada diagram , tegangan dan dihitung dg. Persamaan : =P/Ao dan = (L-Lo)/Lo Ao adalah luas penampang mula-mula Tegangan ini disebut : tegangan teknik (engineering stress) g g g g ( g g ) Kenyataannya, Ao semakin kecil (jika beban ditarik) sesungguhnya lebih besar, disebut : tegangan sesungguhnya Demikian juga sebenarnya adalah : = = (L/L) Atau : 450

450

t =

L

(M MPa)

(MPa)

u300 150

u300 150

Lo

dL L =l ln L LoB

yluluh Pengerasan regangan necking

B

yluluh Pengerasan regangan necking

0,0012 0,02

0,2

0,25

0,0012 0,02 0 0012 0 02

0,2 02

0,25 02

Tegangan regangan teknik,Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

Tegangan regangan sesungguhnya32

Hukum HOOK dan Modulus elastisitasPada umumnya elemen struktur (mesin) didesain sedemikian sehingga deformasinya kecil, dan hanya bergerak pada daerah garis lurus pada diagram Pada daerah ini, tegangan berbanding lurus dengan regangan : 450 =E u 300 Persamaan ini disebut : hukum Hook. (Robert Hook, 1635-1703) y Koefisien E disebut modulus elastisitas disebut juga modulus Young 150 ( (Thomas Young, 1773 1829) g, ) (MPa a)

luluh

Karena tanpa satuan, maka satuan E sama dengan satuan

0,0012 Teg

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

33

Kekakuan (stiffness)E menunjukkan mudah-tidaknya bahan berubah bentuk menunjukkan kekakuan (stiffness) bahan E dit j kk oleh k i i ditunjukkan l h kemiringan garis li i pada di i linier d diagram ( = E )

E besar kecil sulit berubah bentuk E kecil

besar mudah berubah bentuk34

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

Batas proporsional

Tegangan terbesar dimana hukum Hook p p masih berlaku disebut batas proporsional bahan. Pada bahan yang luluhnya jelas, maka batas proporsional hampir berimpit dengan p p p p g tegangan luluh Pada beberapa bahan, penambahan bahan paduan, p p perlakuan p panas dan proses pembuatan mengubah kekuatan, duktilitas, ketahanan korosi dsb.

Baja paduan yang diquenced dan ditemper Baja karbon tinggi Baja karbon rendah

besi murni

Kekuatan berbeda, kekakuan sama

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

35

Contoh : Hitunglah perubahan panjang pada batang konis bertangga seperti gambar di bawah. Batang dianggap mempunyai bahan yang sama dengan harga E = 208 GN/ m 2 . g g Jawab : Secara umum persolan di atas dapat diwakili dengan gambar di samping ini. Jari-jari batang dapat dituliskan sebagai berikut b ik t : x r = r -(r - r1 ) L Luas penampang pada setiap r :x Ax = ro (ro r1 ) L Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 36

Jika potongan dx bertambah panjang du akibat pembebanan, maka regangannya menjadi: j di du W 1 = dx Ax E sehingga: L W W L dx u= dx d = x E 0 [r (r r1 ) L ]2 Ax E 0 WL u= Ero r1 Kita aplikasikan pada batang bagian bawah (B) 10000 x0,6 u B == = 0,0319mm 9 208.10 . .0,012.0,006

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

37

Sedangkan untuk batang bagian atas (A) ditentukan terlebih dahulu besar b b d h l b bebannya. Beban tekan : -2. .0,03 = -0,06 MN = -188,5 kN Beban yang bekerja pada batang A : -188,5 + 10 = -178,5 kN 188,5 178,5 Pengurangan panjang pada batang A : 178,5.103.0,6 uA = = 0,0669mm 9 208.10 . .0,0035.0,00175 Perubahan panjang pada batang = -0,0669 + 0,0319 = -0,035 mm 0 035

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

38

Deformasi batang karena beban aksialBatang BC, panjang L dibebani beban terpusat P

L P

Jika tegangan y g timbul tidak melebihi batas g g yang proporsional, maka berlaku hukum Hook :

A

=EAtau :

= /E = P/AE

Mengingat bahwa = /L, atau = L, maka bisa dituliskan

=

PL AE

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

39

Angka poisson (Poisson s ratio) (PoissonsJika suatu batang ditarik pada satu arah : Memanjang pada arah beban x Memendek pada arah tegak lurus beban y Poisson ratio = -y / x Nilai (nu) adalah 00, >0 ditahan kiri-kanan tegangan 0

T P

T + P = 0 (T ) L +P = AE (T )

PL =0 AE

Maka tegangan yang timbul :

P = = E (T ) A43

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

Hubungan Tegangan-Regangan Secara Umum: Untuk memperoleh hubungan antara tegangan dan regangan secara umum dapat dilihat gambar di bawah ini.

a. TeganganProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

b. Regangan44

Untuk tegangan x , y , z :

x = y =z =

x yzE

E

E

(

y

+ z )

E

( z + x )

E E Jika komponen tegangan pada arah z adalah nol, maka kondisi ini disebut dengan kondisi plane stress (tegangan bidang), sedangkan jika komponen regangan pada arah z adalah nol, maka kondisi ini disebut kondisi plane strain (regangan bidang). bidang)

(

x

+ y )

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

45

plane stress: z = 0; z 0 (pelat tipis) plane strain: z = 0; z 0 (pelat tebal)

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

46

Contoh aplikasi: Silinder di di Sili d dinding tipis bertekanan seperti gambar di bawah. i i b k i b b h Tentukan regangan pada arah aksial dan radial. Jawab: Tegangan radial dan aksial pada silinder dinding tipis bertekanan adalah: pr pr x = ; y = t 2t dimana: p = tekanan dalam silinder r = jari-jari rerata t = tebal silinderProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 47

Dari persamaan tegangan-regangan, regangan aksial : x y pr pr pr (1 2 ) x = = = E E 2tE tE 2tE sedangkan regangan radial: y x pr pr pr y = = = (2 ) E E tE 2tE 2te Perbandingan antara regangan radial dengan regangan aksial untuk = 0,3 adalah: dlh y 1,7 = = 4,25 x 0,4

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

48

Harga ini dapat dibandingkan dengan harga:

y x

= 2, ternyata

perbandingan regangan yang t j di jauh lebih besar dari pada b di terjadi j h l bih b d i d perbandingan tegangan. Oleh karena itu, untuk kasus semacam ini perlu diperhatikan batas regangan yang diperbolehkan bahan. l di h ik b di b l hk b h

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

49

QUIZ 3 (W kt 15.00-15.15) (Waktu: 15 00 15 15)D = 20 mm L = 60 mm

5 kN

Sebuah batang terbuat dari baja berdiameter 20 mm dan panjang 60 mm. Batang tersebut mempunyai modulus elastisitas (E) = 200 GPa dan koefisien ekspansi termal ()=11 (10-6). Jika batang dibebani dengan gaya 5 kN, tentukan perubahan suhu yang diperlukan di l k agar panjang batang tidak j b t tid k berubah.

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

50

Sistim Tegangan pada dua bahan atau lebihPendekatan solusi: 1. Persamaan kesembangan gaya 2. Persamaan k 2P kompatibilitas tibilit 3. Hubungan antara beban-deformasi (persamaan konstitutif)

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

51

Interaksi dua bahan diseri:

Bahan a: Ea , a , Aa , a Bahan b: Eb , b , Ab , b Persamaan keseimbangan: Fa = Fb = F Persamaan kompatibilitas: = a + b Hubungan tegangan-regangan:

(1) (2) (3)52

a a = Ea a = Ea a = Ea a la

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

b b = Eb b = Eb b = Eb b lbDari:

(4)

Fa a Fe l a (5) = Ea a = a = la Aa E a Aa Fb b Fb l b (6) = Eb b = b = lb Ab E b Ab Fa l a Fb l b Dari persamaan (2) diperoleh: = + Aa E a Ab E b Jika Aa = Ab = A dan dari persamaan (1) Fa = Fb = F , diperoleh:F la lb = E + E A a b Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 53

Interaksi dua bahan diparalel: p

Persamaan keseimbangan: Fa + Fb = F Persamaan kompatibilitas: a = b =

(1) (2)

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

54

Hubungantegangan-regangan:

Dari:

l l Aa Fb b = = E b Fb = E b Ab l l Ab Dari persamaan (1):

a = Ea a = Ea a = Ea a l b = Eb b = Eb b = Eb l b Fa a = = E a Fa = E a Aa

(3) (4)

Ea Aa

l

+ Eb Ab

l

=F55

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

Fl atau = Ea Aa + Eb Ab gg sehingga: FEa Aa Fa = Ea Aa + Eb Ab FEb Ab dan Fb = Ea Aa + Eb Ab

(5)

(6) (7)

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

56

Contoh 1:Batang baja ACB dipasang dengan pas pada temperatur -50oC. Tentukan tegangan pada bagian AC dan CB dari batang tsb. pada temperatur 25oC ( E baja = 200 GPa, = 12x10-6/oC).T = 25 - (-50) = +75oC A=400mm2 A C A=800mm2 B Deformasi karena temperatur : T =(T)L = (12x10-6/oC) (75oC) (0 6m) (T)L C).(75 C).(0,6m) = 540x10-6 m Deformasi karena gaya yang mengembalikan ke panjang semula :300 mm 300 mm

P1 L1 P2 L 2 R = + A1 E1 A2 E 2T R R = (5,625x10-9 m/N). R = R+T = 0

P1 = P2 = R, L1 = L2 = 300mm, E1 = E2 = 200 GPa

540x10-6 + (5,625x10-9 m/N). R = 0

R = - 96x103 N = - 96 kN

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

AC= R/AAC, CB = R/ACB

57

Contoh 2: Dua buah batang konsentrik terbuat dari baja pada bagian D b hb t k t ik t b t d i b j d b i dalamnya dan tembaga pada bagian luarnya. Jika temperatur berubah dari 10 C ke 100 C, tentukan tegangan aksial pada batang tembaga dan baja. Baja: E s = 205 GN/m 2 ; s = 11.10 6/ C ; As = 600 mm 2 Tembaga: E c = 115 GN/m 2 ; c = 16.10 6/ C ; Ac = 1200mm 2

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

58

Jawab: Persamaan keseimbangan: Fc + Fs = 0 atau c Ac + s As = 0 (1) Persamaan kompatibilitas: c = s atau ( + T )c = ( + T )s (2) Hubungan tegangan-regangan: tegangan regangan:

c = s = c

c

s

Ec

+ c (T To ) + s (T To )

(3) (4)

Es Substitusikan persamaan (3) dan (4) ke persamaan (2): Ec+ c (T To ) =

s

Es

+ s (T To )

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

59

Dari persamaan (1): = sehingga:

c AcAc+ s (T To )

c

Ec

+ c (T To ) =

c AcEs As

1 Ac c + E E A = (T To )( s c ) c s s As Es Ec (T To )( s c ) atau: c = As Es + Ac Ec Ac Ec Es (T To )( s c ) dan s = As Es + Ac Ec

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

60

Tanda (-) menunjukkan bahwa s berlawanan arah dengan c . () j g Jika harga-harga di atas dimasukkan maka akan diperoleh: c = 217MN/ m2 ,

s = 43,4MN/ m

2

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

61

Beban Torsi (puntir)

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

62

Tegangan pada beban puntirT L dA dF P T = P.L

dF = T = dF/dA dF= dA (dA) = T ( dA)

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

63

(dA) = T Tegangan geser tidak hanya timbul pada satu sisi

Pada torsi timbul tegangan geser

Teg. geser

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

64

Deformasi pada poros bulat

Tiap bagian tetap datar dan tidak terjadi distorsi

Poros terpuntir dg. S d puntir, i d Sudut i sebanding dengan T dan LProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

Tiap bagian tidak datar dan terjadi distorsi 65

Distribusi regangan geserDistribusi regangan geser pada poros sepanjang L, dengan jari-jari c dan dipuntir dengan sudut puntir bisa dijelaskan sbb: Kita lihat silinder diameter r dan perhatikan elemen bujursangkar pada permukaannya. Sebelum torsi dikenakan, lurus (gbr. b) Setelah dikenai puntiran terdeformasi (gbr. c.) Timbul regangan geser = sudut antara AB dengan AB g

=

L

max

=

c L

dan dalam radianProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

=

c

max

66

Tegangan pada daerah elastis = G = c

G = Gmax

c

max

max

= G

max

= G

c

max

=

c

max

Tegangan g g g geser berubah linier terhadap jjarak dari pusat p p p poros Untuk poros berlubang :

c

min

max

c1 c2

max

min

c1 = c2

max

Poros pejalProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

Poros berlubang67

Sebelumnya kit d tk persamaan S b l kita dapatkan

(dA) ( dA) = T

Substitusi ke pers. sebelumnya : T= (dA) = maxc

2dA =JTc J T=

2dA adalah momen inersia polarMaka :

max Jc

max

=

Sehingga kita dapat menghitung pada sembarang jarak dari sumbu :

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

=

T J68

Nilai JNilai J untuk poros bulat pejal : untuk poros bulat berlubang :

1 J = c 2

4

1 1 1 4 4 4 4 J = c 2 c1 = ( c 2 c1 ) 2 2 2c c1 c2 Poros bulat pejalProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

Poros bulat berlubang69

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

70

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

71

Patahan bahan liat dan getas

Bahan liat

tidak tahan geser

patah pada teg. Geser terbesar

Bahan getas

tidak tahan tarik

patah pada teg. tarik terbesar

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

72

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

73

Sudut puntir maxc = L

Pada daerah elastis, tegangan luluh tidak tercapai, sehingga berlaku hukum Hook : max = max/G, maka :

max

Tc = = G JG

max

Sehingga sudut p gg puntir bisa dihitung : g

TL = GJProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 74

QUIZ 4: 14.10-14.35 14.10 14.35Sebuah poros akan digunakan untuk mentransmisikan daya sebesar 60 kW pada 60 putaran/detik. T d b d t /d tik Tegangan geser maksimum poros adalah 60 MN/m2 dan factor of safety adalah 2 sedangkan sudut puntir poros tid k f t d l h 2, d k d t ti tidak melebihi 1o untuk setiap 2 m panjang poros, G = 77 GN/m2. GN/ 2 Hitunglah ukuran poros minimal agar tetap aman, jika: 1. Poros pejall 1 P j 2. Poros berlubang dengan perbandingan diameter luar dan dalam d l h 1,5 d d l adalah 1 5Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 75

Poros bertangga (bertingkat)T3 L3 T1 L 1 T2 L2 = + + + ... G1 J 1 G 2 J 2 G3J3

=

i

Ti Li GiJi

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

76

Torsi Pada Poros Bertangga

- Persamaan keseimbangan: T = T1 = T2 - Geometri deformasi: = 1 2 Persamaan (1) dapat ditulis: T =1r1 J1 =

2r2

(1) ( ) (2)J2

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

77

atau:

1 . r14r1 23

=

2 . r24r2 2

1 r2 = 2 r1 sedangkan dari persamaan (2):1 1 L1 2 L2 = + = r + r r1G r2 G G 1 2

(3)

1 L1 2 L2

atau:1 L1 L2 = + G J1 J 2 Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

(4)78

Contoh: Bandingkan t i B di k torsi yang dapat ditransmisikan oleh poros d t dit i ik l h berlubang dengan poros pejal, pada material dengan berat, berat panjang dan tegangan yang diijinkan sama sama. Jawab: Torsi pada poros berlubang:Tlub =

.

r2 . 2

( r24 r14 )

(1)

dan

Tpejal =

r2

r

4

(2)

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

79

Eliminasi diperoleh: p

Tlub = Tpejal r2 . r l2 4 2

4 r2

4 r1 3

(3)4 1

Karena kedua poros mempunyai berat sama, maka:

.r = (r r

)

( (karena panjang poros sama), sehingga persamaan (3) p j g p ), gg p ( ) menjadiTlub r22 + r12 r2 1 = = 1 2 T pejal r2 r r n r2 dimana n = r1Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

(4)

80

Sekarang diambil r =2

r22

r12 ,

r1 dan r2 = n , maka:

r1 r = r n2 2 1

2

atau

r1 = r

(n

n2

1

)

Karena ituTlub n 2 1 = T pejal n n 2 1 misal n = 2, maka:

(

)

Tlub 5 = = 1, 44 Tpejal 2 3

Jadi poros berlubang dapat menerima torsi 44 % lebih tinggi.Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 81

Torsi Pada Poros Konsentris

T = T1 + T2

- Persamaan keseimbangan:

T=

1 r2

(r 2

4 2

r +4 1

)

r 2

r4

(5)

- Geometri deformasi: = 1 = 2 , T1 L T2 L = G1 J1 G2 J 2Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

atau: (6)82

Jika kedua poros mempunyai bahan sama ( G = G1 = G2 ), maka k dimana: T1 dan T2 dapat ditulis dalam 1 dan (r24 r14 ) 1 4 424 T1 J1 r24 1 = = T2 J 2 r4

(7)

sebagai berikut: diperoleh:

2

r2

r3

r2 r1 = 4 r

1 r1 = r

(8)

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

83

Contoh: Tegangan g g g geser yang diijinkan pada baja adalah 55 y g j p j MN/m 2 , Gbaja= 82 GN/m 2 , G kuningan = 41 GN/m 2 . Tentukan: Tmaks dan maks pada kuningan. k

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

84

Jawab: Persamaan keseimbangan: T = Tbaja Tkng Torsi yang dapat ditransmisikan oleh baja: 6 2.55 .10 4 4 Ts = r 0,025 = 169 Nm 0,025 32 r 2 Geometri deformasi: baja = kng pada baja: bajaTL 169 0, 2 = = = 0 , 0108 9 GJ 0 , 025 4 82 .10 32

rad

Karena itu kng = 0 , 0108 radProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

85

GJ Tkng = = L

4110 . .

9

32

0, 05 .0, 0108 0, 3

4

= 906 Nm

Torsi total: 169 + 906 = 1078 Nm Tegangan geser maksimum pada kuningan: Gr 41.109.0,0108 25 2 kng = = = = 36,8 MN/m 3 L 0,3 10

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

86

Torsi Pada Poros KonisSebuah poros konis mempunyai jari-jari terkecil r1 dan terbesar r2 dan panjang L dikenai torsi T seperti T, ditunjukkan pada gambar di bawah.

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

87

Misal: 1 = tegangan geser maksimum pada radius r1 2 = tegangan geser maksimum pada radius r2 = tegangan geser maksimum pada radius r ki d di Torsi:T=

. 1r132

=

. 2 r232

=

. . r 32

= = . r atau: (1) p j g j Jika x adalah panjang elemen kecil berjarak x dari ujung diameter yang besar, radius elemen keci = r dan sudut puntir , sehingga3Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 88

3 1r1

3 2 r2

r2 r1 tetapi: r = r2 x . tg = r2 x L = r2 ax p ( ) (3) 2T (r2 r1 ) (r ax ) 4 x =

T 2 T x = x = JG G r 4

(2)

dimana:

a=

L

, sehingga:

G

2

2T 4 atau: d = G (r2 ax ) dx Sudut puntir total untuk panjang L:2T 4 (r2 ax ) dx = d = 0 0 G 1 2T L 1 3 3 = G 3(r2 r1 ) r1 r2 L LProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 89

Karena it K itu: 2TL r12 r1r2 r22 = 3 3 G 3r1 r2 Untuk r1 = r2 akan diperoleh: p

(

)

(4)

2 T L TL = = 4 G r1 GJ

(5)

yang merupakan persamaan sudut puntir untuk silinder datar.

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

90

Torsi untuk komponen y g p yang tidak bulatmax

Hanya untuk poros penampang bulat penampang tetap datar Untuk penampang yang lain tidak berlaku

Tc T = J

=

TL GJassumsi :

penampang berubah

Contoh : Dengan rumus di atas, maka tegangan pada elemen di sudut poros adalah maksimum. Kenyataannya : Bidang yang tegak lurus sb-y : permukaan bebas tegangan = 0, demikian pula yang tegak lurus sb-z. yz= zx = xy = 0 kenyataannya :t tegangan geser di sudut = 0 d t Pada tepi tidak ada deformasi tegangan = 0

Deformasi maks pada tengah-tengah poros tegangan maksimum di tengah-tengah porosProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 91

Torsi pada plat tebal/balokUntuk plat, maka teg Maks terjadi pada plat teg. tengah-tengah bagian yang lebar Dan sudut puntirnya :

max =

T c1ab 2

=c1 0.208 0 208 0,219 0,231 0,246 0,258 0,267 0,282 0,291 0 291 0,312 0,333

TL c2 ab 3Gc2 0,1406 0 1406 0,1661 0,1958 0,229 0,249 0,263 0,281 0,291 0 291 0,312 0,33392

Dimana c1 dan c2 adalah sebagai berikut : g

a/b 1,0 10 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 50 10,0

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

Torsi pada plat tipis maxT = 2 c1ab

TL = c2 ab 3GKarena a>>b, maka a/b= c1 = c2 = 0,333

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

93

Torsi Pada Silinder Berlubang Berdinding Tipis

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

94

Silinder berdinding tipis dengan jari-jari rerata r, tebal t dan panjang L (lihat gambar diatas), diberikan torsi T pada ujungnya yang menyebabkan silinder terpuntir relatif terhadap aksis longitudinal. Tegangan geser uniform keliling silinder z timbul sebagai reaksi torsi T.

Tegangan geser z pada elemen dinding sebesar: trd memberikan gaya geser sebesar: F = z trd Ini akan mengakibatkan momen reaksi thd aksis netral sebesar: 2 Fr = z tr dProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 95

Torsi total adalah:

T = z t d tr2 0

2

T = z tr 2 2T z = atau: (1) 2 2r t Karena tidak ada tegangan geser yang lain maka z hanya ditulis saja saja. - Dari gambar diatas dapat diperoleh juga : l = r r atau = (2) lProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 96

- Hubungan tegangan regangan geser:

= G = G G r T atau = G = 2 l 2r t

(3) (4)

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

97