Mekanika Bahan Fakultas Teknik UNTAD

B. Tegangan dan Lendutan Akibat Momen Lentur

Bila suatu beban vertikal bekerja pada balok yang terletak di atas dua

tumpuan atau pada balok kantilevel, maka balok tersebut akan mengalami lentur,

yang mengakibatkan terjadinya perubahan bentuk pada batang berupa lendutan.

Pada umumnya balok merupakan bagian konstruksi bangunan yang

digunakan untuk mengalihkan beban-beban vertikal menjalar ke arah horisontal

yang menimbulkan lentur, dan mengakibatkan balok mengalami lendutan, yang

akhirnya akan menyebabkan timbulnya tegangan lentur pada penampang balok.

Perhatikan Gambar 1. Selembar kertas yang diletakan di atas dua

perletakan, tidak mampu di bebani, akan tetapi bila kertas tersebut dilipat-lipat,

maka kertas tersebut akan menjadi lebih kaku dan mampu dibebani, Mangapa ?

Gambar 1.

Perhatikan Gambar 2. Bila sebatang balok kantilever dibebani dengan

beban vertikal P pada ujungnya, maka akan menimbulkan lentur pada balok

tersebut, lentur ini menyebabkan terjadinya perubahan bentuk berupa lendutan,

yang kemudian mengakibatkan timbulnya tegangan pada penampang balok

tersebut, dimana lapisan bagian atas dari penampang balok akan mengalami

tegangan tarik, sedangkan pada bagian bawah balok akan mengalami tegangan

tegangan tekan.

Terdapat beberapa kondisi yang dapat menerangkan lebih jelas tentang

lendutan yang terjadi pada balok kantilevel, mulai dari perubahan lendutan yang

diakibatkan oleh perubahan besarnya beban P, sampai dengan perubahan

panjang, bentuk penampang , jenis bahan, dan cara perletakan penampang

pada balok yang digunakan.

Ir.James Nurtanio,M.Si 1

Mekanika Bahan Fakultas Teknik UNTAD

Kondisi tersebut dapat dilukiskan sebagai berikut :

a. Bila beban P diperbesar

b. Bila Panjang balok l diperbesar

c. Bila jenis bahan balok berbeda

d. Bila balok diletakan rebah atau tegak

Gambar 2.

Ir.James Nurtanio,M.Si 2

P

d2

2P

2l

P

dd1

l l

P

d

l

E1

P

d

l

E2

P

d

l

d

l

d4

Mekanika Bahan Fakultas Teknik UNTAD

Dari kondisi di atas dapat disimpulkan bahwa lendutan akibat beban terpusat

pada konstruksi batang mempunyai hubungan sebagai berikut:

IE

nlPkd⋅⋅⋅≈

Dimana K merupakan faktor yang tergantung pada bentuk konstruksi, dan I

merupakan faktor penampang balok, n menunjukan bahwa rumus tersebut

bukan fungsi linear.

Selanjutnya pada balok di atas dua perletakan yang dimuati beban P akan

melengkung atau melentur. Lentur ini akan menimbulkan lendutan dan tegangan

pada balok tersebut seperti Gambar 3. Perubahan bentuk ini akan menyebabkan

lapisan atas balok mangalami tegangan tekan, sedangkan lapisan bawahnya

akan mengalami tegangan tarik. Sifat ini pula yang ditemui pada balok kantilevel,

batang tepi atas mengalami tegangan tarik dan tepi bawah mengalami tegangan

tekan. Lebih lanjut hal ini menerangkan keadaan sebagai berikut:

Jika sebatang balok dibebani oleh sebuah gaya lintang, maka balok

tersebut akan melendut dan bila diambil sebagian elemen balok tersebut,

berdasarkan Hipotesa Bernoulli dan perilaku elastis bahan sesuai dengan

hukum Hooke akan memberikan diagram sebagai berikut:

Gambar 3.

Ir.James Nurtanio,M.Si 3

Mekanika Bahan Fakultas Teknik UNTAD

Dari sini kita dapat menentukan

pembagian tegangan pada penampang

balok, kita dapatkan tegangan tekan pada

serat atas dan tegangan tarik pada serat

bawah.

Tegangan lentur yang bekerja pada

penampang melintang adalah seharga

dengan gaya kopel D dan T yang bekerja

dengan panjang lengan Z.

Kopel ini membentuk momen yang

dibutuhkan untuk keseimbangan.

Sedangkan gaya-gaya D san T diibentuk

oleh tegangan total σ yang bekerja pada

penampang melintang D sama dengan

volume tegangan tekan dan T sama

dengan volume tegangan tarik.

hZ

hbT

hbD

⋅=

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅−=

3

2

22

1

22

1

σ

σ

dimana Z adalah jarak antara titik berat volume tegangan tekan dan volume

tegangan tarik terhadap garis normal.

Momen dalam M menjadi : ZTZDM ⋅=⋅= dimana : D = gaya tekan ; T =

gaya tarik

Untuk penampang segi empat :

63

2

22

1 2bhhb

hM ⋅=⋅

⋅⋅⋅= σσ ; jika 2

6

1bhWX ⋅= ;

Wx tergantung dari bentuk penampang melintang dan disebut Momen Tahanan,

sehingga persamaan momen dapat ditulis menjadi : XWM ⋅= σ

Ir.James Nurtanio,M.Si 4

Mekanika Bahan Fakultas Teknik UNTAD

Pembahasan secara umum teori lenturan dan penurunan rumus tegangan

lentur :

Sebatang balok yang melentur dengan penampang melintang sembarang,

bila diamati deformasi pada elemen nya. Menurut Hipotesa Bernolli bahwa jika

titik berat penampang tidak ditengah-tengah tinggi balok, deformasi pada serat

atas dan serat bawah akan berbeda, sedangkan menurut Hukum Hooke

tegangan pada serat atas akan berbeda dengan tegangan pada serat bawah.

Dengan mengambil sebuah elemen dengan panjang lo pada batang yang

mengalami lentur, dapat diperoleh gambaran deformasi dan penyebaran

tegangan seperti Gambar 4.

Gambar 4.

Pada elemen kecil tak terhingga ∆A bekerja sebuah tegangan σ, dan gaya

∆K = σ. ∆A akan menyebabkan bekerjanya momen pada garis netralnya sebesar

∆M = ∆K . y.

Tegangan σ dapat dinyatakan sebagai : yyb

B ⋅=σσ ;

sehingga Ayy

AKB

B ∆⋅⋅=∆⋅=∆σσ Dan Ay

yyKM

B

B ∆⋅⋅=⋅∆=∆ 2σ; oleh karena

tiap-tiap elemen menghasilkan sebuah ∆M , sehingga jika dijumlahkan akan

diperoleh Ayy

MB

B ∆⋅⋅∑=∆ 2σ; dan karena

B

B

y

σ konstan, maka persamaan

momen dapat ditulis : Ayy

MB

B ∆⋅∑⋅=∆ 2σ; jika AyI X ∆∑= 2 jakni momen inersia

Ir.James Nurtanio,M.Si 5

Mekanika Bahan Fakultas Teknik UNTAD

penampang terhadap sumbu X melalui titik berat penampang, maka tegangan

akibat lentur dapat dihitung dengan menggunakan rumus yI

M

X

⋅=σ ; dan jika

kita bandingkan dengan rumus umum yI

Mσ

X

⋅= dengan rumus XWM ⋅= σ ,

maka kita dapat memperoleh bentuk hubungan : y

IW X

X = yakni antara Momen

Ketahanan dengan Momen Inersia.

Hal yang sama dapat dibuktikan dengan menghitung regangan pada

elemen balok yang mengalami lentur Gambar 5 :

Gambar 5

Momen M pada gambar 5a menimbulkan momen lentur murni pada batang

sederhana AB. Jika batang tidak kaku sempurna serta gaya dalam masih dalam

batas elastik maka sumbu batang akan melendut. Menurut Hipotesa Bernoulli

bila batas elastis belum dilampaui, maka setiap bagian batang akan tetap datar

seperti sebelumnya. Hal ini berarti bahwa perubahan panjang tiap-tiap lapisan

Ir.James Nurtanio,M.Si 6

Mekanika Bahan Fakultas Teknik UNTAD

sejajar dengan sumbu batang berbanding lurus dengan jarak terhadap sumbu

gambar 5b, sehingga regangan pada lapisan yang berjarak Y dari sumbu batang

dapat diperoleh perbandingan : R

y

EF

EFGH =− ; sedangkan menurut Hukum

Hooke pada lapisan tersebut terjadi regangan : E

yσε = ; sehingga diperoleh

tegangan pada lapisan tersebut adalah : yr

Ey ⋅=σ ; hal ini menunjukan bahwa

tegangan pada tiap-tiap lapisan berbanding lurus dengan jarak dari sumbu

netral. Dimana tegangan pada bagian atas sumbu netral bersifat tekan dan

tegangan pada bagian bawah sumbu netral bersifat tarik.

Bila gaya yang bekerja pada penampang dA adalah : dAdT y ⋅= σ atau

dAyr

EdT ⋅⋅= dari persamaan ini dapat dihitung gaya tarik pada bagian tarik

sebesar : dAyr

ET

h

⋅⋅= ∫1

0

;

Dengan cara yang sama didapat pula gaya tekan sebesar : dAyr

EK

h

⋅⋅= ∫2

0

Perlu diketahui pada konstruksi yang hanya menderita momen lentur murni

sumbu netralnya terletak pada lapisan yang mengalami tegangan sama dengan

nol, dengan kata lain :

00

=⋅⋅ ∫ dAyr

E A

; berarti 01

0

=⋅∫ dAyh

yang berarti sumbu netral didapat bila y = 0,

atau sumbu netral berimpit dengan sumbu batang. Selanjutnya gaya tarik

maupun gaya tekan akan menimbulkan momen terhadap sumbu netral sebesar :

dAyr

EydTdM ⋅⋅=⋅= 2 ; dengan demikian jumlah momen untuk seluruh

Ir.James Nurtanio,M.Si 7

)(5,18

0275,020

020

↓=

=−⋅−=−⋅−

knV

V

Vxq

B

B

B

0=∑ BM

0=∑V

mknM

M

Mx

xqx

r

r

r

.5,38

02

2275,0220

02

20

2

=

=−⋅⋅−⋅

=−⋅⋅−⋅

Mekanika Bahan Fakultas Teknik UNTAD

penampang : dAyr

EM

A

⋅⋅= ∫0

2 ; berdasarkan keseimbangan maka momen pada

persamaan diatas akan melawan momen lentur Mx, sehingga dapat diperoleh

tegangan lentur pada lapisan sejauh y dari sumbu netral adalah :

dAyy

M YX ⋅⋅= ∫ 2σ

; Iy

M YX ⋅=

σ

Contoh Soal :

1. Diketahui sebuah balok kantilevel seperti gambar dibawa, mempunyai

penampang balok segi empat.

Penampang balok pada pot C - C

Tentukan tegangan lentur maksimum yang terjadi pada sebuah irisan 2 m dari

Ujung bebas

Penyelesaian :

Persyaratan keseimbangan :

maka :

maka :

Ir.James Nurtanio,M.Si 8

B Mr

L m

VB

40 cm

30 cm2 m

C

Q = 75kg/m’

C

A

20 kn

Mekanika Bahan Fakultas Teknik UNTAD

2. Seperti soal nomor 1, andaikata penampang potongan c-c seperti gambar berikut :

satuan: mm

Ditentukan titik berat penampang

Ir.James Nurtanio,M.Si 9

Mekanika Bahan Fakultas Teknik UNTAD

Dicari momen inersia luasan penampang terhadap sumbu z-z. Maka :

Besarnya tegangan lentur maksimum pada potongan c-c 2m dari ujung bebas

3.

Ir.James Nurtanio,M.Si 10

Mekanika Bahan Fakultas Teknik UNTAD

Penampang balok AB

ukuran : mm

Tentukan tegangan lentur maksimum !

Solusi :

Mencari titik berat dan letak garis sumbu netral

Mencari momen inersia luasan terhadap sumbu z-z

Ir.James Nurtanio,M.Si 11

Mekanika Bahan Fakultas Teknik UNTAD

Mencari gaya reaksi tumpuan

Diambil potongan kiri sejauh X m dari A

Ir.James Nurtanio,M.Si 12

Mekanika Bahan Fakultas Teknik UNTAD

Agar momen maksimum maka :

Jadi nilai momen maksimum

Tegangan lentur maksimum untuk serat atas

Serat bawah :

Ir.James Nurtanio,M.Si 13

Mekanika Bahan Fakultas Teknik UNTAD

Ir.James Nurtanio,M.Si 14