Download - Mekanika Bahan Bab I 2
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
1/44
BAB I
TEGANGAN DAN REGANGAN
1.1. Tegangan Dalam mekanika bahan, pengertian tegangan tidak sama dengan
vektor tegangan. Teganganmerupakan tensor derajat dua, sedangkanvektor, vektor apapun, merupakan tensor derajat satu. Besaran skalarmerupakan tensor derajat nol. Tensor ialah besaran fisik yang
keadaannya pada suatu titik dalam ruang, tiga dimensi, dapatdideskripsikan dengan 3n komponennya, dengan n ialah derajat tensor
tersebut. Dengan demikian, untuk persoalan tegangan tiga dimensi
pada suatu titik dalam ruang dapat dideskripsikan dengan 32
komponennya. Pada sistem koordinat sumbu silang, tegangan tersebut
adalah xx
, yy
, zz
, txy
, tyx
, txz
, tzx
, tyz
, dan tzy
seperti ditunjukkan
pada ambar !.!"a#. $amun demikian, karena txy% t
yx, t
xz % t
zx dan
tyz % t
zy , maka keadaan tegangan tersebut dapat dinyatakan dengan
enam komponennya, xx ,
yy ,
zz , t
xy , t
xz , t
yz. &edangkan untuk
tegangan bidang, dua dimensi, pada suatu titik dapat dideskripsikan
dengan 22
komponennya, ambar !.!"b#, dan karena tij% tji untuk makatiga komponen telah dapat mendeskripsikan tegangan bidang pada titik
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
2/44
Pada dasarnya, tegangan se'ara garis besar dapat diklasi(ikasikan
menjadi dua, yakni tegangan normal, dengan notasi sij , i % j, serta
tegangan geser dengan notasi tij , . Perhatikan penulisan pada
paragrap di atas. )arakter indek yang pertama menyatakan bidang
tempat bekerjanya gaya, sedangkan karekter indek yang kedua
menyatakan arah bekerjanya vektor tegangan tersebut. Tegangannormalialah tegangan yang bekerja tegak lurus terhadap bidang
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
3/44
pembebanan. &edangkan tegangan geserialah tegangan yang bekerjasejajar dengan bidang pembebanan. *adi keenam tegangan yang
mendeskripsikan tegangan pada suatu titik terdiri atas tiga tegangan
normal, xx, yy, dan zz, serta tiga tegangan geser, txy, tyz, dant
zx. $ilai tegangan bisa positi( dan bisa pula negati(. Tegangan
bernilai positif bila tegangan tersebut bekerja pada bidang positi(dengan arah positi(, atau bekerja pada bidang negati( dengan arah
negati(. &elain itu, nilainya negati(.
Besar tegangan rata+rata pada suatu bidang dapat dide(inisikan sebagaiintensitas gaya yang bekerja pada bidang tersebut. &ehingga se'ara
matematis tegangan normal rata+rata dapat dinyatakan sebagai
i % j "!a#
% tegangan normal rata+rata "N/mm2%MPa#
n % gaya normal yang bekerja "N#
- % luas bidang "mm2#
i, j % sumbu koordinat pada sistem sumbu silang, x, y, z
ij
ijnF
A
=
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
4/44
&edangkan tegangan geser rata+rata dapat dinyatakan sebagai
"!b#
% tegangan geser rata+rata "N/mm2%MPa#
t % gaya tangensial atau sejajar bidang yang bekerja "N#
- % luas bidang "mm2#
i, j % x, y, z
ij
tF
Ai j
= ,
ij
Bila bidang yang menerima pembebanan tersebut dipersempit sampai
akhirnya mendekati nol, dalam artian limit maka akan didapat tegangan
pada suatu titik. &ehingga se'ara matematis tegangan normal pada
suatu titik dapat dinyatakan
i % j "2a#ijA
n nF
A
d F
dA = =
0
lim
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
5/44
&edangkan tegangan geser pada suatu titik, se'ara matematis dapat
dinyatakan sebagai
"2b#
ijA
t tF
A
d F
dA i j = = 0lim ,
1.2. Regangan
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
6/44
&eperti halnya tegangan, regangan juga merupakan tensorderajat dua. Dengan demikian keadaan regangan ruang, tiga dimensi,pada suatu titik dapat dideskripsikan dengan kesembilan komponennya.
Pada sistem koordinat sumbu silang, regangan tersebut adalah exx ,e
yy , e
zz , g
xy , g
yx , g
xz , g
zx , g
yz , dan g
zy, sebagaimana ditunjukkan
pada ambar !.2"a#. egangan juga dapat diklasi(ikasikan menjadi
dua, yakni regangan normal, dengan notasi eij, i % j, serta regangan
geserdengan simbul ij, . &ebagaimana dengan tegangan, g
xy% g
yx,
gxz % gzx dan gyz % gzy, maka keadaan regangan ruang pada suatu titikdapat dinyatakan oleh enam komponen, yakni e
xx, e
yy, e
zz, g
xy, g
yz,
gzx. &edangkan regangan bidang, dua dimensi, dapat dideskripsikan
dengan 22 komponennya, dan karena gij % g
ji maka regangan bidang
pada suatu titik dapat dideskripsikan dengan hanya tiga komponen,ambar !.2"b#.
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
7/44
Regangan normal merupakan perubahan panjang spesi(ik. egangan
normal rata+rata dinyatakan oleh perubahan panjang dibagi denganpanjang a/al, atau se'ara matematis dapat dituliskan
, i % j "3#
iji
i
i
i
l
l
u
l = =
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
8/44
% regangan normal rata+rata
l % u % perubahan panjang pada arah "mm#
l % panjang a/al pada arah "mm#
i, j % sumbu koordinat pada sistem sumbu silang, x, y, z.
&edangkan regangan gesermerupakan perubahan sudut dalam radial.Regangan geser bernilai positif bila sudut pada kuadran 0 dan atau
kuadran 000 pada sistem koordinat sumbu silang menge'il, ambar
!.3"a#, sedangkan selain itu bernilai negati(.
ij
1.3.Transformasi Tegangan Bidang
1egangan dapat ditrans(ormasi dari suatu set sumbu koordinat ke
set sumbu koordinat lainnya. Dengan trans(ormasi pula dapat di'ari set
sumbu koordinat pada suatu titik yang memberikan tegangan utamadari kondisi tegangan yang telah diketahui di titik itu. ang dimaksud
dengan tegangan utamaialah tegangan yang hanya memiliki nilai tidaknol untuk tegangan normal saja, sedangkan nilai tegangan gesernya nol.
Dengan demikian juga dimungkinkan trans(ormasi tegangan dari sistem
koordinat sumbu silang "x, y, z#, ambar !."a#, ke sistem koordinat
polar "r, 4, z#, ambar !."b#.
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
9/44
1rans(ormasi tegangan bidang berdasarkan pada keseimbangan gaya+
gaya yang bekerja pada elemen. Perhatikan ambar !.5"b# berikut.
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
10/44
"!.a#
xF '= 0
x x xy yy xyA A A A' ' . ( . sin ) cos ( . sin ) sin ( . cos ) sin
( ) =xx A . cos cos 0
x x xx yy xy' ' cos sin sin cos = + +2 2 2
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
11/44
Dengan memasukkan harga "67o 8 # untuk harga pada
persamaan "!.a#, sehingga dengan identitas+identitas9
2 2 29 0 90 90cos ( ) (cos cos sin sin )o o o si n+ = =
2 2 29 0 9 0 9 0sin ( ) (sin cos cos sin )o o o co s+ = + =
sin( ) cos( ) (sin cos cos sin )(cos cos sin sin )9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0o o o o o o+ + = +
sin cos %
akan didapat "!.b#y y yy xx xy' ' cos sin sin cos = + 2 2 2
"!.'#
yF '= 0
x y xy yy xyA A A A' ' . ( . sin ) sin ( . sin ) cos ( . cos ) cos +
( )+ =xx A . cos sin 0
x y xy xx yy' ' (cos sin ) ( ) sin cos = 2 2
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
12/44
Dengan substitusi identitas trigonometri, persamaan "!.a, b, '# bisa
ditulis
"!.5a#
"!.5b#
"!.5'#
2sin2cos22'' xy
yyxxyyxx
xx +
++
=
2sin2cos22
'' xy
yyxxyyxx
yy
+
=
2cos2sin
2'' xy
yyxx
yx +
=
1.4.Transformasi Regangan Bidang
Perhatikan ambar !.:"a# pada halaman berikut. ;lemen B>=> akibat mendapat beban s
xx, s
yy dan t
xy.
-nalisis trans(ormasi regangannya ditunjukkan pada ambar !.:"b, ',
d# yang berturut+turut untuk regangan normal arah sumbu x, regangan
normal arah sumbu y serta regangan geser pada bidang xy. Dari
ambar !.:"b# didapat
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
13/44
Dari ambar !.:"'# akan didapat
Dan dari ambar !.:"d# diperoleh
dx dx dy
'cos sin
,= =
1x x' .cos ,=
2x y' .sin ,=
3x dyxy' . .cos ,=
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
14/44
Dengan demikian total perubahan panjang dx> akibat adanya reganganpada sistem koordinat a/alnya adalah
x> % x!> 8 x
2> 8 x
3>
&edangkan
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
15/44
&ehingga
"!.:a#
&elanjutnya, y> dapat diperoleh dengan mensubstitusikan harga "67o8
# untuk harga pada persamaan "!.:# di atas, kemudian menerapkanidentitas trigonometri. &ehingga akan didapat
x x
xyx
dx
x
dx
y
dy
dy
dy' ''
'
.cos
cos
.sin
sin
. .cos
sin
= = + +
x x xx yy xy' ' .cos .sin .cos .sin = + +2 2
y y xxo
yyo
xyo o
' ' .cos ( ) .sin ( ) .cos( ).sin( ) = + + + + + +2 29 0 9 0 9 0 9 0
y y yy xx xy' ' .cos .sin .cos .sin = + 2 2
-nalisis trans(ormasi regangan gesernya ditunjukkan pada ambar
!.? di ba/ah. &ebagaimana pada regangan normal, dalam hal ini
perubahan regangan geser oleh masing+masing regangan yang terjadi
ditinjau satu per satu. Pada analisis ini, panjang dx dibagi dua oleh
sumbu y menjadi dx! dan dx2.
"!.:b#
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
16/44
Dari ambar !.? didapat dan
&elanjutnya perhatikan ambar !.?"a#, akibat terjadinya de(ormasi
normal pada arah sumbu x saja.
d y d x dy
11
'sin cos
= =
d xdx dy
2'cos sin
= =2
1
1
1
1
1
1
12
2
2
2
2
1 1 1 2
a xx
b xx
x y a b xx
AD
dy
xd x
x
d x
CE
dx
x
d x
x
d x
''
.cos
sin
sin .cos .sin .cos
''
.sin
cos
sin .cos .sin .cos
' .sin .cos' '
= =
=
=
= =
=
=
= + =
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
17/44
ambar. !.?. 1rans(ormasi egangan eser
-kibat de(ormasi normal arah sumbu y saja seperti ditunjukkan pada
ambar !.?"b# akan diperoleh
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
18/44
&edangkan dari ambar !.?"'#, akibat terjadinya regangan geser saja,
akan didapat
2
1
2 2
2 2 2 2
a yy
b yy
x y a b yy
AD
dy
y
dy
y
dy
CE
dx
y
dy
y
dy
''
.sin
cos
.sin .cos .sin .cos
''
.cos
sin
.sin .cos .sin .cos
' .sin .cos' '
= = = =
= = = =
= + =
3
1
2 2a
xy
xy
A D
d y
AA
dy
dy
dy
= = = =
'
'
'.cos
cos
..cos .cos
3
2
2 2
3 3 3
2 2
b
xy
x y a b xy
CE
d x
CC
dy
dy
dy xy
= = = =
= + =
'
''.sin
sin
..sin .sin
(cos sin )' '
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
19/44
Dengan demikian akan diperoleh besarnya regangan geser pada set
sumbu koordinat yang baru, sebagai berikut
x y x y x y x y xx yy xy' ' ' ' ' ' ' ' ( ) sin .cos (cos sin ) = + + = + 1 2 32 2
..."!.:'#
&elanjutnya, dengan menggunakan identitas trigonometri persamaan+
persamaan "!.:a, b, '# dapat ditulis dalam bentuk lain sebagai berikut
( ) ( )x x
xx yy xx yy xy
' ' cos .sin
= +
+
+2 2
22
2
( ) ( )y y
xx yy xx yy xy
' ' cos .sin
=
+
+
2 2 2 2 2
( )x y
x y xx yy xy
' '
' 'sin .cos
= =
+
2 22
22
"!.?a#
"!.?b#
"!.?'#
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
20/44
1.5. Tegangan dan Regangan Utama !rin"i#al $tress and $train%serta Tegangan dan Regangan Geser &aksim'm
Tegangan Utama (Principal Stress) dan Tegangan Geser Maksimum
Tegangan Utama "principal stress# adalah tegangan normal
yang terjadi pada set sumbu koordinat baru setelah trans(ormasi yang
menghasilkan tegangan geser nol. 1egangan+tegangan tersebut
ditunjukkan sebagai s! dan s2 pada ambar !.!7. Perlu di'atat
bah/a s! selalu diambil lebih besar dari s
2. &udut trans(ormasi yang
menghasilkan tegangan utama tersebut dengan sudut utama "principal
angle#. &e'ara analitik, besar tegangan utama dan sudut utama dapat
diturunkan dari persamaan+persamaan "!.5a, b, '#.
@enurut pengertian tentang tegangan utama, dari persamaan
"!.5'# akan didapat
02
2 2=
+xx yy xy .sin .cos
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
21/44
atau
"!.A#
Dari persamaan di atas dapat dilukiskan segitiganya sebagai berikut
sin
cos
tan2
2
2 2
xy
xx yy
= =
Dengan substitusi harga+harga sin 24 dan 'os 24 pada gambar di
atas ke persamaan "!.5a# akan didapat
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
22/44
&ehingga
&ubstitusi dan penerapan prosedur yang sama terhadap persamaan
"!.5b#, akan didapat
x x
xx yy xx yy xx yy
xx yy xy
xy
xx yy xy
' '
( ) ( )
=
++
++
+2 2 !
2
!2 2
2
2 2
}{x x xx yyxx yy xy
xx yy xy' '
. ( )( )
= + +
+ +
2
1
2 !!
2 2
2 2
}{x xxx yy
xx yy xy' '.
( ) = + + +2
12
!2 2
}{y yxx yy
xx yy xy' '.
( ) = + +2
12
!2 2
Dengan mengingat bah/a se'ara matematik haruslah ! > 2 , maka
kedua persamaan tersebut di atas dapat dituliskan menjadi satu dengan
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
23/44
"!.6#
&elanjutnya, perhatikan persamaan "!.5'#. ntuk suatu titik dan jenis
pembebanan tertentu dari suatu bagian konstruksi, harga+harga xx ,
yy dan
xy adalah tetap atau konstan, sehingga
x>y> merupakan suatu
(ungsi , atau x>y>
% ("#.Carga ekstrim (ungsi tersebut akan
diperoleh bila turunan pertama (ungsi tersebut terhadap sama
dengan nol. *adi
}{1 2 2 22
1
2!,
.( )
=
+ +xx yy xx yy xy
atau
"!.!7#
Dari persamaan di atas dapat dilukiskan segitiganya sebagai berikut9
x y xx yy
xy
d
d
' '.sin .cos
= + =2
2 2 0
sin
cos tanmax
max
max
2
2 2 2
= = xx yy
xy
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
24/44
Dengan substitusi harga+harga sin 2 dan 'os 2 pada gambar di atas
ke persamaan "!.5'# akan didapat
}{
x yxx yy xx yy
xx yy xy
xy
xx yy xy
xx yy xy
xx yy xy
' ' ( )( ) ( )
. ( )( )
= ++ +
= +
+
2 !2
!
1
2 !!
2 2
2
2 2
2 2
2 2
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
25/44
&ehingga
Persamaan "!.!7# juga dipenuhi bila panjang sisi di depan sudut 2adalah "
xx
yy# dan panjang sisi di sampingnya adalah +2
xy. )ondisi
ini akan memberikan
}{x y xx yy xy' '.
( ) = +1
2!
2 2
}{x y xx yy xy' '.
( ) = +1
2!
2 2
Dengan demikian kedua persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi
satu sebagai
"!.!!#
Regangan Utama dan Regangan Geser Maksimum
}{max
.( )
= +
1
2!
2 2
xx yy xy
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
26/44
&ebagaimana pengertian tentang tegangan utama, maka regangan
utama"principal strain# adalah regangan normal yang terjadi pada set
sumbu koordinat baru setelah trans(ormasi yang menghasilkan
setengahregangan geser nol. egangan+regangan tersebut ditunjukkansebagai
! dan
2 pada ambar !.!!. Demikian juga,
! selalu
diambil lebih besar dari 2 , serta sudut trans(ormasinya juga disebut
sudut utama "principal angle#. &e'ara analitik, dengan penerapan
prosedur yang sama dengan yang diterapkan untuk persamaan+
persamaan "!.?a, b, '#, maka akan didapat hasil+hasil berikut.
"!.!2a#
"!.!2b#
4p% sudut utama
e!,2
% regangan+regangan utama
gxy
% 2exy% regangan geser
sin
costan
2
22
xy
xx yy
= =
}{1 2
2 2
2
1
2, .( )
=
+ +xx yy xx yy
xy
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
27/44
"!.!3a#
"!.!3b#
max
% sudut regangan geser maksimum
xy% 2
xy% regangan geser
sin
costan
max
max
max
2
22
= =
xx yy
xy
}{max
. ( )
21
2
2 2
= +xx yy xy
1.(.)ingkaran &o*r 'nt'k Tegangan Bidang dan Regangan Bidang
ingkaran @ohr diperkenalkan oleh seorang insinyur *erman,
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
28/44
ingkaran Mohr untuk Tegangan !idang
Pada persamaan "!.5a#, bila suku dipindahkan ke ruas
kiri dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat
EEE"!.!a#
&edangkan pada persamaan "!.5'#, bila dikuadratkan akan didapat
EEE"!.!b#
Penjumlahan persamaan+persamaan "!.!a# dan "!.!b# menghasilkan
"!.!5#
Persamaan "!.!5# merupakan persamaan lingkaran pada bidang st yang
pusatnya di dengan jari+jari . ingkaran tersebut ditunjukkan pada
ambar !.A di ba/ah ini, yang dilukis dengan prosedur sebagai berikut9
x y +
2
( )2 2
2 2 2
2 22 2 2 2
x
x y x yxy x y xyco s si n' sin cos
+
=
+ +
( )2 2 2
2
222
2 2 2x y xyx y
x y xyco s sin' ' sin cos = +
2
2
2
2
2 2x
x yx y
x yxy' ' ' +
+ =
+
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
29/44
!. Buatlah sumbu ij, horisontal.
2. Periksa harga tegangan normal, xx atau
yy, yang se'ara
matematis lebih ke'il. Bila bernilai negati( jadikanlah
tegangan tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kiri batasmelukis, sedangkan bila positi( maka titik yang mendekati
batas kiri adalah titik ij% 7.
3. Periksa harga tegangan normal, xx atau
yy , yang se'ara
matematis lebih besar. Bila bernilai positi( jadikanlah tegangan
tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kanan batas melukis,
sedangkan bila negati( maka titik yang mendekati batas kanan adalah
titik ij% 7.
. 1entukan skala yang akan digunakan sehingga tempat melukis bisa
memuat kedua titik tersebut dan masih tersisa ruangan di sebelah kiridan kanannya. 1entukan titik+titik batas tersebut sesuai dengan skala
yang telah ditentukan.
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
30/44
5. 1entukan letak titik+titik ij% 7 dan sumbu , serta
ijterke'il
dan ijterbesar bila belum terlukis pada sumbu
ij.
:. Bagi dua jarak antara tegangan terke'il dan tegangan terbesar
sehingga diperoleh pusat lingkaran, P.
?. 1entukan letak titik - pada koordinat "ijterbesar ,
xy#.
A. ukis lingkaran @ohr dengan pusat P dan jari+jari P-.
6. 1arik garis dari - melalui P sehingga memotong lingkaran @ohr di
B. @aka titik B akan terletak pada koordinat "ijterke'il , xy#.aris -B menunjukkan sumbu asli, % 7, elemen tersebut.
$ontoh %.%9 &ebuah elemen dari bagian konstruksi yang dibebani,
menerima tegangan tarik pada arah sumbu x sebesar 2A7 @Pa,
tegangan tekan pada arah sumbu y sebesar 7 @Pa serta tegangan
geser pada bidang tersebut sebesar !27 @Pa.
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
31/44
Diminta9 a. ukisan lingkaran @ohr.
b. Besar rotasi mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan
tegangan geser maksimum, menurut lingkaran @ohr.
Periksa hasil tersebut dari persamaan "!.!7#.'. Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran @ohr.
Periksa hasil tersebut dengan rumus "!.!!# dan hasil
yang didapat pada b. di atas.
d. Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk
mendapatkan tegangan geser bernilai nol, menurutlingkaran @ohr. Periksa hasil ini dengan persamaan "!.A#.
e. Besar tegangan+tegangan utama menurut lingkaran @ohr.
Periksa hasil tersebut dengan persamaan+persamaan "!.6#
dan dari hasil pada pada d. di atas.
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
32/44
Penyelesaian9
a. ingkaran @ohr9
!# Buat sumbu sij, horisontal.
2# 1egangan normal terke'il, syy% +7 @Pa, negati(, sehinggadigunakan sebagai titik di dekat batas kiri.
3# 1egangan normal terbesar sxx% 2A7 @Pa, positi(, sehingga
digunakan sebagai titik di dekat batas kanan.
# Diambil skala !'m % 7 @Pa. )emudian ditentukan titik syy % +7 @Pa di sebelah kiri, dan s
xx% 2A7 @Pa di sebelah kanan yang
berjarak "sxx8 s
yy# dari titik s
yydi sebelah kiri.
5# ukis sumbu t yang berjarak 7 @Pa di sebelah kanan titik syy .
:# Dengan membagi dua sama panjang jarak syy
ke sxxakan
didapat titik P.
?# @enentukan letak titik - pada koordinat "sxx ,
txy
# % "2A7,!27#.
A# Dengan mengambil titik pusat di P dan jari+jari sepanjang P-,
lingkaran @ohr dapat dilukis.
6# Dengan menarik garis dari - le/at P yang memotong lingkaran
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
33/44
ambar !.A. ingkaran @ohr untuk 1egangan Bidang
b. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran @ohr, dengan
mengukur, didapat
max
% 7,5 x 2max
% 7,5 x "+53o# % 2:o37>.
&edangkan menurut persamaan "!.!7# didapat
tan 2max
% "2A7 8 7# F "2 x !27# % 4/3
2max
% 53o7A> atau max
% 2:o3>
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
34/44
'. Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran @ohr
max
% 5 x 7 @Pa % 277 @Pa.
&edangkan menurut persamaan "!.!!# akan didapat
d. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran @ohr, dengan
mengukur, didapat
p% 7,5 x 2
p% 7,5 x 3?o % !Ao37>.
&edangkan menurut persamaan "!.!7# didapat
tan 2p% "2 x !27# F "2A7 8 7# % 3/4
2p % 3:o52> atau
max % !Ao2:>
e. Besar tegangan+tegangan utama menurut lingkaran @ohr
!% A x 7 @Pa % 327 @Pa.
2% +2 x 7 @Pa % +A7 @Pa.
&edangkan menurut persamaan "!.!!# akan didapat
( )
( )
12 2
2
2
2
2"0 !0
2
1
22"0 !0 120 320
2"0 !0
2
1
2 2"0 !0 120 "0
=
+ + + =
=
+ + =
#$a
#$a
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
35/44
ingkaran Mohr untuk Regangan !idang
Pada persamaan "!.?a#, bila suku dipindahkan ke ruas kiri
dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat
EEE"!.!:a#
&edangkan pada persamaan "!.?'#, bila dikuadratkan akan didapat
EEE"!.!:b#
Penjumlahan persamaan+persamaan "!.!:a# dan "!.!:b# menghasilkan
xx yy +
2
( )2 2
2
2
2
2 22
22
22 2
x x
xx yy xx yy xyxx yy
xy
' ' cos sin sin cos
+
=
+
+
( )
2 2
2
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
x y xy xx yy
xx yy
x y' ' ' '
cos sin sin cos
=
+
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
36/44
"!.!?#
Persamaan "!.!?# merupakan persamaan lingkaran pada bidang
yang pusatnya di dengan jari+jari
ingkaran tersebut ditunjukkan pada ambar !.6 di ba/ah ini, yang
dilukis dengan prosedur sebagaimana melukis lingkaran @ohr untuktegangan dengan mengganti
xx,
yy dan
xy berturut+turut menjadi
xx,
yy dan
xyF 2. Penerapannya, lihat =ontoh !.2 pada halaman 2!.
2 2 2 2
2 2 2 2x x
xx yy x y xx yy x y
' '
' ' ' '
+
+
=
+
2xx yy
20,
2 2
2 2
xx yy xy
+
1.+. ,'-'ngan Antara Tegangan Dengan Regangan
ntuk de(ormasi normal, geser maupun gabungan keduanya, hubungan
antara tegangan dan regangan untuk bahan+bahan isotropis pada
pembebanan dalam batas proporsional diberikan oleh hukum &ooke.
*adi hukum Cooke tidak berlaku untuk pembebanan di luar batas
proporsional. Cukum Cooke diturunkan dengan berdasarkan pada
analisis tentang energi regangan spesifik.
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
37/44
-pabila besar tegangan+tegangannya yang diketahui, maka hukum
Cooke untuk persoalan+persoalan tiga dimensi, hubungan antara
tegangan normal dengan regangan normal dapat dituliskan se'ara
matematis sebagai berikut9
"!.!A#
Dengan ' dan v berturut+turut adalah modulus alastis atau modulus
oung dan angka perbandingan Poisson. &edangkan pada de(ormasi
geser untuk ( adalah modulus geser , hubungannya adalah9
"!.!6#
( )
( )
( )
xx xx yy %%
yy yy xx %%
%% %% xx yy
E
E
E
=
=
=
1
1
1
( )
( )
( )
xyxy xy xy
x%x% x% x%
y%
y% y% y%
& E
& E
& E
= = = +
= = = +
= = = +
2 21
2 2
1
2 2
1
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
38/44
&edangkan untuk men'ari tegangan normal yang terjadi bila regangan
normal dan si(at+si(at mekanis bahannya diketahui, digunakan
persamaan+persamaan9
"!.27#
&elanjutnya untuk de(ormasi geser, bentuk hukum Cooke adalah9
"!.2!#
( ) ( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ) ( ){ }
xx xx yy %%
yy yy xx %%
%% %% xx yy
E
E
E
= + + +
=+
+ +
=+
+ +
1 1 21
1 1 21
1 1 21
( )
( )
( )
xy xy xy xy
x% x% x% x%
y% y% y% y%
E E&
E E&
E E&
=+
=+
=
=+
=+
=
=+
=+
=
1 2 1
1 2 1
1 2 1
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
39/44
Persamaan+persamaan "!.!A# sampai dengan "!.2!# dapat juga
diberlakukan untuk persoalan+persoalan dua dan satu dimensi, yakni
dengan memasukkan harga nol untuk besaran+besaran di luar dimensi
yang dimaksud.
$ontoh "9 Pembebanan seperti pada =ontoh !, untuk bahan dengan
si(at+si(at mekanis9 modulus oung, ; % 277 Pa dan angka
perbanding+an Poisson, n % 7,26. @odulus geser ditentukan dengan,
% ; F 2"! 8 n#.
Diminta9 a. Citunglah regangan+regangan yang terjadi.
b. ukisan lingkaran @ohr untuk regangan yang terjadi.
'. Besar rotasi mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan
regangan geser maksimum, menurut lingkaran @ohr.
Periksa hasil tersebut dari persamaan "!.!7#.
d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran
@ohr. Periksa hasil tersebut dengan rumus "!.!!# dan
hasil yang didapat pada b. di atas.
e Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
40/44
e. Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk
mendapatkan regangan geser bernilai nol, menurut
lingkaran @ohr. Periksa hasil ini dengan persamaan
"!.A#.
(. Besar regangan+regangan utama menurut lingkaran@ohr. Periksa hasil tersebut dengan persamaan+
persamaan "!.6# dan dari hasil pada pada d. di atas.
Penyelesaian9
a# Dari persamaan "!.!A# dan "!.!6# akan didapat9
b. ingkaran @ohr9
!# Buat sumbu eij horisontal.
2# egangan normal terke'il, eyy % +:7:me, sehinggamerupakan titik di dekat batas kiri.
( )
( )
xx
yy
=
=
+ = =
= =
1
2000002"0 0,29.!0 0,29.0 0,001!" 1!"
1
200000!0 0,29.2"0 0,29.0 0,0000 0
( )xy atauxy xy = = + = = =21 0,29 120
2000000,000! ! 1!".
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
41/44
3# egangan normal terbesar exx% !5Ame, sehingga
merupakan titik di dekat batas kanan.
# Diambil skala !'m % 257me. )emudian ditentukan titik
eyy % +:7:me di sebelah kiri, exx% !5Ame di sebelahkanan dan berjarak "e
xx8 e
yy# dari titik e
yydi sebelah
kiri.
5# ukis sumbu t yang berjarak :7:me di sebelah kanan
titik eyy .
:# Dengan membagi dua sama panjang jarak eyy
ke exx
akan didapat titik P.
?# @enentukan letak titik - pada koordinat "exx ,
exy
# %
"!5A,??#.
A# Dengan mengambil titik pusat di P dan jari+jarisepanjang P-, lingkaran @ohr dapat di+lukis.
6# Dengan menarik garis dari - le/at P yang memotong
lingkaran @ohr di B, akan di dapat kedudukan titik "eyy ,
exy
# % "+:7:,+??#.
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
42/44
B i lili i b li k @ h
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
43/44
'. Besar rotasi mengelilingi sumbu z menurut lingkaran @ohr,
dengan mengukur, didapat
max
% 7,5 x 2max
% 7,5 x "+53o# % 2:o37>.
&edangkan menurut persamaan "!.!7# didapattan 2
max % "!5A 8 :7:# F "2 x ??# % 4/3
2max
% 53o7A> atau max
% 2:o3>
d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran @ohr
xy+max % 5,2 x 257 % !377.&edangkan menurut persamaan "!.!!# akan didapat
e. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran @ohr,dengan mengukur, didapat
p% 7,5 x 2
p% 7,5 x 3?o % !Ao37>.
&edangkan menurut persamaan "!.!7# didapat
tan 2p
% "2 x !27# F "2A7 8 7# % 3/4
2 % 3:o52> atau % !Ao2:>
maxmax (
2
1
221!" 0) 21!" 1290= = + + = xy
-
7/23/2019 Mekanika Bahan Bab I 2
44/44
(. Besar regangan+regangan dasar menurut lingkaran @ohr
!% :,6 x 257 % !?25.
2% +3,5 x 257 % +A?5
&edangkan menurut persamaan "!.!!# akan didapat
( )
( )
1
2
1!" 0
2
1
2
21!" 0 21!" 11
1!" 0
2
1
2
21!" 0 21!" "!
=
=
+ + + =
+ + =