mekanika bahan - analisa tegangan bidang

Analisa Tegangan Bidang(tegangan kombinasi normal

dan geser)

Kuliah 14

Mencari tegangan-tegangan utama (tegangan maksimum dan minimum) pada batang yang menderita tegangan

normal dan tegangan geser

cos2θ*τxy)sin2θ2

σy-σx(τx1y1

sin2θ*τxycos2θ2

σyσx2

σyσxσx1

Arah tegangan normal yang tegak lurus dengan sx1 yaitu sy1 adalah

tegangan normal yang berbeda sudut 90o. Nilai tegangan sy1

dapat dihitung dengan memasukkan q = q + 90o.

sin2θ*τxycos2θ2

σyσx2

σyσxσy1

σx-σyτxy θ tg

θ τxy*θyxdθσx

22

02cos22sin1

ss

Untuk mencari tegangan maksimum dan minimum, maka persamaan sx1 dan sy1 diturunkan terhadap q kemudian disamakan dengan nol

σx-σyτxy θ tg

θ τxy*θyxdθσy

22

02cos22sin1

ss

σx-σyτxy θ tg 22

22

max/min 2σyσx

2σyσxσ xy

2

2

2

22cos

2

2sin

xyyx

yx

xyyx

xy

ss

ss

q

ss

q

Dengan memasukkan harga sin2q dan cos 2q maka akan diperoleh smax/min

Untuk mencari tegangan geser maksimum turunkan persamaan x1y1 terhadap q kemudian disamakan dengan nol

xy

yx

tg

θτxy*θσx-σydθ

yxd

ss

q

22

2sin22cos11

xy

yx

tg

ss

q

22

2

2

2

2cos

2

22sin

xyyx

xy

xyyx

yx

ss

q

ss

ss

q

Dengan memasukkan harga sin2q dan cos 2q maka akan diperoleh xymax

22max τxy)

2σy-σx(τ

22max τxy)

2σy-σx(τ

22

max/min 2σyσx

2σyσxσ xy

22

min 2σyσx

2σyσxσ xy

22

max 2σyσx

2σyσxσ xy

2minmaxτmax

ss

Contoh : sebuah titik menderita tegangan sx = 11 MPa, sy = 4 MPa dan xy = 2.8 MPa dengan arah seperti terlihat pada gambar di bawah.1. Tentukan nilai-nilai tegangan pada sudut q = 36o dan gambarkan arah-arah tegangan

tersebut.2. Tentukan dan gambarkan arah tegangan-tegangan utama (tegangan max dan min

pada titik tersebut.

MPa2.463- cos72*8.2)sin722

4-11(τx1y1

MPa 11.244sin72*8.2cos722

4112

411σx1

MPa 756.3sin72*8.2cos722

4112

411σy1

(1)

MPa2.463- cos72*8.2)sin722

4-11(τx1y1

MPa 11.244sin72*8.2cos722

4112

411σx1

MPa 756 . 3 sin72 *8. 2 cos722

4 112

4 11 σy1

(1)

MPa0.000015- cos38.66*8.2)sin38.662

4-11(τx1y1

MPa 11.982sin38.66*8.2cos38.662

4112

411σmax

(2) o

σx-σyτxy θ tg

33.1966.382

8.04118.2*222

qq

MPa018.3sin38.66*8.2cos38.662

4112

411σmin

Perhitungan tegangan normal maksimum,

minimum

(2) Gambar arah tegangan normal maksimum,

minimum

MPa4.482 )cos(-51.34*8.24))sin(-51.32

4-11(τmax

MPa5.7)sin(-51.34*8.2)cos(-51.342

4112

411σx1

(2)oo

xy

yx

tg

67.2534.512

25.18.2

2411

22

qq

ss

q

MPa5.7)sin(-51.34*8.2)cos(-51.342

4112

411σy1

Perhitungan tegangan geser maksimum

(2) Penggambaran tegangan pada saat tegangan

geser mencapai nilai maksimum

(2)MPa482.48.2

2411 2

2

max

MPa982.11482.45.7σmax

MPa018.3482.45.7σmax

MPa482.42

018.3982.11τmax

o

σx-σyτxy θ tg

33.1966.382

8.04118.2*222

qq oo

xy

yx

tg

67.2534.512

25.18.2

2411

22

qq

ss

q

Perputaran sumbu X1

berbeda 45o

o

σx-σyτxy θ tg

33.1966.382

8.04118.2*222

qq oo

xy

yx

tg

67.2534.512

25.18.2

2411

22

qq

ss

q

Pada perhitungan smax/min, akan

dihasilkan nilai x1y1 = 0 (nol)

Pada perhitungan max, akan dihasilkan sx1 =

sy1

o

σx-σyτxy θ tg

33.1966.382

8.04118.2*222

qq oo

xy

yx

tg

67.2534.512

25.18.2

2411

22

qq

ss

q

Berapapun nilai q selalu akan diperoleh sx1+sy1 = smax + smin = sx + sy

Perjanjian arah tegangan dan perputaran sudut q

Contoh : sebuah titik menderita tegangan sx = 11 MPa, sy = 4 MPa dan xy = 2.8 MPa dengan arah seperti terlihat pada gambar di bawah.1. Tentukan dan gambarkan arah tegangan-tegangan utama (tegangan max dan min


MPa0.000015 cos38.66*)8.2()sin38.662

4-11(τx1y1

MPa 11.982sin38.66*)8.2(cos38.662

41-12

4-11σmax

o

σx-σyτxy θ tg

33.1966.382

8.0411

)8.2(*222

qq

MPa018.3sin38.66*)8.2(cos38.662

41-12

4-11σmin


minimum

Gambar tegangan normal maksimum,

minimum

MPa4.482- )cos(-51.34*)8.2(4))sin(-51.32

4-11(τmax

MPa5.7)sin(-51.34*)8.2()cos(-51.342

41-12

4-11σx1

oo

xy

yx

tg

67.2534.512

25.18.2

2411

22

qq

ss

q

MPa5.7)sin(-51.34*)8.2()cos(-51.342

41-12

4-11σy1


Penggambaran tegangan pada saat tegangan

geser mencapai nilai maksimum

Contoh : sebuah titik menderita tegangan sx = 11 MPa, sy = 4 MPa dan xy = 2.8 MPa dengan arah seperti terlihat pada gambar di bawah.1. Tentukan dan gambarkan arah tegangan-tegangan utama (tegangan max dan min


MPa0.000015- 38.66-cos*8.238.66-)sin2

4-11(τx1y1

MPa 982.1138.66-sin*8.238.66-cos2

41-12

4-11σmax

o

σx-σyτxy θ tg

33.1966.382

8.0411)8.2(*222

qq

MPa018.338.66-sin*8.238.66-cos2

41-12

4-11σmin


minimum

Penggambaran tegangan normal maksimum,

minimum

MPa4.482 cos51.34*8.2)sin51.342

4-11(τmax

MPa5.7sin51.34*8.2cos51.342

41-12

4-11σx1

oo

xy

yx

tg

67.2534.512

25.18.2

2411

22

qq

ss

q

MPa5.7sin51.34*8.2cos51.342

41-12

4-11σy1


Penggambaran tegangan pada saat tegangan

geser mencapai maksimum

ContohSebuah balok dengan bentang 16 meter menderita beban terpusat di tengah sebesar 100 kN. Hitung dan gambarkan arah tegangan utama pada titik 1, 2, 3, 4 dan 5 pada jarak 4 meter dari titik A (Potongan I-I).

Contoh

Ix = 1/12 * 0.4*0.83 = 0.0170667 m3

S2 = S4 = 0.4*0.2*0.3 m3= 0.024 m3

S3 = 0.4*0.4*0.2 m3 = 0.032 m3

s1 = 200*0.4/0.0170667 kN/m2 = 4687.491 kN/m2 = 4.688 Mpa (tekan)s2= ½* 4.688 Mpa = 2.344 MPa(tekan)s3 = 0 Mpas4 = 2.344 Mpa (tarik)s5 = 4.688 Mpa (tarik)

Perhitungan tegangan normal

Perhitungan tegangan geser

1 = 0 Mpa 2= 50*0.024/(0.4*0.0170667) kN/m2 = 175.781 kN/m2 = 0.176 MPa3 = 50*0.032/(0.4*0.0170667) kN/m2 = 234.374 kN/m2 = 0.234 MPa 4 = 0.176 MPa5 = 0 MPa

Perhitungan tegangan utama pada titik 1

Pada titik 1, sx = - 4.688 Mpa, xy = 0

Perhitungan tegangan utama pada titik 1 ( DITINJAU TERHADAP s mak/min )


0θ02θ0 tg2θ

MPa688.40cos02

4.688-2

4.688-σx

MPa00cos02688.4

2688.4σy

Mencari tegangan normal max. dan min 2

2

max/min 2σyσx

2σyσxσ xy

INGAT

σx-σyτxy

θ tg22

tegangan normal akan mencapai max. / min jika :

sin2θ*τxycos2θ2

σyσx2

σyσxσx1

sin2θ*τxycos2θ2

σyσx2

σyσxσy1


MPa344.2cos(90)2

-4.6882

-4.688σx1

MPa344.2cos(90)2688.4

2688.4σy1

o45θ902θ02

4.688

tg2θ

MPa2.344 )sin(90)2

-4.688(τmax

Perhitungan tegangan utama pada titik 1( DITINJAU TERHADAP mak/min )

INGATtegangan geser akan mencapai max. / min jika :

sin2θ*τxycos2θ2

σyσx2

σyσxσx1

sin2θ*τxycos2θ2

σyσx2

σyσxσy1

xy

yx

tg

ss

q

22

cos2θ*τxy)sin2θ2

σy-σx(τx1y1

22max τxy)

2σy-σx(τ

Pada titik 2, sx = - 2.344 Mpa, xy = - 0.176 MPa


sX=2.344 MPaX

Y

sX=2.344 MPa2

xy = 0.176 MPa

xy = 0.176 MPa

yx = 0.176 MPa

yx = 0.176 MPa

MPa357.2)54.8sin176.0(cos8.542

-2.3442

-2.344σmax


o

σx-σyτxy θ tg

27.454.82

15.0344.2

176.0*222

qq

MPa013.0)54.8sin176.0(cos8.542

-2.3442

-2.344σmin


sX=2.344 MPaX

Y

sX=2.344 MPa2

xy = 0.176 MPa

xy = 0.176 MPa

yx = 0.176 MPa

yx = 0.176 MPa

MPa172.1))46.81sin(176.0()cos(-81.462

-2.3442

-2.344σx1

o73.04θ46.182θ659.60.176-

2344.2

tg2θ

MPa172.1))46.81sin(176.0()cos(-81.462

-2.3442

-2.344σy1

MPa1.185- ))cos(-81.46*176.0(6))sin(-81.42

-2.344(τmax



sX=2.344 MPaX

Y

sX=2.344 MPa2

xy = 0.176 MPa

xy = 0.176 MPa

yx = 0.176 MPa

yx = 0.176 MPa


sX=2.344 MPaX

Y

sX=2.344 MPa2

xy = 0.176 MPa

xy = 0.176 MPa

yx = 0.176 MPa

yx = 0.176 MPa


Pada titik 3, sx = 0 , xy = - 0.234 MPa



oo

σx-σyτxy θ tg

45902

0234.0*222

qq

MPa234.0)90sin234.0(σmax

MPa234.0)54.8sin176.0(σmin



o0θ02θ0.234-

20

tg2θ

0σx1 0σy1

MPa0.234- cos(0))*234.0(0τmax


Pada titik 4, sx = 2.344 , xy = - 0.176 MPa



oo

σx-σyτxy θ tg

27.454.82

15.0344.2

176.0*222

qq

MPa357.2)54.8sin176.0(8.54-cos2

2.3442

2.344σmax

MPa013.0)54.8sin176.0(8.54-cos2

2.3442

2.344σmin


MPa172.1)46.81sin176.0(cos81.462

2.3442

2.344σx1

o73.04θ46.182θ659.60.176-

2344.2

tg2θ

MPa172.1)46.81sin176.0(cos81.462

2.3442

2.344σy1

MPa1.185- cos81.46)*176.0()sin81.462

2.344(τmax



Pada titik 5, sx = 4.6884 , xy = 0


Pada titik 5, sx = 4.6884 , xy = 0

0θ02θ0 tg2θ

MPa688.40cos02

4.6882

4.688σmax

MPa00cos02688.4

2688.4σmin


Pada titik 5, sx = 4.6884 , xy = 0

MPa344.2cos(90)2

4.6882

4.688σx1

MPa344.2cos(90)2688.4

2688.4σy1

o45θ902θ02

4.688

tg2θ

MPa2.344- )sin(90)2

4.688(τmax

Perubahan arah tegangan utama pada

titik 1 - 5

Jawaban Soal Ujian 20111 No 1 (50%)

Pada gelagar roll-sendi bekerja muatan merata q = 25 kN/m dan gaya normal eksentris tekan P = 4650 kN. Gaya P mempunyai eksentrisitas terhadap sumbu x sebesar e. Apabila perilaku tegangan-regangan bahan seperti tergambar, maka:•Gambarkan bidang momen dan bidang normal gelagar tersebut dan tentukan letak penampang kritis. •Tentukan besarnya tegangan pada serat teratas dan terbawah penampang tersebut sebagai fungsi eksentrisitas e, dalam MPa. •Tentukan besarnya nilai eksentrisitas minimum agar gelagar tersebut aman. •Berikan evaluasi pengaruh gaya normal eksentris tersebut terhadap perilaku tegangan gelagar.

1000 kN/m2 = 1 MPa1 N/mm2 = 1 MPa1*10-3 kN / 10-6 m2 = 1MPa → 1000 kN/m2 = 1MPa

W = 1/6 * b * h2 = 1/6 * 400 * 6002 = 24 x 106 mm3 = 0.024 m3

A = b*h = 400*600 = 240000 mm2 = 0.24 m2

s1 = 4650/0.24 = 19375 kN/m2 = 19.375 MPa.s2 = MP/W = 4650*10-3e/0.024 =193.75e kN/m2 = 0.19375e Mpa (tarik)s3 = MP/W = 4650*10-3e/0.024 =193.75e kN/m2 = 0.19375e Mpa (tekan)s4 = Mq/W = 1250/0.024 =52083.333 kN/m2 = 52.083 Mpa (tekan)s5 = Mq/W = 1250/0.024 = 52083.333 kN/m2 = 52.083 Mpa (tarik)

Serat atas tertekan :s1 +s4 – s2 ≤ 4519.375+52.083 – 0.19375 e ≤ 45 71.458 - 0.19375 e ≤ 45 0.19375 e ≥ 26.458e ≥ 136.557 mm

Serat atas tertekan :s2 - s1 - s4 ≤ 40.19375 e – 19.375 – 52.083 ≤ 4 0.19375 e ≤ 75.458 e ≤ 389.46 mm

Serat bawah tertekans1 + s3 – s5 ≤ 45 19.375 + 0.19375 e – 52.085 ≤ 450.19375 e ≤ 77.71e ≤ 401.08 mm

Serat bawah tertariks5 - s1 - s3 ≤ 452.085 – 19.375 - 0.19375 e ≤ 40.19375 e ≥ 28.71e ≥ 148.18 mm

148.18 ≤ e ≤ 389.46

e minimum = 148 mmJarak e maksimum = 300 mm

Jawaban Soal Ujian 2011 No 2 (50%)Balok di atas tumpuan sendi dan roll dengan bentang 10 meter menderita beban merata q = 50 kN/m dan beban terpusat P = 100 kN. Balok juga menderita beban normal N = 1000 kN pada titik K. Penampang balok terlihat seperti pada potongan I-I.1. Hitung dan gambarkan tegangan utama pada posisi momen

maksimum pada posisi titik A.2. Hitung dan gambarkan tegangan utama pada posisi gaya geser

maksimum pada posisi titik A.

VS = (100*4.5+50*10*5)/10 = 295 kNVR = (100*5.5+50*10*5)/10 = 305 kN

Posisi 5.5 m dari tumpuan S.D1 = 295 – 50*5.5 = 20 kN D2 = 20 – 100 = -80 kNM = 295*5.5-0.5*50*5.52 = 866.25 kNm

A = 40*70-2*10*40 = 2000 cm2 = 0.2 m2

Ix = 1/12*40*703-2*1/12*10*403 = 1036666.667 cm4 = 0.010367 m4

Ix = 2*1/12*40*153+ 1/12*20*403+2*40*15*(35-7.5)2 = 1036666.667 cm4 = 0.010367 m4

SA = 40*15*(35-7.5) = 16500 cm3 = 0.0165 m3

A = 0.2 m2 Ix = 0.010367 m4

SA = 0.0165 m3Pada posisi Momen

maksimum :ML = 866.25 kNmN = 1000 kNex = 30 cm = 0.3 mMex = 300 kNmMR = 566.25 kNmD = 80 kN

sA = 1000/0.2 + 566.25*0.2/0.010367 = 15924.08604 kN/m2 = 15.924 Mpa (tekan).

A = 80*0.0165/(0.2*0.010367) = 636.635 kN/m2 = 0.637 MPa.

A = 0.2 m2 Ix = 0.010367 m4

SA = 0.0165 m3Pada posisi D maksimum :

ML = 0 kNmN = 1000 kNex = 30 cm = 0.3 mMex = 300 kNmD = 305 kN

sA = 1000/0.2 - 300*0.2/0.010367 = -787.595 kN/m2 = -0.788 Mpa (tarik).

A = 305*0.0165/(0.2*0.010367) = 2427.173 kN/m2 = 2.427 MPa.

A = 305/80*0.637 = 2.429 MPa.

MPa949.15))574.4sin(637.0()cos(-4.5742

-15.9242

-15.924σx1

o287.2θ574.42θ08.015.924-

637.0*2tg2θ

MPa025.0))574.4sin(637.0()cos(-4.5742

-15.9242

-15.924σy1

0 MPa0.00003 ))cos(-4.574*637.0(4))sin(-4.572

-15.924(τx1y1

σx-σyτxy θ tg 22

Pada posisi Momen maksimum :ML = 866.25 kNmN = 1000 kNex = 30 cm = 0.3 mMex = 300 kNmMR = 566.25 kNmD = 80 kNsA = 1000/0.2 + 566.25*0.2/0.010367 = 15924.08604 kN/m2 = 15.924 Mpa (tekan).

A = 80*0.0165/(0.2*0.010367) = 636.635 kN/m2 = 0.637 MPa.

sin2θ*τxycos2θ2

σyσx2

σyσxσx1

cos2θ*τxy)sin2θ2

σy-σx(τx1y1

sin2θ*τxycos2θ2

σyσx2

σyσxσy1

?max σ MPa 15,924σx MPa 0σy

MPa637,0τxy

MPa962.7))426.85sin(637.0()cos(85.4262

-15.9242

-15.924σx1

o713.42θ426.852θ499.12(0.637)*2

924.15tg2θ

MPa962.7))426.85sin(637.0()cos(85.4262

-15.9242

-15.924σy1

MPa7.987 ))cos(85.426*637.0(6))sin(85.422

-15.924(τmax

?τmax

xy

yx

tg

ss

q

22

sin2θ*τxycos2θ2

σyσx2

σyσxσx1

cos2θ*τxy)sin2θ2

σy-σx(τx1y1

sin2θ*τxycos2θ2

σyσx2

σyσxσy1

MPa 15,924σx

MPa 0σy

MPa637,0τxy

MPa962.7))426.85sin(637.0()cos(85.4262

-15.9242

-15.924σx1

o713.42θ426.852θ499.12(0.637)*2

924.15tg2θ

MPa962.7))426.85sin(637.0()cos(85.4262

-15.9242

-15.924σy1

?τmax

xy

yx

tg

ss

q

22

sin2θ*τxycos2θ2

σyσx2

σyσxσx1

sin2θ*τxycos2θ2

σyσx2

σyσxσy1

MPa 15,924σx

MPa 0σy

MPa637,0τxy

MPa987,7)637,0()2

0- 15,924-(τ 22max

22max τxy)

2σy-σx(τ

Gambar Tegangan utama pada posisi momen maksimum

MPa855.2))786.80sin(429.2()cos(80.7862

0.7882

0.788σx1

MPa067.2))786.80sin(429.2()cos(80.7862

0.7882

0.788σy1

o393.40θ786.802θ165.60.788

429.2*2tg2θ

cos2θ*τxy)sin2θ2

σy-σx(τx1y1

sin2θ*τxycos2θ2

σyσx2

σyσxσy1

σx-σyτxy

θ tg22

sin2θ*τxycos2θ2

σyσx2

σyσxσx1

?max σPada posisi geser maksimum

0 MPa0.00002 ))cos(80,786*429.2(6))sin(80,782

0-0,788(τx1y1

MPa 0,788σx

MPa 0σy

MPa429,2τxy

MPa394.0))214.9sin(429.2()cos(-9.2142

0.7882

0.788σx1

MPa394.0))214.9sin(429.2()cos(-9.2142

0.7882

0.788σy1

o607.4θ214.92θ162.02.429*2788.0tg2θ

MPa2.461 ))cos(-9.214*429.2(4))sin(-9.212

0.788(τmax

?τmax

xy

yx

tg

ss

q

22

MPa 0,788σx

MPa 0σy

MPa428,2τxy

sin2θ*τxycos2θ2

σyσx2

σyσxσx1

cos2θ*τxy)sin2θ2

σy-σx(τx1y1

sin2θ*τxycos2θ2

σyσx2

σyσxσy1

Gambar Tegangan utama pada posisi geser maksimum

Terima KasihSemoga Allah yang maha

pengasih dan maha penyayang selalu melimpahkan rahmat

dan karunia-Nya kepada saudara/i sekalian sehingga

sukses menempuh ujian mata kuliah ini

Windu Partono - 2012

mekanika bahan - analisa tegangan bidang

Documents