TEGANGAN TARIK dan KOMPRESI PADA PENAMPANG MIRING

PP

p

q

P

p

q

n

xS

Batang yang mendapat beban P dipotong miring menurut penampang p-q keadaan seimbang terjadi karena gaya P = gaya tegang pada penampang p-q tsb.

A

Maka:

cos

ASP

sehingga :

cosA

PS

dimana : P = gaya axial, S = tegangan pd penamp. miring1

Bila x adalah tegangan batang (dipotong normal terhadap sumbu x), maka :

cosxx SA

P dan

Dari persamaan diatas tampak bahwa : semakin besar sudut harga S semakin kecil, dan S = 0 untuk = /2,

serta S = x untuk = 0

Tegangan S pada penamp. p-q mempunyai komponen kearah normal dan kearah tangensial :

Komponen kearah normal tegangan normal (n),

Komponen kearah tangensial tegangan geser ()

2

Tegangan normal :

P

p

q

n

xS

n

2coscos xn S

Tegangan geser : 2sin2

1sincossin xxS

3

Tegangan normal maksimum terjadi pd harga = 0, yaitu :

xmaksn )(

Tegangan geser maksimum terjadi pd harga = 45o, yaitu :

xmaks 2

1

4

Bila diperhatikan penampang p-q dan p1-q1 dan batang ditarik dengan gaya P, maka tegangan pada elemen batang adalah seperti pada gambar.

P P

p

q

p1

q1

n

n

(+) (+)

Tegangan normal yg terjadi n diberi tanda positif,

tegangan geser pada penamp. p-q dan p1–q1

menimbulkan kopel searah putaran jarum jam diberi tanda positif.

5

ANALISA TEGANGAN KONDISI 2 DIMENSI dan 3 DIMENSI

• Bila diasumsikan tegangan-teganganx, y

dan xy diketahui, maka dapat dihitung kondisi tegangan pada bidang miring dengan sudut terhadap sumbu x seperti pada gambar dibawah .

• Untuk sembarang sudut didapat harga

dan

Transformasi Tegangan 2 Dimensi

6

Tegangan 2 Arah pada Bidang Miring

y

xx

x

y

y

xy

xy

yx

yx

y

xx

y

xyyx

dxdy

7

• Tegangan normal dan tegangan geser pada bidang miring tersebut dapat dihitung dengan persamaan :

cos2θsin2θ22 τσ xy

σyσxσyσx

cos2θsin2θ2 ττ xy

yx σσ

8

• Untuk suatu harga tertentu diperoleh harga maksimum dan minimum = 0

2xy

2yxyx

maks 22

22

22min

xy

yxyx

9

Tegangan maksimum dan minimum pada bidang

miring tersebut tegangan utama (principal

stress)

Dimana :

1 = tegangan utama maksimum

2 = tegangan utama minimum

2

xy

2

yyxxyyxx

21 22

,

10

Arah Tegangan Utama (Directions of Principal Stress) :

2

2tan

yx

xyp

Tegangan Utama (1)

Tegangan Utama (2)

p

p

2

1

11

Atau dapat dihitung dengan rumus :

Pada sudut tertentu akan diperoleh tegangan geser maksimum :

22

2, xyyyxx

minmaks

221

maks

12

Arah tegangan geser maksimum pada bidang miring :

s

s

½(x + y)

½(x + y)

½(x + y)

½(x + y)

xy

yx

s

2

2tan

13

Menghitung Tegangan Utama 2 Dimensi (Biaxial Stress) dgn Lingkaran MOHR

xx

yy

2

1

max xy

Sumbu utama I

Sumbu utama II

2θθ1

1

2

xx

xx

yy

yy

xy

yx

Lingkaran MOHR

2

xy

xy

14

Menggambarkan seluruh gaya yang bekerja

pada benda kerja Diagram Benda Bebas (Hk.

Statika Newton)

Meninjau keadaan tegangan pada suatu elemen

kecil di daerah tertentu pada benda kerja

daerah deformasi (khusus untuk pembentukan

logam deformasi plastis)

Langkah – Langkah Dasar Analisa Tegangan untuk menentukan TEGANGAN UTAMA :

15

Kondisi tegangan pada elemen secara umum :

16

xx , yy , zz , xy ,yz , zx ,yx ,zy , xz

dimana :

xy = yx , yz = zy , zx = xz

Tegangan pada Sebuah Titik (Multiaxial Stress)

x

y

z

x

y

y

x

z

z

xy

yx

xz

zy

yz

zx

x

y

z

xx

yy

yy

xx

zz

zz

xy

yx

xz

zy

yz

zx

17

Tegangan yang bekerja pada sebuah titik dalam

kondisi 3 dimensi dapat ditulis dalam bentuk matrik

sbb :

333231

232221

131211

ij

= tegangani,j = 1,2,3

18

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

Bila angka indeks (1,2,3) pada i,j diganti dengan arah

sumbu (x,y,z) dengan angka indeks yang sama

menjadi tegangan normal , sedangkan angka indeks

yang tidak sama menjadi tegangan geser :

19

Kondisi tegangan 2 dimensi Lingkaran Mohr

Kondisi tegangan 3 dimensi Lingkaran Mohr tidak bisa dipakai, kecuali kedua tegangan geser yang lain = 0

Menghitung ketiga tegangan utama :

20

x

y

z

zz

xx

xx

yy

yy

zz

xz

xy

zx

yxyz

zx

Menghitung Tegangan Utama 3 Dimensi(Multiaxial Stress)

xx

zz

xy

xz

yx

yz zxzy

x

y

z

O

K

L

J

YY

21

xx

zz

xy

xz

yx

yz zxzy

x

y

z

O

K

L

J

YY

Bidang miring KJL Bidang Utama (Luas KJL = A)

Arah tegangan cosinus arah l, m dan n (sudut antara dengan

sumbu x, y, z) l = cos , m = cos , n = cos Komponen dalam masing-masing sumbu Sx, Sy, Sz

x

y

z

m

l

n

Sx

Sy

Sz

O

22

Karena seimbang jumlah gaya dalam masing-masing sumbu = 0

Komponen : Sx = .l Sy = .m Sz = . n

Luas : KOL = A.l JOK = A.m JOL = A.n

Jumlah gaya dalam arah sumbu x :

.A.l – xx.A.l – yx. A.m – zx.A.n = 0

( – xx) l – yx.m –zx.n = 0

23

Arah sumbu y : – yx.l + ( – yy). m –zy.n = 0

Arah sumbu z : – xz.l –yz.m + ( – zz). n = 0

Ketiga persamaan diatas adalah persamaan linear homogen dalam l, m, n , penyelesaian pers. tsb dengan membuat determinannya = 0

Arah sumbu x : ( – xx). l – yx.m –zx.n = 0

24

- xx

- yy

- zz

- yx - zx

- xy - zy

- xz- yz

= 0

Membuat determinannya = 0

25

Solusinya persamaan pangkat 3 dalam Tegangan

Utama ():

3 – (xx + yy + zz) 2 + (xxyy + yyzz+ xxzz – xy2 –

yz2 –xz

2) - (xxyyzz + 2 xyyzxz – xxyz2 – yyxz

2-

zzxy2) = 0

26

3 – I1 2 + I2– I3 = 0

dimana koefisien invarian I1,2,3 adalah :

I1 = (xx + yy + zz)

I2 = (xxyy + yyzz+ xxzz – xy2 – yz

2–xz2)

I3 = (xxyyzz + 2 xyyzxz – xxyz2 – yyxz

2-zzxy2)

Persamaan Tegangan Utama tsb diatas dapat ditulis sbb :

27

Akar pers pangkat 3 dalam fungsi teg utama dapat diperoleh dengan cara trial and error, atau dapat menggunakan rumus seperti dibawah ini :

28

Akar pers pangkat 3 dalam fungsi teg utama dapat diperoleh dengan cara trial and error, atau dapat menggunakan rumus seperti dibawah ini :

29

)cos( 22111 I3I2I

3

1

)cos(

3

4I3I2I

3

12

2113

)cos(

3

2I3I2I

3

12

2112

Dimana :

II

IIII

221

32131arccos

32

279231

30

Arah tegangan utama dalam bentuk cosinus (l,n,m) :

1nml 222

0

0

1

1

zyyyxy

zxyxxx

n

m

n

ln

m

n

l

31

Tegangan Utama (dalam kondisi 3 dimensi)

1

2

2

3

3

1, , 3 = tegangan utama

x

y

z

x

y

y

x

z

z 1

xy

yx

xz

zy

yz

zx

32

CONTOH SOAL (1) :

Sebuah batang lurus mempunyai penampang uniform A mendapat beban gaya tarik axial P.

Tentukan :

a)Tegangan normal dan tegangan geser yang bekerja pada suatu bidang miring dengan sudut terhadap sumbu batang (ccw).

b)Besar dan arah tegangan gesar maksimum pada batang tersebut.

33

Penyelesaian :

Tegangan normal terhadap sumbu batang x

= P/A, luas penampang miring dengan sudut terhadap sumbu batang = A/sin kondisi keseimbangan gaya pada arah sumbu batang :

A P

x

P

'

m

n

)/Asin (P 'atau P(A/sinθ' σσ )

34

= ’ cos dan = ’ sin

'

P

Untuk x = P/A , maka :

= x sin cos dan = x sin2

35

Dari trigonometri :

sin 2= 2sincos dan sin2 = (1- cos 2)/2

Maka harga dandapat ditulis menjadi :

2sin2

1x )2cos1(

2

1x dan

Harga akan maksimum bila = 45o, akan maksimum bila = 90o

36

CONTOH SOAL (2)

Luas penampang sebuah batang adalah 850

mm2 mendapat beban gaya tarik axial sebesar 60 kN pada kedua ujungnya.

Tentukan : tegangan normal dan tegangan geser pada bidang miring dengan sudut = 30o terhadap arah beban.

37

Penyelesaian :

Ditanyakan : tegangan normal dan tegangan geser pada bidang miring dengan sudut = 30o terhadap arah sumbu beban

Penyelesaian :

MPax

A

P6,70

850

1060 3

x

Diketahui : luas penampang batang A = 850 mm2, beban gaya axial P = 60 kN

38

= 30o

30,6 MPa

= 17,65 MPa

P=60 kN

2x2

1 sin )2x2

1 cos1( dan

MPao 65,1760cos16,702

1

MPao 6,3060sin6,702

1

39

CONTOH SOAL (3)

Luas penampang sebuah batang adalah 850

mm2 mendapat beban gaya tarik axial sebesar

60 kN pada kedua ujungnya.

Tentukan : tegangan geser maksimumnya

40

CONTOH SOAL (4) :

Jelaskan pada soal diatas dengan menggunakan penyelesaian secara grafis

Sebuah batang lurus mempunyai penampang uniform A mendapat beban gaya tarik axial P.

Tentukan :

a)Tegangan normal dan tegangan geser yang bekerja pada suatu bidang miring dengan sudut terhadap sumbu batang (ccw).

b)Besar dan arah tegangan geser maksimum pada batang tersebut.

41

CONTOH SOAL (5) :

Sebuah elemen kecil pada suatu komponen mendapat beban multiaxial sebagai berikut :

ksiij

553

5107

372

Ditanyakan :a)Gambar kondisi tegangan multiaxial pada elemen kubus tersebutb)Cos arah (l,m,n) dari tegangan utama

42

Penyelesaian :

43

Tegangan normal dan tegangan geser pd penampang miring pq dari suatu batang tarik :

2sincos212

xxn dan

Harga2 n dan dapat dicari secara grafis bila

besarnya x dan diketahui, dengan cara berikut :

Penyelesaian :

x

y

z

xx= 2ksi

yy = 10 ksi

yy = 10 ksi

xx = 2ksi

zz = -5 ksi

zz = -5 ksi1

xy = 7 ksi

yx

xz

zy

yz

zx

44

xx = 2 ksi , yy = 10 ksi, zz = -5 ksi,

xy = 7 ksi, yz = 5 ksi, zx = -3 ksi

dimana koefisien invarian I1,2,3 adalah :

I1 = (xx + yy + zz) = 3 ksi

I2 = (xxyy + yyzz+ xxzz – xy2 – yz

2–xz2)

= - 143 (ksi)2

I3 = (xxyyzz + 2 xyyzxz – xxyz2 – yyxz

2- zzxy2)

= 95 (ksi)3

Sehingga :

45

Arah tegangan utama :

46

n = 0.183

47