BAB I

TEGANGAN DAN REGANGAN

1.1. Tegangan

Dalam mekanika bahan, pengertian tegangan tidak sama dengan

vektor tegangan. Tegangan merupakan tensor derajat dua, sedangkan

vektor, vektor apapun, merupakan tensor derajat satu. Besaran skalar

merupakan tensor derajat nol. Tensor ialah besaran fisik yang

keadaannya pada suatu titik dalam ruang, tiga dimensi, dapat

dideskripsikan dengan 3n komponennya, dengan n ialah derajat tensor

tersebut. Dengan demikian, untuk persoalan tegangan tiga dimensi pada

suatu titik dalam ruang dapat dideskripsikan dengan 32 komponennya.

Pada sistem koordinat sumbu silang, tegangan tersebut adalah xx , yy ,

zz , txy , tyx , txz , tzx , tyz , dan tzy seperti ditunjukkan pada Gambar

1.1(a). Namun demikian, karena txy = tyx , txz = tzx dan tyz = tzy ,

maka keadaan tegangan tersebut dapat dinyatakan dengan enam

komponennya, xx , yy , zz , txy , txz , tyz. Sedangkan untuk tegangan

bidang, dua dimensi, pada suatu titik dapat dideskripsikan dengan 22

komponennya, Gambar 1.1(b), dan karena tij = tji untuk maka tiga

komponen telah dapat mendeskripsikan tegangan bidang pada titik itu.

Pada dasarnya, tegangan secara garis besar dapat diklasifikasikan

menjadi dua, yakni tegangan normal, dengan notasi sij , i = j, serta

tegangan geser dengan notasi tij , . Perhatikan penulisan pada

paragrap di atas. Karakter indek yang pertama menyatakan bidang

tempat bekerjanya gaya, sedangkan karekter indek yang kedua

menyatakan arah bekerjanya vektor tegangan tersebut. Tegangan

normal ialah tegangan yang bekerja tegak lurus terhadap bidang

pembebanan. Sedangkan tegangan geser ialah tegangan yang bekerja

sejajar dengan bidang pembebanan. Jadi keenam tegangan yang

mendeskripsikan tegangan pada suatu titik terdiri atas tiga tegangan

normal, xx , yy , dan zz , serta tiga tegangan geser, txy , tyz , dan

tzx. Nilai tegangan bisa positif dan bisa pula negatif. Tegangan

bernilai positif bila tegangan tersebut bekerja pada bidang positif

dengan arah positif, atau bekerja pada bidang negatif dengan arah

negatif. Selain itu, nilainya negatif.

Besar tegangan rata-rata pada suatu bidang dapat didefinisikan sebagai

intensitas gaya yang bekerja pada bidang tersebut. Sehingga secara

matematis tegangan normal rata-rata dapat dinyatakan sebagai

i = j (1a)

= tegangan normal rata-rata (N/mm2 = MPa)

Fn = gaya normal yang bekerja (N)

A = luas bidang (mm2)

i, j = sumbu koordinat pada sistem sumbu silang, x, y, z

ij

ijnF

A =

Sedangkan tegangan geser rata-rata dapat dinyatakan sebagai

(1b)

= tegangan geser rata-rata (N/mm2 = MPa)

Ft = gaya tangensial atau sejajar bidang yang bekerja (N)

A = luas bidang (mm2)

i, j = x, y, z

ijtF

Ai jt = ,

ijt

Bila bidang yang menerima pembebanan tersebut dipersempit sampai

akhirnya mendekati nol, dalam artian limit maka akan didapat tegangan

pada suatu titik. Sehingga secara matematis tegangan normal pada

suatu titik dapat dinyatakan

i = j (2a)

ijA

n nF

A

d F

dA = =

D

D

D0lim

Sedangkan tegangan geser pada suatu titik, secara matematis dapat

dinyatakan sebagai

(2b)

ij

A

t tF

A

d F

dAi jt = =

D

D

D0lim ,

1.2. Regangan

Seperti halnya tegangan, regangan juga merupakan tensor

derajat dua. Dengan demikian keadaan regangan ruang, tiga dimensi,

pada suatu titik dapat dideskripsikan dengan kesembilan komponennya.

Pada sistem koordinat sumbu silang, regangan tersebut adalah exx , eyy

, ezz , gxy , gyx , gxz , gzx , gyz , dan gzy , sebagaimana ditunjukkan pada

Gambar 1.2(a). Regangan juga dapat diklasifikasikan menjadi dua,

yakni regangan normal, dengan notasi eij , i = j, serta regangan

geser dengan simbul ij , . Sebagaimana dengan tegangan, gxy = gyx ,

gxz = gzx dan gyz = gzy , maka keadaan regangan ruang pada suatu

titik dapat dinyatakan oleh enam komponen, yakni exx , eyy , ezz , gxy ,

gyz , gzx. Sedangkan regangan bidang, dua dimensi, dapat dideskripsikan

dengan 22 komponennya, dan karena gij = gji maka regangan bidang

pada suatu titik dapat dideskripsikan dengan hanya tiga komponen,

Gambar 1.2(b).

Regangan normal merupakan perubahan panjang spesifik. Regangan

normal rata-rata dinyatakan oleh perubahan panjang dibagi dengan

panjang awal, atau secara matematis dapat dituliskan

, i = j (3)

iji

i

i

i

l

l

u

le = =

D

= regangan normal rata-rata

Dl = u = perubahan panjang pada arah (mm)

l = panjang awal pada arah (mm)

i, j = sumbu koordinat pada sistem sumbu silang, x, y, z.

Sedangkan regangan geser merupakan perubahan sudut dalam radial.

Regangan geser bernilai positif bila sudut pada kuadran I dan atau

kuadran III pada sistem koordinat sumbu silang mengecil, Gambar

1.3(a), sedangkan selain itu bernilai negatif.

ije

1.3. Transformasi Tegangan Bidang

Tegangan dapat ditransformasi dari suatu set sumbu koordinat ke

set sumbu koordinat lainnya. Dengan transformasi pula dapat dicari set

sumbu koordinat pada suatu titik yang memberikan tegangan utama dari

kondisi tegangan yang telah diketahui di titik itu. Yang dimaksud

dengan tegangan utama ialah tegangan yang hanya memiliki nilai tidak

nol untuk tegangan normal saja, sedangkan nilai tegangan gesernya nol.

Dengan demikian juga dimungkinkan transformasi tegangan dari sistem

koordinat sumbu silang (x, y, z), Gambar 1.4(a), ke sistem koordinat

polar (r, q, z), Gambar 1.4(b).

Transformasi tegangan bidang berdasarkan pada keseimbangan gaya-

gaya yang bekerja pada elemen. Perhatikan Gambar 1.5(b) berikut.

(1.4a)

S xF ' = 0

x x xy yy xyA A A A' '. ( . sin )cos ( . sin )sin ( . cos )sin t q q q q t q q- - -

( )- =xx A q q. cos cos 0

x x xx yy xy' ' cos sin sin cos q q t q q= + +2 2

2

Dengan memasukkan harga (90o + q) untuk harga q pada

persamaan (1.4a), sehingga dengan identitas-identitas:

2 2 290 90 90cos ( ) (cos cos sin sin )o o o sin+ = - =q q q q

2 2 290 90 90sin ( ) (sin cos cos sin )o o o cos+ = + =q q q q

sin( )cos( ) (sin cos cos sin )(cos cos sin sin )90 90 90 90 90 90o o o o o o+ + = + -q q q q q q

-sin cosq q= akan didapat

(1.4b)

y y yy xx xy' ' cos sin sin cos q q t q q= + -

2 2 2

(1.4c)

S yF ' = 0

x y xy yy xyA A A A' '. ( . sin )sin ( . sin )cos ( . cos )cost t q q q q t q q+ - -

( )+ =xx A q q. cos sin 0

x y xy xx yy' ' (cos sin ) ( )sin cost t q q q q= - - -2 2

Dengan substitusi identitas trigonometri, persamaan (1.4a, b, c) bisa

ditulis

(1.5a)

(1.5b)

(1.5c)

qtq

2sin2cos22

'' xy

yyxxyyxx

xx +-

++

=

qtq

2sin2cos22

'' xy

yyxxyyxx

yy --

-+

=

qtq

t 2cos2sin2

'' xy

yyxx

yx +-

-=

1.4. Transformasi Regangan Bidang

Perhatikan Gambar 1.6(a) pada halaman berikut. Elemen OABC

pada keadaan awal tanpa beban, lalu mengalami deformasi dan

distorsi menjadi OABC akibat mendapat beban sxx , syy dan txy.

Analisis transformasi regangannya ditunjukkan pada Gambar 1.6(b, c,

d) yang berturut-turut untuk regangan normal arah sumbu x, regangan

normal arah sumbu y serta regangan geser pada bidang xy. Dari

Gambar 1.6(b) didapat

Dari Gambar 1.6(c) akan didapat

Dan dari Gambar 1.6(d) diperoleh

dxdx dy

'cos sin

,= =q q

D D1x x' .cos ,= q

D D2x y' .sin ,= q

D 3x dyxy' . .cos ,= q

Dengan demikian total perubahan panjang dx akibat adanya regangan

pada sistem koordinat awalnya adalah

Dx = Dx1 + Dx2 + Dx3

Sedangkan

Sehingga

(1.6a)

Selanjutnya, ey dapat diperoleh dengan mensubstitusikan harga (90o +

q) untuk harga q pada persamaan (1.6) di atas, kemudian menerapkan

identitas trigonometri. Sehingga akan didapat

x x

xyx

dx

x

dx

y

dy

dy

dy' ''

'

.cos

cos

.sin

sin

. .cos

sin

eq

q

q

q

q

q

= = + +D D D

x x xx yy xy' '.cos .sin .cos .sine e q e q q q= + +

2 2

y y xxo

yyo

xy

o o' ' .cos ( ) .sin ( ) .cos( ).sin( )e e q e q q q= + + + + + +

2 290 90 90 90

y y yy xx xy' '.cos .sin .cos .sine e q e q q q= + -

2 2

Analisis transformasi regangan gesernya ditunjukkan pada Gambar

1.7 di bawah. Sebagaimana pada regangan normal, dalam hal ini

perubahan regangan geser oleh masing-masing regangan yang terjadi

ditinjau satu per satu. Pada analisis ini, panjang dx dibagi dua oleh

sumbu y menjadi dx1 dan dx2.

(1.6b)

Dari Gambar 1.7 didapat dan

Selanjutnya perhatikan Gambar 1.7(a), akibat terjadinya deformasi

normal pada arah sumbu x saja.

d y

d x dy1

1'sin cos

= =q q

d xdx dy

2'cos sin

= =2

q q

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

1 1 12

a xx

b xx

x y a b xx

AD

dy

x

d x

x

d x

CE

dx

x

d x

x

d x

q

q

q q e q q

q

q

q q e q q

e q q

''

.cos

sin

sin .cos .sin .cos

''

.sin

cos

sin .cos .sin .cos

' .sin .cos' '

= =-

=-

= -

= =-

=-

= -

= + = -

D D

D D

Gambar. 1.7. Transformasi Regangan Geser

Akibat deformasi normal arah sumbu y saja seperti ditunjukkan pada

Gambar 1.7(b) akan diperoleh

Sedangkan dari Gambar 1.7(c), akibat terjadinya regangan geser saja,

akan didapat

2

1

22

2 2 2 2

a yy

b yy

x y a b yy

AD

dy

y

dy

y

dy

CE

dx

y

dy

y

dy

q

q

q q e q q

q

q

q q e q q

e q q

''

.sin

cos

.sin .cos .sin .cos

''

.cos

sin

.sin .cos .sin .cos

' .sin .cos' '

= = = =

= = = =

= + =

D D

D D

3

1

2 2a

xy

xy

A D

d y

AA

dy

dy

dy

q

q

q q= = = =

'

'

'.cos

cos

..cos .cos

3

2

2 2

3 3 3

2 2

b

xy

x y a b xy

CE

d x

CC

dy

dy

dy xy

q

q

q q

q q

= = = - = -

= + = -

'

' '.sin

sin

..sin .sin

(cos sin )' '

Dengan demikian akan diperoleh besarnya regangan geser pada set

sumbu koordinat yang baru, sebagai berikut

x y x y x y x y xx yy xy' ' ' ' ' ' ' '( )sin .cos (cos sin ) e e q q q q= + + = - - + -1 2 3

2 2

...(1.6c)

Selanjutnya, dengan menggunakan identitas trigonometri persamaan-

persamaan (1.6a, b, c) dapat ditulis dalam bentuk lain sebagai berikut

( ) ( )x x

xx yy xx yy xy

' ' cos .sinee e e e

q

q=+

+-

+2 2

22

2

( ) ( )y y

xx yy xx yy xy

' ' cos .sinee e

qe e

q=+

+-

-2

22 2

2

( )x y

x y xx yy xy

' '

' 'sin .cose

e eq

q= = -

-+

2 22

22

(1.7a)

(1.7b)

(1.7c)

1.5. Tegangan dan Regangan Utama (Principal Stress and Strain)

serta Tegangan dan Regangan Geser Maksimum

Tegangan Utama (Principal Stress) dan Tegangan Geser Maksimum

Tegangan Utama (principal stress) adalah tegangan normal

yang terjadi pada set sumbu koordinat baru setelah transformasi yang

menghasilkan tegangan geser nol. Tegangan-tegangan tersebut

ditunjukkan sebagai s1 dan s2 pada Gambar 1.10. Perlu dicatat

bahwa s1 selalu diambil lebih besar dari s2. Sudut transformasi yang

menghasilkan tegangan utama tersebut dengan sudut utama (principal

angle). Secara analitik, besar tegangan utama dan sudut utama dapat

diturunkan dari persamaan-persamaan (1.5a, b, c).

Menurut pengertian tentang tegangan utama, dari persamaan

(1.5c) akan didapat

0

22 2= -

-+

xx yy

xy

q t q.sin .cos

atau

(1.8)

Dari persamaan di atas dapat dilukiskan segitiganya sebagai berikut

sin

costan

2

22

2p

p

p

xy

xx yy

q

qq

t

= =

-

Dengan substitusi harga-harga sin 2q dan cos 2q pada gambar di

atas ke persamaan (1.5a) akan didapat

Sehingga

Substitusi dan penerapan prosedur yang sama terhadap persamaan

(1.5b), akan didapat

x x

xx yy xx yy xx yy

xx yy xy

xy

xx yy xy

' '

( ) ( )

t

t

t=

++

- -

- ++

- +2 2 4

2

42 2

2

2 2

}{x x xx yyxx yy xy

xx yy xy' '

. ( )( )

t t=

++

- +- +

2

1

2 44

2 2

2 2

}{x x xx yy xx yy xy' '.

( )

t=+

+ - +2

1

24

2 2

}{y y xx yy xx yy xy' '.

( )

t=+

- - +2

1

24

2 2

Dengan mengingat bahwa secara matematik haruslah 1 2 , maka

kedua persamaan tersebut di atas dapat dituliskan menjadi satu dengan

(1.9)

Selanjutnya, perhatikan persamaan (1.5c). Untuk suatu titik dan jenis

pembebanan tertentu dari suatu bagian konstruksi, harga-harga xx ,

yy dan txy adalah tetap atau konstan, sehingga txy merupakan suatu

fungsi q, atau txy = f(q). Harga ekstrim fungsi tersebut akan

diperoleh bila turunan pertama fungsi tersebut terhadap q sama

dengan nol. Jadi

}{1 2 2 22

1

24,

.( )

t=

+ - +

xx yyxx yy xy

atau

(1.10)

Dari persamaan di atas dapat dilukiskan segitiganya sebagai berikut:

x y xx yy

xy

d

d

' '.sin .cos

t

q

q t q= -

-+ =

22 2 0

sin

costan

max

max

max

2

22

2

q

qq

t= = -

-xx yy

xy

Dengan substitusi harga-harga sin 2q dan cos 2q pada gambar di atas

ke persamaan (1.5c) akan didapat

}{

x y

xx yy xx yy

xx yy xy

xy

xx yy xy

xx yy xy

xx yy xy

' '

( )

( ) ( )

. ( )( )

t

t

t

t

t t

= -- - -

- ++

- +

=- +

- +

2 4

2

4

1

2 44

2 2

2

2 2

2 2

2 2

Sehingga

Persamaan (1.10) juga dipenuhi bila panjang sisi di depan sudut 2q

adalah (xx - yy) dan panjang sisi di sampingnya adalah -2txy. Kondisi

ini akan memberikan

}{x y xx yy xy' ' . ( )t t= - +1

24

2 2

}{x y xx yy xy' '.

( )t t= - - +1

24

2 2

Dengan demikian kedua persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi

satu sebagai

(1.11)

Regangan Utama dan Regangan Geser Maksimum

}{max.

( )t t= - +1

24

2 2

xx yy xy

Sebagaimana pengertian tentang tegangan utama, maka regangan

utama (principal strain) adalah regangan normal yang terjadi pada set

sumbu koordinat baru setelah transformasi yang menghasilkan setengah

regangan geser nol. Regangan-regangan tersebut ditunjukkan sebagai

e1 dan e2 pada Gambar 1.11. Demikian juga, e1 selalu diambil lebih

besar dari e2 , serta sudut transformasinya juga disebut sudut utama

(principal angle). Secara analitik, dengan penerapan prosedur yang

sama dengan yang diterapkan untuk persamaan-persamaan (1.7a, b, c),

maka akan didapat hasil-hasil berikut.

(1.12a)

(1.12b)

qp = sudut utama

e1,2 = regangan-regangan utama

gxy = 2exy = regangan geser

sin

costan

2

22

p

p

p

xy

xx yy

q

qq

e e= =

-

}{1 2 2 22

1

2,

.( )e

e ee e =

+ - +

xx yyxx yy xy

(1.13a)

(1.13b)

qmax = sudut regangan geser maksimum

xy = 2exy = regangan geser

sin

costan

max

max

max

2

22

q

qq

e e

= = -

-xx yy

xy

}{max.

( )

e e 2

1

2

2 2= - +xx yy xy

1.6. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang dan Regangan Bidang

Lingkaran Mohr diperkenalkan oleh seorang insinyur Jerman, Otto

Mohr (1835-1913). Lingkaran ini digunakan untuk melukis transformasi

tegangan maupun regangan, baik untuk persoalan-persoalan tiga dimensi

maupun dua dimensi. Yang perlu dicatat adalah bahwa perputaran

sumbu elemen sebesar q ditunjukkan oleh perputaran sumbu pada

lingkaran Mohr sebesar 2q, .dan sumbu tegangan geser positif adalah

menunjuk ke arah bawah. Pengukuran dimulai dari titik A, positif bila

berlawanan arah jarum jam, dan negatif bila sebaliknya. Pada bagian

ini kita hanya akan membahas lingkaran Mohr untuk tegangan dan

regangan dua dimensi.

Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang

Pada persamaan (1.5a), bila suku dipindahkan ke ruas

kiri dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat

(1.14a)

Sedangkan pada persamaan (1.5c), bila dikuadratkan akan didapat

(1.14b)

Penjumlahan persamaan-persamaan (1.14a) dan (1.14b) menghasilkan

(1.15)

Persamaan (1.15) merupakan persamaan lingkaran pada bidang st yang

pusatnya di dengan jari-jari . Lingkaran tersebut ditunjukkan pada

Gambar 1.8 di bawah ini, yang dilukis dengan prosedur sebagai berikut:

x y +

2

( )2 2

2 2 2

2 22 2 2 2

x

x y x yxy x y xycos sin' sin cos

q t q t q q-

+

=

-

+ + -

( )2 2 2

2

222

2 2 2x y xyx y

x y xycos sin' ' sin cost t q

q t q q= +-

- -

2

2

2

2

2 2x

x yx y

x yxy' ' '

t

t-

+

+ =

-

+

1. Buatlah sumbu ij , horisontal.

2. Periksa harga tegangan normal, xx atau yy , yang secara

matematis lebih kecil. Bila bernilai negatif jadikanlah

tegangan tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kiri batas

melukis, sedangkan bila positif maka titik yang mendekati

batas kiri adalah titik ij = 0.

3. Periksa harga tegangan normal, xx atau yy , yang secara

matematis lebih besar. Bila bernilai positif jadikanlah tegangan

tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kanan batas melukis,

sedangkan bila negatif maka titik yang mendekati batas kanan

adalah titik ij = 0.

4. Tentukan skala yang akan digunakan sehingga tempat melukis bisa

memuat kedua titik tersebut dan masih tersisa ruangan di sebelah

kiri dan kanannya. Tentukan titik-titik batas tersebut sesuai

dengan skala yang telah ditentukan.

5. Tentukan letak titik-titik ij = 0 dan sumbu t, serta ij terkecil

dan ij terbesar bila belum terlukis pada sumbu ij .

6. Bagi dua jarak antara tegangan terkecil dan tegangan terbesar

sehingga diperoleh pusat lingkaran, P.

7. Tentukan letak titik A pada koordinat (ij terbesar , txy ).

8. Lukis lingkaran Mohr dengan pusat P dan jari-jari PA.

9. Tarik garis dari A melalui P sehingga memotong lingkaran Mohr di

B. Maka titik B akan terletak pada koordinat (ij terkecil , txy ).

Garis AB menunjukkan sumbu asli, q = 0, elemen tersebut.

Contoh 1.1: Sebuah elemen dari bagian konstruksi yang dibebani,

menerima tegangan tarik pada arah sumbu x sebesar 280 MPa,

tegangan tekan pada arah sumbu y sebesar 40 MPa serta tegangan

geser pada bidang tersebut sebesar 120 MPa.

Diminta: a. Lukisan lingkaran Mohr.

b. Besar rotasi mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan

tegangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr.

Periksa hasil tersebut dari persamaan (1.10).

c. Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr.

Periksa hasil tersebut dengan rumus (1.11) dan hasil

yang didapat pada b. di atas.

d. Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk

mendapatkan tegangan geser bernilai nol, menurut

lingkaran Mohr. Periksa hasil ini dengan persamaan (1.8).

e. Besar tegangan-tegangan utama menurut lingkaran Mohr.

Periksa hasil tersebut dengan persamaan-persamaan

(1.9) dan dari hasil pada pada d. di atas.

Penyelesaian:

a. Lingkaran Mohr:

1) Buat sumbu sij , horisontal.

2) Tegangan normal terkecil, syy = -40 MPa, negatif, sehingga

digunakan sebagai titik di dekat batas kiri.

3) Tegangan normal terbesar sxx = 280 MPa, positif, sehingga

digunakan sebagai titik di dekat batas kanan.

4) Diambil skala 1cm = 40 MPa. Kemudian ditentukan titik syy = -

40 MPa di sebelah kiri, dan sxx = 280 MPa di sebelah kanan yang

berjarak (sxx + syy) dari titik syy di sebelah kiri.

5) Lukis sumbu t yang berjarak 40 MPa di sebelah kanan titik syy .

6) Dengan membagi dua sama panjang jarak syy ke sxx akan

didapat titik P.

7) Menentukan letak titik A pada koordinat (sxx , txy ) = (280,120).

8) Dengan mengambil titik pusat di P dan jari-jari sepanjang PA,

lingkaran Mohr dapat dilukis.

9) Dengan menarik garis dari A lewat P yang memotong lingkaran

Mohr di B, akan didapat kedudukan titik (syy , txy ) = (-

40,120).

Gambar 1.8. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang

b. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan

mengukur, didapat

qmax = 0,5 x 2 qmax = 0,5 x (-53o) = 26o 30.

Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat

tan 2qmax = - (280 + 40) / (2 x 120) = - 4/3

2qmax = - 53o 08 atau qmax = - 26

o 34

c. Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr

tmax = 5 x 40 MPa = 200 MPa.

Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat

d. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan

mengukur, didapat

qp = 0,5 x 2qp = 0,5 x 37o = 18o 30.

Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat

tan 2qp = (2 x 120) / (280 + 40) = 3/4

2qp = - 36o 52 atau qmax = - 18

o 26

e. Besar tegangan-tegangan utama menurut lingkaran Mohr

1 = 8 x 40 MPa = 320 MPa.

2 = -2 x 40 MPa = -80 MPa.

Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat

( )

( )

12 2

22 2

280 40

2

1

2280 40 120 320

280 40

2

1

2280 40 120 80

=-

+ + + =

=-

- + + = -

MPa

MPa

( )maxt = + + =1

2280 40 120 200

2 2 MPa

Lingkaran Mohr untuk Regangan Bidang

Pada persamaan (1.7a), bila suku dipindahkan ke ruas kiri

dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat

(1.16a)

Sedangkan pada persamaan (1.7c), bila dikuadratkan akan didapat

(1.16b)

Penjumlahan persamaan-persamaan (1.16a) dan (1.16b) menghasilkan

xx yye e+

2

( )2 2

2

2

2

2 22

22

22 2

x x

xx yy xx yy xyxx yy

xy

' ' cos sin sin cosee e e e

q

q e e

q q-+

=

-

+

+ -

( )2 2

2

2

2

2 22

22

22 2

x y xy xx yyxx yy

x y' ' ' 'cos sin sin cos

q

e eq e e

q q

=

+-

- -

(1.17)

Persamaan (1.17) merupakan persamaan lingkaran pada bidang

yang pusatnya di dengan jari-jari

Lingkaran tersebut ditunjukkan pada Gambar 1.9 di bawah ini, yang

dilukis dengan prosedur sebagaimana melukis lingkaran Mohr untuk

tegangan dengan mengganti xx , yy dan txy berturut-turut menjadi

exx , eyy dan xy / 2. Penerapannya, lihat Contoh 1.2 pada halaman 21.

2 2 2 2

2 2 2 2x x

xx yy x y xx yy x y

' '

' ' ' 'e

e e e e e e-

+

+

=

-

+

e

2

xx yye e-

20,

2 2

2 2

xx yy xye e -

+

1.7. Hubungan Antara Tegangan Dengan Regangan

Untuk deformasi normal, geser maupun gabungan keduanya, hubungan

antara tegangan dan regangan untuk bahan-bahan isotropis pada

pembebanan dalam batas proporsional diberikan oleh hukum Hooke.

Jadi hukum Hooke tidak berlaku untuk pembebanan di luar batas

proporsional. Hukum Hooke diturunkan dengan berdasarkan pada

analisis tentang energi regangan spesifik.

Apabila besar tegangan-tegangannya yang diketahui, maka hukum

Hooke untuk persoalan-persoalan tiga dimensi, hubungan antara

tegangan normal dengan regangan normal dapat dituliskan secara

matematis sebagai berikut:

(1.18)

Dengan E dan v berturut-turut adalah modulus alastis atau modulus

Young dan angka perbandingan Poisson. Sedangkan pada deformasi

geser untuk G adalah modulus geser , hubungannya adalah:

(1.19)

( )

( )

( )

xx xx yy zz

yy yy xx zz

zz zz xx yy

E

E

E

e n n

e n n

e n n

= - -

= - -

= - -

1

1

1

( )

( )

( )

xy

xy xy xy

xzxz xz xz

yz

yz yz yz

G E

G E

G E

e t n t

e t n t

e t n t

= = =+

= = =+

= = =+

2 2

1

2 2

1

2 2

1

Sedangkan untuk mencari tegangan normal yang terjadi bila regangan

normal dan sifat-sifat mekanis bahannya diketahui, digunakan

persamaan-persamaan:

(1.20)

Selanjutnya untuk deformasi geser, bentuk hukum Hooke adalah:

(1.21)

( )( )( ) ( ){ }

( )( )( ) ( ){ }

( )( )( ) ( ){ }

xx xx yy zz

yy yy xx zz

zz zz xx yy

E

E

E

n n

n e n e e

n n

n e n e e

n n

n e n e e

=+ -

- + +

=+ -

- + +

=+ -

- + +

1 1 21

1 1 21

1 1 21

( )

( )

( )

xy xy xy xy

xz xz xz xz

yz yz yz yz

E EG

E EG

E EG

tn

en

tn

en

tn

en

=+

=+

=

=+

=+

=

=+

=+

=

1 2 1

1 2 1

1 2 1

Persamaan-persamaan (1.18) sampai dengan (1.21) dapat juga

diberlakukan untuk persoalan-persoalan dua dan satu dimensi, yakni

dengan memasukkan harga nol untuk besaran-besaran di luar dimensi

yang dimaksud.

Contoh 2: Pembebanan seperti pada Contoh 1, untuk bahan dengan

sifat-sifat mekanis: modulus Young, E = 200 GPa dan angka

perbanding-an Poisson, n = 0,29. Modulus geser ditentukan dengan,

G = E / 2(1 + n).

Diminta: a. Hitunglah regangan-regangan yang terjadi.

b. Lukisan lingkaran Mohr untuk regangan yang terjadi.

c. Besar rotasi mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan

regangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr.

Periksa hasil tersebut dari persamaan (1.10).

d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran

Mohr. Periksa hasil tersebut dengan rumus (1.11) dan

hasil yang didapat pada b. di atas.

e. Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk

mendapatkan regangan geser bernilai nol, menurut

lingkaran Mohr. Periksa hasil ini dengan persamaan

(1.8).

f. Besar regangan-regangan utama menurut lingkaran

Mohr. Periksa hasil tersebut dengan persamaan-

persamaan (1.9) dan dari hasil pada pada d. di atas.

Penyelesaian:

a) Dari persamaan (1.18) dan (1.19) akan didapat:

b. Lingkaran Mohr:

1) Buat sumbu eij horisontal.

2) Regangan normal terkecil, eyy = -606me, sehingga

merupakan titik di dekat batas kiri.

( )

( )

xx

yy

e me

e me

=

=

+ - = =

- - - = - = -

1

200000280 0,29.40 0,29.0 0,001458 1458

1

20000040 0,29.280 0,29.0 0,000606 606

( )xy atau

xy

xye

me me= =+

= = =2

1 0,29 120

2000000,000774 774 1548

.

3) Regangan normal terbesar exx = 1458me, sehingga

merupakan titik di dekat batas kanan.

4) Diambil skala 1cm = 250me. Kemudian ditentukan titik

eyy = -606me di sebelah kiri, exx = 1458me di sebelah

kanan dan berjarak (exx + eyy) dari titik eyy di

sebelah kiri.

5) Lukis sumbu t yang berjarak 606me di sebelah kanan

titik eyy .

6) Dengan membagi dua sama panjang jarak eyy ke exx

akan didapat titik P.

7) Menentukan letak titik A pada koordinat (exx , exy ) =

(1458,774).

8) Dengan mengambil titik pusat di P dan jari-jari

sepanjang PA, lingkaran Mohr dapat di-lukis.

9) Dengan menarik garis dari A lewat P yang memotong

lingkaran Mohr di B, akan di dapat kedudukan titik

(eyy , exy ) = (-606,-774).

c. Besar rotasi mengelilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr,

dengan mengukur, didapat

qmax = 0,5 x 2 qmax = 0,5 x (-53o) = 26o 30.

Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat

tan 2qmax = - (1458 + 606) / (2 x 774) = - 4/3

2qmax = - 53o 08 atau qmax = - 26

o 34

d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr

exy-max = 5,2 x 250me = 1300me.

Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat

e. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr,

dengan mengukur, didapat

qp = 0,5 x 2qp = 0,5 x 37o = 18o 30.

Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat

tan 2qp = (2 x 120) / (280 + 40) = 3/4

2qp = - 36o 52 atau qmax = - 18

o 26

maxmax (

e me

2

1

221458 606) 21548 1290= =- + + = xy

f. Besar regangan-regangan dasar menurut lingkaran Mohr

e1 = 6,9 x 250me = 1725me.

e2 = -3,5 x 250me = -875me

Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat

( )

( )

1

2

1458 606

2

1

2

21458 606 21548 1716

1458 606

2

1

2

21458 606 21548 864

e me

e me

=

=

-+ + + =

-- + + = -